2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第9章统计9.2.1总体取值规律的估计

总体取值规律的估计 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是(　　) A．4月1日 B．4月2日 C．4月3日 D．4月5日 2．(5分)在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a－b|的值等于(　　) A．h·m B． C． D．与m，h无关 3．(5分)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个样本容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50,60]内的学生有30人，则n的值为(　　) A．100 B．1000 C．90 D．900 4．(6分)(多选)样本容量为100的样本，其数据分布在[2,18]内，将样本数据分为4组：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．样本数据分布在[6,10)内的频率为0.32 B．样本数据分布在[10,14)内的频数为40 C．样本数据分布在[2,10)内的频数为40 D．估计总体数据大约有10%分布在[10,14)内 5．(6分)(多选)某单位经工会委员会研究决定，2023年职工秋游活动定于9月份组织完成，并从以下五条路线中选择一条路线出游，甲：南国风情东山岛、苏峰山环岛路休闲一日游；乙：网红神仙村、翡翠湾休闲一日游；丙：长泰玛琪雅朵花海、寻梦谷休闲一日游；丁：华安官畲文化村、二宜楼休闲一日游；戊：平和千年古刹三平寺一日游．该单位对参与选择秋游路线的职工进行抽样调查，并对秋游路线选择结果进行统计，将调查数据整理得到如下统计图： 若用样本估计总体，以下说法正确的是(　　) A．29周岁以上参与选择秋游路线的职工人数占总参与人数的75% B．51周岁以上的职工参与选择秋游路线人数最少 C．30～40周岁的职工可支付旅游费用最少 D．丁路线最受欢迎 二、填空题 6．(5分)在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本容量是________． 7．(5分)某校高一的320名学生，在计算机技能培训前后分别参加了一次水平相同的测试，分数都以统一标准划分成“不合格”“合格”“优秀”三个等级．为了了解计算机技能培训的效果，用抽签的方式得到其中32名学生的两次测试等级，绘制成如图所示的条形图．请结合图中信息回答下列问题： (1)这32名学生经过培训后，等级“不合格”的百分比由________下降到________； (2)估计该校高一全体学生中，培训后等级为“合格”和“优秀”的学生共有________名． 8．(5分)为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用按比例分配分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入(单位：元)在[1500,2000)内的应抽取________人． 三、解答题 9．(10分)为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组(单位：岁) 频数 频率 [20,25) 5 0.05 [25,30) ① 0.20 [30,35) 35 ② [35,40) 30 0.30 [40,45] 10 0.10 合计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数． 10．(10分)新能源共享汽车入驻某地一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解新能源共享汽车使用者的年龄段、使用频率、满意度三个方面的信息，在全市范围内发放5000份调查问卷，并将回收到的有效问卷3125份为样本，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表(一) 使用者 年龄段 25岁及 以下 26～35岁 36～45岁 46岁及以上 人数 20 40 10 10 表(二) 使用 频率 0～6 次/月 7～14 次/月 15～22 次/月 23～31 次/月 人数 5 10 20 5 表(三) 满意度 非常满意 (9～10) 满意 (8～9) 一般 (7～8) 不满意 (6～7) 人数 15 10 10 5 (1)依据上述表格完成下列三个统计图形； (2)某城区现有常住人口30万，试估计该城区年龄在26～35岁之间，每月使用新能源共享汽车在7～14次的人数． 能力提升 11．(6分)(多选)企业的核心竞争力需要大量研发投入和研发活动作为支撑．研发营收比是指企业的研发投入与营业收入的比值，是一个企业研发投入情况的一项重要指标，如图是某公司2017年到2023年的研发投入和研发营收比的情况，则下列结论正确的是(　　) A．该公司的研发投入逐年增加 B．该公司2023年的营业收入超过550亿元 C．2020年该公司的研发营收比最大 D．2020年该公司的营业收入达到最大值 12．(6分)(多选)供电部门对某社区1000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则有关这1000位居民，下列说法正确的是(　　) A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B．12月份人均用电量在[20,30)内的有300人 C．12月份人均用电量不低于20度的有500人 D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为 13．(5分)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图： 下面的结论： ①新农村建设后，种植收入减少；②新农村建设后，其他收入增加了一倍以上；③新农村建设后，养殖收入增加了一倍；④新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半．其中错误的是________． 14．(10分)为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约有1000万人，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示． (1)估计该城市50岁及以上且已签约家庭医生的居民人数； (2)据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年龄18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由． 拓展探究 15．(11分)某市2019年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 总体取值规律的估计 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(5分)如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是(　　) A．4月1日 B．4月2日 C．4月3日 D．4月5日 [解析]　由折线图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日． [答案]　D 2．(5分)在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a－b|的值等于(　　) A．h·m B． C． D．与m，h无关 [解析]　小矩形的高＝，所以|a－b|＝＝. [答案]　B 3．(5分)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个样本容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50,60]内的学生有30人，则n的值为(　　) A．100 B．1000 C．90 D．900 [解析]　由频率分布直方图可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50,60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝＝100. [答案]　A 4．(6分)(多选)样本容量为100的样本，其数据分布在[2,18]内，将样本数据分为4组：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．样本数据分布在[6,10)内的频率为0.32 B．样本数据分布在[10,14)内的频数为40 C．样本数据分布在[2,10)内的频数为40 D．估计总体数据大约有10%分布在[10,14)内 [解析]　对于A，由题图可得，样本数据分布在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，正确；对于B，由题图可得，样本数据分布在[10,14)内的频数为100×0.1×4＝40，正确；对于C，由题图可得，样本数据分布在[2,10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，正确；对于D，由题图可估计，总体数据分布在[10,14)内的比例约为0.1×4＝0.4＝40%，错误． [答案]　ABC 5．(6分)(多选)某单位经工会委员会研究决定，2023年职工秋游活动定于9月份组织完成，并从以下五条路线中选择一条路线出游，甲：南国风情东山岛、苏峰山环岛路休闲一日游；乙：网红神仙村、翡翠湾休闲一日游；丙：长泰玛琪雅朵花海、寻梦谷休闲一日游；丁：华安官畲文化村、二宜楼休闲一日游；戊：平和千年古刹三平寺一日游．该单位对参与选择秋游路线的职工进行抽样调查，并对秋游路线选择结果进行统计，将调查数据整理得到如下统计图： 若用样本估计总体，以下说法正确的是(　　) A．29周岁以上参与选择秋游路线的职工人数占总参与人数的75% B．51周岁以上的职工参与选择秋游路线人数最少 C．30～40周岁的职工可支付旅游费用最少 D．丁路线最受欢迎 [解析]　对于A，根据扇形图得，29周岁及以下参与选择秋游路线的职工人数占总参与人数的20%，所以29周岁以上参与选择秋游路线的职工人数占总参与人数的80%，错误；对于B，根据扇形图得，51周岁以上的职工参与选择秋游路线人数占比为10%，对应人数最少，正确；对于C，根据折线图得，30～40周岁的职工可支付旅游费用最少，正确；对于D，根据条形图得，丁路线被选择的占比最高，最受欢迎，正确． [答案]　BCD 二、填空题 6．(5分)在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本容量是________． [解析]　设中间长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝(1－x)，解得x＝，即中间一组的频率为，∴＝，解得n＝40. [答案]　40 7．(5分)某校高一的320名学生，在计算机技能培训前后分别参加了一次水平相同的测试，分数都以统一标准划分成“不合格”“合格”“优秀”三个等级．为了了解计算机技能培训的效果，用抽签的方式得到其中32名学生的两次测试等级，绘制成如图所示的条形图．请结合图中信息回答下列问题： (1)这32名学生经过培训后，等级“不合格”的百分比由________下降到________； (2)估计该校高一全体学生中，培训后等级为“合格”和“优秀”的学生共有________名． [解析]　(1)×100%＝75%，×100%＝25%.所以这32名学生经过培训后，等级“不合格”的百分比由75%下降到25%. (2)因为样本中培训后等级为“合格”和“优秀”的百分比为×100%＝75%，所以估计该校高一全体学生中，培训后等级为“合格”和“优秀”的人数也大致占到总人数的75%，即320×75%＝240(名)． [答案]　(1)75%　25%　(2)240 8．(5分)为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用按比例分配分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入(单位：元)在[1500,2000)内的应抽取________人． [解析]　月收入在[1500,2000)内的频率为1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)． [答案]　40 三、解答题 9．(10分)为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组(单位：岁) 频数 频率 [20,25) 5 0.05 [25,30) ① 0.20 [30,35) 35 ② [35,40) 30 0.30 [40,45] 10 0.10 合计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数． [解]　(1)设年龄在[25,30)岁的频数为x，年龄在[30,35)岁的频率为y. 解法一：根据题意可得＝0.20，＝y， 解得x＝20，y＝0.35，故①处应填20，②处应填0.35. 解法二：由题意得5＋x＋35＋30＋10＝100， 0．05＋0.20＋y＋0.30＋0.10＝1， 解得x＝20，y＝0.35，故①处填20，②处填0.35. (2)由频率分布表知年龄在[25,30)岁的频率是0.20，组距是5.所以＝＝0.04. 补全频率分布直方图如图所示． 根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为500×0.35＝175. 10．(10分)新能源共享汽车入驻某地一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解新能源共享汽车使用者的年龄段、使用频率、满意度三个方面的信息，在全市范围内发放5000份调查问卷，并将回收到的有效问卷3125份为样本，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格： 表(一) 使用者 年龄段 25岁及 以下 26～35岁 36～45岁 46岁及以上 人数 20 40 10 10 表(二) 使用 频率 0～6 次/月 7～14 次/月 15～22 次/月 23～31 次/月 人数 5 10 20 5 表(三) 满意度 非常满意 (9～10) 满意 (8～9) 一般 (7～8) 不满意 (6～7) 人数 15 10 10 5 (1)依据上述表格完成下列三个统计图形； (2)某城区现有常住人口30万，试估计该城区年龄在26～35岁之间，每月使用新能源共享汽车在7～14次的人数． [解]　(1)根据表中数据得，三个统计图如图所示． (2)由题中表(一)，知样本中26～35岁使用者的人数为40，占总抽取人数的一半，所以用样本估计总体，该城区30万人口中年龄在26～35岁的约有30×＝15(万人)； 又样本中年龄在26～35岁的使用者每月使用新能源共享汽车在7～14次的有10人，占总抽取人数的，所以用样本估计总体，该城区年龄在26～35岁的15万人中每月使用新能源共享汽车7～14次的约有15×＝3.75(万人)． 所以估计该城区年龄在26～35岁常住人口中每月使用新能源共享汽车7～14次的人数约为3.75万． 能力提升 11．(6分)(多选)企业的核心竞争力需要大量研发投入和研发活动作为支撑．研发营收比是指企业的研发投入与营业收入的比值，是一个企业研发投入情况的一项重要指标，如图是某公司2017年到2023年的研发投入和研发营收比的情况，则下列结论正确的是(　　) A．该公司的研发投入逐年增加 B．该公司2023年的营业收入超过550亿元 C．2020年该公司的研发营收比最大 D．2020年该公司的营业收入达到最大值 [解析]　由折线图和条形图可知，该公司研发投入逐年增加，A正确；该公司2023年的营业收入为＝537.5(亿元)，没有超过550亿元，故B错；2020年该公司的研发营收比为21%，是最大值，C正确；2020年的营业收入为＝304.77<537.5(亿元)，即小于2023年的，故D错． [答案]　AC 12．(6分)(多选)供电部门对某社区1000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则有关这1000位居民，下列说法正确的是(　　) A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B．12月份人均用电量在[20,30)内的有300人 C．12月份人均用电量不低于20度的有500人 D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为 [解析]　根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10＝400(人)，A正确；12月份人均用电量在[20,30)内的人数为1000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有1000×0.5＝500(人)，C正确；用电量在[30,40)内的有0.01×10×1000＝100(人)，所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为＝，D错误． [答案]　ABC 13．(5分)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图： 下面的结论： ①新农村建设后，种植收入减少；②新农村建设后，其他收入增加了一倍以上；③新农村建设后，养殖收入增加了一倍；④新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半．其中错误的是________． [解析]　设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a，新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的． [答案]　① 14．(10分)为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约有1000万人，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示． (1)估计该城市50岁及以上且已签约家庭医生的居民人数； (2)据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年龄18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由． [解]　(1)估计该城市50～60岁签约的居民有1000×0.015×10×55.7%＝83.55(万人)；60～70岁签约的居民有1000×0.010×10×61.7%＝61.7(万人)；70～80岁签约的居民有1000×0.004×10×70.0%＝28(万人)；80岁及以上签约的居民有1000×0.003×10×75.8%＝22.74(万人)． 故估计该城市50岁及以上且已签约家庭医生的居民有83.55＋61.7＋28＋22.74＝195.99(万人)． (2)着重提高30～50岁年龄段的签约率．由题意可估计该城市年龄在10～20岁的居民有1000×0.005×10＝50(万人)；年龄在20～30岁的居民有1000×0.018×10＝180(万人)． 所以估计该城市居民年龄在18～30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%； 估计该城市居民年龄在30～50岁的有1000×0.037×10＝370(万人)，签约率为37.1%； 估计该城市居民年龄在50岁及以上的有1000×0.032×10＝320(万人)，签约率超过55%，上升空间不大． 故由以上数据可知该城市居民在30～50岁这个年龄段的人数约为370万，与其他年龄段相比人数是最多的，且签约率与55%相比较低， 所以为把该城市满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高30～50岁这个年龄段的签约率． 拓展探究 15．(11分)某市2019年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． [解]　(1)频率分布表： 分组 频数 频率 [41,51) 2 [51,61) 1 [61,71) 4 [71,81) 6 [81,91) 10 [91,101) 5 [101,111] 2 (2)频率分布直方图如图所示． (3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好． ②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$