2024-2025学年下学期高一数学人教A版必修第二册第9章统计9.1.2分层随机抽样

分层随机抽样 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(6分)(多选)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查 D．青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 2．(5分)问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会． 方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.分层抽样．其中问题与方法能配对的是(　　) A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅱ，②Ⅰ C．①Ⅰ，②Ⅰ D．①Ⅱ，②Ⅱ 3．(5分)将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取(　　) A．12,6,3 B．12,3,6 C．3,6,12 D．3,12,6 4．(5分)某房地产公司为了解小区业主对平层户型与复式户型的满意度，采用按比例分配的分层随机抽样的方法对该小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8,30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9.则用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为(　　) A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7 5．(6分)(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　) A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 二、填空题 6．(5分)一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________． 7．(5分)一个总体分为A，B两层，用比例分配的分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为________． 8．(5分)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)： 武术组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高三 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为________． 三、解答题 9．(10分)一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． 10．(10分)某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平． 能力提升 11．(5分)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣(　　) A．104人 B．108人 C．112人 D．120人 12．(6分)(多选)某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层随机抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可以是(　　) A．n＝360，m＝14 B．n＝420，m＝15 C．n＝540，m＝18 D．n＝660，m＝19 13．(5分)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表： 产品类型 A B C 产品数量/件 1300 样本量 130 由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据被污染了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，则C产品的数量为________． 14．(10分)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为，，. (1)根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式． (2)如果样本量是按比例分配，第1、2、3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明： ＋＋＝＋＋. 拓展探究 15．(12分)某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如表所示： 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1200 合计 160 320 480 1040 2000 (1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划，则应怎样抽选出席人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分层随机抽样 (时间：45分钟　分值：100分) 基础达标 一、选择题 1．(6分)(多选)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查 D．青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 [解析]　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；D中总体所含个体无差异，不适合用分层随机抽样；B、C中总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体上所占的百分比，适合用分层随机抽样． [答案]　BC 2．(5分)问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会． 方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.分层抽样．其中问题与方法能配对的是(　　) A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅱ，②Ⅰ C．①Ⅰ，②Ⅰ D．①Ⅱ，②Ⅱ [解析]　对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样． [答案]　B 3．(5分)将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取(　　) A．12,6,3 B．12,3,6 C．3,6,12 D．3,12,6 [解析]　由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×＝3, 21×＝6,21×＝12. [答案]　C 4．(5分)某房地产公司为了解小区业主对平层户型与复式户型的满意度，采用按比例分配的分层随机抽样的方法对该小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8,30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9.则用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为(　　) A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7 [解析]　估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为×8＋×9＝8.6. [答案]　C 5．(6分)(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　) A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 [解析]　由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所以B错误；设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，则有解得所以三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆，故C正确；由分层随机抽样的意义可知D也正确． [答案]　ACD 二、填空题 6．(5分)一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________． [解析]　抽取女运动员的人数为×28＝12. [答案]　12 7．(5分)一个总体分为A，B两层，用比例分配的分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为________． [解析]　因为用分层随机抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本，由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，所以总体中的个体数为20÷＝240. [答案]　240 8．(5分)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)： 武术组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高三 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为________． [解析]　由题意可知三个小组的人数比为60∶40∶(a＋20)，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，所以×30＝12，解得a＝30. [答案]　30 三、解答题 9．(10分)一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． [解]　因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用比例分配的分层抽样的方法．具体过程如下： ①将3万人分成5层，一个乡镇为一层． ②按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本： 300×＝60(人)，300×＝40(人)， 300×＝100(人)，300×＝40(人)， 300×＝60(人)． 各乡镇分别用比例分配的分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60. ③将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本． 10．(10分)某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平． [解]　该武警大队共有30＋30＋40＝100(人)，按比例分配得第一中队参加考核人数为×30＝9； 第二中队参加考核人数为×30＝9； 第三中队参加考核人数为×30＝12， 所以参加考核的30人的平均射击环数为×8.8＋×8.5＋×8.1＝8.43， 所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环． 能力提升 11．(5分)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣(　　) A．104人 B．108人 C．112人 D．120人 [解析]　由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×＝300×＝108. [答案]　B 12．(6分)(多选)某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层随机抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可以是(　　) A．n＝360，m＝14 B．n＝420，m＝15 C．n＝540，m＝18 D．n＝660，m＝19 [解析]　某单位共有老年人120人、中年人360人、青年人n人，样本中的中年人为6人，则样本中的老年人为120×＝2，青年人为n＝，故2＋6＋＝m，即8＋＝m.结合选项计算，可知A、B、D符合．故选ABD. [答案]　ABD 13．(5分)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表： 产品类型 A B C 产品数量/件 1300 样本量 130 由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据被污染了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，则C产品的数量为________． [解析]　由题易知抽样比为130∶1300＝1∶10，即每10件产品中抽取1件产品，又A产品的样本量比C产品的样本量多10，故C产品的数量是[(3000－1300)－100]×＝800(件)． [答案]　800 14．(10分)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为，，. (1)根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式． (2)如果样本量是按比例分配，第1、2、3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明： ＋＋＝＋＋. [解]　(1)不能，需要各层占总体的比例，设第1,2,3层占总体的比例分别为r，s，t(r＋s＋t＝1)，那么总体平均数为r＋s＋t. (2)证明：由样本量按比例分配，可知＝＝＝，变形得＝， ＝，＝. 因此， ＋＋＝＋＋. 拓展探究 15．(12分)某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如表所示： 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1200 合计 160 320 480 1040 2000 (1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划，则应怎样抽选出席人？ [解]　(1)因为身体状况会因年龄而有差异，所以要抽取40人调查身体状况，应采用按年龄分层随机抽样的方法．从老年人中抽取40×＝4(人)，从中年人中抽取40×＝12(人)，从青年人中抽取40×＝24(人)． (2)要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划，应采用按部门分层随机抽样法． 从管理部抽取25×＝2(人)，从技术开发部抽取25×＝4(人)，从营销部抽取25×＝6(人)，从生产部抽取25×＝13(人)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$