专题04 二次函数及其应用（分层训练）-2025年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题04 二次函数及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是 A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2 C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)2 3．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A．开口向下， B．开口向上， C．开口向下， D．开口向上， 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（，1） 6．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（　　） A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 7．如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．如图，抛物线（）经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将 绕 旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则的值为（  ） A． B． C． D． 11．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 12．如图，已知二次函数，它与轴交于、，且、位于原点两侧，与的正半轴交于，顶点在轴右侧的直线：上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝﹣1 B．abc＜0 C．b2﹣4ac＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝1 14．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论： ①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 16．当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝ ． 18．点在边长为的正方形的边上，点在边上，，则面积的最小值为 ． 19．如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 20．在同一平面直角坐标系内，将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图像函数的解析式是 ． 21．已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 22．已知抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与坐标轴有且只有两个公共点，对称轴为直线x＝1，且过点A(﹣1，﹣1)，则 （1）3a+c= ； （2）a= ． 23．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过(﹣1，0)、(5，0)两点，则关于x的一元二次方程a（x+h+2）2+k＝0的解是 ． 24．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是 （填序号）． 25．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 . 三、解答题 26．如图，点P在抛物线上，点与点关于轴对称，为抛物线上另一动点，交轴于点交轴于点．求的值． 27．如图，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）． 28．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），对称轴与轴交于点，为抛物线上对称轴左侧一点，直线交抛物线于另一点，点关于抛物线对称轴的对称点为，直线交抛物线对称轴于点．在点运动过程中，的长是否为一定值？若为定值，请求出其值；若不为定值，请求出其变化范围． 29．已知二次函数． (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 当时，则的取值范围为___________； 当（t为常数）时，随的增大而减小，则的取值范围是__________． 30．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，顶点为E． (1)求抛物线的解析式； (2)在图中作出该函数的图象并结合图象回答： ①该抛物线的对称轴为直线_______； ②该抛物线的最大值为_______． (3)①若，则______； ②当时，x的取值范围是______； ③方程的根是_____． 31．某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两个品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元． （1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）当每箱红富士苹果销售价定为80元时，每周可售出60箱，现决定降价销售．市场调查反映：销售价每降低1元，则每周可多售出4箱（销售单价不低于成本价）．当销售价为多少元时（结果取整数），销售红富士苹果每周的利润最大，最大利润为多少元？ 32．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”． （1）下列方程是“3系方程”的是_________（填序号即可）； ①；②；③． （2）若关于x的一元二次方程是“2系方程”． ①求证：； ②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值． 33．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 34．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 35．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点O与点D关于线段对称．    (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，P为上方的抛物线上的一个动点，连接交于点E．当的面积被直线分成的两部分时，求点P的坐标． (3)如图2，若直线沿过点D的直线m折叠后恰好经过点，请直接写出直线m与抛物线的交点Q的坐标． 【能力提升】 36．已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图，直线与抛物线的图象交于、两点，其中点的横坐标为，当时，根据图象求出的取值范； (3)在（2）的条件下， ①抛物线上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②连接，为线段上一动点（不与、重合）将沿翻折至，使与重合，点落在轴的下方，其中交线段于点，求的最小值． 37．在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点都是“潇洒点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点”． (1)小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式． (2)求a，b的值，及二次函数的顶点坐标． (3)将的图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，且，求当时，中y的最大值和最小值． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线表达式； (2)点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 39．如图，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）E是直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求的值； （3）在（2）的条件下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，Q是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标； (3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数及其应用（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 【答案】A 【知识点】图象法解一元二次不等式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】先求出二次函数表达式，再求出与x轴的交点坐标的横坐标，画出图像，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：将（0，4）代入y＝－x2＋b中得b=4， ∴y＝－x2＋4 设y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点， 令y=0，即－x2＋4=0，解得 ∴A（2，0）B（-2，0） 图像如下： 由图像可得：当－x2＋4≥0时的解集为：－2≤x≤2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是 A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2 C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)2 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数顶点式y=a(x-h)+k的对称轴为直线x=h对各选项逐一判断即可. 【详解】A、y=2x2-4的对称轴为x=0，故该选项不符合题意， B、y=2（x-2）2的对称轴为x=2，故该选项符合题意， C、y=2x2+2的对称轴为x=0，故该选项不符合题意， D、y=2（x+2）2对称轴为x=-2，故该选项不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k）；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=-求出对称轴． 3．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A．开口向下， B．开口向上， C．开口向下， D．开口向上， 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式中，，图象开口向上，，图象开口向下，顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中， ∵， ∴图象开口向下， ∴由顶点式可得顶点坐标为， 故选：A ． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象．可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．二次函数图象的顶点坐标是（    ） A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（，1） 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点式为， ∴顶点坐标为：（2，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的顶点式中的和的意义是解题的关键． 6．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（　　） A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先判断二次函数图象开口向上，再根据函数的对称性和增减性分析即可. 【详解】由二次函数的解析式可知，该函数图象开口向上 当或时， 因m，n是关于x方程的两个根 则当或时， 因此，m、n一定处于p、q中间，只有选项C符合 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的解析式判断出函数图象开口向上是解题关键. 7．如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、y=ax²+bx+c的最值、求一次函数解析式、坐标与图形 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，两点间距离公式，二次函数的性质，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，设直线解析式为，可得，设点，则，由为中点得，进而得，利用二次函数的性质即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，， 设直线解析式为，把，代入得， ， 解答， ∴， 设点，则， ∴为中点， ∴， ∴， ∵， ∴时，取最小值， 当时，， ∴， 故选：． 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由二次函数的图象得出二次函数开口向下，对称轴在轴右侧，交轴于正半轴，推出，，，再结合一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由图象可得：二次函数开口向下，对称轴在轴右侧，交轴于正半轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴一次函数的图象不经过第二象限， 故选：B． 9．如图，抛物线（）经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， a＜0； ∵抛物线的对称轴为直线x1＜0， ∴b＜0； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝-1， ∴1， ∴b＝2a， ∵经过点 ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0， ∴4a+4a+c＝0， ∴8a+c＝0， 故②正确； ∴当x＝-1时，y最大，即对于任意实数m有a-b+c≥am2+bm+c， ∴am2+bm≤a-b， ∴ 故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝-1，与x轴的一个交点是（2，0）， ∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣4，0）， ∵b＝2a，8a+c＝0 ∴y＝ax2+2ax﹣8a＝a（x+1）2﹣9a（a＜0）， ∴顶点坐标为（-1，﹣9a）， 由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝-3，-2，-1，0，1， 又∵x＝-3与x＝1时，关于直线x＝-1轴对称 ∴存在P使得根为x＝-3与x＝1； 又∵x＝-2与x＝0时，关于直线x＝-1轴对称 ∴存在P使得根为x＝-2与x＝0； 当x＝-1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点． 存在P使得根为x＝-1 所以P值可以有3个．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 10．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将 绕 旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C10的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解． 【详解】解：令y=0，则-x（x-3）=0， 解得x1=0，x2=3， ∴A1（3，0）， 由图可知，抛物线C10在x轴下方， 相当于抛物线C1向右平移3×9=27个单位，再沿x轴翻折得到， ∴抛物线C10的解析式为y=（x-27）（x-27-3）=（x-27）（x-30）， ∵P（28，m）在第10段抛物线C10上， ∴m=（28-27）×（28-30）=-2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减． 11．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， ∴关于x的方程的解为，； 故选C． 12．如图，已知二次函数，它与轴交于、，且、位于原点两侧，与的正半轴交于，顶点在轴右侧的直线：上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题综合考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键，先由抛物线解析式得到，利用抛物线的对称轴得到，由抛物线与y轴的交点位置易得，于是可对①进行判断；由顶点D在y轴右侧的直线：上可得b的范围，从而可判断②是否正确；由及顶点D在y轴右侧的直线：上，可得抛物线与x轴两交点之间的距离为定值，即可求得的长度及的大小． 【详解】解： ∵A，B两点位于y轴两侧，且对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵， 则， 函数图像交y轴于C点，则， ∴，即①正确； 又∵顶点坐标为，即， ∴，即 又∵，即 ∴即③正确； 又∵A，B两点位于y轴两侧，且对称轴在y轴的右侧 ∴，即， ∴，故②正确； ∵顶点的纵坐标为4，即的高为4 ∴的面积= ，故④正确； 故选：D． 13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线x＝﹣1 B．abc＜0 C．b2﹣4ac＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝1 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数的图象与性质逐一进行分析即可求出答案． 【详解】A、由抛物线图象得对称轴是直线x＝﹣1，选项A正确，故不符合题意； B、由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；对称轴﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，abc＞0，选项B错误，故符合题意； C、由抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，选项C正确，故不符合题意； D、由图象得抛物线与x轴交点的横坐标为1，﹣3，则方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝1，选项D正确，故不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴的交点的确定是解题的关键． 14．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论： ①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x=﹣＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1，且c＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确； ②已知x=﹣＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c＞0，故abc＞0，所以③不正确； ④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确； 因此正确的结论是①②④． 故选C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键． 15．如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确． 【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1， ∴， ∴， ∵抛物线交于y轴正半轴， ∴c>0， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于(-1,0)， ∴当x=-1时，， ∵， ∴将代入，得3a+c=0，故②正确； 根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1， 根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)， ∴y＞0时，有，故③错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1， 当x=-2时，， 当x=2时，， ∵，3a+c=0，a<0， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等． 二、填空题 16．当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：． ∵， ∴抛物线开口向下， 又 ，， 时，y取最小值，最小值为：， 图象在轴上方， ， 解得， ； 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝ ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值． 【详解】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4， ∴A（4，0），B（2，﹣2）， 抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4， ∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点， ∴， 解得， ∴a+b+c2+4， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． 18．点在边长为的正方形的边上，点在边上，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】将绕点顺时针旋转得到，证明，则，，设，则，在中，由得出 ，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中， ∴ 设，则 ， 在中， 当时， ∴的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数与图形问题，构造二次函数关系式是解题的关键． 19．如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 20．在同一平面直角坐标系内，将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图像函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图像的平移，关键是将二次函数一般式化成顶点式．先将原解析式化成顶点式，再利用“左加右减上加下减”平移即可． 【详解】解：∵， ∴将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到图像函数的解析式是． 故答案为：． 21．已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 【答案】0或1或2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当时，原函数为一次函数，可求得与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为或，由此可得是正整数，则或． 【详解】解：当时，则，在中，当时，，即函数与x轴的交点的横坐标为1，符合题意； 当时，则当时，有， 解得或， ∵函数与x轴的交点横坐标为正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∴或； 综上所述，整数k的值为0或1或2， 故答案为：0或1或2． 22．已知抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与坐标轴有且只有两个公共点，对称轴为直线x＝1，且过点A(﹣1，﹣1)，则 （1）3a+c= ； （2）a= ． 【答案】 -1 或 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】(1)把点A代入解析式，得a-b+c= -1，对称轴具体化，得，消去b即可计算出3a+c的值． (2) 根据抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与坐标轴有且只有两个公共点，得抛物线经过原点或抛物线的顶点在x轴上，分类计算即可． 【详解】(1)∵抛物线y＝a+bx+c（a≠0）对称轴为直线x＝1，且过点A(﹣1，﹣1)， ∴a-b+c= -1，， ∴3a+c=-1， 故答案为：-1． (2) ∵抛物线y＝a+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且过点A(﹣1，﹣1)， ∴a-b+c= -1，，3a+c=-1， ∵根据抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与坐标轴有且只有两个公共点， ∴抛物线y＝a+bx+c（a≠0）经过原点且△＞0或△=0， 当抛物线y＝a+bx+c（a≠0）经过原点且△＞0时， ∴c=0，， ∴3a=-1， 解得a=； 当抛物线y＝a+bx+c（a≠0）且△=0时， ∴， ∴， ∴a=c或a=0(舍去)， ∵3a+c=-1， 解得a=； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，对称性，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的对称性，和与坐标轴交点应该满足的条件是解题的关键． 23．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过(﹣1，0)、(5，0)两点，则关于x的一元二次方程a（x+h+2）2+k＝0的解是 ． 【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣7 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】先利用关于y轴对称得到抛物线y＝a(x+h)2+k与x轴的交点的坐标为(1，0)，(﹣5，0)，由于把抛物线抛物线y＝a(x+h)2+k向左平移两个单位得到y＝a(x+h+2)2+k，所以抛物线y＝a(x+h+2)2+k与x轴的交点的坐标为(﹣1，0)，(﹣7，0)，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线y＝a(x﹣h)2+k与x轴的交点的坐标为(﹣1，0)、(5，0)， ∴抛物线y＝a(x+h)2+k与x轴的交点的坐标为(1，0)，(﹣5，0)， ∵把抛物线抛物线y＝a(x+h)2+k向左平移两个单位得到y＝a(x+h+2)2+k， ∴抛物线y＝a(x+h+2)2+k与x轴的交点的坐标为(﹣1，0)，(﹣7，0)， ∴关于x的一元二次方程a(x+h+2)2+k＝0的解为x1＝﹣1，x2＝﹣7． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣7． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的轴对称变化、二次函数的平移、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 24．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴为知，结合可判断①；由抛物线对称性知抛物线与x轴的另一个交点为，根据当时，函数图象位于x轴下方可判断②；由时知，即，根据可判断③；先由与y轴的交点B在和之间(包括这两点)知，再由可判断④． 【详解】解：①∵对称轴， ∴，即， ， ，即，此结论正确； ②∵抛物线与x轴的交点且对称轴为， 抛物线与x轴的另一个交点为， 由函数图象知当时，函数图象位于x轴下方， 即当时，，此结论正确； ③当时，， 则， 由知，即，此结论正确； ④∵与y轴的交点B在和之间（包括这两点）， ， 又，即，且， ， 则， 解得：，此结论正确； 故答案为：①②③④． 25．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 . 【答案】或或等. 【知识点】列二次函数关系式、求一次函数解析式 【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可． 【详解】符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一) 故答案为如或或等. 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 三、解答题 26．如图，点P在抛物线上，点与点关于轴对称，为抛物线上另一动点，交轴于点交轴于点．求的值． 【答案】1 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数交点问题，参数问题；先设出点、坐标，确定点坐标，进而得出直线、的解析式，可求得直线、与轴的交点，即可证得结论． 【详解】解：设点，则， 设的解析式为，代入，得 解得： 的解析式为， 令，则 ， 同理的解析式为， ， ． 27．如图，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先求出抛物线与x轴交点，设点E的横坐标为n，设过点P的直线的解析式为，联立可得，根据根与系数关系可求得，，设直线的解析式为，同法可得，则，所以，即可求解． 【详解】解：令，则由， 解得， ∵抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边）， ， 设点E的横坐标为n， 设过点P的直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， 由可得， 设是方程的两根， 则， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 同法可得， ， ， ∴， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题． 28．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），对称轴与轴交于点，为抛物线上对称轴左侧一点，直线交抛物线于另一点，点关于抛物线对称轴的对称点为，直线交抛物线对称轴于点．在点运动过程中，的长是否为一定值？若为定值，请求出其值；若不为定值，请求出其变化范围． 【答案】为定值，定值为 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根和系数的关系，二次函数与一次函数的交点问题，设解析式为，联立二次函数解析式可得，即得，，得到，，即得直线解析式为，同理可得的解析式为，又根据对称性可得，得到，即得到的解析式为，把点代入直线解析式可得，最后把代入直线得 ，即可得的长为一定值，定值为，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：的长为一定值． 设解析式为， 联立函数得，， 整理得，， ，， ，， ∴直线解析式为， 同理，的解析式为， ∵点与点关于抛物线对称轴对称，对称轴为直线， ， ∴， ， 即的解析式为， ∵直线经过点， ， 即， 把代入直线得， ， ， 即的长为一定值，定值为． 29．已知二次函数． (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 当时，则的取值范围为___________； 当（t为常数）时，随的增大而减小，则的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析； (2)； 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用列表、描点、连线的方法画二次函数图象的方法，以及能够结合图象，分析函数的性质． 先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象； 根据中的图象，即可得出的取值范围；先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 二次函数如图所示： （2）解：由图可知：当时，的取值范围为， 故答案为：； 由图可知，该二次函数对称轴为直线， 随的增大而减小， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 30．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，顶点为E． (1)求抛物线的解析式； (2)在图中作出该函数的图象并结合图象回答： ①该抛物线的对称轴为直线_______； ②该抛物线的最大值为_______． (3)①若，则______； ②当时，x的取值范围是______； ③方程的根是_____． 【答案】(1) (2)图形见解析，①，②4 (3)①0或2；②；③， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程根的关系，图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）将，，代入，可得三元一次方程组，解方程组，即可得出函数表达式； （2）经过，，，，画出函数图象，即得所求图象；再根据图象，即可得到①，②的答案； （3）①若，则，求解方程即得答案； ②根据抛物线与x轴的交点坐标与一元二次不等式的关系，即得答案； ③将方程变形为，再根据抛物线与x轴的交点与方程的根的关系，即可求得答案． 【详解】（1）将，，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 令，则， ， 经过，，，，画出函数图象如图所示： 由图可知，①该抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． ②该抛物线的最大值为4； 故答案为：4． （3）①若，则， 解得，； 故答案为：0或2． ②抛物线与x轴的交点为，， 方程的根为，， ， 抛物线开口向下， 当时，x的取值范围是； 故答案为：． ③， ， 整理得， 由题意，抛物线与x轴的交点为，， 方程的根为，， 即方程的根是，． 故答案为：，． 31．某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两个品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元． （1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）当每箱红富士苹果销售价定为80元时，每周可售出60箱，现决定降价销售．市场调查反映：销售价每降低1元，则每周可多售出4箱（销售单价不低于成本价）．当销售价为多少元时（结果取整数），销售红富士苹果每周的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每箱红富士苹果的进价为元，每箱新红星苹果的进价为元；（2）或时，最大利润为元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每箱红富士苹果的进价为元，每箱新红星苹果的进价为元，根据题意，列出二元一次方程组解决问题； （2）设每箱红富士苹果销售价为 元，利润为，列出关于函数关系式，根据二次函数的性质求得最值． 【详解】（1）设每箱红富士苹果的进价为元，每箱新红星苹果的进价为元，根据题意，得： 解得 答：每箱红富士苹果的进价为元，每箱新红星苹果的进价为元． （2）设每箱红富士苹果销售价为 元，利润为元， 则 当时，最大值为元． 取整数， 或时，最大利润为元． 答：当 或时，销售红富士苹果每周的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组或者函数解析式是解题的关键． 32．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”． （1）下列方程是“3系方程”的是_________（填序号即可）； ①；②；③． （2）若关于x的一元二次方程是“2系方程”． ①求证：； ②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值． 【答案】（1）①③；（2）①见解析；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据“k系方程”的定义判断即可； （2）①设方程的两个根为，根据“k系方程”的定义可得：，则根据韦达定理可得到方程组，消去整理可证得；②根据题意函数，将①求证的结论代入，即为：，则函数对称轴为直线，根据x范围左右两个临界值与对称轴的差值的大小关系进行分类讨论，得出a 的范围，再由题目所给最大值为1，进而精确得出a的值即可． 【详解】解：（1）①，解得：， 可得，则①是“3系方程”． ②，解得：， 可得，则②不满足“3系方程”的定义，不是“3系方程”． ③，解得：， 可得，则③是“3系方程”． 故答案为：①③． （2）①设方程的两根为， ∵原方程为“2系方程”，则， ∴，， 方程组，消去得：， ∴，即． ②∵原方程为“2系方程”，由①得：， 又∵， ∴， ∴函数即为：，且， 函数对称轴为：， 当，即时，， 解得：，又，故此时无解； 当，即时，， 解得：，又，故此时． 综上所述，满足条件的a的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，清楚“k系方程”的定义以及熟练运用二次函数的图象与性质是解题的关键． 33．综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，S的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或 或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案； （3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案． 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在． ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点； ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或， 综上所述，点M的坐标为或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 34．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解； （2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 综上所述，． （2）解：由（1）可知，当时，， ∴当时，利润为元； 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴当时，利润为元； ∵， ∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 35．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点O与点D关于线段对称．    (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，P为上方的抛物线上的一个动点，连接交于点E．当的面积被直线分成的两部分时，求点P的坐标． (3)如图2，若直线沿过点D的直线m折叠后恰好经过点，请直接写出直线m与抛物线的交点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）根据的面积被直线分成的两部分，得到或，求出点坐标，进而得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，进而求出点的对应点的坐标，进而求出的中点坐标，该点在直线m上，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点O与点D关于线段对称， ∴是的垂直平分线， 设交于点，    则， ∴为的中点， ∴， 又为的中点， ∴， 的面积被直线分成的两部分时，有两种情况： ①， ∵， ∴， ∴， ∴点为点的中点与点的中点， ∵的中点坐标为：， ∴， 设的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当时， 同法可得：点为点的中点与点的中点， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴； 综上：或． （3）设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设点关于直线的对称点为， 则：在直线上，， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍掉）， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴的中点在直线上， 设直线的解析式为：， ∵，点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【能力提升】 36．已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图，直线与抛物线的图象交于、两点，其中点的横坐标为，当时，根据图象求出的取值范； (3)在（2）的条件下， ①抛物线上是否存在一点，使得，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②连接，为线段上一动点（不与、重合）将沿翻折至，使与重合，点落在轴的下方，其中交线段于点，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)当时，的取值范围为； (3)①存在，；②的最小值为 【知识点】其他问题(二次函数综合)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）令，解方程即可求得答案； （2）先求得，代入，即可得出，联立方程组可求得，观察图象即可得出答案； （3）①过点作，使，过点作轴，过点作于，过点作于，可证得，得出，，即，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得； ②过点作于，于，过点作于，利用面积法可得，即，当时，最小，此时，的值最小，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，得， 即， 解得：，， ，； （2）解：点的横坐标为，直线经过点， ， 把点代入， 得：， 解得：， ， 联立方程组， 解得：，， ， 由图象可得：当时，的取值范围为； （3）解：①抛物线上存在一点，使得． 如图，过点作，使，过点作轴，过点作于，过点作于， 则， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得， 解得：，， ； ②如图，过点作于，于，过点作于， ，，， ，， ， 由翻折得， ，， ， ， ，即， 当时，最小，此时，的值最小， 的最小值． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点，二次函数图象与不等式，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，角平分线性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 37．在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点都是“潇洒点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点”． (1)小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式． (2)求a，b的值，及二次函数的顶点坐标． (3)将的图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，且，求当时，中y的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为 (3)的范围内，当时，y取得最大值；当时，y取得最小值-3 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）利用待定系数法选两个“潇洒点”代入求解即可； （2）将两个函数表达式联立方程组，由△=0和“潇洒点”求出a、b即可解答； （3）根据图象平移规则“左加右减，上加下减”得到l2，将l2解析式和y=﹣x联立方程组，利用两点距离公式和根与系数关系求出m值，进而求出两个“潇洒点”的横坐标，利用二次函数的性质求出最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，设直线l的解析式为y=kx+b， 将“潇洒点”（﹣1，1）（2，﹣2）代入，得：k=-1，b=0， ∴直线l的解析式为y=﹣x； （2）解：令，即， 由题意，得，即①， 又∵抛物线经过点， ∴，即②， 由①②解得， 此时抛物线解析式为，顶点坐标为； （3）解：由题意，得抛物线的解析式为． ∵是上的两个“潇洒点”， ∴，且是方程的两根， ∴ ∴． 则， ∴，解得． ∴即的两根为， 在的图象上，顶点坐标为， ∵-1＜0，图象开口向下， ∴在的范围内，当时，y取得最大值， 当时，y取得最小值﹣3． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求一次函数的解析式、二次函数的图象的平移与性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数关系、解一元二次方程、两点坐标距离公式等知识，理解新定义，熟练掌握二次函数的性质，第（3）问的解答关键是利用根与系数关系得出求出m值，进而求出两个“潇洒点”的横坐标，最终得出x的取值范围． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线表达式； (2)点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为点的坐标为； (3)点的坐标为 或 ． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、三角函数综合 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）直接利用待定系数法即可求解析式； （2）先求出与的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，先求出的解析式，联立方程组可求解． 【详解】（1）解：点、，三点在抛物线上，将其代入抛物线中得： 解得： ∴抛物线的表达式为：． （2）解：如图，过点作于， ∵、， 又∵， ， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点， 又∵， ， ， ∴当 时，的最大值为 ∴点的坐标为． （3）(3)如图，当点在的下方时，设与轴的交点为， ∵， ∴点 设直线的解析式为： 把 代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 ， 故点； 当点在的上方时，设与轴的交点为， ∴点 设直线的解析式为： 把 代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 故点 综上所述：点的坐标为 或 ． 39．如图，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）E是直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求的值； （3）在（2）的条件下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，Q是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的顶点坐标为；（2） ；（3）抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、求角的正切值、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）先分别求出B、A、C三点坐标，过点E作轴，交x轴于点F，交于点D，设点E的坐标是，利用待定系数法求出直线BC的解析式，即可表示出点D的坐标，然后利用即可求出与x的函数关系式，利用二次函数求最值，并求出此时点E的坐标即可求出结论； （3）设点P的坐标是，根据平行四边形对角线的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的对角线互相平分和两点坐标的中点公式分别列出方程即可求出结论． 【详解】解：（1）． ∴二次函数的顶点坐标为； （2）令，则， ∴点B的坐标为． 令，即，解得，由图象可知，点A在点C的左侧， ∴，． 如下图，过点E作轴，交x轴于点F，交于点D， ∵E是直线上方抛物线上的一点， ∴设点E的坐标是，且． 设直线的解析式为， 将B、C两点坐标代入得 解得， ∴， 则点D的坐标是． ∴． ∴． ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是3． 此时点E的坐标是． 又∵点C的坐标是， ∴，． ∴； （3）存在．由（1）（2）可知，，， ∵点M在直线上，轴， ∴点M的坐标是． ∵的对称轴是直线， ∴设点Q的坐标是，点P的坐标是． ①当为对角线时，如下图， 由（2）可知点M的横坐标是2， ∵MP的中点即为AQ的中点 ∴，解得． 当时，， ∴点P的坐标是． ②当为对角线时，如下图， ∵MQ的中点即为AP的中点 ∴，解得． 当时，， ∴点P的坐标是． ③当为对角线时，如下图， ∵MA的中点即为PQ的中点 ∴，解得． 当时，． ∴点P的坐标是． 综上所述，抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是或或． 【点睛】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握求二次函数的顶点坐标、利用“铅垂高水平宽”求三角形的面积、利用二次函数求最值、求一个角的正切值和平行四边形的性质是解决此题的关键． 40．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B和C，与x轴的另一个交点为A． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线轴于点N，交直线于点G，若点G为的三等分点，求点M的坐标； (3)将线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段．现另有抛物线，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线与线段的交点个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用平移的性质求解、其他问题(二次函数综合) 【分析】利用一次函数求得点B和C，结合待定系数法求得抛物线的解析式； 设，，求得，，结合题意分两种情况求解即可求得m，进一步求得点M的坐标； 利用抛物线解析式求得点A和B，根据平移的性质可得，，且直线，根据题意列出，其判别式为，①当，直线与抛物线无交点；②当，直线与抛物线只有一个交点；③当，直线与抛物线有两个交点，如果方程的解与0的关系进一步判断与线段的交点即可． 【详解】（1）解：令，；令，， ，， 依题意得，解得， 则抛物线的解析式为； （2）解：根据题意得，，， ，， ∵点G为的三等分点， 或， 当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得，（舍去）； 当时，； 当时，． 点M的坐标为或 （3）解：∵另，，解得， ∴， ∵线段先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段， ∴，，且直线， 令，整理得， 其判别式为，， ①当，即时，直线与抛物线无交点； ②当，即时，直线与抛物线只有一个交点，此交点在线段上； ③当，即时，直线与抛物线有两个交点． 解方程得， 结合函数图象的性质可知， 若时，抛物线与线段只有一个交点，； 若时，抛物线与线段有两个交点，． 综上所述，当时，交点个数为0；当或时，交点个数为1；时，交点个数为2． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、解一元二次方程、判别式的意义和解不等式，解题的关键是熟练应用分类讨论和二次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$