5.3.2极大值与极小值（2）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第一册 第5章《导数及应用》 27 二月 2025 5.3.2 极大值与极小值（2） 1 学习目标 XUEXIMUBIAO 1. 理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2. 掌握函数在某一点取得极值的条件． 3. 掌握函数极值的判定及求法． 1.导数为零的点一定是函数的极值点.(　　) 2.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值.(　　) 3.若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数.(　　) 4.函数f(x)的极大值一定大于极小值.(　　) × × √ × 基础小练 温故知新 利用导数求函数极值的步骤： 例1求下列函数的极值，并画出函数的草图. 课堂展示 师生共研　含参数的函数求极值 例2　设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值. 解　由已知，得f′(x)＝6x[x－(a－1)]， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1， 当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]， 列表如下. x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值f(0)  极小值f(a－1)  ↗ ↗ ↗ 从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增， 在(0，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增. 综上，当a＝1时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)， 当a>1时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a－1，＋∞)，单调减区间为(0，a－1). (2)讨论f(x)的极值. 解　由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值. 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3. 跟踪训练2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R). (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1. 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)求函数f(x)的极值. ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. (2)求函数f(x)的极值. 1．复习利用导数求函数的极值的题型． 2．数形结合以及分类讨论思想的应用 ★ 课堂小结 请同学们交流一下本节课的收获！ 13 13 ★ 课堂检测 2.求函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)的极值 1.函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是 A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝1或－1或0 D.x＝0 (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. 当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 解　由f′(x)＝1－＝，x>0知， $$