专题01 平方根与立方根【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题01 平方根与立方根 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平方根 （1）平方根的定义：若，那么x叫做a的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方运算的被开方数必须是非负数（开方数≥0）才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0. （5）符号：a（a≥0）的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根； a（a≥0）的负的平方根可用-表示． （6） ⇌ （二）算术平方根 （1）算术平方根的定义： 若，且x＞0，那么正数x叫做a的算术平方根；记为。 规定：0的算术平方根是0. （2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有理数； 当a不是一个完全平方数时，是一个无理数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） (x≥0) ⇌ （6）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 （三）立方根 （1）立方根的定义：若，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”， 其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3） 一个正数有一个正的立方根； 0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。 （4） ⇌ （5），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 模块三 考点一遍过 考点1：平方根、立方根概念理解 典例1：若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【变式1】下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式2】  “平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 【变式3】一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 考点2：开平方、开立方运算 典例2：的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】  125的立方根为 ，的平方根为 ． 【变式3】的相反数是 ，25 的平方根是 ， 的立方根是 ． 考点3：平方根的运用性质 典例3：若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，且，则的值为（    ） A． B． C．1或5 D．或 【变式2】  一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【变式3】已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 考点4：运用平方根解方程 典例4：求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式1】求下列各式中的： (1)； (2)． 【变式2】  求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式3】解方程： (1) (2) 考点5：算术平方根的非负性 典例5：已知，则的值为（   ） A． B．0 C．6 D．1 【变式1】已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】  如果x，y为实数，且满足，那么的值是 ． 【变式3】若，则的值为 ． 考点6：算术平方根的规律探究 典例6：设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】  计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【变式3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 考点7：平方根、立方根的实际应用 典例7：小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【变式1】某快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有一款底面积为，长，宽，高的比分别为的长方体包装纸箱． (1)求这个长方体包装纸箱的长，宽，高各是多少？ (2)一顾客要邮寄甲乙两件正方体物品，它们的底面积分别为，，从节约材料的角度考虑，该快递公司的员工决定用这款长方体包装纸箱．如图所示，将甲乙两件正方体物品并排摆放在该长方体包装箱中．请问这名员工的想法能否实现，并说明理由． 【变式2】  如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【变式3】魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ． 考点8：平方根、立方根的综合 典例8：某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【变式1】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【变式2】  已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【变式3】如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根与立方根 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平方根 （1）平方根的定义：若，那么x叫做a的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方运算的被开方数必须是非负数（开方数≥0）才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0. （5）符号：a（a≥0）的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根； a（a≥0）的负的平方根可用-表示． （6） ⇌ （二）算术平方根 （1）算术平方根的定义： 若，且x＞0，那么正数x叫做a的算术平方根；记为。 规定：0的算术平方根是0. （2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有理数； 当a不是一个完全平方数时，是一个无理数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） (x≥0) ⇌ （6）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 （三）立方根 （1）立方根的定义：若，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”， 其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3） 一个正数有一个正的立方根； 0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。 （4） ⇌ （5），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 模块三 考点一遍过 考点1：平方根、立方根概念理解 典例1：若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题主要考查的是平方根有关的知识，熟记并灵活地掌握负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，本题即可解决 【详解】A．选项A正数一定有2个平方根，符合题意，正确； B．选项B负数没有平方根，错误； C．选项C整数既包括正整数也包括负整数，不一定有平方根，错误； D．选项D分数既包括正分数也包括负分数，不一定有平方根，错误； 故选：A． 【变式1】下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根概念的理解，根据“任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根”即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根，， ∴没有平方根， 故选：C． 【变式2】  “平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 【答案】真 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、平方根概念理解 【分析】本题考查了命题与逆命题，熟练掌握定义是解题的关键； 判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，然后根据平方根的定义判断逆命题的真假． 【详解】命题“平方根等于本身的数是0”的逆命题是0的平方根等于它本身，此逆命题为真命题． 故答案为∶真． 【变式3】一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 【答案】 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 考点2：开平方、开立方运算 典例2：的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，先求出的值，再进行开平方即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解决此题的关键． 【详解】解：，4的平方根为， 的平方根是， 故选：B． 【变式1】的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查立方根的定义，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， ， 则的值等于， 故选：B． 【变式2】  125的立方根为 ，的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟记立方根和平方根的定义．根据立方根，平方根的定义进行解答即可得． 【详解】解：∵， ∴125的立方根为：， ∵， 又∵， ∴， 故答案为：；． 【变式3】的相反数是 ，25 的平方根是 ， 的立方根是 ． 【答案】 / 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、相反数的定义 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，求一个数的平方根和立方根，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得第一空答案；对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴25 的平方根是； ∵， ∴ 的立方根是； 故答案为；；；． 考点3：平方根的运用性质 典例3：若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、平方根的应用 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 【变式1】若，，且，则的值为（    ） A． B． C．1或5 D．或 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、平方根的应用、绝对值的意义 【分析】本题主要考查绝对值和一个数平方的意义，根据题意求得m和n的值，再结合等式即可求得m和n的可能值，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴n大于m，且为负， ∴m为，n为， 则，或， 故选：D． 【变式2】  一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 【变式3】已知一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根是和 ∴， ， 即这个正数的两个平方根是， ∴这个正数是， 故答案为：4． 考点4：运用平方根解方程 典例4：求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了利用立方根和平方根解方程，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根定义． （1）先移项，然后将系数化为1，再开平方即可； （2）先移项，然后再开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边除以8得：， 开平方得：； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【变式1】求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】  求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 【变式3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）根据得，利用立方根解答即可． （2）根据，利用平方根解答即可． 本题考查了利用立方根，平方根解方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴或， 解得，． 考点5：算术平方根的非负性 典例5：已知，则的值为（   ） A． B．0 C．6 D．1 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查二次根式，平方以及绝对值的非负性，熟练掌握非负性是解题的关键．根据二次根式，平方以及绝对值的非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 要使， 故， 解得， ． 故选：A． 【变式1】已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、实数的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】  如果x，y为实数，且满足，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识点，掌握几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0成为解题的关键． 先根据非负数的性质得到，则，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】若，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 考点6：算术平方根的规律探究 典例6：设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 【变式1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2】  计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【答案】36 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：36． 【变式3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 考点7：平方根、立方根的实际应用 典例7：小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 【变式1】某快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有一款底面积为，长，宽，高的比分别为的长方体包装纸箱． (1)求这个长方体包装纸箱的长，宽，高各是多少？ (2)一顾客要邮寄甲乙两件正方体物品，它们的底面积分别为，，从节约材料的角度考虑，该快递公司的员工决定用这款长方体包装纸箱．如图所示，将甲乙两件正方体物品并排摆放在该长方体包装箱中．请问这名员工的想法能否实现，并说明理由． 【答案】(1)这个长方体包装纸箱的长，宽，高分别为，， (2)这名员工的想法能实现，理由见解析 【知识点】无理数的大小估算、平方根的应用 【分析】本题考查了长方体的表面积，正方形的面积，平方根的应用，无理数的估算，理解题意得出要求包装的纸箱的尺寸范围是解题的关键． （1）设这个长方体包装纸箱的长为，则宽为，高为，根据长方体的底面积等于长宽列方程，求解即可； （2）根据甲乙两件礼品的底面积大小，可以估计这两件礼品的底面边长大小，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，从而找到合适的纸箱． 【详解】（1）解：设这个长方体包装纸箱的长为，则宽为，高为， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 则 答：这个长方体包装纸箱的长，宽，高分别为，，． （2）解：设甲正方体物品棱长为，乙正方体物品棱长为， 由题意得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∵ ∴，长方体纸箱长满足条件， ∵， ∵， ∴，长方体纸箱宽、高均满足条件， ∴这名员工的想法能实现． 【变式2】  如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】立方根的实际应用、乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 【变式3】魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ． 【答案】(1) (2)边长为，面积为 (3)， 【知识点】立方根的实际应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴，勾股定理等等： （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据正方形面积计算公式求解即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：由勾股定理得， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为； （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 这个数的绝对值是． 故答案为：，． 考点8：平方根、立方根的综合 典例8：某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 【变式1】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1） 的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 【变式2】  已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查平方根和立方根的综合问题，求无理数的整数部分等知识，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先用的立方根是，求出a，结合的算术平方根是2求出b，由c是的整数部分求出c即可； （2）将（1）中的结论代入中求值，继而求出它的平方根． 【详解】（1）解： 的立方根是， ， ． 的算术平方根是2， ， ， ．， ∵， ∴， 又∵c是的整数部分， ． 综上所述：，，； （2），，， ， ， 的平方根是． 【变式3】如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$