课时15 图形的相似-【全程提优计划】2025年中考数学得高分

中考得高分全程提优计划·数学 》》 课时15图形的相似 一、选择题 1.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是 A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9 2.(2024·湖南)如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点.下列结论错误的是 A.DE∥BC B.△ADEP△ABC C.BC=2DE D.SE-N (第2题) (第3题) (第4题) 3.(2024·河南)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E为OC的中点，EF∥AB交BC 于点F.若AB=4,则EF的长为 () A司 B.1 c青 D.2 4.(2024·威海)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E在BC上，点F在CD上，连 接AE、AF、EF,EF交AC于点G.下列结论错误的是 () A若器裙则EF∥BD B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则EF∥BD C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD 二、填空题 5.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.添加一个条件使△ADEC∽ △ACB,则这个条件可以是 .(写出一种情况即可) (第5题) (第6题) (第7题) 6(2024·云南如图，AB与CD交于点O.且AC/Bn,若8路8S+部-名·则品 7.(2024·辽宁)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB与△DOC的面积比是1：4.若 AB=6,则CD的长度为 帽第一部分·一轮课时练 8.(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE= DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF的长度为 —30cm2cm+ (第8题) (第9题) (第10题) 9.(2024·杨州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的 方法.如图，燃烧的蜡烛AB(竖直放置)经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B',已知AB 36cm,A'B'=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm. 10.(2024·苏州)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CB=5,CA=10,点D、E分别在边AC、AB上 AE=5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△FDE,连接CE、CF.若△CEF的面积是 △BEC面积的2倍，则AD的长度为 三、解答题 山.(2024·广酬)如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=3,EC=6,CF=2.求 证：△ABE∽△ECF. 12.(2024·盐城)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线1，过点A作AD⊥1， 垂足为D,连接AC、BC. (1)求证：△ABC∽△ACD. (2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径. 中考得高分全程提优计划·数学 》》》》 13.(2024·德阳)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O,F为BC的 中点，连接AF与BD相交于点E,连接CE并延长交AB于点G. (1)求证：△BEF∽△BCO (2)求证：△BEG≌△AEG. 14.(2024·上海)如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. (1)求证：AD=DE·DC (2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF=CF=2BD,求证：CE=AD.CD=AD=2AC=3.∠BDC=60°，∴.△BCD是等边三角 3.,1十1<3，此时不能构成三角形，不符合题意.综上所 述，等腰三角形ABC的周长为21. 形，.BC=BD=3. 5.C解析：，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.：AD是 16. 解析：如图，过点N作ND⊥BC于点D.:∠C=90°， 边BC上的高，.∠ADB=∠ADC=90,∴.△ABD、△AED ∠B=60°，AB=2.∴.BC=1.设CM=BN=x(0≤r≤1)，则 △ACD都是直角三角形，.图中的直角三角形共有4个， 6.B解析：，'△ABC为等腰三角形，.AB=AC或AC=BC BD=号，ND=号MD=1-x-合x=1-号 当AC=BC=4时，AD+CD=AC=4,此时不满足三角形三 边关系定理：当AC=AB=3时，满足三角形三边关系定理. MN-ND+MD.MN=()+(1)= 综上所述，AC的长为3. 7,B解析：对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，故 是+1-x+r=3x-x+1=3(x-)+ A选项不符合题意：等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的 “当x=2时，MN心取得最小值子∴MN的最小值为2 对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角 的平分线垂直于这个角的对边，故B选项符合题意：只有直 角三角形才有两个锐角的和等于90°，故C选项不符合题意： 对于任意一个三角形都有内角和等于180°，故D选项不符合 题意 8.12解析：，在R1△BAC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的 中点，AD=6.5,∴.BC=2AD=13,∴.AC=BC-AB 课时15图形的相似 /132-5=12. 1.D解析：，两个相似三角形的相似比是1：3，.这两个相 9.3解析：：CD为R△ABC斜边AB上的中线，CD=5, 似三角形的面积比是12：3=1：9. AB=2CD=10.:∠ACB=90,AC=8,.BC=√AB-AC= 2.D解析：，D、E分别为边AB、AC的中点，.DE是△ABC 的中位线，DE∥BC,BC=2DE,故A、C选项不符合题意： 10-8=6.:E为AC的中点，.DE是△ABC的中位 :DE∥BC,.△ADE∽△ABC,放B选项不符合题意： 线，∴DE=号BC=3 :△ADE△ABC,恶=(B)=子，则SE S△A 10.6解析：：∠ACB=90°，DE⊥BC,.DE∥AC.:D是AB 1 的中点，.E是BC的中点，AB=2CD=10,.BC=2BE= S△放D选项符合题意。 8,.AC=AB-BC2=√10-8=6. 3.B解析：：四边形ABCD是平行四边形，.OC=2AC 11.100°解析：：AC=AE,BC=BD,.可设∠AEC=∠ACE x°，∠BDC=∠BCD=y..∠A=180°-2.x,∠B=180° 2y.:∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+∠AEC+ E为0c的中点，CE=号0C=子AC,EF/AB, ∠DCE=180°，.∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)= △CE△CAB,需-需即其-F=1 180,y+x+∠DCE-180,∠ACB+360°-2(x+y)= 4.D解析：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB 180°，.∠ACB+2∠DCE=180°，，∠DCE=40°， .∠ACB=100. m:得-0∴得-%又：∠BF=∠D, 12.2解析：“，AB=AC,.∠ABC=∠C.,∠A+∠ABC+ ∴.△CEF∽△CBD,∴∠CEF-∠CBD,.∴EF∥BD,故A选 ∠C=180°，∠A=36°，.∠ABC=∠C=72°.：BD平分 项正确：：AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,∴.CA是∠BCD的 ∠ABC,∠CBD=∠ABD=36.∴.∠BDC=180°-∠C 平分线，∠ACB=∠ACD.:AD∥BC,∴.∠DAC= ∠CBD=180°-72-36°=72°，.∠BDC=∠C,∴.BD= ∠ACB,∴.∠DAC=∠DCA,∴.AD=D.∴.四边形ABD BC=2.∠A=36,∠ABD=36,.∠A=∠ABD,∴.AD 是菱形，∴AC⊥BD.在R1△ACE和R1△ACF中， BD=2. 13.5解析：由作图可知，AD=AB=5. AAC:R△ACE2R△ACF(HLCE=CE,叉 14.2解析：如图，过点B作BH⊥AC于点H,设BH=x ,'AE=AF,,AC⊥EF,,EF∥BD,故B选项正确：，CE ∠A=45°∴.△ABH是等腰直角三角形，∴AB一2BH= CF,∴.∠CFE=∠CEF.'EF∥BD,∴.∠CBD=∠CEF, ∠CDB=∠CFE,.∠CBD-∠CDB,'.CB=CD,.四边形 C-30BC-2BH=2r.ithi A-B2. ABCD是菱形..AC⊥BD.又'EF∥BD,,AC⊥EF.CE CF,∴.AC垂直平分EF,∴.AE=AF,∴∠EAC=∠FAC.故 C选项正确：，'AB=AD,.四边形ABCD是菱形.当AE AF,且BE=DF时，才能得出AC垂直平分EF,从而由 AC⊥BD,得出EF∥BD,故D选项错误 H 5.∠ADE=∠C(答案不唯一) 15.21解析：，等腰三角形ABC是“3倍长三角形"，.AB= 3BC或BC=3AB.若AB=3BC=9,则△ABC三边长分别6.2 解析：AC/BD,△A0C0△BOD,∴ 是9、9、3，符合题意，等腰三角形ABC的周长为9十9十3= OA+OC+ACAC ..OA+OXC+AC1 AC1 21:若BC=3AB=3,则AB=1,△ABC三边长分别是1、1、 OB+OD+BDBD··OB+OD+BD2“BD2 14 712解折：AB∥cD.△M0B△0C六等提- 后-T=&“△Ao△ACD.∴8-6.9 5 (偎)=0-AB=6是=号心=12 号AB=空∴⊙0的半径为器 8.3解析：CD=CA.DE∥CB.AF=EF,.CF是△ADE 的中位线，∴.DE=2CF=2.,DE=DC,AC=2CF=2 :∠CAB=∠CFA,∠BCA=∠ACF,∴·△CBAC△CAF, .AC:BC=FC:AC,..2:BC=1:2,..BC=4,..BF= BC-FC=3. 9.20解析：设小孔O到A'B'的距离为xcm.根据题意得 △A00△AB0.∴惜-盟-2解得r=2n 13.证明：(1)四边形ABCD是菱形，，，AB=BC,AC⊥BD.又 ,∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形，，.AB=AC 10.19解析：：AE=5AD,可设AD=,AE=5x. F为BC的中点，.AF⊥BC.∴.∠BFE=∠BC=90, 3 又：∠EBF=∠CBO,∴.△BEF∽△BCO :△ADE沿DE翻折得到△FDE,∴.DF=AD=x,∠ADE (2),BO⊥AC,AF⊥BC,,∴.CG⊥AB,∴.∠BGE=∠AGE ∠FDE.如图，过点E作EH⊥AC于点H,设EF与AC相 90°.又，AC=BC,∴.BG=AG.在△BEG和△AECG中， 交于点M,则∠AHE=∠ACB=90°.又：∠A=∠A, BG=AG. △AHEAACE.畏=是=怎：CB=5.CA ∠BGE=∠AGE,,.△BEG≌△AEG(SAS) GE-GE. 10∴4B=c+=+=55明=0- 14.证明：(1)，四边形ACD是矩形，.∠BAD=90°，∠ADE= 5.:.EH-x.AH-2x.DH=AH-AD-x-EH. 90°，AB=DC,∴.∠ABD+∠ADB=90°.，AE⊥BD, 5w5 ∠DAE+∠ADB=90°，∴.∠ABD=∠DAE.∠BAD ∴.R△EHD是等腰直角三角形，∴.∠HDE=∠HED ∠ADE-9O△BAD△ADE,R-器AD- 45.则∠ADE=∠EDF=135°，∴.∠FDM=135-45 ∠FDM=∠EHM=90°， DE·BA.AB=DC,.AD=DE·DC. 90.在△FDM和△EHM中， ∠DMF=∠HME, (2)如图，连接AC交BD于点D.,四边形ABCD是矩形， DF=HE. ∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90.'AE⊥BD. ∴.∠DAE+∠ADB=90°，∴.∠ADB=∠AED.:∠FEC= ∴△FDMe△EHMAAS)..DM=HM=,CM=AC ∠AED,.∠ADO=∠FEC.:四边形ABCD是矩形， AD-DM-10-号∴Sm=SE+Se=号OM,EH+ OA=OD=专BD.:EF=CF=号BD,OA=OD= 2MDF=2(10-号x)·x+x)=(10-2x）·x FEF=CF,∴，∠ADO=∠OAD,∠FFC=∠FCE,∠ADO= ∠FEC.∴.∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE.在△ODA Sm=Sm-5m=号X10X5-7×10·x=25 ∠(ODA=∠FEC. 和△FEC中，∠OAD=∠FCE,.△ODA≌△FEC(AAS), 5x.:△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，∴.(10 OD=FE, ..CE=AD. x·r=2(25-5x,整理，得32-40x+100=0,解 0 =10(含去)，即AD=19. 3 D 课时16解直角三角形及其应用 11.证明：：BE=3,EC=6,CF=2,BC=3十6=9.：四边形1.B解析：如图，过点A作BC的垂线，垂足为M在R△ABM ACD是正方形AB=C=9,∠B=∠C=0,瓷- 中，mB谱AM=5X号=4BM=Va5=AF= 号-号8票-号瓷-器△MBEn△CE /6-4F=3.又，AB=AC,∴.BC=2BM=6. 12.(1)证明：如图，连接C(是⊙O的切线，.C⊥.，AD 1,∴CC∥AD.∴·∠CAD-∠ACO=∠CAB.∠D=∠ACB 90,∴.△ABC△ACD. (2)解：AC=5,CD=4,∠D=90,∴.AD=AC-CD= 15