课时10 二次函数与方程(组)、不等式(组)-【全程提优计划】2025年中考数学得高分

第一部分·一轮课时练 课时10二次函数与方程（组）、不等式（组） 一、选择题 1.一元二次方程a.x2十bx十c=0的两个根为一3和一1，则二次函数y=ax2十bx十c的对称轴是 ( A.x=-2 B.x=2 C.x=-3 D.x=-1 2.(2024·贵州)如图，二次函数y=.x2+bx十c的部分图像与x轴的一个交点 (-1,4) 的横坐标是一3，顶点坐标为（一1,4），则下列说法正确的是 () A.二次函数图像的对称轴是直线x一1 B.二次函数图像与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<一1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图像与y轴的交点的纵坐标是3 3.(2024·甘孜州)二次函数y=a.x2十bx十c(a>0)的图像如图所示，给出下 列结论：①c<0:②一品>0：③当-1<<3时，<0.其中所有正确结论 的序号是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 4.(2024·济宁)将抛物线y=x2一6x十12向下平移k个单位长度，若平移后得到的抛物线与x轴 有公共点，则k的取值范围为 5.(2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a.x2十bx十3与x轴相交于点A、B,点 B的坐标为(3,0).若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 6.(2024·通辽)关于抛物线y=x2一2m.x十m2十m一4(m是常数)，下列结论正确的是 (填 写所有正确结论的序号) ①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴： ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=一4： ③若点A(m一2，y)、B(m十1,2)在抛物线上，则y1<; ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y一x的距离都等于2√2. 中考得高分全程提优计划·数学 》》》》》 三、解答题 7.在平面直角坐标系zOy中，点(1，”)、(3，之)在抛物线y=x2一2x十2上 (1)该抛物线的顶点坐标为 (2)若y1<2,求m的取值范围. (3)若点(xo,%)在抛物线上，存在一1<x0<0,使M<%<2成立，求m的取值范围. 8.设直线1：y=kx+1与抛物线y=2交于MN两点，点A在直线y=-1上，且∠MAN=90, 过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和I于点B、C.求证：△MAB与△MBC的面积相等. 9.(2024·南通通州区二模)如图，直线y=kx十b(6>0)与抛物线y=2相交于A、B两点（点A 在点B的左侧)，与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C.设△OCD的面积为S,且kS十 2=0.过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E,过点C、E分别作x轴的平行线1、l2,直线l (不平行于y轴)与抛物线y=子2有唯一公共点，分别交4于P,Q两点. (1)求b的值. (2)求点E的纵坐标. (3)探究CP一CQ是否为定值.若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.4=3十3十4=10. 2×(-0)-2×(-0=-2 2.D解析：：顶点坐标为（一1,4），∴.对称轴是直线x=一1， 故A选项错误；由二次函数的对称性可知，（一3,0）关于x 一1对称的点为(1,0)，故B选项错误：二次函数的图像开口 向下，当x<一1时，y随x的增大而增大，故C选项错误：设 (x-2+k 二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4,把(-3,0)代入，得 a=-1,∴y=-(x十1)2+4，令x=0,得y=3,∴.二次函数 15.解：(1)二次函数的图像经过点O(0,0)、A(4,0)、B(1,3), 与y轴的交点的纵坐标是3，故D选项正确. 0=c, 3.D解析：，函数图像与y轴交于负半轴，当x=0时，y= 把这三点坐标代人表达式，得 0=16a+4b+c,解得 c<0,故①正确：根据函数图像可得，二次函数的对称轴是直 3=a+b+c, a=-1, 线x=一会-3=1>0，放②正确：当工=-1或 2 〈b=4,,二次函数的表达式为y=一x2十4x设直线AB 3时，y=0,且抛物线y=ax2+bx十c开口向上，.当-1< c=0, x<3时，y<0,故③正确.综上所述，所有正确结论的序号是 的函数表达式为y=x十n,把A、B两点的坐标代入，得 ①②③. [二十解得一直线AB的函数表达式为)y= 4.≥3解析：将抛物线y=2-6x十12向下平移k个单位长 3=k+n, n=4, 度后得y=x2一6x十12一点.，平移后得到的抛物线与x轴 一x十4，令x=0,得y=4,.点C的坐标为(0,4) 有公共点，∴.(-6)2一4×1×(12-)≥0，解得k≥3. (2)①如图1.：点P在直线AB的上方，∴1<m<4.由题5.4解析：：抛物线y=ax2+bx十3过点B(3,0)、C(2,3), 知，P(m,-m2+4m)、D(m,-m+4),∴.PD=3p-yo 9a+3b+3=0 解得a二。-1：抛物线的表达式为y -m+m+m-4=-m+5m-4=-(m-)'+是， l4a+2b+3=3 1b=2, ∴当m=号时，PD取得最大值，最大值为是 一2+2x十3，∴抛物线的对称轴是直线x=一2×-万 2 1.抛物线与x轴的一个交点为B(3,0),∴另一个交点为 A(-1,0),,AB=3-(-1)=4. 6.①④解析：当m=0时，抛物线为y=x2一4，∴.抛物线的对 称轴是y轴，故①正确：，此抛物线与x轴只有一个公共点， ∴.（一2m)2-4·1·(m2+m一4）=一4m十16=0，解得m= 4,故②错误：，抛物线y=x一2mr十m2十m一4的对称轴 图1 是直线x=一2及-m,且开口向上，心抛物线上的点离对 ②存在，理由如下：：∠BDP=∠ADE,∠ADE=∠ACO, 称轴越近，其函数值越小，又：A(m一2，y)、B(m+1,为)， ∴∠BDP=∠ACO.:△AOC是直角三角形，∴要使 .m-2-m=2,m十1-m=1,2>1,.为>，故③ △BPD与△AOC相似，只要保证△BPD是直角三角形就 错误，抛物线y=x2一2mx十m十m一4的对称轴是直线 可以.(i)如图2，当△BPD∽△AOC时，∠BPD=∠AOC= x=m,顶点坐标为(m,m一4)，.其顶点在直线y=x一4上， 90°，此时BP∥x轴，B、P两点关于对称轴对称，，P(3,3): 又，直线y=x与y=x一4平行，顶点到直线y=x的距 (i)如图3，当△PBDx∽△AOC时，∠PBD=∠AOC=90°， 离等于两条平行线间的距离，又，直线y=x一4与y轴的夹 AB⊥PB.kc=-1,km=1,.直线BP的函数表达 角为45°，且y=x一4是y=x向下平移4个单位长度得到 式为y=+2联立方程组得{)4解得{二3或 y=x+2, 的，两平行线间的距离为4sn45°=4×号=22，“顶点 2 x=2:P(2,4).综上所述，存在点P使得△BPD与 到直线y■x的距离为2√2，故④正确.综上所述，结论正确 y=4, 的是①④. △AOC相似，此时点P的坐标为(3,3)或(2,4) 7.(1)(m,0)解析：：y=x2一2mx十m=(x一m)2,.抛物线 的顶点坐标为(m,0). (2)解：：点(1，)、(3，为)在抛物线y=x2-2x十m2上， 且h<2,.1-2m十m2<9一6m十m,解得m<2. (3)解：当<%<%时，|1一m<|x0一m<|3-m|, 六m-2m+1<m2-2m+<m-6m+9,解得，1< 2 图2 图3 m<,存在-1<<0，使助<<成立，0< 课时10二次函数与方程（组）、不等式（组） 1.A解析："，”一元二次方程ax2十bx十c=0的两个根为一3 m< 和-1函十=一名=-4对称轴为直线2=一名 8.证明：设Mx)、N(x,为)、A(x,一1)，则h=k知十1 a 为=x十1.记直线y=一1为m,如图，分别过点M、N作 -10 ME⊥m,NF⊥m,垂足分别为E、F,即∠MEA=∠AFN= 90°..'∠MAN=90°，.∴.∠MAE+∠NAF=90°.又.∠MAE+ 课时11二次函数的实际应用 ∠AME=90°，∠AME=∠NAF,∴△AMEn△NAF,L.C解析：令h=0,则30t-5=0,解得1=0，=6，∴.小球 带-7=碧即6+》G++国 从抛出到落地需要6s,故①正确：h=30t一52=一5(：2 6t)=-5(t-3)2+45.,-5<0,∴.当t=3时，h有最大值， )(x一)=0，∴.(k+2)(km+2)+(0一x)(2一西)= 最大值为45，∴.小球运动中的高度可以是30m,故②正确： 0,即(+1)x十(2k-)(十)十场十4=0①.联立y= 当t=2时，h=30×2一5×22=40(m),当t=5时，h=30× x十1与y=2,得2-4kx-4=0,n十=，函= 5一5×52=25(m),∴.小球运动2s时的高度大于运动5s时 一4②.将②代人①，得一4(2+1)十4k(2k一x)十+4= 的高度，故③错误.综上所述，正确的结论是①②，共2个 0,即（一2=0，解得石=2k,即A(2,-1D,∴过点A且2.B解析：根据题意，得A(-号，0）、B(号，0），C0,5).设 与x轴垂直的直线为x=2k.将x=2k代人y=子2，得y 抛物线的表达式为y=a.x2十5，将点B的坐标代人，得aX 2,即B(2k,k).将x=2k代人y=x十1，得y=2k2十1，即 (侵》'+5=0，解得a= 2一抛物线所对应的表达式为 20 C(2,2k2+1),∴.AB=k2-(-1)=k+1,BC=2k2+1 2=2+1,∴.AB=BC,.△MAB与△MBC的面积相等. y份+5 3.C解析：设运动时间为ts,AP=CQ=t,PC=6-t, ∴.PQ=√PC+CQ=√(6-t)2+F=√2(t-3)+18. 0≤≤2，∴当t=2时，PQ的值最小，最小值是25， 4.20解析：根据题意得，S=一0.25产+10t=一0.25(c一40t+ 400-400)=-0.25(t-20)2+100.:-0.25<0,∴.当t=20 时，飞机滑行的距离最大，即当t=20s时，飞机才能停下来 5.46.4解析：设矩形菜地在射线OA上的一段长为xm,面积 9.解：(1)y=kx十b(b>0),∴.当x=0时，y=b:当y=0时， z=-2c0,,D(-是，0）S=b(-) 为5m.①当<8时，8=x…16=号4+5=-22+ 2 9.8x= （x-9.8)2+48,02,当x=8时，S0大=46.4： 经k5+2=0,∴k…(-)+2=05-艺+2=0， ②当>8时，S=x·(16+6,6+5-x)=-2+13.8x= ,.形=4."b>0,.b=2. 2 (2)设A(x1,寻)，点B的横坐标为x,则点E的横坐标 一(x一6.9)2+47.61，此时S恒小于46.4，综上所述，该菜地 的最大面积是46.4m2, 为4，设直线OA的函数表达式为y=,则}=函，解得6空 解析：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为 t=子，“直线04的函数表达式为y=寻x由(1)可 y轴正半轴建立平面直角坐标系，其中B为抛物线的顶点. 知，y=x+2.令kx+2=}2,整理得2-kx-8=0,则 根据题意，得P(0,子)、B(5,4).设抛物线的表达式为y x、是方程的两个实数根，王x=一8.将x=代人 ax-5)2+4,将P(0,子)代人，得25a十4=子，解得a y=}x,得y==}×(-8)=-2,点E的纵坐 -1品0∴抛物线的表达式为y一品红一5)+4，令y一0， 标为一2. (3)CP一CQ是定值，理由如下：设直线3的函数表达式为 即y=一 品红-5列+4=0，解得五=要4=-号（舍 y=mx十元令mx十n=}之，整理得之-4mx一4n=0.:直 去M0）0M= 3m. 线)产m十n与指物线y=子产有唯一公共点，（一4m)2 4X1X(一4n)=0,∴.n=-m2,∴.y=mx-m2.由(1)(2)可 知，C0,2),点E的纵坐标为-2，∴当y=2时，x=m十2 4 m 当y-2时mP(计，2)Qm子-2， 5m A M 0r-(陆)，0-()'+2+2=（片）'+1解，根据题意得，2z十y02+00-2士 16r-0=(法)-(n)-16=(陆2+ 80≤42，且x>0,∴.19≤x<40,∴.S=AB·BC=x(-2x十 80)=-2x2+80x(19≤x<40). n)2)-16=m·A-16=8-16 (2)令S=-2x2十80x=750,解得x=15(舍去)或x=25. m 答：当x=25时，围成的矩形花圃的面积为750m2. 一8，.CP一CQ的值为定值-8. (3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800.,-2<0,且19≤ 11