课时9 二次函数的图像和性质-【全程提优计划】2025年中考数学得高分

中考得高分全程提优计划·数学 》》 课时9二次函数的图像和性质 一、选择题 1.(2024·包头)将抛物线y-x2十2.x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为() A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)-2 2.(2024·眉山)定义新运算：a⑧b=(a+2b)(a一b),例如：4☒3=(4+2×3)(4一3)，则函数y= (x十1)⑧2的最小值为 A.-21 B.-9 C.-7 D.-5 3.(2024·赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A、C在抛物线y=一x2+4上，点 D在y轴上.若A、C两点的横坐标分别为m、(m>>0),下列结论正确的 是 () A.m+n=1 B.m一n=1 C.mn=1 D.m=1 4.(2024·南通海门区一模)抛物线y=a.x2十bx十c经过点（一3，y1)和(5，y2),顶点坐标为(m,n). 若y1>2>n,则m的取值范围是 () A.m<-3 B.m<1 C.m>1且m≠5 D.m>5 5.已知二次函数y=x2十bx十c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表.则当y5时，x的取 值范围为 () 10 5 2 A.0<x<4 B.-4<x<4 C.x<-4或x>4 D.x>4 6.已知抛物线y=子2十1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F(0,2) 的距离与到x轴的距离相等.如图，点M的坐标为(3,6)，P是抛物线y= 4 x2+1上一动点，则△PMF的周长的最小值是 ( A.5 B.9 C.11 D.13 二、填空题 7.二次函数y=x2一2x一2中，当0≤x≤4时，y的取值范围为 8.(2024·牡丹江)将抛物线y=a.x2十bx十3向下平移5个单位长度后，经过点(-2,4)，则6a 3b一7的值为 22 帽第一部分·一轮课时练 9.(2024·内江)已知二次函数y=x2一2x+1的图像向左平移2个单位长度后得到抛物线C,点 P(2,4).Q(3,)在抛物线C上，则y1(填“>”或“<”). 10.(2024·新疆)如图，抛物线y=2x2-4x十6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛 物线的对称轴上移动(，点C在，点D下方)，且CD=3.当AD+BC的值最小时，点C的坐标 为 (第10题) (第11题) 11.如图，A是抛物线y=ax2-1与为=bx2-1的公共顶点，过点A的直线与抛物线yy2的另一 个交点分别为B,C.若AC=BC,则号的值为 三、解答题 12.(2024·南京秦淮区一模)已知二次函数y=一(x一2)2十7. (1)写出该函数图像的对称轴. (2)求出该函数图像与x轴的交点坐标 (3)当一1≤x≤3时，求y的取值范围. 13.已知二次函数y=a.x2-2ax+b(a≠0). (1)若a<0,当一4≤x≤2时，y的最小值为一21，y的最大值为4，求a十b的值. (2)若该二次函数的图像经过点A(1,0)和B(2,3),当m一2≤x≤m时，y的最大值与最小值的 差为8，求m的值， 中考得高分全程提优计划·数学 》》》》 14.(2024·通过)如图，在平面直角坐标系O中，直线y=一多十3与x轴、y轴分别交于点C D,抛物线y=一(x一2)+(k为常数)经过点D且交x轴于A、B两点 (1)求该抛物线的函数表达式 (2)若点P为抛物线的顶点，连接AD、DP、CP.求四边形ACPD的面积. y--x13 x-2)2- 15.(2024·内蒙古)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图像经过 原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图像交于点B(1,3),与y轴交于点C. (1)求二次函数的表达式及点C的坐标 (2)P是二次函数图像上的一个动点，当点P在直线AB的上方时，过点P作PE⊥x轴于点E, 与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m. ①当m为何值时，线段PD的长度最大，并求出最大值： ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说 明理由述，点C的坐标为（专3）或(-号，-5)或（号5） 一2).根据图像可知，kx十1<6时x的取值范围为x<一3 1卫.解：1)：M(受，4)在反比例函数y=上的图像上k 或0<x2. (3):y=x+1,.当x=0时，y=1,∴C(0,1).:将直线 合×4=2反比例函数的表达式为=是又N,1)在 AB沿y轴向下平移4个单位长度，.CE=4,如图，过点 反比例函数y=2的图像上，2=n·1n=2,N(2, C作CG1DE,垂足为G易知∠CPG=5.G-号(CE 22.又A(2,3)、C(0.1).∴AC=22.连接AD,CF.由平 1).设一次函数的表达式为y=ar+6.把M(,4)、N(2. 移的性质可知，AC∥DF,AC=DF,∴.四边形ACFD为平 代人，得受如十=解得日2：一次肠数的表达 行四边形，，阴影部分的面积等于口ACFD的面积，即 22×22=8. 2a+b=1. 1b=5, 14 式为y=-2x十5. (2)如图1，设直线1交x轴于点A,交y轴于点B,则 A(号0）、B0,5,∴0A=号，0B=5,∴Sym=SYm SN-Sm=XOAXOB-2XQAXy-XOBX 课时9二次函数的图像和性质 1.A解析：y=2+2r=(x+1)2-1,将抛物线y=x2+2x向 下平移2个单位长度后，所得新抛物线的表达式为y=(x+ 1)2-3. 2.B解析：根据题意得，y=(.x+1)②2=(x十1+2×2)(x+ 1-2)=(.x十5)(x-1)=x2+4x-5=(x十2)2-9，∴.当.x= 一2时，函数y=(x十1)☒2的最小值为一9. 3.B解析：如图，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别 图1 为M和N.根据题意得，点A的坐标为(m,一m+4),点C (3)如图2，作M关于y轴的对称点M,连接MN交y轴 的坐标为(，一n+4),∴.AM=m,MO=一m十4，CN=2, 于点P,则PM+PN的最小值等于MN的长.：M(合 NO=一+4.，四边形ABCD是正方形，.AD=CD, ∠WC=90,∴.∠CDN+∠AMDM=∠DAM+∠ADM=90, )与M关于y轴对称.∴M(-号4)，设直线MN的表 ∠CND=∠DAMA, ,∠1DN=∠DM在△DN和△DMM中，∠(T)N=∠DAM 达式为y=cx+d.把M(-,4)、N(2,1)代人，得 CD-DA. '.△CDN2△DAMCAAS),.DM=CN=n,DN=AM=m, c+d=4解得 =5 ∴.MN=DM+DN=m+i.又：MN=VO-MO=m-m, ∴.直线MN的表达式为 ∴，m2一=m十n,即(m十n)(m一n)=m十n.,”m>n>0, 2c+d=1, d= 17 .m十n≠0，∴.m一n=1. 1y= .令=0，得y号∴点P的坐标为(0.号） 4.C解析：，抛物线的顶点坐标为(m,),抛物线的对称轴 为直线x=m.,抛物线y=ux2十x十c经过点（一3，）和 (6,为)，且M>为>，二35<m且m≠5，m>1 2 图2 且≠5. 1以解：点A在y=的图像上，当=2时y一号=3.5A解析：由表可知二次函数的对称轴为直线=1士3=2， .A(2,3).把A(2,3)代人y=x+1,得k=L. .当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增 (2)由(1)可知，一次函数的表达式为y=x十1，联立方程组 大而增大.当x=0时y=5,.当x=4时，y=5,.当y< 5时，x的取值范围为0x4. ,解得x=2·或x=一3：·A(2,3)、B(-3,6,C解析：如图过点P作PH1x轴于点H.由题意可 3y=x+1. y=-2, PF=PH,∴.△PMF的周长为MF+MP+PF=MF+MP+ 8 PH,.当MP、H三点共线时，MP+PH的值最小，此时 △PMF的周长取得最小值.过点M作MH⊥x轴于点H,交 抛物线y一子？+1于点P,此时△PMF的周长取得最小值 F0,2),M(3.6),.MH=6,MF=√/3-0)+(6-2=5， ∴.△PMF的周长的最小值为MH'+MF=6+5=11. 12.解：(1)，y=一(x一2)十7，，∴，该函数图像的对称轴是直线 x=2. (2)令y=0,即0=-(x-2)+7.解得x=2+7或x=2- 7,,该函数图像与x轴的交点坐标为(2十万，0)、(2一 7,0). 7.-3≤y≤6解析：y=x2-2x一2=(x-1)2一3，对称轴为直 (3),y=-(x-2)2+7,当x=2时，y取得最大值，最大 线x=1.当x=1时，y取得最小值，最小值为-3：当x=0 值为7.又当x=一1时，y=-2:当x=3时，y=6,.当 时，y=一2：当xr=4时，y=6,.当0≤x≤4时，y的取值范 一1≤3时，y的取值范围为一2≤y7. 围为一3≤y≤6. 13.解：(1Dy=a.2-2a.x+b=a(x-1)2-a+b,对称轴为直线 8.2解析：将抛物线y=ax2十bz十3向下平移5个单位长度 x=1.a<0.x的值离对称轴越远，y的值越小.，一4≤≤ 后得到y=a.x2+br+3-5=a.x2+br一2.把点(-2,4)代 2,∴当x=一4时，y有最小值，当x=1时，y有最大值，即 人，得4=a×(-2)2-2b-2.∴.2a-b=3.∴.6a-36-7 3(2a-b)-7=3×3-7=2. 24u十h一2解得{公二21∴a+6=1+3=2. b-a=4, 9.<解析：：y=x2-2r十1=(x一1)2，∴二次函数y=2 2.x十1的图像向左平移2个单位长度后得到抛物线C的函 公由感意，得-0解得份二次函数的表达 数表达式为y=(x一1十2)2=(.x+1)2,.抛物线C开口向 式为y=3x2一6.x十3，其图像开口向上，对称轴为直线x 上，对称轴为直线=一L.,点P(2,边)，Q(3,之)在抛物线 1,顶点坐标为(1,0).①当m一2≤x≤m在对称轴的左侧， C上，且-1<2<3，∴y<数. 10.(4,1)解析：如图，作点A关于对称轴的对称点A',A'向 即m≤1时，根据题意，得3(m一2)一6(m一2)十3一3m2+ 下平移3个单位长度得到A“,连接A"B,交对称轴于点C, 61一3=8，整理得，12m=16,解得m=号（不特合题意，合 此时AD+BC的值最小，AD+BC=AB.在y=专子 去)：②当m一2≤≤m在对称轴的右侧，即m≥3时，根据 题意，得32一6m十3一3(m一2)2+6(m-2)一3=8，整理， 4x+6中，令x=0.则y=6,∴A(0.6):令y=0,则号2 得12m=32,解得m=号（不符合题意，会去）：③当m 4x+6=0,解得r=2或x=6,,,B(2,0).,抛物线的对称 2≤x≤m在对称轴的两侧，即1<m<3时，y的最小值为 轴为直线x=一二4=4A'(8,6)A”(83).设直线 2x 0,根据题意，得3(m一2)2一6(m一2)十3=8或32一61十 A"B的函数表达式为y=r十b,将A”、B的坐标代人，得 3=8,解得m=3-2m=3+2(不行合题意，合去 3 8k+3解得直线4B的函数表达式为y号 25m=1-2(不特合题意合去，综上所述， m=1+2 b=-1, 专一1，当x=4时=1∴点C的坐标为41 m份值为3-2雪或1+2 31 4解：1在y=-号+3中，令=0，得=3D0,3》 :抛物线y=一子一2+友经过点D0.33=-十× （0-2+,解得=4y=-(红-2+4=-r+ r十3，“抛物线的函数表达式为y=一}+x十3. (2)如图，连接OP在y=-号x+3中，令y=0,得x=2. 山.号解析：当x=0时%=必=-1…A(0,-1).设C(m, bm2一1)、B(n,an一1).如图，分别过点B、C作y轴的垂线 C2.0).0C-=2.在y=-子r+x+3中，令y=0,得0= 段BECF,垂足分别为EF.BELy轴，CF⊥y轴，∴BE∥ cR△MF0△ABE·能-能-指= -子十x+3,解得=6或x=-2A(-2,0).0A=2 由(1)得，抛物线的顶点P的坐标为(2,4)，∴Su带xm= 5a*D+SnD+S6nr=号X2X3+7X3X2+是X2X 9 4=3十3+十4=10. 合×(-4)=2×(-40=-2 2.D解析：顶点坐标为（一1.4），∴对称轴是直线x=一1， 故A选项错误：由二次函数的对称性可知，（一3,0）关于x 一1对称的点为(1,0)，故B选项错误：二次函数的图像开口 向下，当x<一1时，y随x的增大而增大，故C选项错误：设 (x-2)7+6 二次函数的表达式为y=a(x+1)十4，把（一3,0）代入，得 a=一1，∴y=一(x十1)2+4，令x=0,得y=3,∴.二次函数 15.解：(1)二次函数的图像经过点O〔0,0)、A(4,0)、B(1,3), 与y轴的交点的纵坐标是3，故D选项正确， 0=c+ 3.D解析：函数图像与y轴交于负半轴，.当x=0时，y一 ∴.把这三点坐标代人表达式，得0=16a+4h十c,解得 <0,故①正确：根据函数图像可得，二次函数的对称轴是直 3=a+b+c, a=-1, 线x=一为=)十3-1D0.故@正确：当x=-1或r 2a 2 〈b=4,,二次函数的表达式为y=一x十4x,设直线AB 3时，y=0,且抛物线y=a.x+br十c开口向上，∴.当一1< c=0, x<3时，y<0,故③正确.综上所述，所有正确结论的序号是 的函数表达式为y=kx十，把A、B两点的坐标代入，得 ①②③. 0=4快：解得，”直线AB的函数表达式为y一 4.k≥3解析：将抛物线y=x2一6.x十12向下平移k个单位长 3=k十n, 度后得y=一6x十12-k.平移后得到的抛物线与x轴 一x十4，令=0，得y=4,点C的坐标为(0,4). 有公共点，.(-6)一4×1×(12一k)≥0，解得k≥>3. (2)①如图1.：点P在直线AB的上方，∴.1<m<4.由题5.4解析：：抛物线y=ar+r+3过点B(3,0),C(2,3), 知l.P(m,-m2+4m)、D(m,-m十4)，.PD=p一p= 19a+3b+3=0 解得a。一1：抛物线的表达式为y -m+m+m-4=-m+5m-4=-(m-）广+， (4a+2b+3=3 1b=2. 一2+2x+3,∴抛物线的对称轴是直线x=一2×（-D 2 ∴当m=号时，PD取得最大值，最大值为是。 1.抛物线与x轴的个交点为B(3,0),另一个交点为 A(一1.0)，，.AB=3-(-1)=4. 6.①④解析：当m=0时，抛物线为y=x2一4，∴抛物线的对 称轴是y轴，故①正确：，此抛物线与x轴只有一个公共点， ,.(一2m)2一4·1·(2十m一4)=一4m十16=0，解得m 4,故②错误：·抛物线y=x2一2mx十m+m一4的对称轴 图1 是直线x=一2=m,且开口向上“抛物线上的点离对 ②存在，理由如下：，∠BDP=∠ADE,∠ADE=∠ACO, 称轴越近，其函数值越小，又，A(m一2，”)、B(m十1，)， ∴∠BDP=∠ACO.:△AOC是直角三角形，∴.要使 m一2-m=2,m十1-m=1,2>1,.1>边，故圆 △BPD与△AOC相似，只要保证△BPD是直角三角形就 错误：“，抛物线y=x2一2mx十㎡十m一4的对称轴是直线 可以.(i)如图2，当△BPD∽△AOC时，∠BPD=∠AOC x=m,顶点坐标为(m,m一4)，其顶点在直线y=x一4上， 90°，此时BP∥x轴，B、P两点关于对称轴对称，，P(3,3): 又：直线y=x与y=x一4平行，∴.顶点到直线y=x的距 (ii)如图3，当△PBD△AC时.∠PBD=∠AC=90°， 离等于两条平行线间的距离，又，直线y=x一4与y轴的夹 ∴AB⊥PB.:k=一1，∴.km=1,.直线BP的函数表达 角为45°，且y=x一4是y=x向下平移4个单位长度得到 式为y=十2，联立方程组得一十解得·或 y=x+2, y=3 的∴两平行线间的距离为45加45°=4×号=2反，∴顶点 P(2,4.综上所述，存在点P使得△BPD 到直线y=x的距离为2互，故④正确.综上所述，结论正确 的是①④. △AOC相似，此时点P的坐标为(3,3)或(2,4). 7.(1)(m,0)解析：y=2一2m.r十m2=(x一m)2,.地物线 的顶点坐标为(m,0). (2)解：点(1，)、(3，)在抛物线y=x2一2mx+m2上， 且y<为.1-2m十m2<9-6m十m,解得m<2 (3)解：当y<<为时，1一m<一m<3一m, 六m-2m十1<m-2m十<m-6m+9,解得中 2 图2 图3 m生，：存在-1<<0，使为<类<为皮立0< 课时10二次函数与方程（组）、不等式（组） L,A解析：，一元二次方程a.x2十br十c=0的两个根为一3 和-1函十=一合=一4对称轴为直线=一品 8.证明：设M1y)、N(,2),A(,一1)，则为=kn十1， =kx2十L.记直线y=一1为m,如图，分别过点M、N作 10