精品解析：山东省临沂市部分县区2025届高三上学期学科素养水平监测（期末）数学试题

高三年级期末学科素养水平监测试题 数学 2025.1 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，再求得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 2. 已知集合，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式得集合B，再由集合A和集合B元素特征结合其交集结果列出关于a的等式和不等式即可求解. 【详解】不等式， 所以不等式解得，故， 所以若，则集合A需满足，解得 故选：A. 3. 已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图是半圆，结合圆周长和扇形的弧长公式，结合圆锥和圆柱的侧面积公式进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，得，即， 圆锥的高， 所以圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为， 故圆柱和圆锥的侧面积之比为． 故选：D 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，逆用两角和正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】函数的零点个数与方程的解的个数相等， 令，则， 所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同， 因为， 由， 可得当时，，当时，， 解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示，    由图象可知与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C 7. 若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果.解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 8. 已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，利用导数运算得，结合对称性可得，从而与等差数列建立了联系，利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】由为偶函数，得，则． 两边取导数，得①． 由的图象关于点对称，得②． ①②，得，所以， 则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列． 在中，令，得． 在中，令，得． 中，令，得， 所以， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以， 则． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题将抽象函数的奇偶性与图象的对称性、导函数、等差数列的判定与前项和等多个知识点巧妙地结合起来，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求．求解过程中挖掘出等量关系是解题的关键，这个等式架起了一座桥梁，实现了从函数到数列的转化，体会数列是一种特殊的函数． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ). A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B不正确； 选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：， 所以，故C正确； 选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：， ，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”， 随机变量分布比较集中，所以，故D正确. 解法二：因为，， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可求得，结合可排除，知B正确；由等比数列通项公式知A错误；利用作差法可知C正确；根据等比数列求和公式可判断D错误. 【详解】对于B，当时，，，又，， 或； 当时，，，与矛盾，，B正确； 对于A，，A错误； 对于C，，，，，即，C正确； 对于D，，又，，D错误. 故选：BC. 11. 若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可. 【详解】由得， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，，当时，恒成立， 所以的图象如下： ， ，即，， 对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误； 对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确； 对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确； 对于D：当时，，又， 因为，且，即， 所以，即， 根据图象可得恒成立，D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为，通过整体结构相同从而构造函数来解决问题. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的单调性，由结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】56 【解析】 【分析】首先根据排列组合的方式，确定符合条件的五位数有6个，再根据二项式定理，确定含项的系数． 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，点满足，且，若，则该双曲线的离心率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量加法关系可以得到点为中点，由数量积的运算性质又可以得到，利用双曲线的定义推导出的值，在中，利用三角形内角和和余弦二倍角公式可以求得，利用余弦定理可以得到的关系式，进而求得离心率. 【详解】如图所示： 由点满足，则为的中点，由，即 ，则，所以，又因为为的中点，所以，由双曲线定义可知，，所以， 在中，，则， 又，解得， 在，，解得， 又，因此该双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． （1）求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； （2）记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分别求出甲、乙同学获得一个零食的概率，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望. 【小问1详解】 设“甲同学获得一个零食”为事件A，“乙同学获得一个零食”为事件B，“甲、乙两名同学恰好各获得一个零食”为事件C． ， 则； 所以甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食概率为； 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， . X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 16. 记的内角的对边分别为，已知，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用二倍角余弦公式及辅助角公式转化得到，再利用正弦函数性质及角的范围得，然后根据余弦定理得，最后代入面积公式求解即可； （2）利用正弦定理得到，结合三角形的性质及同角三角函数关系求得，从而利用两角和的正弦公式求得，进而利用正弦定理求得，即可求解三角形的周长. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，即，又因为，所以， 所以，解得，又，，所以由余弦定理得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以由正弦定理得，又，所以， 因为，所以，所以，所以为锐角， 所以， 所以， 由正弦定理得，所以， 所以周长为. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面，且，连接. （1）求证：； （2）当与平面所成角的正切值为时，求棱的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）或6 【解析】 【分析】（1）先证明，由线面垂直判定定理证明​平面​，再证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，由线面角公式化简整理得，解方程即可． 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以，故，又四边形为平行四边形， 所以四边形​为矩形， 过点​在平面​内作​交棱​于点​，连接​， 因为​，所以​， 又​，所以​，于是​. 又​，所以​∽​，所以​， 因为​，于是​，所以​， 因为​平面​，​，所以​平面​， 于是​，又​，且​、​平面​， 所以​平面​， 又因为​平面​，因此​. 【小问2详解】 解：以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即， 取，可得， 则为平面的一个法向量， 于是. 设与平面所成角为， 因为，所以， 则， 化简整理得，解得或2， 所以棱的长为或6. 18. 已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线截所得弦长为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点（在轴上方），与轴交于点． ①记，求证：为定值； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）先化简整理抛物线的标准方程，求得椭圆的左焦点为，根据题意列出 的关系式，利用待定系数法即可求解； （2）①设直线：，且与椭圆联立方程组，求出韦达定理表达式，根据向量共线的性质可得的定值；②将韦达定理表达式表示出的关系式，采用换元法以及二次函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由题意知，抛物线 整理得，焦点为 ， 所以椭圆的左焦点为，则有， 又因为抛物线的准线截所得弦长为， 将代入，可得， 即所得弦长为椭圆通径， 解得， 故的方程为． 【小问2详解】 ①由题意知，，直线的斜率存在且不为零，设， 联立，消去得：， ， 设，则． 由，点的横坐标为0， 得， 从而 ，所以为定值4． ②由①知，， 则 ， 令， 当，即时，取得最小值． 【点睛】关键点点睛：第二小问中，列出韦达定理的表达式，借用向量共线问题对的求值进行运算是解题关键，本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算能力，属于较难题. 19. 已知函数. （1）若直线为曲线的一条切线，求实数b的值； （2）若对任意的，函数恒成立，且，求实数a的值； （3）证明：当且时，. 【答案】（1）； （2） ； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设切点为，然后由点在函数图象上，又在切线上，及切线斜率联立可求得结论； （2）由及求得，然后由导数求得，由求得（需要再一次应用导数求解）； （3）由（2）得，然后令，得不等式相加可证． 【小问1详解】 设直线 与曲线 相切的切点为 ， 又 ， 由条件得: 解得 【小问2详解】 由 ，得 . 当 时， ，得 ，所以 . 所以 . 由 ，得 . 当 时， 单调递减, 当 时， 单调递增, 所以 ，即 ， 设 当 时， 单调递增; 当 时， 单调递减; 所以 ，当且仅当 等号成立， 又 ，得 ，所以 . 【小问3详解】 由(2)知，令 ，得 ，即 , 令 ，所以 . 所以 . 所以. 所以 . 所以 . 所以 . 【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线，研究不等式恒成立及证明不等式，属于难题．在证明不等式时难点在于如何利用已证的函数不等式，即在函数不等式中如何赋值，从而向要证的不等式靠拢．本题中由（2）得函数不等式成立，在其中分别令，对所得个不等式进行处理（相加）从而证明不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三年级期末学科素养水平监测试题 数学 2025.1 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，若，则实数（ ） A B. 0 C. 1 D. 1或 3. 已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知及其导函数定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则( ). A. B. C. D. 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若不等式在时恒成立，则实数值可以为（ ） A. B. C. D. 2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则实数的取值范围为______. 13. 用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，点满足，且，若，则该双曲线的离心率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是． （1）求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率； （2）记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望． 16. 记的内角的对边分别为，已知，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面，且，连接. （1）求证：； （2）当与平面所成角的正切值为时，求棱的长. 18. 已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线截所得弦长为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点（在轴上方），与轴交于点． ①记，求证：为定值； ②求的最小值． 19. 已知函数. （1）若直线为曲线的一条切线，求实数b的值； （2）若对任意的，函数恒成立，且，求实数a的值； （3）证明：当且时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$