6.3 二项式定理8题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.3 二项式定理8题型分类 一、二项式展开式 二、二项展开式的通项公式 三、二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 四、二项式系数的性质 1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴． 2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． 3．二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. （一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项． 题型1：求二项式的展开式 1．（2024高二·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·上海月考）求的二项展开式． 3．（2024高二·江苏月考）利用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 4．（2024高二·全国月考）求的展开式． 题型2：求二项式的展开式的特定项 5．（2024高二·江苏月考）在的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)含的项的系数. 6．（2024高二·全国月考）已知二项式，求展开式中的： (1)第6项； (2)第3项的系数； (3)含的项； (4)常数项． 7．（2024高二·陕西·期中）已知的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有有理项． 8．（2024·四川南充模拟预测）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 9．（2024·西藏拉萨模拟预测）二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 10．（2024高二·全国月考）的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ． （二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑． 题型3：两个二项式相乘问题 11．（2024·全国模拟预测）已知的展开式中的常数项为240，则 ． 12．（2024高三·山东滨州·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 13．（2024·山东泰安模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是 . 14．（2024高二·辽宁本溪·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 15．（2024·安徽模拟预测）二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为 （用数字作答）. 16．（2024高三·吉林白城月考）的展开式中含的项的系数为 . （三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高． 题型4：求多项式展开式及特定项 17．（2024高二·河北邢台·期末）展开式中的常数项为（    ） A．6 B．15 C．20 D．28 18．（2024·广东广州模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 19．（2024高三·山东月考）展开式中含项的系数为 ． 20．（2024高三·安徽月考）展开式中，项的系数为 . 21．（2024高三·河北唐山月考）的展开式中的常数项为（ ） A． B．50 C． D．61 22．（2024高二·江苏南通·期末）在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 23．（2024高二·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 （四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型5：二项式系数及项的系数的和 24．（2024·山东）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ） A．0 B． C． D．32 25．（2024高二·云南昆明·期中）已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 26．（2024高二·湖南长沙·期末）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（    ） A．－34 B．－672 C．84 D．672 27．（2024高三·黑龙江哈尔滨·期末）若则的值 ． 28．（2024高二·重庆荣昌月考）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型6：二项式系数或系数的最值 29．（2024高二·辽宁沈阳月考）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 . 30．（2024高二·陕西宝鸡·期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 31．（2024高二·广西防城港·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . （五） 整除和余数问题 整除和余数问题的解题技巧： 1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． 2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 题型7：整除和余数问题 32．（2024高二·山东月考）被8除的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 33．（2024高三·河北廊坊·期末）设，且，若能被7整除，则（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 34．（2024高二·江苏连云港月考）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 35．（2024高三·山东月考）二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ． 36．（2024高三·山东月考）设，则除以9所得的余数为 ． 37．（2024高二·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则 . 题型8：利用二项式定理近似计算 38．（2024高二·全国月考）求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 39．（2024高二·江苏苏州·期中）已知为正整数，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 40．（2024·北京西城模拟预测）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 41．（2024高二·安徽·期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 42．（2024高二·全国·单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 一、单选题 1．（2024高二·四川资阳·期末）展开式中，系数最大的项是（    ） A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项 2．（2024高二·福建莆田·期末）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 3．（2024高三·江苏月考）在的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．20 C． D．15 4．（2024高二·山东滨州·期中）若的展开式中的系数为40，则（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（2024高二·辽宁沈阳·期末）的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·湖北黄冈·期中）若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二·河北沧州月考）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二·山西临汾·期中）已知，则（    ） A．224 B． C． D．448 9．（2024高二·全国月考）化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二·辽宁葫芦岛·期末）设，化简（    ） A． B． C． D． 11．（2024·北京）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 12．（2024·山西模拟预测）除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024高三·河南安阳月考）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二·全国·单元测试）若（），则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·安徽合肥模拟预测）若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（    ）组不同的解 A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024高三·全国月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 18．（2024高二·全国月考）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 19．（2024·新疆模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2024高三·河北保定·期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·全国模拟预测）已知的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 22．（2024高二·甘肃庆阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7 C．在的二项式展开式中，常数项是84 D．在的二项式展开式中，常数项是 23．（2024高三·广东佛山月考）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 24．（2024·河南南阳模拟预测）在的展开式中，的系数为 . 25．（2024高三·浙江丽水月考）的展开式中x项系数为 ． 26．（2024高三·浙江湖州·期末）的展开式中的系数是 . 27．（2024·河北邯郸模拟预测）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 28．（2024高三·甘肃武威月考）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲  乙  丙  丁  戊  己  庚  辛  壬  癸 地支：子  丑  寅  卯  辰  巳  午  未  申  酉  戌  亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是 年. 29．（2024高三·全国月考）若的展开式中含x的项的系数为60，则的最小值为 ． 30．（2024高二·辽宁沈阳·期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ． 四、解答题 31．（2024高二·山西忻州月考）已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 32．（2024高二·江苏月考）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3. (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项. 33．（2024高二·山东烟台·期中）（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 34．（2024高二·上海浦东新月考）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项. 35．（2024高二·吉林·期末）已知的展开式二项式系数和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 36．（2024高二·辽宁沈阳·期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.3 二项式定理8题型分类 一、二项式展开式 二、二项展开式的通项公式 三、二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 四、二项式系数的性质 1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴． 2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． 3．二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. （一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项． 题型1：求二项式的展开式 1．（2024高二·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【解析】二项式， . 故选：B 2．（2024高二·上海月考）求的二项展开式． 【答案】 【分析】 根据二项式定理直接展开作答. 【解析】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 3．（2024高二·江苏月考）利用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据二项式的展开式的形式，准确运算，即可求解. 【解析】（1）解：由. （2）解：由 . 4．（2024高二·全国月考）求的展开式． 【答案】 【分析】根据展开式通项直接写出结果即可. 【解析】展开式的通项为， 展开式为. 题型2：求二项式的展开式的特定项 5．（2024高二·江苏月考）在的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)含的项的系数. 【答案】(1)35 (2)280 【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解； （2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数. 【解析】（1）由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 所以第4项的二项式系数为. （2）由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 当时，展开式中含的项的系数为. 【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念： ①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等； ②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号. 6．（2024高二·全国月考）已知二项式，求展开式中的： (1)第6项； (2)第3项的系数； (3)含的项； (4)常数项． 【答案】(1)； (2)9； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据二项式写出其展开式通项，进而求对应项或系数即可. 【解析】（1）通项公式. . （2）因为，所以第3项的系数为9； （3）由知：，所以； （4）由知：，所以，即常数项为． 7．（2024高二·陕西·期中）已知的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有有理项． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为，建立方程，可求 的值； （2）写出通项公式得，时，的指数为整数，所以展开式中第，项是有理项，即得结果. 【解析】（1）第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为，则， 所以，则． （2）其通项公式为， 根据，，，可得，， 故第，项是有理项，即有理项分别为，． 8．（2024·四川南充模拟预测）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 【答案】B 【分析】直接利用二项式定理展开式的通项求解即可. 【解析】展开式的通项为， 所以， 常数项为， 故选：B. 9．（2024·西藏拉萨模拟预测）二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【解析】因为，所以，故C项正确. 故选：C． 10．（2024高二·全国月考）的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ． 【答案】 【分析】 根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项公式，即可求解. 【解析】 由二项式展开式的通项为， 可得展开式中第3项为，所以第3项的系数为， 令，可得，所以展开式的常数项为. 故答案为：；. （二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑． 题型3：两个二项式相乘问题 11．（2024·全国模拟预测）已知的展开式中的常数项为240，则 ． 【答案】3 【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出值. 【解析】的展开式的通项， 令得，令，无解， 所以的展开式中的常数项为，所以. 故答案为：3 12．（2024高三·山东滨州·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【解析】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 13．（2024·山东泰安模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是 . 【答案】6 【分析】分别求出和展开式的通项公式，根据的组合形式分别求解即可. 【解析】的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 所以展开式中，含的项为： ， 所以含的项的系数为6． 故答案为：6. 14．（2024高二·辽宁本溪·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 【答案】B 【分析】先求出的展开式通项公式，再结合两个二项式相乘特点求出r，即可求得答案. 【解析】的展开式通项为， 故的展开式中的系数为， 故选：B. 15．（2024·安徽模拟预测）二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】 利用赋值法求得，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【解析】令可得二项式的所有项系数和为，所以. 二项式的展开式的通项公式为，，1，…，8， 所以的展开式中，的系数为. 故答案为： 16．（2024高三·吉林白城月考）的展开式中含的项的系数为 . 【答案】960 【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解. 【解析】的展开式的通项为，故令， 可得的展开式中含的项的系数为：. 故答案为：960. （三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高． 题型4：求多项式展开式及特定项 17．（2024高二·河北邢台·期末）展开式中的常数项为（    ） A．6 B．15 C．20 D．28 【答案】C 【分析】 先将变形，然后转化为求展开式中的系数即可. 【解析】因为， 所以展开式中的常数项即分子展开式中的系数，即. 故选：C 18．（2024·广东广州模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【解析】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 19．（2024高三·山东月考）展开式中含项的系数为 ． 【答案】-160 【分析】 变形为，写出通项公式，求出，得到答案. 【解析】变形为， 故通项公式得， 其中的通项公式为， 故通项公式为，其中，， 令，解得， 故. 故答案为：-160 20．（2024高三·安徽月考）展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】 由二项式定理求解． 【解析】，∵的指数是3，∴得到， ∵的指数是2，得到，∴项的系数为. 故答案为： 21．（2024高三·河北唐山月考）的展开式中的常数项为（ ） A． B．50 C． D．61 【答案】A 【分析】因为多项式表示5个因式的乘积，所以从5个因式中选2个，2个，选1个-1；或者选1个，选1个，选3个-1；或者选5个-1，由此即可求解． 【解析】， 展开式中的项都是右边5个括号各取一项相乘得到的， 当5个括号中选2个，2个， 1个-1，所得常数为； 当5个括号中选1个， 1个， 3个-1，所得常数为； 当5个括号中选5个-1，所得常数为， ∴展开式中的常数项为． 故选：A． 22．（2024高二·江苏南通·期末）在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 【答案】D 【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答. 【解析】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和， 则展开式中的项为， 所以含项的系数为10. 故选：D 23．（2024高二·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 【答案】A 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以通项公式为：， 令，所以， 设二项式的通项公式为：， 令，所以， 因此项的系数为：， 故选：A. （四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型5：二项式系数及项的系数的和 24．（2024·山东）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ） A．0 B． C． D．32 【答案】D 【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可 【解析】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为 故选：D 25．（2024高二·云南昆明·期中）已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解. 【解析】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以． 故选:A 26．（2024高二·湖南长沙·期末）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（    ） A．－34 B．－672 C．84 D．672 【答案】B 【解析】由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项. 【解析】由已知，，则，所以. 令，得，所以常数项为， 故选：B． 【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解. 27．（2024高三·黑龙江哈尔滨·期末）若则的值 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别令令和令，分别求得和，即可求解. 【解析】由， 令，可得； 令，可得， 所以. 故答案为：. 28．（2024高二·重庆荣昌月考）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)－2 (2)1093 (3)2187 【分析】运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和． 【解析】（1）当时，； 当时，； 故； （2）当时，； 由（1）知， 所以； （3）由展开式可知均为负值，均为正值， 结合（1）（2）可知， 故 . 题型6：二项式系数或系数的最值 29．（2024高二·辽宁沈阳月考）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 . 【答案】/ 【分析】先根据已知求n，然后由展开式通项公式可得. 【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即，所以， 所以. 故答案为： 30．（2024高二·陕西宝鸡·期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项. 【解析】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和， 即，由二项式系数性质可得； 因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项. 故选：C 31．（2024高二·广西防城港·期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以为偶数且，可得. 故答案为：. （五） 整除和余数问题 整除和余数问题的解题技巧： 1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． 2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 题型7：整除和余数问题 32．（2024高二·山东月考）被8除的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】运用二项式定理进行求解即可. 【解析】 其中是8的整数倍， 故被8除的余数为3. 故选：B 33．（2024高三·河北廊坊·期末）设，且，若能被7整除，则（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 【答案】C 【分析】，由二项式定理将其展开，因为能被7整除，故能被7整除，结合的范围，即可得出答案. 【解析】， 因为能被7整除， 且能被7整除， 故能被7整除， 又，所以. 故选：C. 34．（2024高二·江苏连云港月考）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】B 【分析】将展开得到除以7的余数即可. 【解析】因为， 所以除以7的余数为1，所以经过天后是星期四， 故选：B． 35．（2024高三·山东月考）二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ． 【答案】6 【分析】 利用赋值法可得系数和为，进而根据二项式定理展开式的特征可得余数. 【解析】令得， 由于， 由于， 均能被7整除，所以余数为6， 故答案为：6 36．（2024高三·山东月考）设，则除以9所得的余数为 ． 【答案】8 【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果. 【解析】因为， 所以，， 所以除以9所得的余数为8． 故答案为：8 37．（2024高二·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则 . 【答案】1 【分析】由,利用二项展开式可知只需能被整除整除即可,由的范围即可得到结果. 【解析】, 要使能被整除, 则能被整除, 又,, ,解得. 故答案为:. 题型8：利用二项式定理近似计算 38．（2024高二·全国月考）求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 【答案】(1)1.008 (2)0.990 【分析】（1）（2）根据二项式定理展开式的性质，即可求解近似值. 【解析】（1）由二项式定理展开式得 由于精确到0.001，所以 （2）由二项式定理展开式得 ， 由于精确到0.001，所以 39．（2024高二·江苏苏州·期中）已知为正整数，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果. 【解析】因为 ， 而， 所以， 因此， 又为正整数，，所以； 故选：C. 【点睛】本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型. 40．（2024·北京西城模拟预测）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式定理即可估算近似值. 【解析】由题意可知 故选：C 41．（2024高二·安徽·期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 【答案】A 【分析】利用二项式定理进行计算． 【解析】原式 + ． 故选：A． 42．（2024高二·全国·单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【答案】C 【分析】由二项式定理求解 【解析】. 故选：C 一、单选题 1．（2024高二·四川资阳·期末）展开式中，系数最大的项是（    ） A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【分析】利用二项式定理以及二项式系数的性质进行求解判断. 【解析】因为的展开式的通项为，， 所以展开式中各项的系数即为其二项式系数， 根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误. 故选：D. 2．（2024高二·福建莆田·期末）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果. 【解析】令，得，令，得， 所以， 故选：D 3．（2024高三·江苏月考）在的展开式中，含项的系数为（    ） A． B．20 C． D．15 【答案】A 【分析】首先根据题意得到的第项为，再令求解即可. 【解析】的第项为， 令，则， 所以的展开式中，含项为，系数为. 故选：A 4．（2024高二·山东滨州·期中）若的展开式中的系数为40，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】直接利用二项展开式和组合数公式求出结果． 【解析】的展开式的项为, 因为的展开式中的系数为40， 所以，解得. 故选:B． 5．（2024高二·辽宁沈阳·期末）的展开式中含的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于可得的值，即可求解. 【解析】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是． 故选：C. 6．（2024高三·湖北黄冈·期中）若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义可得，再写出二项式的通项，可得常数项. 【解析】由，可知， 所以二项式为， 其展开式的通项为， 令，即， 所以常数项为， 故选：B. 7．（2024高二·河北沧州月考）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【解析】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 8．（2024高二·山西临汾·期中）已知，则（    ） A．224 B． C． D．448 【答案】D 【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数. 【解析】令，得， 则 可化为：， 二项展开式通项为： 所以 故选：D. 9．（2024高二·全国月考）化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式. 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故为的展开式，化简. 故选：D. 10．（2024高二·辽宁葫芦岛·期末）设，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理化简即可. 【解析】因为， 所以， 所以， 故， 故选：B. 11．（2024·北京）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可求的值. 【解析】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 12．（2024·山西模拟预测）除以5的余数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【解析】由题意可知，， 由此可知除以5的余数，即为除以的余数，故所求余数为. 故选：D. 13．（2024高三·河南安阳月考）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值. 【解析】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则 ∴展开式的通项为 则该展开式中各项系数 若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得 ∴系数的最小值为 故选：C. 14．（2024高二·全国·单元测试）若（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据赋值法分别令、，然后可得. 【解析】令，则，再令，则， ∴. 故选：B. 15．（2024·安徽合肥模拟预测）若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（    ）组不同的解 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质求解. 【解析】根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知的可能取值为9，10，11， 又由题得：令x=1，有，当，11时，；当时，或， 故有序实数对共有4组不同的解，分别为 . 故选：D. 16．（2024高三·全国月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【解析】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 17．（2024高二·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【解析】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 18．（2024高二·全国月考）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【解析】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可. 19．（2024·新疆模拟预测）若的展开式中常数项为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得. 【解析】由，有， 令，即，故， 即，即，则， 当且仅当或时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 20．（2024高三·河北保定·期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用赋值法令由各项系数之和为1可求得，由通项可得展开式中含项的系数是. 【解析】 因为的展开式的各项系数之和为1， 令，得，解得， 所以的展开式中含项为， 所以该展开式中含项的系数是. 故选：D. 21．（2024·全国模拟预测）已知的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一步：根据已知求得n，第二步：分类求展开式中的系数，第三步：求和即可得解. 【解析】由题知，，解得或（舍去）． 则的展开式的通项， 当中取3时，的展开式中取含的项，令，解得，； 当中取时，的展开式中取含的项，令，解得，． 所以的展开式中的系数为. 故选：D． 二、多选题 22．（2024高二·甘肃庆阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则可能取值为6 B．已知，则可能取值为7 C．在的二项式展开式中，常数项是84 D．在的二项式展开式中，常数项是 【答案】BC 【分析】对于选项A和选项B，根据组合数公式，有两种情况：，或，求解即可； 对于选项C和选项D，根据二项展开式的通项公式，当时为常数项，代入求解即可. 【解析】对于选项A和选项B， 因为，故，或，得， 故A错误，B正确； 对于选项C和选项D， 根据二项展开式的通项公式， 令，解得，∴，故C正确、D错误. 故选：BC. 23．（2024高三·广东佛山月考）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用赋值法及展开式的通项公式可得答案. 【解析】令可得，A正确. ，其展开式的第三项是，所以，B不正确. 令可得，所以，D不正确. 令可得，与相减可得，C正确. 故选：AC 三、填空题 24．（2024·河南南阳模拟预测）在的展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解. 【解析】因为的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 所以取，得的系数为. 故答案为：. 25．（2024高三·浙江丽水月考）的展开式中x项系数为 ． 【答案】10 【分析】由的x项系数是求解. 【解析】因为的x项系数是， 所以的展开式中x项系数为： . 故答案为：10． 26．（2024高三·浙江湖州·期末）的展开式中的系数是 . 【答案】14 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算. 【解析】的展开式的通项为， 令，则， 令，则， 故的系数是. 故答案为：14. 27．（2024·河北邯郸模拟预测）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 【答案】 【分析】先根据二项式系数之和求出，然楼根据展开式的通式，令的次数为零即可得常数项. 【解析】由展开式的二项式系数之和为64得，解得， 即，其展开式的通式为 令得， 故答案为：. 28．（2024高三·甘肃武威月考）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲  乙  丙  丁  戊  己  庚  辛  壬  癸 地支：子  丑  寅  卯  辰  巳  午  未  申  酉  戌  亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是 年. 【答案】丙午 【分析】根据和，结合二项展开式的性质及余数，即可求解. 【解析】因为， 所以年以后地支为“午”. 因为， 又因为除以10余数为3，所以年以后天干为“丙”， 故年以后是丙午年. 故答案为：丙午 29．（2024高三·全国月考）若的展开式中含x的项的系数为60，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出通项公式，利用项的系数得到方程，求出，进而由基本不等式求出最小值. 【解析】二项展开式的通项为， 令得， ∴，依题意得，， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立． ∴的最小值为． 故答案为： 30．（2024高二·辽宁沈阳·期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ． 【答案】（或者写成6561） 【分析】根据二项式系数的性质，求得，令，即可求得展开式中所有项系数的绝对值之和. 【解析】因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得， 即, 因为的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项系数和， 所以，令可得. 故答案为：（或者写成6561）. 四、解答题 31．（2024高二·山西忻州月考）已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)126 (2) 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【解析】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； （2）由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 32．（2024高二·江苏月考）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3. (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2)，，，. 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解即可； （2）根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解析】（1）因为的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3， 所以，即， 解得，或舍去，即； （2）因为的展开式的第项为： ， 所以当时，r=1，3，5，7， 所以的展开式中，有理项分别为： ，， ，. 33．（2024高二·山东烟台·期中）（1）证明：能被整除； （2）求的近似值（精确到0.001）. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用二项式展开式证明即可； （2）构造二项式展开式进行求解即可. 【解析】（1）证明：因为 所以能被整除； （2） 34．（2024高二·上海浦东新月考）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由题意对赋值，令，则有，解方程求出的值，然后根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项； （2）利用两边夹定理，设第项为系数的绝对值最大的项，则有 解不等式组可得结果. 【解析】，解得，， （1）二项式系数最大的项为第51项，； （2），其系数的绝对值为，解不等式组，得，，， 系数的绝对值最大的项为第34项，. 【点睛】此题考查二项式定理的有关知识，通过赋值，利用二项式系数的性质求解，属于基础题. 35．（2024高二·吉林·期末）已知的展开式二项式系数和为64. (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)60 (2). 【分析】（1）由二项系数和确定n,再利用二项展开式的通项公式求解 （2）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【解析】（1）由题意得：，解得 由通项公式， 令，可得：.则常数项为 （2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为. 36．（2024高二·辽宁沈阳·期末）已知，若. (1)求的值； (2)求的值.（结果可以用幂指数表示） 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）根据二项式定理得到通项，从而得到方程，求出； （2）令和，即可求解. 【解析】（1）由题意得， 故， 所以，解得； （2）由（1）中通项公式可得大于0，小于0， 在中，令得， ， 令得，故， 故. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$