精品解析：江苏省南京市栖霞区2024-2025学年九年级下学期期初数学预测试卷

2024-2025学年栖霞区九年级（下）期初数学预测试卷 （120分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元/单 6元/单 则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ） A. 4.4元 B. 4.6元 C. 4.8元 D. 5元 3. 如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ） A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米 4. 如图，在中，点在边上，若 ， ，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为 ，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 二次函数图象的顶点坐标为__________． 8. 若一组数据 2，3，4，5，x 的方差比另一组数据 5，6，7，8，9 的方差小，则 x 可以为__．（列举一个满足条件的值） 9. 方程的两个根为．若，则 ____________． 10. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 11. 如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若 ，，则 的度数是_____． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 13. 如图，在矩形中，，，为中点，，垂足为，交边于点，则的长为______． 14. 如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点G，H，与边交于点M，连接交于点N，则的度数为__． 15. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 m 4 … y … 2 … 若，则a的取值范围为______． 16. 如图，在中，，是高，若 ，则的长的最小值为___________． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算求解： （1）； （2）； （3）． 18. 甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率： （1）选取1个景点，恰好在甲城市； （2）选取2个景点，恰好在同一个城市． 19. 周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： （1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． （2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． （3）你建议周老师应如何选择上班路线？ 20. 《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知 ，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 21. 如图，在中，， ，是的角平分线． （1）求证； （2）若，求的长． 22. 为测量某建筑物的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行 到达D处，此时测得顶端C的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据： 23. 已知二次函数 （m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； （2）求证： 当 时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 24. 用直尺和圆规完成下列作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）如图（），过内一点作直线交于点，，使 ； （2）如图（），过外一点作直线交于点，，使． 25. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求的值； （2）若对于 ，，都有，求的取值范围． 26. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径； （3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由． 27. 综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而 是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线 交于点， ，平分． ①若，求 的度数． ②若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年栖霞区九年级（下）期初数学预测试卷 （120分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 2. 某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元/单 6元/单 则该快递员十二月份平均每单送餐费是（ ） A. 4.4元 B. 4.6元 C. 4.8元 D. 5元 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数公式计算即可． 【详解】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元）， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键． 3. 如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ） A. 4.5米 B. 4米 C. 3.5米 D. 2.5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 4. 如图，在中，点在边上，若 ， ，且，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，从而可得比例式，再将BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的长，然后根据AD＝BA−BD，可求得答案． 【详解】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∵BC＝3，BD＝2， ∴， ∴BA＝， ∴AD＝BA−BD＝−2＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 5. 如图，已知△ABC∽△DEF，，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF， ∴A． ，DF与BC不是对应边，它们可相等，比值成立，也可能不等比值不成立，选项不一定成立，不符合题意； B．，选项不成立，不符合题意； C．，选项不成立，不符合题意； D．，选项成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 6. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为 ，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边 ，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边 ，短边，O离地面的距离为h， 根据相似得： ， 由 得：，解得， 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 二次函数图象的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握把二次函数的一般式整理成顶点式是解题关键．直接把二次函数的解析式整理为顶点式即可解答． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 8. 若一组数据 2，3，4，5，x 的方差比另一组数据 5，6，7，8，9 的方差小，则 x 可以为__．（列举一个满足条件的值） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用方差定义判断即可． 【详解】5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为S12=×（22+12+0+12+22）=2； 数据2，3，4，5，x的方差比这组数据方差小，则有S22＜S12=2， 当x=4时，2，3，4，5，4的平均数为3．6，方差为×（1.62+0.62+0.42+1.42+0.42）=1.16，满足题意， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键． 9. 方程的两个根为．若，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算求出m值，即可求出． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， 解得：， 故答案为：． 10. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 11. 如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若 ，，则 的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵是的外角， ， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为: ． 12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理将转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得的值． 【详解】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D， 连接AD、BD，根据圆周角定理可得 ， 每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均 在网格交点上， ， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识点，将根据圆周角定理转换到直角三角形中是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，，，为中点，，垂足为，交边于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得： ，，由为中点，可得，进而根据勾股定理求出，结合垂直的定义可推出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， 故答案为：． 14. 如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点G，H，与边交于点M，连接交于点N，则的度数为__． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 连接、、，根据切线的性质求出，再求出 ，再在圆内接四边形中，求出，再根据内角和定理解答即可． 【详解】解：连接、、，如图， ∵与边分别相切于点 ， ∴， ∴， ∵正六边形的内角和为，每个内角为， ∴， ∵五边形的内角和为 ， ∴， ∴， 在圆内接四边形中， ， ， ， 故答案为：60． 15. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 m 4 … y … 2 … 若，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性与函数表达式的求解，熟练掌握二次函数的对称性质、通过代入点坐标建立方程求解参数是解题的关键．先根据二次函数的对称性确定对称轴，再代入已知点求出函数表达式，结合求解的范围． 【详解】解：∵ 当和时， ， ∴ 二次函数的对称轴为， ∵ 对称轴为，时 ， ∴ 函数表达式可设为 代入， 得，即 ①， 代入， 得 ②， 得：， 即， ∴， 令， ∵ ， ∴当时，最小值为；当或时，， ∴ ， ∵ ，为负， ∴ ，即， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是高，若 ，则的长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，过点作 ，过点作 ，交于，连接，，可证明，得，则，是的垂直平分线，可知，由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号，即可求得的最小值为 ． 【详解】解：取中点，过点作 ，过点作 ，交于，连接，， 则， ， ∴， ∴， ∵ ，是的高， ∴，， ∴， ∴，则， ∵为中点， ， ∴是的垂直平分线， ∴， 由三角形三边关系可知，，当、、三点共线时取等号， 即：的最小值为 ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直平分线的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形，由三角形三边关系得是解决问题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算求解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算即可； 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值混合运算，掌握解一元二次方程的方法及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴或 ， ∴，； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率： （1）选取1个景点，恰好在甲城市； （2）选取2个景点，恰好在同一个城市． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到恰好在同一个城市的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市的为、占2种， ∴恰好在甲城市的概率，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为． 【小问2详解】 解：随机选取2个景点，共有10种等可能结果：、、、、、、、、、，其中满足恰好在同一个城市的为：、、、，占其中4种， ∴恰好在同一个城市的概率即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键． 19. 周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： （1）这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． （2）哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． （3）你建议周老师应如何选择上班路线？ 【答案】（1）22 （2）路线所用的时间更稳定，理由见解析 （3）周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线 【解析】 【分析】本题主要考查了极差、方差的意义、折线统计图等知识点，掌握方差和折线统计图的意义成为解题的关键． （1）先确定这两周用时最多和最少时间，然后作差即可解答； （2）先根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可解答； （3）直接分析折线统计图即可解答． 【小问1详解】 解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟． 故答案为：22． 【小问2详解】 解：路线所用的时间更稳定，理由如下： 记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，． ，． ， ． 因为，即， 所以路线所用的时间更稳定． 【小问3详解】 解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A． 20. 《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞红塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点，树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃距离无法测量；在点处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点处恰好在平面镜中看到树顶的像米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知 ，，且点在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：已知 ，， ，点B，D，E，G在同一水平线上，米，米，米， ∴， 由平面镜反射可知，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵米， ∴（米）， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴飞虹塔的高度为米． 21. 如图，在中，， ，是的角平分线． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，由角平分线的定义可推出，再结合 即可证明结论； （2）可证明，则，设，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵ ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， ∴． 22. 为测量某建筑物的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行 到达D处，此时测得顶端C的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据： 【答案】建筑物的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再设，则，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：， 在中，， ， ， ， 设， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 解得：， ， ∴建筑物的高度约为． 23. 已知二次函数 （m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； （2）求证： 当 时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【答案】（1）证明：令y=0，则−x2+2(m−4)x+m2−1=0 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2） 证明：∵二次函数的解析式为 ， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵当 时， ， ∴当 时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴，与y轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． （1）令，即可把二次函数化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先求出二次函数与y轴的交点坐标为，则当 时， ，由此即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 用直尺和圆规完成下列作图（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）如图（），过内一点作直线交于点，，使 ； （2）如图（），过外一点作直线交于点，，使． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（）连接，过点作的垂线，交于点，由垂径定理可得 ，故直线即为所求； （）以点为圆心，的直径为半径画圆，交于点，连接交于点，连接 交于点，连接，由得，由得，即得，即可得，由平行线等分线段定理得，即得，故直线 即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，直线 即为所求． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线等分线段定理，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，求的值； （2）若对于 ，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； 【小问2详解】 解：∵当 ，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 26. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径； （3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）如图，连接OD， ∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO=90°， ∵AO=AO，AC=AD，OC=OD， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠ADO=∠ACO=90°， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）； （3），理由： 连接OD，DE， 由（1）可知：△ACO≌△ADO， ∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD， 又∵CO=DO，OE=OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠OCE=∠ODE， ∵OC=OE=OD， ∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE， ∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE， ∵点F是AB中点，∠ACB=90°， ∴CF=BF=AF， ∴∠FCB=∠FBC， ∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE， ∴∠DEF=∠DFE， ∴DE=DF=CE， ∴AF=BF=DF+BD=CE+BD． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论； （2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解； （3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△ABC中，tanB==， ∴设AC=4x，BC=3x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴16x2+9x2=100， ∴x=2， ∴BC=6， ∵AC=AD=8，AB=10， ∴BD=2， ∵OB2=OD2+BD2， ∴（6-OC）2=OC2+4， ∴OC=， 故⊙O的半径为； （3）略 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 27. 综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而 是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线 交于点， ，平分． ①若，求 的度数． ②若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【解析】 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得 ，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由 得 四点共圆， 即可得 ，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则 ， ， ， 而 是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴ 四点共圆， ∵平分，， ∴ ， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $