7.2 复数的四则运算【六大题型】-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

7．2 复数的四则运算 【题型归纳目录】 题型一：复数代数形式的加、减运算 题型二：复数加减法的几何意义 题型三：复数模的综合问题 题型四：复数代数形式的乘法运算 题型五：复数代数形式的除法运算 题型六：在复数范围内解方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 题型一：复数代数形式的加、减运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式1-1】计算下列各题． (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】已知复数，，其中．若，求的值． 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 题型二：复数加减法的几何意义 【例2】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式2-1】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式2-2】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【变式2-3】已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型三：复数模的综合问题 【例3】已知，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式3-1】若，且，则的最小值为 【变式3-2】已知，则 的最小值是 ． 【变式3-3】设复数、，满足，，则 ． 题型四：复数代数形式的乘法运算 【例4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【变式4-1】已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-2】已知复数和复数满足，．求． 【变式4-3】计算： (1) (2) (3) 题型五：复数代数形式的除法运算 【例5】计算：； （2）已知，求的模． 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【变式5-1】计算：； （2）已知，求复数z． 【变式5-2】若复数，则= 【变式5-3】已知复数 的共轭复数为 ，则 . 题型六：在复数范围内解方程 【例6】已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【方法技巧与总结】 当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【变式6-1】代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【变式6-2】已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【变式6-3】在复数范围内解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式6-4】知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【强化训练】 1．已知，则（   ） A． B． C．1 D． 2．已知复数，则的的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 4．已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 6．设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．直线上 D．直线上 7．已知，，且，其中i是虚数单位，则（   ） A．10 B． C．2 D． 8．已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 10．（多选题）已知复数z满足，则（   ） A． B．z的实部是 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 11．（多选题）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 12．（多选题）设，均为模是1的复数，则（    ） A． B． C． D．的最大值为5 13．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 14．在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 15．已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是 . 16．已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 17．对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 18．已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 19．设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 20．已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．2 复数的四则运算 【题型归纳目录】 题型一：复数代数形式的加、减运算 题型二：复数加减法的几何意义 题型三：复数模的综合问题 题型四：复数代数形式的乘法运算 题型五：复数代数形式的除法运算 题型六：在复数范围内解方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 题型一：复数代数形式的加、减运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【方法技巧与总结】 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式1-1】计算下列各题． (1)； (2)． 【解析】（1）原式； （2）原式 ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【解析】（1） （2） 【变式1-3】已知复数，，其中．若，求的值． 【解析】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 题型二：复数加减法的几何意义 【例2】如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【解析】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式2-1】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【解析】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 【变式2-2】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 【变式2-3】已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【解析】由题意，画出平行四边形如下图示 （1）在平行四边形ABCD中，有 ∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i 即对应的复数是－2＋2i （2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5 即对应的复数是5 （3）∵ ∴，而， 即 ∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝ 故 即的面积为 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型三：复数模的综合问题 【例3】已知，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】本题可用特值法，不妨设，由于，可得，解得，则，故选D. 【方法技巧与总结】 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式3-1】若，且，则的最小值为 【答案】4 【解析】复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离. 原点O到点(3,4)之间的距离d=5， ∴的最小值为5-1=4. 故答案为：4. 【变式3-2】已知，则 的最小值是 ． 【答案】1 【解析】由，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上． ，表示Z到点所对应的点的距离，求出后减去半径可得最小值．因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上． ，表示Z到点所对应的点的距离， ， 所以． 故答案为1． 【变式3-3】设复数、，满足，，则 ． 【答案】 【解析】设，， 因为，则， 又因为， 所以，，即， 由，可得，故，解得， 由，可得， 所以，，所以，. 故答案为：. 题型四：复数代数形式的乘法运算 【例4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）． （2） ． （3）原式 ． 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【变式4-1】已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 【变式4-2】已知复数和复数满足，．求． 【解析】设复数， 则， 因为， 所以， ， 所以， 解得. 所以 . 【变式4-3】计算： (1) (2) (3) 【解析】（1）. （2）. （3）. 题型五：复数代数形式的除法运算 【例5】计算：； （2）已知，求的模． 【解析】（1）原式． （2）， 的模为． 【方法技巧与总结】 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【变式5-1】计算：； （2）已知，求复数z． 【解析】（1） ； （2）设，由得，，即， 所以，解得或， 所以或. 【变式5-2】若复数，则= 【答案】 【解析】由， 所以，故. 故答案为： 【变式5-3】已知复数 的共轭复数为 ，则 . 【答案】 【解析】， 故答案为： 题型六：在复数范围内解方程 【例6】已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【解析】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 【方法技巧与总结】 当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【变式6-1】代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【解析】（1）由题意，，即，所以， 所以或，对，有， 即复根有. （2）由题意，，化简得，， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得. （3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点， 由得，所以， 即， 化简得：， 由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解， 故，解得，故， 又，故 由菱形，可得， 所以， 故． 【变式6-2】已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【解析】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 【变式6-3】在复数范围内解方程： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由可得：， 解得：； （2）由可得：， 则，即，解得： （3）由可得：， 所以，即 解得：. 【变式6-4】知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【解析】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 【强化训练】 1．已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 所以，. 故选：B. 2．已知复数，则的的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，所以虚部为. 故选：B. 3．在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 4．已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】复数满足， 则， 是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 故选：B． 5．已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【解析】因为复数和，满足， 则， 所以，所以. 故选：C. 6．设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．直线上 D．直线上 【答案】A 【解析】对于复数，，其共轭复数. . 因，由，可得. 因为等式右边，所以，即. 对两边同时平方得，即. 两边同时开平方得，又因为， 所以复数在复平面内对应的点在射线上. 故选：A. 7．已知，，且，其中i是虚数单位，则（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由得：， 所以解得， 所以. 故选:D. 8．已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 9．（多选题）已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的虚部为 D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，，所以，则A正确； 对于B，，则B错误； 对于C，，则C正确； 对于D，，则D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）已知复数z满足，则（   ） A． B．z的实部是 C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】由题意可得， 则的实部是，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 11．（多选题）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，设，则， 所以为实数，所以A正确； 对于B，设，则，但且，所以B错误； 对于C，设， 则 ， 又，则，所以C正确； 对于D，设，， 则，， 则 ， 故 ，所以D正确. 故选：ACD. 12．（多选题）设，均为模是1的复数，则（    ） A． B． C． D．的最大值为5 【答案】BC 【解析】对于A，设，，则，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，， 则， 所以，， ，所以，故C正确； 对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离， 因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误． 故选：BC． 13．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ． 【答案】 【解析】复数对应的点的坐标是， 则 则． 故答案为：. 14．在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式：（1）；（2）；（3）；（4）.其中恒成立的等式的个数是 【答案】2 【解析】对于（1），取，则，，显然，（1）错； 对于（2），设，， 则， 所以， ，（2）对； 对于（3），由平面向量数量积的定义可得，（3）对； 对于（4），因为，则， 所以，，（4）错. 故恒成立的等式有（2）、（3）共2个. 故答案为：2 15．已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】若方程有两个虚数根，设（且）， 所以，，，两个根、满足，， 复数分别对应的点在以为圆心2为半径的圆上以及圆的内部， 易知且，且点关于轴对称，所以且， 故. 若方程有两个实数根，由可得，， 同理可得，，所以， 即， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 16．已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 17．对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【解析】（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， . 18．已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的数量投影． 【解析】（1）， 因为是纯虚数， 所以且， 解得. 所以. （2）由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的数量投影为. 19．设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 【解析】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为； （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数； （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1． 20．已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 【解析】（1）设， 因为，所以，得或， 又z在复平面内所对应的点在第一象限，所以， 所以； （2）， 所以，，，，， 所以，， 所以 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$