第三讲 圆柱和圆锥（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第三讲 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+15大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 3 知识梳理点02：圆柱的表面积 3 知识梳理点03：圆柱的体积 3 知识梳理点04：圆锥的体积 4 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：圆柱的认识及特征 5 考点讲练02：圆柱的展开图 6 考点讲练03：圆柱的侧面积 6 考点讲练04：圆柱的表面积 6 考点讲练05：组合体的表面积（圆柱） 7 考点讲练06：圆柱的体积 8 考点讲练07：圆柱的容积 8 考点讲练08：立体图形的切拼（圆柱） 9 考点讲练09：圆锥的认识及特征 10 考点讲练10：圆锥的体积（容积） 10 考点讲练11：圆柱与圆锥体积的关系 11 考点讲练12：组合体的体积（圆柱、圆锥） 11 考点讲练13：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 12 考点讲练14：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 13 考点讲练15：立体图形的切拼（圆锥） 14 易错真题 培优必刷 14 压轴专练 冲刺拔尖 14 培优巩固 拔尖冲刺 18 基础夯实优选题专练 21 培优优选题专练 23 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识梳理点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识梳理点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识梳理点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。 1. 圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 3. 求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 4. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 5. 圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的1/n2。 6. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 7. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 8. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 9. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 10. 运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘三分之一。 11. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积，才存在3倍的关系。 考点讲练01：圆柱的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·河南濮阳·期末）如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的（    ）相等。 A．底面周长和高 B．底面积和高 C．底面直径和高 D．底面半径和高 【精练题01】（23-24六年级下·湖南永州·期末）圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 【精练题02】（2023·广西柳州·小升初模拟）下图是一个蛋糕盒，盒上扎了一条漂亮的丝带，已知蛋糕盒底面周长是94.2cm，高是16cm，接头处用去20cm，这条丝带长( )m。 考点讲练02：圆柱的展开图 【精讲题】（23-24六年级下·山东临沂·期末）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是( )。 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁鞍山·期末） 圆柱侧面沿虚线剪开得到一个平行四边形，这个平行四边形的高是( )cm，圆柱底面半径是( )cm。 【精练题02】（23-24六年级下·河北承德·期末）下面图形中（    ）是圆柱体的展开图。 A． B． C． D． 考点讲练03：圆柱的侧面积 【精讲题】（23-24六年级下·河南安阳·期末）一个圆柱的侧面展开图近似是一个正方形，圆柱的高是5厘米，这个圆柱的侧面积约是（    ）平方厘米。 A．5 B．10 C．25 D．无法确定 【精练题01】（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）一个压路机的前轮是圆柱形的，轮宽1.2米，半径是4分米。前轮滚动一周，压路的面积是( )平方米。 【精练题02】（23-24六年级下·广西河池·期末）有一个底面直径是3cm的圆柱形玩具，高8cm，滚动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 考点讲练04：圆柱的表面积 【精讲题】（23-24六年级下·贵州黔西·期末）一根圆柱形木料的底面半径是0.2米，长是4米。如果将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（    ）平方米。 A．0.1256 B．1.248 C．0.5024 D．0.7536 【精练题01】（22-23六年级下·湖南永州·期末）一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南岳阳·期末）一个圆柱的底面半径是1dm，高是1m，把它平均锯成4段小圆柱，如果每锯一次的时间是3分钟，那么锯完一共需要 分钟；锯完后表面积一共增加了 dm2。 考点讲练05：组合体的表面积（圆柱） 【精讲题】（23-24六年级下·湖南常德·期末）一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差( )cm2。 【精练题01】（23-24六年级下·湖南衡阳·期末）计算如图形的表面积。（单位：厘米） 【精练题02】（23-24六年级下·湖南张家界·期末）有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 考点讲练06：圆柱的体积 【精讲题】（2024·四川乐山·小升初真题）把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多( )立方厘米。 【精练题01】（2024·四川绵阳·小升初真题）如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【精练题02】（2024·四川乐山·小升初真题）为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 考点讲练07：圆柱的容积 【精讲题】（23-24六年级下·浙江杭州·期末）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是小沙怕爸爸烫手而特意贴上的。这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 【精练题01】（23-24六年级下·湖北十堰·期末）一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去( )mL水。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南衡阳·期中）容积200升的圆柱形油桶，它的体积一定是200立方分米。( )（判断正误） 考点讲练08：立体图形的切拼（圆柱） 【精讲题】（2024·四川巴中·小升初真题）如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 【精练题01】（23-24六年级下·福建龙岩·期末）如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。已知长方体前面的面积是157平方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米。　 【精练题02】（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。表面积增加了60平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 考点讲练09：圆锥的认识及特征 【精讲题】（2024·四川绵阳·小升初真题）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为（    ）。 A．R＝2r B．R＝3r C．R＝4r D．R＝5r 【精练题01】（23-24六年级下·湖南永州·期末）下面图形旋转就会形成圆锥。 A． B． C． D． 【精练题02】（23-24六年级下·四川广元·期末）如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是（    ）cm。 A．6 B．8 C．16 D．12 考点讲练10：圆锥的体积（容积） 【精讲题】（23-24六年级下·四川德阳·期末）一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（    ）cm。 A．30 B．45 C．60 【精练题01】（2024·浙江湖州·小升初真题）如图，以BC边为轴旋转一周，空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 【精练题02】（23-24六年级下·四川内江·期末）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 考点讲练11：圆柱与圆锥体积的关系 【精讲题】（2024·四川绵阳·小升初真题）把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（    ）。 A． B．3倍 C． D．2倍 【精练题01】（22-23六年级下·河南信阳·期末）如图所示绕木棒旋转后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积之比是( )。 【精练题02】（2024·四川绵阳·小升初真题）有36个铁圆锥，可以熔成等底等高的圆柱体个数是( )个。 考点讲练12：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·广东东莞·期末）一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个石顶屋的体积是（    ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 【精练题01】（23-24六年级下·湖南衡阳·期中）求组合图形的体积。（单位：cm） 【精练题02】（23-24六年级下·广东东莞·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 考点讲练13：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·湖北黄冈·期末）一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 【精练题01】（23-24六年级下·河南许昌·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【精练题02】（23-24六年级下·河南安阳·期末）小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 考点讲练14：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·河南安阳·期末）一个圆锥形铁块，底面半径是10cm，高是15cm。把它熔铸成一个圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）dm3。 A．1.57 B．4.71 C．15.7 D．1570 【精练题01】（23-24六年级下·广东东莞·期末）一个圆锥形麦堆，量得底面周长为12.56米，高1.8米。 （1）这个麦堆的占地面积是多少平方米？ （2）如果把这些小麦装入一个底面半径是2米圆柱形粮囤（从里面量），刚好装满这个粮囤。这个粮囤的高是多少米？ 【精练题02】（23-24六年级下·河南信阳·期末）王大妈家有一堆晒干的圆锥形稻谷，底面半径4米，高0.9米。如果把这堆稻谷装进底面半径是2米的圆柱形粮仓，仓内稻谷高多少米？ 列综合算式不计算 考点讲练15：立体图形的切拼（圆锥） 【精讲题】（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了120平方厘米。圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 【精练题01】（23-24六年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是240立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【精练题02】（23-24六年级下·河北邯郸·期末）有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。 1．（2024•安远县）一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是　　 A． B． C． D．无法确定 2．（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 3．（2024•西乡塘区）一个圆锥和一个圆柱等底等高，若它们的体积和是60立方厘米，则圆柱体积是　　立方厘米． A．15 B．20 C．40 D．45 4．（2024•冠县）一个长方体，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果长方体的高是3厘米，圆柱的高是 　　厘米，圆锥的高是 　　厘米。 5．（2024•菏泽）如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满　　杯． 6．（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 7．（2019•郑州模拟）求如图的表面积和体积．单位 8．（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 9．（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 10．（2024•房山区）用一张长方形铁皮（如图），剪出一个底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 ①这个水桶的底面直径是 　　分米，高是 　　分米。 ②这个水桶最多能装水多少升（铁皮的厚度忽略不计）？ 11．（2024春•方城县期中）如图中的每小格表示边长1厘米的正方形。 （1）把三角形按扩大，画出扩大后的图形。原来的三角形面积与扩大后三角形的面积比是 　　　　。 （2）如果原三角形以长直角边为轴旋转，得到的图形的体积是 　　立方厘米。 12．（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 13．（2024•埇桥区）直角三角形绕着其中一条直角边旋转一周（如图），得到的立体图形的体积为　　立方厘米。取（单位：厘米） A．37.68 B．31.4 C．25.12 14．（2024•禹城市）有3个木块，分别是正方体、圆柱和圆锥。通过测量，发现他们的底面积相等，高也相等。下面说法错误的是　　 A．在这3个木块中，圆锥的体积最小 B．在这3个木块中，圆锥的体积是正方体体积的 C．在这3个木块中，正方体的体积比圆柱的体积大 D．在这3个木块中，圆柱的体积是圆锥体积的3倍 15．（2024•安宁区）四个杯子中均装有一定量的开水，如果把50克糖融于水中，含糖率最高的是　　 A． B． C． D． 16．（2024•埇桥区）如图，一个高是的圆柱，切开再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了，原来圆柱的表面积是 　　，体积是 　　。 17．（2024•黄岩区）如图，将一个圆柱和一个圆锥粘合成陀螺，表面积减少了，这个陀螺的体积是 　　。 18．（2024•广汉市）一根圆柱形木料，长0.5米。如果把它沿底面直径平均锯成两部分，表面积增加了600平方厘米，这根木料的体积是 　　立方厘米；如果把它削成一个最大的圆锥，要削去 　　立方厘米。取值为 19．（2022•蒲城县）一个圆柱与一个圆锥的体积相等。若圆柱的底面积是圆锥的，则圆锥的高与圆柱的高的比是。 　　（判断对错） 20．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 21．（2024•高唐县）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 22． （2024•卧龙区）“攀登数学的山峰，享受挑战的趣味。”某学校数学社团的聪聪想到了一个测量圆锥高的方法：把一个底面直径是的圆锥形铁块放入一个底面半径是，高是的圆柱形容器里，铁块完全浸没水中，水面上升了且水未溢出。这个铁块的高是多少厘米？ 23．（2024•蒸湘区）如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是。把一个底面半径是的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了，这个铅锤的高是多少厘米？ 24．（2024春•榕城区期中）一个装有水的圆柱形玻璃杯，从里面量得它的直径是20厘米，杯中水面距杯口3厘米。如果把一个高12厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水会溢出20毫升。这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 25．（2024春•南海区期中）如图①所示，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）与注水时间（秒之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点 　　表示烧杯中刚好注满水，点 　　表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是 　　厘米。 （3）烧杯的底面积是多少平方厘米？ （4）注满水槽所用的时间是多少秒？ 基础夯实优选题专练 1．（2024·四川乐山·小升初真题）圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 2．（23-24六年级下·湖南娄底·期末）等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积相比较（    ）。 A．正方体体积大 B．长方体体积大 C．圆柱体体积大 D．体积一样的 3．（23-24六年级下·天津南开·期末）一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体的体积是圆锥体的（    ）。 A． B．3倍 C． D．2倍 4．（23-24六年级下·河北承德·期末）目前我们学习了一些立体图形的体积计算，其中( )体、( )体和( )体的体积都可以用底面积乘高来计算。 5．（23-24六年级下·河北邯郸·期末）一张长方形纸，长4厘米，宽2厘米。如果以长方形的长为轴旋转而成圆柱体。其中长方形的长等于圆柱体的( )，长方形的宽等于圆柱体的( )。 6．（23-24六年级下·河南信阳·期末）扫墓祭祖、缅怀先烈是清明节的传统，学校组织学生去烈士陵园扫墓，明明准备为烈士献花的花束包装盒一个是圆柱形，底面半径为厘米，侧面展开图为正方形，这个包装盒的高是( )厘米。 7．（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用表示。( ) 8．（22-23六年级下·湖南岳阳·期末）计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 9．（23-24六年级下·湖南邵阳·期末）把一张长5厘米、宽4厘米的长方形纸绕长边旋转一周（如下图），形成一个圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 10． （23-24六年级下·天津滨海新·期末）计划制作1个没盖的圆柱形铁皮水桶，高是8分米，底面半径是2分米，制作这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 培优优选题专练 11．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，一个圆柱切拼成一个近似长方体后（    ）。 A．表面积不变，体积不变 B．表面积不变，体积变大 C．表面积变大，体积不变 D．表面积变大，体积变大 12．（23-24六年级下·四川乐山·期中）有一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍。这个圆柱和圆锥的体积之比是（    ）。 A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5 13．（23-24六年级下·四川乐山·期中）一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的高和底面直径的比是（    ）。 A．π∶1 B．1∶π C．1∶1 D．π∶4 14．（23-24六年级下·四川内江·期末）将等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入一个装有水的长方体容器中（完全浸没），水面上升了8厘米，若长方体容器的底面积是40平方厘米，则圆柱的体积是( )立方厘米。 15．（23-24六年级下·四川德阳·期末）如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积是( )cm3。 16．（23-24六年级下·四川绵阳·期中）将一个体积是24立方分米的圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方分米。 17．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）高相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍。( )（判断对错） 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）圆柱体积等于圆锥体积的3倍。( )（判断对错） 19． （23-24六年级下·四川绵阳·期末）一个圆柱形容器，从里面量，底面半径10厘米，高15厘米，容器中的水面高10厘米。当放入一个底面半径为5厘米、高为9厘米的圆锥形铁锤，使其沉入水中时，容器中的水面会增高多少厘米？ 20．（23-24六年级下·四川乐山·期中）王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（人教版） 第三讲 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+15大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 3 知识梳理点02：圆柱的表面积 3 知识梳理点03：圆柱的体积 3 知识梳理点04：圆锥的体积 4 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：圆柱的认识及特征 5 考点讲练02：圆柱的展开图 6 考点讲练03：圆柱的侧面积 8 考点讲练04：圆柱的表面积 9 考点讲练05：组合体的表面积（圆柱） 11 考点讲练06：圆柱的体积 13 考点讲练07：圆柱的容积 15 考点讲练08：立体图形的切拼（圆柱） 16 考点讲练09：圆锥的认识及特征 18 考点讲练10：圆锥的体积（容积） 20 考点讲练11：圆柱与圆锥体积的关系 22 考点讲练12：组合体的体积（圆柱、圆锥） 23 考点讲练13：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 25 考点讲练14：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 27 考点讲练15：立体图形的切拼（圆锥） 29 易错真题 培优必刷 31 压轴专练 冲刺拔尖 39 培优巩固 拔尖冲刺 48 基础夯实优选题专练 48 培优优选题专练 52 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识梳理点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识梳理点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识梳理点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识梳理点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。 1. 圆柱的底面是圆，不是椭圆。 2. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 3. 求通风管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 4. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 5. 圆柱的高不变，若底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则体积扩大到原来的n2倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的，则体积缩小到原来的1/n2。 6. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 7. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 8. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 9. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 10. 运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘三分之一。 11. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积，才存在3倍的关系。 考点讲练01：圆柱的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·河南濮阳·期末）如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的（    ）相等。 A．底面周长和高 B．底面积和高 C．底面直径和高 D．底面半径和高 【答案】A 【思路点拨】一般情况下，圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。 【规范解答】如图： 如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的底面周长和高相等。 故答案为：A 【精练题01】（23-24六年级下·湖南永州·期末）圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。（π取3.14） 【答案】 31.4 12 【思路点拨】根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，由此根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，解决问题。 【规范解答】长：3.14×10＝31.4（cm） 宽：12cm 圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，长方形的长是31.4cm，宽是12cm。 【精练题02】（2023·广西柳州·小升初模拟）下图是一个蛋糕盒，盒上扎了一条漂亮的丝带，已知蛋糕盒底面周长是94.2cm，高是16cm，接头处用去20cm，这条丝带长( )m。 【答案】3.88 【思路点拨】把这个蛋糕盒看作是一个圆柱，根据圆的周长＝πd，用圆的周长除以3.14计算出蛋糕盒底的直径；要求这条丝带的长度也就是求8条直径加上8条高加上接头处的长度总和。 【规范解答】蛋糕盒底的直径：94.2÷3.14＝30（cm） 30×8＋16×8＋20 ＝240＋128＋20 ＝388（cm） 388cm＝3.88m 因此这条丝带长3.88m。 考点讲练02：圆柱的展开图 【精讲题】（23-24六年级下·山东临沂·期末）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，已知它的底面周长是31.4分米，则这个圆柱底面直径和高的比是( )。 【答案】50∶157 【思路点拨】根据正方形的特征可知，圆柱的底面周长等于圆柱的高，所以根据圆周长公式：C＝πd，用31.4÷3.14即可求出底面直径，进而写出圆柱底面直径和高的比，再化简即可；化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【规范解答】31.4÷3.14＝10（分米） 10∶31.4 ＝（10×5）∶（31.4×5） ＝50∶157 这个圆柱底面直径和高的比是50∶157。 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁鞍山·期末） 圆柱侧面沿虚线剪开得到一个平行四边形，这个平行四边形的高是( )cm，圆柱底面半径是( )cm。 【答案】 10 5 【思路点拨】根据圆柱的展开图可知，这个平行四边形的底为圆柱的底面周长，高为圆柱的高，根据圆的周长，求出圆柱的底面半径即可。 【规范解答】 （cm） 所以这个平行四边形的高是10cm，圆柱底面半径是5cm。 【精练题02】（23-24六年级下·河北承德·期末）下面图形中（    ）是圆柱体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】圆柱体侧面展开图特征：如果沿着圆柱体的高将圆柱体侧面展开，得到的图形是一个矩形。矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，即C＝2πr（其中为底面半径）。矩形的宽等于圆柱体的高。 圆柱体两个底面展开图特征：圆柱体的两个底面是完全相同的圆。圆的半径就是圆柱体底面半径r。在圆柱体展开图中，两个底面圆分别位于侧面展开长方形的上下两侧（当沿着高展开时）。逐一分析各项，是否符合圆柱体展开图的特征。 【规范解答】 A．，图中长方形的高为2，长为9.42，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，符合圆柱体展开图的特征。 B．，图中长方形的长为3，高为2，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 C． 图中长方形的高为2，长为12，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 D． 图中长方形的高为2，长为24，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（6÷2）＝6.28×3＝18.84，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 故答案为：A 考点讲练03：圆柱的侧面积 【精讲题】（23-24六年级下·河南安阳·期末）一个圆柱的侧面展开图近似是一个正方形，圆柱的高是5厘米，这个圆柱的侧面积约是（    ）平方厘米。 A．5 B．10 C．25 D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】据题意可知，圆柱的侧面展开是近似正方形，圆柱的高就是这个正方形的边长，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可得解。 【规范解答】（平方厘米） 这个圆柱的侧面积约是25平方厘米。 故答案为：C 【精练题01】（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）一个压路机的前轮是圆柱形的，轮宽1.2米，半径是4分米。前轮滚动一周，压路的面积是( )平方米。 【答案】3.0144 【思路点拨】求压路面的面积，就是求这个压路机的前轮的侧面积，因为前轮是圆柱形，所以根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【规范解答】4分米＝0.4米 3.14×0.4×2×1.2 ＝1.256×2×1.2 ＝2.512×1.2 ＝3.0144（平方米） 压路的面积是3.0144平方米。 【精练题02】（23-24六年级下·广西河池·期末）有一个底面直径是3cm的圆柱形玩具，高8cm，滚动一周后前进了( )cm，压过的面积是( )cm2。 【答案】 9.42 75.36 【思路点拨】滚动一周前进的距离等于圆柱形玩具的底面周长，压过的面积相当于圆柱的侧面积，根据圆柱底面周长＝圆周率×底面直径，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【规范解答】3.14×3＝9.42（cm） 9.42×8＝75.36（cm2） 滚动一周后前进了9.42cm，压过的面积是75.36cm2。 考点讲练04：圆柱的表面积 【精讲题】（23-24六年级下·贵州黔西·期末）一根圆柱形木料的底面半径是0.2米，长是4米。如果将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了（    ）平方米。 A．0.1256 B．1.248 C．0.5024 D．0.7536 【答案】D 【思路点拨】将圆柱形木料截成4段，要截3次，每截1次增加2个圆柱的底面积，截3次表面积就增加了3×2＝6个底面积，根据圆的面积：S＝，代入数据求出底面积，再用底面积×6即可解答。 【规范解答】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 3.14×0.2²×6 ＝3.14×0.04×6 ＝0.7536（平方米） 所以这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了0.7536平方米。 故答案为：D 【精练题01】（22-23六年级下·湖南永州·期末）一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了( )平方米。 【答案】4.71 【思路点拨】将圆柱形木料截成4段，要截3次，每截1次增加2个圆柱的底面积，截3次表面积就增加了3×2＝6个底面积，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出底面积，再用底面积×6即可。 【规范解答】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝4.71（平方米） 这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了4.71平方米。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南岳阳·期末）一个圆柱的底面半径是1dm，高是1m，把它平均锯成4段小圆柱，如果每锯一次的时间是3分钟，那么锯完一共需要 分钟；锯完后表面积一共增加了 dm2。 【答案】 9 18.84 【思路点拨】根据题意，锯1次需要3分钟，锯成4段，需要锯4－1＝3次，用锯1次需要的时间×锯的次数，即3×3解答； 锯1次增加2个截面的面积，锯3次增加2×3＝6个截面的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出1个截面的面积，再乘6，即可解答。 【规范解答】3×（4－1） ＝3×3 ＝9（分钟） 3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（dm2） 一个圆柱的底面半径是1dm，高是1m，把它平均锯成4段小圆柱，如果每锯一次的时间是3分钟，那么锯完一共需要9分钟；锯完后表面积一共增加了18.84dm2。 考点讲练05：组合体的表面积（圆柱） 【精讲题】（23-24六年级下·湖南常德·期末）一顶帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是圆环，用黄色布做（如图，单位：cm）。做这顶帽子所用的黑布与黄布相差( )cm2。 【答案】53.38 【思路点拨】从图中可知，黑布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，黄布的面积＝圆环的面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆环的面积公式S环＝π（R2－r2） ，代入数据计算，分别求出黑布与黄布的面积，再相减即可。 【规范解答】18÷2＝9（cm） 9＋8＝17（cm） 黑布的面积： 3.14×18×8＋3.14×92 ＝56.52×8＋3.14×81 ＝452.16＋254.34 ＝706.5（cm2） 黄布的面积： 3.14×（172－92） ＝3.14×（289－81） ＝3.14×208 ＝653.12（cm2） 相差：706.5－653.12＝53.38（cm2） 做这顶帽子所用的黑布与黄布相差53.38cm2。 【精练题01】（23-24六年级下·湖南衡阳·期末）计算如图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】415.4平方厘米 【思路点拨】通过观察图形可得：这个组合图形的表面积等于一个正方体的表面积加上一个圆柱的侧面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据计算，即可解答。 【规范解答】表面积： 8×8×6＋2×3.14×5 ＝384＋31.4 ＝415.4（平方厘米） 【精练题02】（23-24六年级下·湖南张家界·期末）有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【答案】533.8平方厘米 【思路点拨】这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面积，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱的底面。 所以，这个零件接触空气的面积即涂漆面积＝高12厘米，底面直径是8厘米的圆柱的表面积＋直径是6厘米，高为7厘米的圆柱的侧面积。 圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高。圆的面积（底面积）＝π×半径2，据此代入数据计算。 【规范解答】 ＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7 ＝3.14×16×2＋301.44＋131.88 ＝100.48＋301.44＋131.88 ＝401.92＋131.88 ＝533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 考点讲练06：圆柱的体积 【精讲题】（2024·四川乐山·小升初真题）把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多( )立方厘米。 【答案】192 【思路点拨】根据题意可知，一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，即把圆柱形木料的长平均分成了2＋3＋4＝9份，用圆柱形木料的长度÷总份数，求出1份的长度，即可求出最长的长度和最短的长度；再根据圆柱形木料切成3段，增加了4个横截面的面积，用增加的面积÷4，求出一个横截面的面积，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出最长的圆柱的体积和最短的圆柱的体积，再用最长圆柱的体积－最短圆柱的体积，即可解答。 【规范解答】2＋3＋4 ＝5＋4 ＝9（份） 108÷9×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 108÷9×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 32÷4＝8（平方厘米） 48×8－24×8 ＝384－192 ＝192（立方厘米） 把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多192立方厘米。 【精练题01】（2024·四川绵阳·小升初真题）如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 251.2 502.4 【思路点拨】从图中可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高； 圆柱的侧面积等于长方形的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，求出它的侧面积； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出它的体积。 【规范解答】圆柱的侧面积：25.12×10＝251.2（平方厘米） 圆柱的底面半径：25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） 它的侧面积是251.2平方厘米，体积是502.4立方厘米。 【精练题02】（2024·四川乐山·小升初真题）为防止铁质零件生锈，需将零件浸入防锈油。现将一个底面是边长10厘米的正方形，高12厘米的长方体铁质零件放入—个底面直径20厘米，高20厘米的圆柱形容器浸防锈油，那么容器内至少需要注入多少升防锈油才能完全将零件浸没？ 【答案】1.94升 【思路点拨】根据题意，作图如下： 先将长方体倒卧在圆柱形容器内，注入防锈油，当容器内防锈油的高度是10厘米时，就能完全将零件浸没，此时防锈油的体积＝10厘米高的圆柱体积－长方体的体积。根据圆柱的体积：V＝πr2h，长方体的体积：V＝abh，代入数据，分别求出体积，再相减即可。 【规范解答】3.14×（20÷2）2×10－10×10×12 ＝3.14×100×10－1200 ＝3140－1200 ＝1940（立方厘米） 1940立方厘米＝1940毫升＝1.94升 答：容器内至少需要注入1.94升防锈沺才能完全将零件浸没。 考点讲练07：圆柱的容积 【精讲题】（23-24六年级下·浙江杭州·期末）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是小沙怕爸爸烫手而特意贴上的。这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 【答案】 18.84 423.9 【思路点拨】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答； （2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【规范解答】底面周长：3.14×6＝18.84（厘米） 半径：6÷2＝3（厘米） 圆柱的容积： 3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） ＝423.9（毫升） 这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是18.84厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是423.9毫升。（玻璃杯厚度不计） 【精练题01】（23-24六年级下·湖北十堰·期末）一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去( )mL水。 【答案】282.6 【思路点拨】如右图所示，喝去的水也形成一个圆柱体，底面直径为6cm，高为30－20＝10cm。 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出体积，再根据“1cm3＝1mL”换算单位即可。 【规范解答】3.14×（6÷2）2×（30－20） ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（cm3） 282.6cm3＝282.6mL 喝去282.6mL水。 【精练题02】（23-24六年级下·湖南衡阳·期中）容积200升的圆柱形油桶，它的体积一定是200立方分米。( ) 【答案】× 【思路点拨】1升＝1立方分米，体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积。 【规范解答】虽然200升＝200立方分米，考虑油桶材料的厚度，容积200升的圆柱形油桶，它的体积应该大于200立方分米，所以原题说法错误。 故答案为：× 考点讲练08：立体图形的切拼（圆柱） 【精讲题】（2024·四川巴中·小升初真题）如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】C 【思路点拨】把圆柱拼成一个近似的长方体，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体表面积增加的部分是左右两个侧面的面积；用6÷2＝3（cm）求出半径是3cm，长方体侧面的面积＝圆柱的底面半径×圆柱的高，据此解答。 【规范解答】6÷2＝3（cm） 8×3×2 ＝24×2 ＝48（cm2） 所以表面积比原来增加了48cm2。 故答案为：C 【精练题01】（23-24六年级下·福建龙岩·期末）如图，将一个底面半径为5厘米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼成一个近似的长方体。已知长方体前面的面积是157平方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米。　 【答案】785 【思路点拨】据题意可知，长方体前面的面积就是圆柱侧面积的一半，根据圆柱的侧面公式，则长方体前面的面积就是，又知半径为5厘米，可用求出高，再根据，代入数据计算即可得解。 【规范解答】 （厘米） （立方厘米） 圆柱的体积是785立方厘米。 【精练题02】（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。表面积增加了60平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】282.6 【思路点拨】根据题意，把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，则圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径； 已知表面积增加了60平方厘米，先除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径；然后根据公式V＝πr2h，求出这个圆柱的体积。 【规范解答】圆柱的底面半径： 60÷2÷10 ＝30÷10 ＝3（厘米） 圆柱的体积： 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方厘米） 这个圆柱的体积是282.6立方厘米。 考点讲练09：圆锥的认识及特征 【精讲题】（2024·四川绵阳·小升初真题）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为（    ）。 A．R＝2r B．R＝3r C．R＝4r D．R＝5r 【答案】C 【思路点拨】从图中可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，其中扇形的弧长是以半径为R的圆周长的，圆锥的底面周长是半径为r的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据，求出圆的半径r与扇形半径R之间的关系。 【规范解答】2πR×＝2πr R＝r R＝r÷ R＝r×4 R＝4r 则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为R＝4r。 故答案为：C 【精练题01】（23-24六年级下·湖南永州·期末）下面图形旋转就会形成圆锥。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】A．长方形或正方形的对边相等，长方形或正方形以它的一边为轴旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边形成一个曲面，这个长方形或正方形就成为一个圆柱。 B．一个直角三角形，以它的一条直角边为轴，旋转一周，它的一面就是一个以另一条直角边为半径的一个圆面，直角三角形的斜边形成一个曲斜面，由于直角三角形的另一点在轴上，旋转后还是一点，这个直角三角形就形成一个圆锥。 C．一个梯形绕着它的一条轴旋转一周，会形成一个由两个圆锥底面相对组合，中间为一个圆台的组合体，不能形成圆锥。 D． 等腰三角形以它的底为轴，旋转一周，形成的是两个圆锥的组合体。 【规范解答】由分析得： 旋转就会形成圆锥。 故答案为：B 【精练题02】（23-24六年级下·四川广元·期末）如图，以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是（    ）cm。 A．6 B．8 C．16 D．12 【答案】D 【思路点拨】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的高是AB，底面半径是BC，根据直径＝半径×2，确定底面直径。 【规范解答】6×2＝12（cm） 以直角三角形ABC的直角边AB为轴旋转一周后得到的圆锥的底面直径是12cm。 故答案为：D 考点讲练10：圆锥的体积（容积） 【精讲题】（23-24六年级下·四川德阳·期末）一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（    ）cm。 A．30 B．45 C．60 【答案】B 【思路点拨】已知圆柱和圆锥的底面积的比是3∶2，可以把圆柱的底面积看作3份，则圆锥的底面积看作2份； 根据“圆柱和圆锥的体积相等”以及圆柱、圆锥的体积公式可得出等量关系：S锥h锥＝S柱h柱，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设圆锥的高为hcm。 ×2×h＝3×10 h＝30 h＝30÷ h＝30× h＝45 圆锥的高是45cm。 故答案为：B 【精练题01】（2024·浙江湖州·小升初真题）如图，以BC边为轴旋转一周，空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1 【答案】B 【思路点拨】根据题意，以BC边为轴旋转一周，形成的整个立体图形是圆柱，阴影部分形成一个与圆柱等底等高的圆锥； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，则空白部分扫过的体积是（3－1）份； 根据比的意义可得出空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比。 【规范解答】（3－1）∶1＝2∶1 空白部分扫过的体积与阴影部分扫过的体积之比是2∶1。 故答案为：B 【精练题02】（23-24六年级下·四川内江·期末）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【思路点拨】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【规范解答】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 考点讲练11：圆柱与圆锥体积的关系 【精讲题】（2024·四川绵阳·小升初真题）把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的（    ）。 A． B．3倍 C． D．2倍 【答案】D 【思路点拨】把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥和圆柱等底等高，体积是圆柱体积的。把圆柱体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的1－＝。求一个数是另一个数的几分之几或几倍，用除法计算，据此用÷即可解答。 【规范解答】（1－）÷ ＝×3 ＝2 把一段圆柱形的木料削成一个体积最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 故答案为：D 【精练题01】（22-23六年级下·河南信阳·期末）如图所示绕木棒旋转后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积之比是( )。 【答案】1∶2 【思路点拨】甲旋转后得到的立体图形是圆锥，乙旋转后得到的立体图形是等底等高的圆柱减去圆锥后剩余的部分，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，假设甲所形成的立体图形的体积为1，则乙所形成的立体图形的体积为2，据此解答即可。 【规范解答】假设甲所形成的立体图形的体积为1 1∶（3－1）＝1∶2 则甲、乙两部分所形成的立体图形的体积之比是1∶2。 【精练题02】（2024·四川绵阳·小升初真题）有36个铁圆锥，可以熔成等底等高的圆柱体个数是( )个。 【答案】12 【思路点拨】等底等高的圆锥的体积等于圆柱的，即3个圆锥熔成1个圆柱，用圆锥的个数÷3，即可求出圆柱的个数，据此解答。 【规范解答】36÷3＝12（个） 有36个铁圆锥，可以熔成等底等高的圆柱体个数是12个。 考点讲练12：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·广东东莞·期末）一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个石顶屋的体积是（    ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 【答案】D 【思路点拨】圆锥的体积＝π×底面半径的平方×高÷3，长方体的体积＝长×宽×高，圆锥的体积＋长方体的体积＝这个石顶屋的体积，据此解答即可。 【规范解答】圆锥的底面直径是4m，底面半径是2m， 圆锥的体积：3.14×2×2×3÷3 ＝12.56×3÷3 ＝12.56（m3） 长方体的体积：4×4×2 ＝16×2 ＝32（m3） 石顶屋的体积：12.56＋32＝44.56（m3） 故答案为：D 【精练题01】（23-24六年级下·湖南衡阳·期中）求组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】43.96cm3 【思路点拨】观察图形可知，该组合图形的体积＝中间圆柱的体积＋两边的两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【规范解答】3.14×（2÷2）2×（18－3×2）＋×3.14×（2÷2）2×3×2 ＝3.14×12×（18－6）＋×3.14×12×3×2 ＝3.14×12×12＋×3.14×12×3×2 ＝3.14×1×12＋×3.14×1×3×2 ＝37.68＋6.28 ＝43.96（cm3） 【精练题02】（23-24六年级下·广东东莞·期末）航模小组制作了一个火箭助推器模型（如下图），它的上部是圆锥形状的，下部是圆柱形状的。圆柱和圆锥的底面半径都是3厘米，圆锥的高和圆柱的高都是6厘米。火箭助推器模型的体积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【思路点拨】火箭助推器模型的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积。根据圆锥的体积，圆柱的体积两个公式将数据代入计算即可。 【规范解答】 （立方厘米） 答：火箭助推器模型的体积是226.08立方厘米。 考点讲练13：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·湖北黄冈·期末）一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【思路点拨】根据题意，在一个装有水的圆柱体容器里浸没一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，水面会下降，那么水面下降部分的体积等于这个圆锥体铅锤的体积。 已知圆锥体铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个铅锤的体积，也是水面下降部分的体积； 已知圆柱体容器的底面直径为40厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出容器的底面积； 再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面下降的高度。 【规范解答】圆锥的体积（水面下降的体积）： ×3.14×（20÷2）2×9 ＝×3.14×102×9 ＝×3.14×100×9 ＝942（立方厘米） 圆柱体容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 942÷1256＝0.75（厘米） 答：容器中水面高度下降了0.75厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·河南许昌·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【思路点拨】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【规范解答】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 【精练题02】（23-24六年级下·河南安阳·期末）小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）27厘米 【思路点拨】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【规范解答】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 考点讲练14：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·河南安阳·期末）一个圆锥形铁块，底面半径是10cm，高是15cm。把它熔铸成一个圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）dm3。 A．1.57 B．4.71 C．15.7 D．1570 【答案】A 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形铁块的体积，由于圆锥形铁块熔铸成一个圆柱体，体积不变，即圆锥体的体积＝圆柱体的体积，据此解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】3.14×102×15× ＝3.14×100×15× ＝314×15× ＝4710× ＝1570（cm3） 1570cm3＝1.57dm3 一个圆锥形铁块，底面半径是10cm，高是15cm。把它熔铸成一个圆柱体，这个圆柱体的体积是1.57dm3。 故答案为：A 【精练题01】（23-24六年级下·广东东莞·期末）一个圆锥形麦堆，量得底面周长为12.56米，高1.8米。 （1）这个麦堆的占地面积是多少平方米？ （2）如果把这些小麦装入一个底面半径是2米圆柱形粮囤（从里面量），刚好装满这个粮囤。这个粮囤的高是多少米？ 【答案】（1）12.56平方米 （2）0.6米 【思路点拨】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可； （2）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出小麦的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，即h＝V÷πr2，据此可求出这个粮囤的高。 【规范解答】（1）12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22＝12.56（平方米） 答：这个麦堆的占地面积是12.56平方米。 （2）×3.14×22×1.8 ＝×3.14×4×1.8 ＝×1.8×3.14×4 ＝0.6×3.14×4 ＝1.884×4 ＝7.536（立方米） 7.536÷（3.14×22） ＝7.536÷（3.14×4） ＝7.536÷12.56 ＝0.6（米） 答：这个粮囤的高是0.6米。 【精练题02】（23-24六年级下·河南信阳·期末）王大妈家有一堆晒干的圆锥形稻谷，底面半径4米，高0.9米。如果把这堆稻谷装进底面半径是2米的圆柱形粮仓，仓内稻谷高多少米？ 列综合算式不计算 【答案】3.14×42×0.9×÷（3.14×22） 【思路点拨】先根据圆锥体积V＝πr2h求出稻谷体积，再用稻谷体积÷圆柱形粮仓的底面积即可解答。 【规范解答】3.14×42×0.9×÷（3.14×22） ＝3.14×16×0.9×÷（3.14×4） ＝3.14×16×0.9×÷12.56 ＝50.24×0.9×÷12.56 ＝45.216×÷12.56 ＝15.072÷12.56 ＝1.2（米） 答：仓内稻谷高1.2米。 考点讲练15：立体图形的切拼（圆锥） 【精讲题】（22-23六年级下·安徽马鞍山·期末）把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了120平方厘米。圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．100π B．200π C．600π D．800π 【答案】B 【思路点拨】把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，根据三角形的底＝面积×2÷高，增加的表面积÷2×2÷圆锥的高＝圆锥底面直径，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【规范解答】120÷2×2÷6＝20（厘米） π×（20÷2）2×6÷3 ＝π×102×6÷3 ＝π×100×6÷3 ＝200π（立方厘米） 圆锥的体积是200π立方厘米。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·湖北省直辖县级单位·期末）一个正方体的体积是240立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】62.8 【思路点拨】削成的最大的圆锥的底面直径等于正方体的棱长，高也等于正方体的棱长，那么，然后根据圆锥的体积公式解答即可。 【规范解答】用字母表示正方形的棱长，则。 （立方厘米） 当取近似值3.14时，（立方厘米）。 【精练题02】（23-24六年级下·河北邯郸·期末）有一块正方体木料的棱长是6分米。把它削成一个最大的圆锥体，要削去( )立方分米。 【答案】159.48 【思路点拨】将正方体削成一个最大的圆锥体，圆锥的底面直径和高都等于正方体棱长，要削去的体积＝正方体体积－圆锥体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【规范解答】6×6×6－3.14×（6÷2）2×6÷3 ＝216－3.14×32×6÷3 ＝216－3.14×9×6÷3 ＝216－56.52 ＝159.48（立方分米） 要削去159.48立方分米。 1．（2024•安远县）一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是　　 A． B． C． D．无法确定 【思路点拨】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，再由“一个圆柱的侧面展开是一个正方形”可知，圆柱的高与底面周长相等，从而可以求出它们的比． 【规范解答】解：由题意可知：圆柱的高与底面周长相等， 则圆柱的底面周长：高； 故选：． 【考点评析】解答此题的主要依据是：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高． 2．（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 【思路点拨】利用圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积上下底面面积侧面积，圆柱的体积底面积高分别进行计算即可。 【规范解答】解：圆柱甲的底面积， 圆柱甲的侧面积， 圆柱甲的表面积， 圆柱甲的体积； 圆柱乙的底面积， 圆柱乙的侧面积， 圆柱乙的表面积， 圆柱乙的体积， 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。 3．（2024•西乡塘区）一个圆锥和一个圆柱等底等高，若它们的体积和是60立方厘米，则圆柱体积是　　立方厘米． A．15 B．20 C．40 D．45 【思路点拨】等底等高的圆柱体积与圆锥的体积之比是，由此根据即可解答． 【规范解答】解：， ， （立方厘米）； 答：圆柱的体积是45立方厘米． 故选：． 【考点评析】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积的倍数关系的灵活应用． 4．（2024•冠县）一个长方体，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果长方体的高是3厘米，圆柱的高是 　3　厘米，圆锥的高是 　　厘米。 【思路点拨】认真审题，仔细观察和分析题干中的已知条件和数量关系．长方体和圆柱的体积都等于：，当和相等，高也应该相等。圆锥的体积等于；所以圆锥的高应该等于3倍的圆柱的高，据此解答即可。 【规范解答】解：根据一个长方体，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等， 所以（厘米） （厘米） 所以圆柱的高是3厘米，圆锥的高是9厘米。 故答案为：3，9。 【考点评析】熟练掌握圆柱体积、长方体体积和圆锥体积的计算公式是解答本的关键。 5．（2024•菏泽）如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满　6　杯． 【思路点拨】根据题意知道瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，设瓶底的面积为，瓶子内水的高度为，则锥形杯子的高度为，先根据圆柱的体积公式求出圆柱形瓶内水的体积，再算出圆锥形杯子的体积，进而得出答案． 【规范解答】解：圆柱形瓶内水的体积：， 圆锥形杯子的体积：， 倒满杯子的个数：（杯； 答：能倒满6杯． 故答案为：6． 【考点评析】此题虽然没有给出具体的数，但可以用字母表示未知数，找出各个量之间的关系，再利用相应的公式解决问题． 6．（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　120　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】依据题意可知，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了120平方厘米，该圆柱的体积是942立方厘米。 故答案为：120，942。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 7．（2019•郑州模拟）求如图的表面积和体积．单位 【思路点拨】根据图示可知，这个组合图形的表面积就是外面正方体的表面积加上里面圆柱的侧面积，利用正方体和圆柱表面积公式进行计算即可； 组合图形的体积等于正方体体积减去圆柱的体积，利用公式把数代入计算即可． 【规范解答】解： （平方分米） （立方分米） 答：这个图形的表面积为675.36平方分米，体积为924.64立方分米． 【考点评析】本题主要考查组合图形的体积和表面积的计算，关键把不规则图形转化为规则图形，再计算． 8．（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形木块，如果沿直径切成4块，增加的面积等于4个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积；切成3个圆柱，增加的面积等于4个底面圆的面积， （1）利用圆的面积半径半径，结合题中数据计算即可； （2）依据（1）结合分析去计算； （3）削去部分的体积圆柱的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）（平方厘米），则半径是3厘米。 答：底面半径是3厘米。 （2）底面直径：（厘米） （厘米） 答：这个圆柱形木块的高是4厘米。 （3） （立方厘米） 答：削去部分的体积是75.36立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 9．（2024•黔江区）小冬用橡皮泥捏成了一个高2厘米，底面半径为6厘米的圆柱，捏好后不小心掉到地上摔了，小冬把弄脏的一部分丢掉后，把剩余的橡皮泥改捏成一个底面半径为6厘米，高2厘米的圆锥，请问丢掉部分的体积是多大？ 【思路点拨】根据圆柱的体积：，圆锥的体积：，分别代入数据，求出圆柱和圆锥的体积，再相减，就是丢掉部分的体积。据此解答。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：丢掉部分的体积是150.72立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 10．（2024•房山区）用一张长方形铁皮（如图），剪出一个底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 ①这个水桶的底面直径是 　4　分米，高是 　　分米。 ②这个水桶最多能装水多少升（铁皮的厚度忽略不计）？ 【思路点拨】①依据题意结合图示可知，这个长方形的长等于底面周长加直径，长方形的宽等于圆柱的高，由此解答本题。 【规范解答】解：①底面直径（分米），高是4分米。 ②（分米） （立方分米） 50.24立方分米升 答：这个水桶最多能装水50.24升。 故答案为：4、4。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 11．（2024春•方城县期中）如图中的每小格表示边长1厘米的正方形。 （1）把三角形按扩大，画出扩大后的图形。原来的三角形面积与扩大后三角形的面积比是 　1　　　。 （2）如果原三角形以长直角边为轴旋转，得到的图形的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】（1）直角三角形的两条直角边分别占2格和3格，按扩大后，两条直角边分别占（格、（格。据此画出放大后的图形。分别根据“三角形的面积底高”求出原来的三角形面积和扩大后三角形的面积，再用原来的三角形面积比扩大后三角形的面积，并化成最简单的整数比。 （2）原三角形以长直角边为轴旋转，会得到底面半径是2厘米、高是3厘米的圆锥。根据圆锥的体积求出得到的圆锥的体积。 【规范解答】解：（1）画图如下： 原来的三角形面积： （平方厘米） 扩大后三角形的面积： （平方厘米） 答：原来的三角形面积与扩大后三角形的面积比是。 （2） （立方厘米） 答：得到的图形的体积是12.56立方厘米。 故答案为：1，4；12.56。 【考点评析】把一个平面图形按一定的比放大或缩小，它的面积就按这个比的平方扩大或缩小，同时掌握圆锥的体积公式是解题的关键。 12．（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 【思路点拨】依据题意结合图示可得：，，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题意去解答。 【规范解答】解：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 假设圆柱的底面积为，高为，如图： ，图①中两个圆锥的体积之和，图②中圆锥的体积，所以图①中两个圆锥的体积等于图②中圆锥的体积等于圆柱体积的。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 13．（2024•埇桥区）直角三角形绕着其中一条直角边旋转一周（如图），得到的立体图形的体积为　　立方厘米。取（单位：厘米） A．37.68 B．31.4 C．25.12 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：得到的立体图形的体积为37.68立方厘米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．（2024•禹城市）有3个木块，分别是正方体、圆柱和圆锥。通过测量，发现他们的底面积相等，高也相等。下面说法错误的是　　 A．在这3个木块中，圆锥的体积最小 B．在这3个木块中，圆锥的体积是正方体体积的 C．在这3个木块中，正方体的体积比圆柱的体积大 D．在这3个木块中，圆柱的体积是圆锥体积的3倍 【思路点拨】根据正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，如果正方体的底面积和高分别等于圆柱的底面积和高，那么正方体的体积就等于圆柱的体积，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以在这3个木块中，圆锥的体积也是正方体体积的。据此解答即可。 【规范解答】解：由分析得： 、在这3个木块中，圆锥的体积最小。说法正确； 、在这3个木块中，圆锥的体积是正方体体积的。说法正确； 、在这3个木块中，正方体的体积比圆柱的体积大。说法错误； 、在这3个木块中，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。说法正确。 故选：。 【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、圆柱、圆锥的体积公式及应用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 15．（2024•安宁区）四个杯子中均装有一定量的开水，如果把50克糖融于水中，含糖率最高的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，长方体的体积公式：，正方体的体积公式：，圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出四杯水的体积，然后进行比较，水少的含糖率就高。据此解答。 【规范解答】解： （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：含糖率最高的是。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆锥、圆柱、长方体、正方体体积公式的灵活运用，含糖率的意义及应用，关键是熟记公式。 16．（2024•埇桥区）如图，一个高是的圆柱，切开再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了，原来圆柱的表面积是 　351.68　，体积是 　　。 【思路点拨】根据圆柱体积公式的推导方法可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了80平方厘米，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积侧面积底面积，圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出它的体积。 【规范解答】解： （厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：原来圆柱的表面积是351.68平方厘米，体积是502.4立方厘米。 故答案为：351.68，502.4。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导方法及应用，圆柱的表面积公式及应用。 17．（2024•黄岩区）如图，将一个圆柱和一个圆锥粘合成陀螺，表面积减少了，这个陀螺的体积是 　401.92　。 【思路点拨】通过观察图形可知，将一个圆柱和一个圆锥粘合成陀螺，表面积减少了50.24平方厘米，表面积减少的是圆柱和圆锥的底面积和，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆柱与圆锥的体积和即可。 【规范解答】解：（平方厘米） （立方厘米） 答：这个陀螺的体积是200.96立方厘米。 故答案为：200.96。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．（2024•广汉市）一根圆柱形木料，长0.5米。如果把它沿底面直径平均锯成两部分，表面积增加了600平方厘米，这根木料的体积是 　1413　立方厘米；如果把它削成一个最大的圆锥，要削去 　　立方厘米。取值为 【思路点拨】根据题意可知，把这根圆柱形木料沿底面直径平均锯成两部分，表面积增加了600平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的底面直径，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出这根木料的体积。把它削成一个最大的圆锥，要削去的体积是圆柱体积的，据此解答即可。 【规范解答】解：0.5米厘米 （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：这根木料的体积是1413立方厘米，如果把它削成一个最大的圆锥，要削去942立方厘米。 故答案为：1413，942。 【考点评析】此题主要考查长方形的面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 19．（2022•蒲城县）一个圆柱与一个圆锥的体积相等。若圆柱的底面积是圆锥的，则圆锥的高与圆柱的高的比是。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，设它们的体积为，圆柱的底面积为，则圆锥的底面积为，把数据代入公式分别求出圆柱、圆锥的高，进而求出圆锥的高与圆柱高的比，然后与进行比较。 【规范解答】解：设它们的体积为，圆柱的底面积为，则圆锥的底面积为， 圆柱的高是： 圆锥的高是： 圆柱的高与圆锥高的比是： 所以圆柱的高与圆锥高的比是。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 20．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 【思路点拨】一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，据此列比例求出圆锥的高，然后与27分米进行比较即可。 【规范解答】解：设圆柱和圆锥的底面积为平方分米，圆锥的高为分米。 所以圆锥的高是27分米。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，列比例解决问题的方法及应用。 21．（2024•高唐县）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【思路点拨】（1）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 （2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【规范解答】解：（1） （分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）（厘米） 答：圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 22．（2024•卧龙区）“攀登数学的山峰，享受挑战的趣味。”某学校数学社团的聪聪想到了一个测量圆锥高的方法：把一个底面直径是的圆锥形铁块放入一个底面半径是，高是的圆柱形容器里，铁块完全浸没水中，水面上升了且水未溢出。这个铁块的高是多少厘米？ 【思路点拨】根据特殊物体体积的测量方法，利用排水法，由题意可知，把这个圆锥形铁块放入圆柱形容器，铁块完全浸没（水未溢出），上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：2分米厘米 （厘米） 答：这个铁块的高是60厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．（2024•蒸湘区）如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是。把一个底面半径是的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了，这个铅锤的高是多少厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把这个圆锥形铅锤放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据长方体的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．（2024春•榕城区期中）一个装有水的圆柱形玻璃杯，从里面量得它的直径是20厘米，杯中水面距杯口3厘米。如果把一个高12厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水会溢出20毫升。这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把这个圆锥形铅锤完全浸没在水中，这个铅锤的体积等于圆柱形玻璃杯内无水部分的体积加上溢出水的体积，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：20毫升立方厘米 （平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是240.5平方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 25．（2024春•南海区期中）如图①所示，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）与注水时间（秒之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点 　　表示烧杯中刚好注满水，点 　　表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是 　　厘米。 （3）烧杯的底面积是多少平方厘米？ （4）注满水槽所用的时间是多少秒？ 【思路点拨】（1）根据图示2的折线趋势可知：点表示烧杯中刚好注满水，点表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）（3）（4）设烧杯的底面积为、高为，注水速度每秒为，注满水槽所用时间为。如图可知： 当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90秒时，水槽内的水面高度恰好是，根据，求出即可； 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是，烧杯的体积：，注水速度：（立方厘米秒）；即可求出注满水槽所用时间；根据烧杯的体积和底面积即可求出烧杯的高度。 【规范解答】解：（1）点表示烧杯中刚好注满水，点表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （3）设烧杯的底面积为、高为，注水速度为每秒，注满水槽所用时间为秒 由图2知，当注水时，烧杯刚好注满；当注水时，水槽内的水面高度恰好是（即烧杯高度）。于是， ， 则有，即。 答：烧杯的底面积为20平方厘米； （4）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是，烧杯的体积：，注水速度：（立方厘米秒）；注满水槽所用时间：（秒。 答：注满水槽所用的时间是180秒。 （2）（厘米） 答：烧杯的高度是10厘米。 故答案为：（1），；（2）10。 【考点评析】此题主要考查是如何从折线统计图中获取信息，并根据信息结合图形回答问题。 基础夯实优选题专练 1．（2024·四川乐山·小升初真题）圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】C 【思路点拨】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律可知，圆柱的高扩大到原来的n倍，则圆柱的体积就扩大到原来的n倍；圆柱的底面半径扩大到原来的n倍，则圆柱的体积就扩大到原来的n2倍；据此解答。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【规范解答】2×22 ＝2×4 ＝8 圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的8倍。 故答案为：C 2．（23-24六年级下·湖南娄底·期末）等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积相比较（    ）。 A．正方体体积大 B．长方体体积大 C．圆柱体体积大 D．体积一样的 【答案】D 【思路点拨】圆柱体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高，据此分析。 【规范解答】由分析可得：圆柱、正方体、长方体的体积都可以用底面积×高来计算，所以等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积一样大。 故答案为：D 3．（23-24六年级下·天津南开·期末）一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体的体积是圆锥体的（    ）。 A． B．3倍 C． D．2倍 【答案】B 【思路点拨】等底等高的圆锥的体积是圆柱的，则等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体的体积是圆锥体的3倍。 故答案为：B 4．（23-24六年级下·河北承德·期末）目前我们学习了一些立体图形的体积计算，其中( )体、( )体和( )体的体积都可以用底面积乘高来计算。 【答案】 长方 正方 圆柱 【思路点拨】长方体的体积＝长×宽×高，其中“长×宽”就是长方体的底面积，所以长方体的体积＝底面积×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，其中“棱长×棱长”就是正方体的底面积，所以正方体的体积＝底面积×高； 圆柱的体积V＝πr2h，其中“πr2”就是圆柱的底面积，所以圆柱的体积＝底面积×高。 【规范解答】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高 圆柱的体积V＝πr2h＝底面积×高 目前我们学习了一些立体图形的体积计算，其中长方体、正方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高来计算。 5．（23-24六年级下·河北邯郸·期末）一张长方形纸，长4厘米，宽2厘米。如果以长方形的长为轴旋转而成圆柱体。其中长方形的长等于圆柱体的( )，长方形的宽等于圆柱体的( )。 【答案】 高 底面半径 【思路点拨】根据圆柱的展开图可知，当我们将一张长方形纸以长边为轴旋转时，‌长方形纸的长边将变成圆柱体的高，‌而宽边则成为圆柱体的底面半径。‌ 【规范解答】长方体的长等于圆柱体的高，长方形的宽等于圆柱的底面半径。 6．（23-24六年级下·河南信阳·期末）扫墓祭祖、缅怀先烈是清明节的传统，学校组织学生去烈士陵园扫墓，明明准备为烈士献花的花束包装盒一个是圆柱形，底面半径为厘米，侧面展开图为正方形，这个包装盒的高是( )厘米。 【答案】 【思路点拨】根据题意可知，侧面展开面为正方形，说明圆柱的底面周长等于圆柱的高，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（厘米） 扫墓祭祖、缅怀先烈是清明节的传统，学校组织学生去烈士陵园扫墓，明明准备为烈士献花的花束包装盒一个是圆柱形，底面半径为厘米，侧面展开图为正方形，这个包装盒的高是31.4厘米。 7．（23-24六年级下·内蒙古通辽·期中）长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用表示。( ) 【答案】× 【思路点拨】长方体、正方体、圆柱的体积公式可以用表示，而圆锥的体积公式用表示，据此判断。 【规范解答】由分析可知，圆锥的体积公式用表示，所以原题说法错误； 故答案为：× 8．（22-23六年级下·湖南岳阳·期末）计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 【答案】√ 【思路点拨】长方体的体积＝长×宽×高，其中“长×宽”就是长方体的底面积，所以长方体的体积＝底面积×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，其中“棱长×棱长”就是正方体的底面积，所以正方体的体积＝底面积×高； 圆柱的体积V＝πr2h，其中“πr2”就是圆柱的底面积，所以圆柱的体积＝底面积×高。 据此判断。 【规范解答】长方体的体积＝底面积×高 正方体的体积＝底面积×高 圆柱的体积＝底面积×高 计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。 原题说法正确。 故答案为：√ 9．（23-24六年级下·湖南邵阳·期末）把一张长5厘米、宽4厘米的长方形纸绕长边旋转一周（如下图），形成一个圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【思路点拨】根据题意可知，长方形纸旋转一周后，形成一个圆柱，圆柱的底面半径等于长方形的宽，圆柱的高等于长方形的长，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是251.2立方厘米。 10．（23-24六年级下·天津滨海新·期末）计划制作1个没盖的圆柱形铁皮水桶，高是8分米，底面半径是2分米，制作这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】113.04平方分米 【思路点拨】由于是无盖的，所以制作这个水桶需要铁皮的面积就是这个圆柱形铁皮水桶的底面积和侧面积的和；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×22＋3.14×2×2×8 ＝3.14×4＋6.28×2×8 ＝12.56＋12.56×8 ＝12.56＋100.48 ＝113.04（平方分米） 答：制作这个水桶至少需要铁皮113.04平方分米。 培优优选题专练 11．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，一个圆柱切拼成一个近似长方体后（    ）。 A．表面积不变，体积不变 B．表面积不变，体积变大 C．表面积变大，体积不变 D．表面积变大，体积变大 【答案】C 【思路点拨】由图可知，把圆柱切拼成长方体后，圆柱的侧面积相当于长方体前后两个面的面积，圆柱上下底面的面积相当于长方体上下两个面的面积，切拼后的长方体比圆柱增加了左右两个面的面积；物体所占空间的大小叫作物体的体积，圆柱切拼成长方体后，只是形状发生了变化，物体所占空间的大小没有改变，所以圆柱的体积和长方体的体积相等，据此解答。 【规范解答】一个圆柱切拼成一个近似长方体，切拼后的长方体比圆柱增加了左右两个面的面积，所占空间的大小没有改变，即体积没有改变。所以一个圆柱切拼成一个近似长方体后表面积变大，体积不变。 故答案为：C 12．（23-24六年级下·四川乐山·期中）有一个圆柱和一个圆锥，圆柱的底面积是圆锥底面积的，圆锥的高是圆柱高的2倍。这个圆柱和圆锥的体积之比是（    ）。 A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5 【答案】D 【思路点拨】假设圆柱的底面积是2，高是3，则圆锥的底面积是5，高是6，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出体积列比并化简即可。 【规范解答】假设圆柱的底面积是2，高是3，则圆锥的底面积是5，高是6。 圆柱的体积：2×3＝6 圆锥的体积：5×6× ＝30× ＝10 6∶10＝3∶5 这个圆柱和圆锥的体积之比是3∶5。 故答案为：D 13．（23-24六年级下·四川乐山·期中）一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的高和底面直径的比是（    ）。 A．π∶1 B．1∶π C．1∶1 D．π∶4 【答案】A 【思路点拨】一个圆柱的侧面展开后是正方形，那么圆柱的底面周长和圆柱的高相等，圆柱的底面周长是C＝πd，即圆柱的高也是πd，据此写出圆柱的高与底面直径的比，再根据比的基本性质把结果化成最简整数比即可。 【规范解答】圆柱的高∶底面直径 ＝πd∶d ＝（πd÷d）∶（d÷d） ＝π∶1 一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的高和底面直径的比是π∶1。 故答案为：A 14．（23-24六年级下·四川内江·期末）将等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入一个装有水的长方体容器中（完全浸没），水面上升了8厘米，若长方体容器的底面积是40平方厘米，则圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】240 【思路点拨】水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积和，长方体容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆锥的体积和。因为圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，若将圆锥体积看成1份，则圆柱的体积是3份，用圆柱和圆锥的体积和除以（1＋3）份，则可算出圆锥体积，再乘3，即可算出圆柱的体积。 【规范解答】40×8＝320（立方厘米） 320÷（1＋3） ＝320÷4 ＝80（立方厘米） 80×3＝240（立方厘米） 所以，将等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入一个装有水的长方体容器中（完全浸没），水面上升了8厘米，若长方体容器的底面积是40平方厘米，则圆柱的体积是240立方厘米。 15．（23-24六年级下·四川德阳·期末）如图，将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 圆柱 5 392.5// 【思路点拨】正方形以一边为轴旋转一周得到一个圆柱体，它的高是5cm，底面半径是5cm。根据V＝πr2h，求出圆柱的体积即可解答。 【规范解答】旋转后得到一个圆柱，高是正方形边长5cm。 3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝78.5×5 ＝392.5（cm3） 故旋转一周得到一个圆柱，得到的这个圆柱的高是5cm，体积是392.5cm3。 16．（23-24六年级下·四川绵阳·期中）将一个体积是24立方分米的圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )立方分米。 【答案】16 【思路点拨】根据题意，把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底面积等高；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出这个圆锥的体积；再用圆柱的体积减去圆锥的体积，求出削去部分的体积。 【规范解答】24－24× ＝24－8 ＝16（立方分米） 削去部分的体积是16立方分米。 17．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）高相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍。( ) 【答案】× 【思路点拨】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，根据圆柱和圆锥的体积公式可知：圆锥和圆柱底面积和高都相等时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，只有高相等时，底面积无法确定，所以也就无法确定体积的大小关系，据此解答。 【规范解答】底面积和高都相等时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。原题表述错误。 故答案为：× 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）圆柱体积等于圆锥体积的3倍。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据圆柱的体积V＝Sh，圆锥的体积V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，或者说，圆锥的体积是圆柱体积的。 【规范解答】因为圆柱和圆锥在“等底等高”的条件下，圆柱体积才是圆锥的体积的3倍，这里圆柱与圆锥的底面半径和高都不明确，没法判断它们的体积关系，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）一个圆柱形容器，从里面量，底面半径10厘米，高15厘米，容器中的水面高10厘米。当放入一个底面半径为5厘米、高为9厘米的圆锥形铁锤，使其沉入水中时，容器中的水面会增高多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【思路点拨】水面上升部分体积等于圆锥形铁锤的体积；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形铁锤的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，用圆锥形铁锤的体积除以圆柱形容器的底面积，求出水面上升的高度，据此解答。 【规范解答】3.14×52×9×÷（3.14×102） ＝3.14×25×9×÷（3.14×100） ＝78.5×9×÷314 ＝706.5×÷314 ＝235.5÷314 ＝0.75（厘米） 答：容器中的水面会增高0.75厘米。 20．（23-24六年级下·四川乐山·期中）王老师把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体。已知拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，圆柱体的底面直径是10厘米。拼成后的圆柱体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】517平方厘米 【思路点拨】根据题意，把3个完全一样的圆柱体拼成了一个大的圆柱体，拼成后的圆柱体的表面积比一个小圆柱体的表面积多240平方厘米，表面积多的240平方厘米等于原来两个小圆柱的侧面积和，据此可以求出原来每个小圆柱的侧面积，再根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答。 【规范解答】240÷2×3＋3.14×（10÷2）2×2 ＝120×3＋3.14×25×2 ＝360＋78.5×2 ＝360＋157 ＝517（平方厘米） 答：拼成后大圆柱的表面积是517平方厘米。 2 / 2 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