八年级数学月考卷（沪科版，范围：八下，二次根式+一元二次方程）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C D B B D D A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11． 12． 13．或16 14． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分） 【详解】（1）解： ……（2分） ……（2分） （2） ……（2分） ．……（2分） 16．（8分） 【详解】解：（1）， ，……（1分） ，……（1分） ，……（1分） 解得，；……（1分） （2）， ，……（2分） 或， 解得，．……（2分） 17．（8分） 【详解】（1）解：， ，……（1分） ，……（1分） ……（1分） ……（3分） （2）解：由（1）可知：， ，……（2分） 18．（8分） 【详解】（1）解：∵，则， ∴ ……（2分） ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明．……（2分） （2）解： ∵是的算术平方根，则， ∴， ∴……（3分） ∴原式……（1分） 19．（10分） 【详解】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为，……（1分） 温室花房的面积为，……（2分） 小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为．……（2分） （2）解：依题意得：，……（2分） 整理得：，……（1分） 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为．……（2分） 20．（10分） 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，……（1分） 由题意，得：，……（2分） ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为；……（2分） （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，……（1分） 由题意，得：，……（2分） 整理，得：， ， 或， 解得：（为让市民得到实惠，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．……（2分） 21．（12分） 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：；……（3分） （2）解：由题意知，第n个等式为；……（3分） （3）解： ……（2分） ……（2分） ， ∴．……（2分） 22．（12分） 【详解】（1）解：方法一：；……（2分） 方法二：；……（2分） （2）解：由题意可得， ， ；……（4分） （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴．……（4分） 23．（14分） 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：，（2分） ∵， ∴， ∴， 故答案为：.……（2分） （2）解：设，则， ∴， 解得：或，（2分） ∵， ∴， ∴， 故答案为：，……（3分） （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：（舍去），，（2分） ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．……（3分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年下学期第一次月考卷 八年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 4 分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题 5 分，共 20 分） 11 ． ____________________ 12 ． ___________________ _ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 三 、解答题（共 90 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 8 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ． （ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ． （ 10 分 ） 2 1 ． （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ． （ 1 4 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版八年级数学下册（二次根式、一元二次方程）。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 4．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 6．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 7．关于的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是（    ） A． B． C． D．或 8．年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则方程可列为（ ） A． B． C． D． 9．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 12．若，则的值是 ． 13．若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 14．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算： (1) (2). 16．（8分）解方程： (1) (2)． 17．（8分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（8分）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点 表示的数是，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值： 其中是的算术平方根． 19．（10分）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 20．（10分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21．（12分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 22．（12分）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 23．（14分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年下学期第一次月考卷 八年级数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（8 分） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 三、解答题（共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10 分） 21．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） 23．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版八年级数学下册（二次根式、一元二次方程）。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 4．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 6．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 7．关于的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是（    ） A． B． C． D．或 8．年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则方程可列为（ ） A． B． C． D． 9．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 12．若，则的值是 ． 13．若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 14．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算： (1) (2) 16．（8分）解方程： (1) (2)． 17．（8分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（8分）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点 表示的数是，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值： 其中是的算术平方根． 19．（10分）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 20．（10分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21．（12分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 22．（12分）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 23．（14分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版八年级数学下册（二次根式、一元二次方程）。 5．难度系数：0.72。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，与能合并，故B符合题意； C、与不能合并，故C不符合题意； D、，与不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 3．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且， 故选：C 4．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当，时，，故选项不正确； 当时，，故选项不正确； 当，时，，故选项不正确； ∵， ∴，故选项D正确， 故选：D． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 故选：． 6．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 7．关于的一元二次方程的根的判别式等于，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式等于， ∴， 整理，得：， 解得：，， 即的值为或． 故选：D． 8．年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则方程可列为（ ） A． B． C． D． 【答案】D ∴四月份销售额为；五月份销售额为， ∴列出方程为：． 故选：D． 9．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：， ， 即 即 把，，代入得： 整理得， 即 且 即， 故选：A 10．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 12．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 【答案】或16 【详解】解：设一元二次方程的根两个根是，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，， 若腰为3，则，则，三边为3，3，5，， 若底为3， 则，三边为3，4，4，则， 则或16， 故答案为：或16． 14．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ……（2分） ……（2分） （2） ……（2分） ．……（2分） 16．（8分）解方程： (1) (2)． 【详解】解：（1）， ，……（1分） ，……（1分） ，……（1分） 解得，；……（1分） （2）， ，……（2分） 或， 解得，．……（2分） 17．（8分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ，……（1分） ，……（1分） ……（1分） ……（3分） （2）解：由（1）可知：， ，……（2分） 18．（8分）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点 表示的数是，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值： 其中是的算术平方根． 【详解】（1）解：∵，则， ∴ ……（2分） ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明．……（2分） （2）解： ∵是的算术平方根，则， ∴， ∴……（3分） ∴原式……（1分） 19．（10分）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【详解】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为，……（1分） 温室花房的面积为，……（2分） 小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为．……（2分） （2）解：依题意得：，……（2分） 整理得：，……（1分） 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为．……（2分） 20．（10分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，……（1分） 由题意，得：，……（2分） ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为；……（2分） （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，……（1分） 由题意，得：，……（2分） 整理，得：， ， 或， 解得：（为让市民得到实惠，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．……（2分） 21．（12分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：；……（3分） （2）解：由题意知，第n个等式为；……（3分） （3）解： ……（2分） ……（2分） ， ∴．……（2分） 22．（12分）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法： 方法一： 方法二： (1)请用以上两种方法化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：方法一：；……（2分） 方法二：；……（2分） （2）解：由题意可得， ， ；……（4分） （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴．……（4分） 23．（14分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：，（2分） ∵， ∴， ∴， 故答案为：.……（2分） （2）解：设，则， ∴， 解得：或，（2分） ∵， ∴， ∴， 故答案为：，……（3分） （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：（舍去），，（2分） ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．……（3分） 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$