第1套 2025年高考数学八省联考仿真卷（提升卷）

第1套 2025年八省联考仿真卷（提升卷） ||| 试卷概述 1.2025年八省联考简述：近几年的联考，堪称高考极为重要的方向标，本次联考呈现出一个突出特点，即降低了教材外知识的占比，这无疑是回归高考命题正确轨道的积极信号，由此可以合理预期，2025年高考难度相较于以往或有所降低，此外，就本次联考试题而言，个人认为其中第11题不具备深入研究的价值. 2.本卷特点： （1）相较八省联考，本卷难度实现适度提升，精准适配尖子生，是考前冲刺拔高的绝佳助力. （2）本次试卷严格对标八省联考的出题模式，在题目筛选与设计上精益求精，从多角度考量知识点的覆盖与考查深度，力求为考生打造极具价值的仿真试卷，帮助考生提前适应高考节奏与题型风格.||| 仿真好题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先求解集合，再求解两个集合的交集. 【详解】由题意可知，，则. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求余弦型函数的周期，属于基础题. 2.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解. 【详解】由题得函数的最小正周期. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求出复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：B. 4.已知向量，，，，则（ ）. A.1 B. C.4 D. 【答案】A 【分析】计算出，利用平面向量数量积公式求出答案. 【详解】因为向量，，所以， 所以. 故选：A 5.设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意求出的值，即可求得答案. 【详解】双曲线中，半焦距为，即， 又双曲线一个顶点坐标为，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 6.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意可得，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 7.在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D.6 【答案】B 【分析】由题意，根据余弦定理可得，结合基本不等式和可得，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 故选：B. 8.已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ） A.的准线方程为 B.点的坐标为 C. D.三角形的面积为（为坐标原点） 【答案】ACD 【分析】先求的准线方程，再求焦点的坐标为，接着求出，，中位线，最后求出，即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点位于第一象限， 设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点. 由抛物线的解析式可得准线方程为， 点的坐标为，则，， 在直角梯形中，中位线， 由抛物线的定义有，结合题意，有， 故，，. 故选：ACD. 10.意大利著名画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C.随的增大而减小 D.的面积随的增大而减小 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质进行计算并比较结果可判断A，B；写出点A，B坐标，求出曲线在A，B处切线方程，再求出及面积即可判断C，D作答. 【详解】对于A，，当且仅当时取“=”，A不正确； 对于B，，B正确； 对于C，D，点，对双曲余弦函数求导得，对双曲正弦函数求导得， 切线PA：，切线PB：， 联立两条切线方程，解得点， ，因函数在上随x的增大先减小再增大，于是得随m的增大先减小再增大，C不正确； 面积随m的增大而减小，D正确. 故选：BD 11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A.点在曲线上 B.点在上，则 C.点在椭圆上，若，则 D.过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数满足，函数，若，则________. 【答案】2020 【分析】根据，即可结合对数的运算性质得，即可得求解. 【详解】依题意得， 设，则， ， 即，所以. 故答案为：2020 13.如图8只小猫围绕在2×2的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是________. 【答案】 【分析】先求出从8只小猫中随机选取两只和两只之间距离为1的方法总数，再由古典概率可得出答案. 【详解】从8只小猫中随机选取两只，共有种方法， 它们之间距离为1的情况有：， 共8种，所以从8只小猫中随机选取两只，它们之间距离为1的概率是：. 故答案为：. 14.已知函数，设曲线在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，再过点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.给出下列四个结论： ①的长为； ②点的坐标为； ③与的面积之比是； ④在直线与y轴之间有6个三角形. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】②④ 【分析】依次求出、、、、、、、、、、的坐标，然后可判断出每个的正误. 【详解】由可得， 由可得，， 所以，故①错误 由可得，，故②正确 由可得， 所以 ，故③错误 同理可求 因为，所以共有6个三角形，故④正确 故答案为：②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表： 32 18 4 6 8 12 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关. 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.64 （2）列联表见解析 （3）有关 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得列联表； （3）计算出，结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为， 所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为. （2）浓度在，且浓度在的天数为， 浓度在，且浓度在的天数为， 浓度在，且浓度在的天数为， 浓度在，且浓度在的天数为， 由以上数据，可得列联表： 64 16 10 10 （3）提出假设：该市一天空气中浓度与浓度无关. 根据列联表中数据，经计算得到， 即有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关. 16.（本小题满分15分）若，，. （1）求证：； （2）若，判断数列的单调性. 【答案】（1）证明见解析 （2）数列单调递增 【分析】（1）假设，根据已知条件得出，解得，结合题设条件推出矛盾，即可证得原结论成立； （2）根据递推公式可写出、、、的值，由此可归纳出数列的通项公式，然后通过递推公式得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式. 【详解】（1）假设，因，，则，解得或， 于是得或，与题设且矛盾，故假设不成立，所以成立； （2）因，，，则，，，， 显然有，，，，， 猜想， 由得，即， 又，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，所以， ， 又数列单调递增. 17.（本小题满分15分）已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到切线方程； （2）根据题意，设，分与讨论函数的单调性，结合是函数的极小值点，即可得到结果. 【详解】（1）当时，函数. .. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题知，不妨设. . （i）当时，不妨设. 在上恒成立. 在上单调递增. 又， 所以当时，；当时，. ， . 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 是函数的极小值点. （ii）当时，不妨设. ，使得，且. 在上单调递减. 所以当时，. 所以当时，. 在上单调递减. 不是函数的极小值点. 综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为. 18.（本小题满分17分）（24·25高二上·吉林·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. （1）证明：椭圆在点处的切线方程为. （2）求动点的轨迹的方程. （3）过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）在 【分析】（1）直曲联立，求出交点，证明即可； （2）令，得坐标，求出直线方程，求出交点，得到动点的轨迹的方程. （3）设直线的方程为，直曲联立，借助韦达定理，得到，联立，方程，得到满足的条件即可. 【详解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上. 19.（本小题满分17分）一年一度的创意设计大赛开幕了.今年小王从世界名画《永恒的记忆》中获得灵感，创作出了如图1的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字3，对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移；不考虑三根北针的粗细）. （1）若秒针指向了钟上数字4，如图2.连接、，若平面.求半圆形钟组件的半径； （2）若秒针指向了钟上数字5，如图3.设四面体的外接球球心为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【分析】（1）根据线面平行性质定理得出线线平行，再应用正弦定理计算可得半径； （2）空间向量法计算二面角余弦值即可. 【详解】（1）由平面，平面，平面平面，可得，故， 又由，知为等腰三角形，，，由正弦定理得.故半圆形钟组件的半径等于. （2）依题意，二面角为直二面角，为交线，，故平面.又，故、、两两垂直.以为原点，、、为轴、轴，轴建立空间直角坐标系. 如图，，，，.将四面体补成长方体，知即为长方体的中心，得.则，，. 设平面的法向量为，则，即，取，得. 设平面的法向量为，则， 即，取，得. 则. 故二面角的余弦值为. 17/17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1套 2025年八省联考仿真卷（提升卷） ||| 试卷概述 1.2025年八省联考简述：近几年的联考，堪称高考极为重要的方向标，本次联考呈现出一个突出特点，即降低了教材外知识的占比，这无疑是回归高考命题正确轨道的积极信号，由此可以合理预期，2025年高考难度相较于以往或有所降低，此外，就本次联考试题而言，个人认为其中第11题不具备深入研究的价值. 2.本卷特点： （1）相较八省联考，本卷难度实现适度提升，精准适配尖子生，是考前冲刺拔高的绝佳助力. （2）本次试卷严格对标八省联考的出题模式，在题目筛选与设计上精益求精，从多角度考量知识点的覆盖与考查深度，力求为考生打造极具价值的仿真试卷，帮助考生提前适应高考节奏与题型风格.||| 仿真好题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3.已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4.已知向量，，，，则（ ）. A.1 B. C.4 D. 5.设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 7.在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D.6 8.已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ） A.的准线方程为 B.点的坐标为 C. D.三角形的面积为（为坐标原点） 10.意大利著名画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C.随的增大而减小 D.的面积随的增大而减小 11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A.点在曲线上 B.点在上，则 C.点在椭圆上，若，则 D.过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数满足，函数，若，则________. 13.如图8只小猫围绕在2×2的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是________. 14.已知函数，设曲线在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，再过点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示.给出下列四个结论： ①的长为； ②点的坐标为； ③与的面积之比是； ④在直线与y轴之间有6个三角形. 其中，正确结论的序号是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表： 32 18 4 6 8 12 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关. 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16.（本小题满分15分）若，，. （1）求证：； （2）若，判断数列的单调性. 17.（本小题满分15分）已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围. 18.（本小题满分17分）（24·25高二上·吉林·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. （1）证明：椭圆在点处的切线方程为. （2）求动点的轨迹的方程. （3）过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 19.（本小题满分17分）一年一度的创意设计大赛开幕了.今年小王从世界名画《永恒的记忆》中获得灵感，创作出了如图1的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字3，对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移；不考虑三根北针的粗细）. （1）若秒针指向了钟上数字4，如图2.连接、，若平面.求半圆形钟组件的半径； （2）若秒针指向了钟上数字5，如图3.设四面体的外接球球心为，求二面角的余弦值. 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $$