7.1 复数的概念【八大题型】-2024-2025学年高一年级数学一例多变与思维拓展系列（人教A版2019必修第二册）

7．1 复数的概念 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的分类 题型三：复数相等的充要条件 题型四：复数与复平面内的点的关系 题型五：复数与复平面内的向量的关系 题型六：复数的模及其应用 题型七：复数模的几何意义 题型八：复数的轨迹与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 题型一：复数的概念 【例1】复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【解析】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1-1】已知，“”是“复数为虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：当时，显然为虚数，则“”是“复数为虚数”的充分条件； 必要性：复数为虚数，则必定，则“”是“复数为虚数”的必要条件， 综上所述，“”是“复数为虚数”的充分必要条件. 故选：C. 【变式1-2】下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【解析】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 【变式1-3】下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 【答案】D 【解析】实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确； 任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确； 任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确； 虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确 故选：D． 题型二：复数的分类 【例2】已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 【解析】（1）当，即或时， 复数为实数； （2）当，即且时， 复数为虚数； （3）当，即时， 复数为纯虚数. 【方法技巧与总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式2-1】写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【解析】4，，0，，，6i的实部分别是4，2，0，，5，0，虚部分别是0，，0，，，6． 4，0是实数； ，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数． 【变式2-2】实数取什么值时，复数是 (1)实数； (2)纯虚数. 【解析】（1）若复数是实数，则，即， 即时，复数是实数 （2）若复数是纯虚数，则，解得， 所以当时，复数是纯虚数 【变式2-3】已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【解析】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 题型三：复数相等的充要条件 【例3】已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】依题意，得，解得， 所以. 故选：A 【方法技巧与总结】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式3-1】设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 【变式3-2】已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】，故，所以. 故选：C. 【变式3-3】已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【解析】因为，，且，则，，解得. 故选：C 知只点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型四：复数与复平面内的点的关系 【例4】已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，复数的实部与虚部应同号，所以， 即，所以． 故选：C． 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式4-1】设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 【变式4-2】若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】由可得，又m为整数，所以. 故选：B. 【变式4-3】复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因为复数对应的点在第四象限，则， 因此，角是第二象限角. 故选：B. 题型五：复数与复平面内的向量的关系 【例5】向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为 （用代数形式表示）． 【答案】 【解析】因为向量对应的复数为，则在复平面内复数对应的点为， 设角的终边过点，则，， 所以， 由，所以， ， 将把绕点按逆时针方向旋转得到，则， 所以对应的复数为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式5-1】设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【答案】 【解析】因为，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，， 则， 所以向量对应的复数所对应的点的坐标为. 故答案为：. 【变式5-2】已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 【答案】 【解析】因为复平面内的点，分别对应的复数为和， 所以，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故答案为： 【变式5-3】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 【答案】 【解析】 如图所示，复数对应的向量,则,, 绕原点按顺时针方向旋转90°，得向量,则,, 则向量,对应的复数为. 故答案为： 题型六：复数的模及其应用 【例6】已知复数 满足 ， 则 . 【答案】 【解析】原题等价于，，求. ，， ， . 故答案为：. 【方法技巧与总结】 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式6-1】设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设复数， 由得，， 所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式6-2】若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 【变式6-3】已知纯虚数满足，则 ． 【答案】2 【解析】设，则，则， 即舍去或，所以． 故答案为：． 题型七：复数模的几何意义 【例7】复数满足，则 . 【答案】 【解析】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式7-1】如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 【变式7-2】在复平面上，对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则对应的复数为 ． 【答案】/ 【解析】点关于实轴的对称点为，对应的复数为，坐标为， 则对应的坐标为，故对应的复数为. 故答案为： 【变式7-3】在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 【答案】 【解析】如图，由题意可知，与轴正向夹角为， 绕点逆时针方向旋转后到达轴上点， 又，所以的坐标为，所以对应的复数为. 故答案为： 题型八：复数的轨迹与最值问题 【例8】设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化． 【变式8-1】已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-2】已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式8-3】已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为 ． 【答案】4 【解析】由，得在复平面内，复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆及内部， 由，得，则点到和对应的点的距离相等， 即点在以为端点的线段的中垂线上， 因此点的轨迹是直线在上述圆及内部，显然直线过圆心， 所以所求轨迹长度为4. 故答案为：4 【强化训练】 1．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D 3．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 4．已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由已知可得， 所以， 当时，上式模长取得最小值， 最小值为， 故选：B. 5．已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确； 故选：A. 6．复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 7．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则，，， 故. 故选：B. 8．若，z为纯虚数，且，则（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【解析】因为z为纯虚数， 所以设， 由得， 所以，解得， 所以，则， 故选：A． 9．（多选题）已知复数（其中是实数），则（    ） A．可能为实数 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 【答案】BCD 【解析】当时，无意义，故A错误； 当时，，为纯虚数，故B正确； 若，则得，故C正确； 若在复平面内对应的点位于第一象限，则得，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（    ） A．若为纯虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 【答案】BD 【解析】A.若为纯虚数，则，得，故A错误； B. 若复平面内表示复数的点位于第四象限，则， 解得：，故B正确； C. 若，则，则，所以的虚部为，故C错误； D. 若，则，得，所以， 则，故D正确. 故选：BD 11．（多选题）已知，复数，则下列说法正确的是（    ） A．若复数z为纯虚数，则 B．若复数z为实数，则 C．若复数z的模为，则 D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则 【答案】ABD 【解析】， A中，若复数z为纯虚数，则，且，得．故A正确； B中，若复数z为实数，则，得．故B正确； C中，若复数z的模为，则，得．故C不正确； D中，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，且，得．故D正确． 故选：ABD. 12．设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 13．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 14．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积 ． 【答案】或 【解析】由题意知，， 由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理， 得，即， ，即， 当与反向，； 当线段在的内部时，， 所以的面积为或. 故答案为:或. 15．已知，求实数x，y的值. 【解析】，解得或 16．已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 17．复数z满足，求的取值范围. 【解析】表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 如图，从图中可直观地得到的最小值为， 的最大值为， ∴的取值范围是 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7．1 复数的概念 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的分类 题型三：复数相等的充要条件 题型四：复数与复平面内的点的关系 题型五：复数与复平面内的向量的关系 题型六：复数的模及其应用 题型七：复数模的几何意义 题型八：复数的轨迹与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 题型一：复数的概念 【例1】复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1-1】已知，“”是“复数为虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【变式1-3】下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 题型二：复数的分类 【例2】已知是虚数单位，当实数m满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 【方法技巧与总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式2-1】写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【变式2-2】实数取什么值时，复数是 (1)实数； (2)纯虚数. 【变式2-3】已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 题型三：复数相等的充要条件 【例3】已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【方法技巧与总结】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式3-1】设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-3】已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 知只点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型四：复数与复平面内的点的关系 【例4】已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式4-1】设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式4-3】复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型五：复数与复平面内的向量的关系 【例5】向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为 （用代数形式表示）． 【方法技巧与总结】 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式5-1】设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【变式5-2】已知复平面内的点，分别对应的复数为和，则向量对应的复数为 . 【变式5-3】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 题型六：复数的模及其应用 【例6】已知复数 满足 ， 则 . 【方法技巧与总结】 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式6-1】设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【变式6-3】已知纯虚数满足，则 ． 题型七：复数模的几何意义 【例7】复数满足，则 . 【方法技巧与总结】 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式7-1】如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【变式7-2】在复平面上，对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则对应的复数为 ． 【变式7-3】在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 题型八：复数的轨迹与最值问题 【例8】设复数，，则的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化． 【变式8-1】已知复数满足，则的取值范围是 . 【变式8-2】已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 ． 【变式8-3】已知复数z满足，且，则复数z表示的轨迹长为 ． 【强化训练】 1．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 5．已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 8．若，z为纯虚数，且，则（    ） A． B．5 C． D．3 9．（多选题）已知复数（其中是实数），则（    ） A．可能为实数 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 10．（多选题）已知复数，其中为实数，为虚数单位，则（    ） A．若为纯虚数，则或 B．若复平面内表示复数的点位于第四象限，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 11．（多选题）已知，复数，则下列说法正确的是（    ） A．若复数z为纯虚数，则 B．若复数z为实数，则 C．若复数z的模为，则 D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则 12．设实数，，满足，则的最大值为 ． 13．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 14．在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积 ． 15．已知，求实数x，y的值. 16．已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 17．复数z满足，求的取值范围. 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$