7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 Teaching Process Design 数学应用于生活中的方方面面，那么数学的在生活中是如何发展和产生的？产生的这些数集之间有何种关系？ 问题1： N Z Q R 在数学的发展过程中，起初人们为了满足统计物品数量的需求，产生了1，2，3，4以及表示“没有”的数字“0”，形成了自然数集。 后来为了表述收入的盈亏情况，引进了负数，数系扩张到整数集。 在分配物资的时候产生了分数，数系扩充到有理数集。 后来，为了表示边长为1的正方形的对角线为多少，引入了无理数，数系扩充到了实数集 R Q Z N 自然数集C整数集C有理数集C实数集 问题2： 方程 在该集合内有解吗 N N Z Z Q Q R R 请大家回答出以下表格的问题 有 有 有 有 无 无 无 无 思考 ：我们可以从上述方程在不同集合内有解得到什么结论呢？ 为了得到方程的解，可以适当的扩充数列 问题3： 从方程的角度来看，负实数不能开平方，就使方x2+a=0(a>0)没有解，我们归结为方程x2+1=0没有解，我们能适当扩充实数集使这个方程有解吗？ Leonhard Euler （1707年4月15日～1783年9月18日） 数学家欧拉在1777年首次提出用 i平方表示-1，即 ，所以x2+1=0 的解为x=i 问题4： 根据以往数系扩充，在实数集中规定的加法运算，乘法运算，在与原来的加法运算，乘法运算协调一致，并且加法乘法都满足交换律和结合率，乘法对加法满足分配率，那么我们引入新的数i是否也满足上述的加法，乘法运算律？ 设：实数可以与i进行加法和乘法的运算： 实数a与数i的相加计为_________ 实数b与数i的相加乘为_________ 实数a与数i和实数b的相乘的结果计为_______________ a+i bi a+bi 结论：实数与i进行加法与乘法运算时，原有的加法，乘法的 运算依然成立 复数的标点 定义1： 例1： 答： 思考：复 数 集 C 与 实 数 集 R 之 间 有 什 么 关 系？ 定义2： 实数（b=0) 虚数（b≠0） （当a=0时为纯虚数） 这样，复数z=a+bi(a,b∈R) 可以分类如下： 实数 是否可以用维恩图来表示出复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系以及复数集与其他数集的关系？ 答：复数集中包含实数集，即实数集R是复数集C的真子集，R⊊C 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 N Z Q R C 问题4： 例3： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 答：（1）当m-1=0,即m=1时，复数z是实数； （2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数； （3）当m+1=0且m-1≠0时，即m=-1时，复数z是纯虚数。 思考：什么情况下，复数相等？ 定义3：在复数集C={a+bi｜a,b∈R}中任取两个数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R）,规定 a+bi=c+di⟺ a=c,b=d 例5 求满足下列条件的实数x,y的值 （x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i 答： x+y=2x+3y (1) y-1=2y+1 (2) 联立（1）（2）式得 x=4,y=-2 注： 复数只能比是否相等不能比大小 课后作业 书P70页课后习题1，2，3题 $