6.2.2组合7题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.2 组合7题型分类 一、组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 二、组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元 素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 三、排列与组合的区别 1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”． 2.从个元素中取出个元素的排列(排列数)，可以理解为分为两步： 第一步，从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步，再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到． 四、组合数的性质 1.规定:． 2.． 3.． 4.． （一） 组合的概念 1、组合概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 2、有顺序，排列问题；无顺序，组合问题． 题型1：组合的判断 1．（2024高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 2．（2024高二·全国月考）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 3．（2024高二·河北石家庄月考）下列问题是组合问题的是（    ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 4．（2024高二·江苏·单元测试）下列是组合问题的是（    ） A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？ （二） 组合数运算 组合数公式：． 组合数的性质：1.规定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具体数字的用公式C＝＝计算． 2.涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3.计算时常用组合数的两个性质：①；②. 题型2：组合数运算 5．（2024高二·江苏宿迁·期中）（    ） A．74 B．98 C．124 D．148 6．（2024高二·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）求值：. 7．（2024高二·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 8．（2024高二·山东德州月考）（1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 9．（2024高二·河北石家庄月考）若，求m. 10．（2024高二·江苏月考）计算： (1)； (2)； (3)． 题型3：组合数的证明 11．（2024高二·全国月考）利用组合数公式证明． 12．（2024高二·全国月考）求证：. 13．（2024高二·上海月考）m是自然数，n为正整数，且，求证：． 题型4：组合数的性质及其应用 14．（2024高二·陕西西安月考）已知，则的值为（    ） A．3 B．3或4 C．4 D．4或5 15．（2024高二·甘肃白银月考）（    ） A．84 B．120 C．126 D．210 16．（2024高二·山东济宁·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或6 17．（2024高二·江苏南京·期中）若，则正整数的值是（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（2024高二·山西运城·期中）若，则的值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 （三） 简单组合问题 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 题型5：有限制条件的组合问题 19．（2024高三·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 20．（2024高二·上海·期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个. 21．（2024·河北保定模拟预测）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ． 22．（2024高三·海南海口月考）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．180种 D．240种 题型6：与几何图形有关的组合问题 23．（2024高二·广东深圳·期中）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 . 24．（2024高二·全国月考）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二·辽宁沈阳月考）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（   ） A．18 B．24 C．30 D．32 26．（2024高二·云南楚雄·期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（    ）    A．25条 B．48条 C．150条 D．512条 27．【多选】（2024高二·贵州贵阳月考）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（    ）      A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有41条 C．若甲途经地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条 （四） 分堆分配问题 分堆问题：①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． 题型7：分堆分配问题 28．（2024·四川雅安模拟预测）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（    ） A．420 B．460 C．480 D．520 29．（2024高二·河南郑州·期中）已知从左到右有5个空格. (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ (2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 30．（2024高二·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 31．（2024高二·安徽安庆·期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. (1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ (2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ (3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 32．（2024·河南郑州模拟预测）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答） 33．（2024高二·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 34．（2024高二·浙江·期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球. (1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？ (3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 35．（2024高二·河北石家庄·期中）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人. (1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？ 36．（2024高三·河北衡水月考）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 37．（2024·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 一、单选题 1．（2024高二·吉林·期末）计算的值是（    ） A．62 B．102 C．152 D．540 2．（2024·全国卷）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（   ） A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 3．（2024高三·全国月考）满足，且的有序数组共有（    ）个. A． B． C． D． 4．（2024高二·陕西咸阳月考）若，则的值为（    ） A．83 B．119 C．164 D．219 5．（2024·全国模拟预测）“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（    ） A．24种 B．20种 C．12种 D．22种 6．（2024高二·吉林·期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（    ） A．18 B．150 C．36 D．54 7．（2024高二·黑龙江牡丹江月考）某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（    ）. A．444种 B．1776种 C．1440种 D．1560种 8．（2024·黑龙江哈尔滨模拟预测）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（    ） A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种 9．（2024·全国模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（    ） A．20 B．40 C．66 D．80 10．（2024·吉林白山模拟预测）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．300 B．432 C．600 D．864 11．（2024高二·全国月考）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 二、多选题 12．（2024高二·吉林月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 13．（2024高二·甘肃白银月考）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（    ） A．不同的摆放方法共有120种 B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种 C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种 D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种 14．（2024高三·全国月考）（多选题）下列人员的坐法种数为24的是（    ） A．4把椅子排成一排，4人随机就座 B．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻 C．4人均不坐在写着自己名字的座位上 D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻 三、填空题 15．（2024高二·全国月考）不等式的解为 ． 16．（2024高二·全国月考）已知，则的值为 （用数字作答）. 17．（2024高三·辽宁月考）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.    18．（2024高三·吉林白城·期中）某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种． 19．（2024高二·山东月考）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是 ． 四、解答题 20．（2024高二·江苏·课前预习）一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 21．（2024高二·全国月考）判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 22．（2024高二·江西月考）某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答） (1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； (2)若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数； (3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数． 23．（2024高二·上海月考）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 24．（2024高二·江苏·课前预习）（1）求值：； （2）解方程：. 25．（2024高二·全国月考）将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 26．（2024高二·甘肃白银·期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 27．（2024高二·湖北宜昌·期中）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答） (1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？ (2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？ (3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.2 组合7题型分类 一、组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 二、组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元 素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 三、排列与组合的区别 1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”． 2.从个元素中取出个元素的排列(排列数)，可以理解为分为两步： 第一步，从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步，再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到． 四、组合数的性质 1.规定:． 2.． 3.． 4.． （一） 组合的概念 1、组合概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 2、有顺序，排列问题；无顺序，组合问题． 题型1：组合的判断 1．（2024高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 2．（2024高二·全国月考）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【答案】BCD 【分析】取出的元素不考虑顺序就是组合问题，由此即可判断各选项. 【解析】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数， 则共有种排法，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题； 对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题； 对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题. 故选：BCD. 3．（2024高二·河北石家庄月考）下列问题是组合问题的是（    ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 【答案】BD 【分析】利用组合的定义判断. 【解析】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题； B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题； C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题； D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题； 故选：BD 4．（2024高二·江苏·单元测试）下列是组合问题的是（    ） A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？ 【答案】ABC 【分析】根据有无顺序即可判断是否是组合. 【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关； B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别； C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别； D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的． 故选:ABC． （二） 组合数运算 组合数公式：． 组合数的性质：1.规定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具体数字的用公式C＝＝计算． 2.涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3.计算时常用组合数的两个性质：①；②. 题型2：组合数运算 5．（2024高二·江苏宿迁·期中）（    ） A．74 B．98 C．124 D．148 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数公式，计算即可． 【解析】． 故选：C． 6．（2024高二·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）求值：. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数的定义求出的值，再代入计算可得. 【解析】（1）； （2）由组合数的定义知：，解得，又， 或. 当时； 当时. 所以的值为或. 7．（2024高二·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解. 【解析】因为，则或，解得或， 若，可得，符合题意； 若，可得，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 8．（2024高二·山东德州月考）（1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 【解析】（1）由，得，， 于是，整理得，解得， 所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得， 所以. 9．（2024高二·河北石家庄月考）若，求m. 【答案】或 【分析】根据题意，利用组合数的计算公式，求得，进而求得实数的值. 【解析】依题意，得且，所以， 由，可得，即，解得， 又因为，所以或. 10．（2024高二·江苏月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1225 (2)161700 (3)20 【分析】根据组合的性质，对每一小问逐一运算即可. 【解析】（1） （2） （3） 题型3：组合数的证明 11．（2024高二·全国月考）利用组合数公式证明． 【答案】证明见解析 【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明. 【解析】证明：因为， ， 所以． 12．（2024高二·全国月考）求证：. 【答案】证明见详解. 【分析】根据组合数公式进行整理化简即可. 【解析】证明：因为， 所以， 所以得证. 13．（2024高二·上海月考）m是自然数，n为正整数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用组合数公式计算即可得到本题答案. 【解析】根据组合数公式，可以得到． 题型4：组合数的性质及其应用 14．（2024高二·陕西西安月考）已知，则的值为（    ） A．3 B．3或4 C．4 D．4或5 【答案】B 【分析】由组合公式可得或,解方程即可得答案. 【解析】解：因为， 所以或， 解得：或. 故选：B. 15．（2024高二·甘肃白银月考）（    ） A．84 B．120 C．126 D．210 【答案】D 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【解析】因为， 所以． 故选：D 16．（2024高二·山东济宁·期中）若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．3或6 【答案】D 【分析】根据组合数公式的性质计算可得. 【解析】因为，所以或，解得或.经检验符合题意 故选：D 17．（2024高二·江苏南京·期中）若，则正整数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案. 【解析】因为，所以，即或， 解得或3，经检验均满足要求. 故选：AC 18．【多选】（2024高二·山西运城·期中）若，则的值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】BC 【分析】根据组合数的性质得到方程，求出答案. 【解析】因为，所以或，解得或8. 故选：BC （三） 简单组合问题 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 题型5：有限制条件的组合问题 19．（2024高三·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【解析】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 20．（2024高二·上海·期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个. 【答案】18 【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果. 【解析】分以下两种情况讨论： 若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种； 若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种. 由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种. 故答案为：18 21．（2024·河北保定模拟预测）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ． 【答案】96 【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可. 【解析】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程， 则有：种情况， 剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有： ①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况， ②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况， 所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为： 种情况， 故答案为：96. 22．（2024高三·海南海口月考）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．180种 D．240种 【答案】C 【分析】利用分步计数原理结合组合数公式求解. 【解析】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种， 则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种. 故选：C 题型6：与几何图形有关的组合问题 23．（2024高二·广东深圳·期中）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 . 【答案】69 【分析】先求出从9个点中任取3个的全部组合数为，然后减去三角形三个边上三点共线的组合数，即可得出答案. 【解析】从9个点中任取3个的全部组合数为， 三角形三个边上三点共线的组合数为， 所以能构成三角形的个数为. 故答案为：. 24．（2024高二·全国月考）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解. 【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有种， 正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种， 所以可得到的四面体的个数为种， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键. 25．（2024高二·辽宁沈阳月考）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（   ） A．18 B．24 C．30 D．32 【答案】C 【分析】从到共有条最短路径，从到共有条路径，根据乘法原理得到答案. 【解析】从到共有条最短路径，从到共有条路径， 故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为. 故选：C 26．（2024高二·云南楚雄·期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（    ）    A．25条 B．48条 C．150条 D．512条 【答案】C 【分析】利用组合、分步乘法计数原理可得答案. 【解析】从处到处的最短路径有条，从处到处的最短路径有条，则小华从处到处可以选择的最短路径有条． 故选：C. 27．【多选】（2024高二·贵州贵阳月考）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（    ）      A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有41条 C．若甲途经地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条 【答案】AC 【分析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，按照分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合组合数公式计算可得. 【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右， 且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误； 若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确； 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误； 故选：AC. （四） 分堆分配问题 分堆问题：①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． 题型7：分堆分配问题 28．（2024·四川雅安模拟预测）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（    ） A．420 B．460 C．480 D．520 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得. 【解析】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法， 4个学校所选研学基地都不相同有种方法， 所以不相同的选择种数有（种）. 故选：C 29．（2024高二·河南郑州·期中）已知从左到右有5个空格. (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ (2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 【答案】(1)96 (2)16800 【分析】（1）由题意可知先将数字0排好，再将其余4个数字全排列，根据分步乘法计数原理即可求得结果； （2）先将7个不同的小球分成5组，再按照分组分配问题进行计算即可. 【解析】（1）根据题意，分2步进行分析： ①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，分2步进行分析： ①、将7个小球分成5组，有2种分法： 若分成2－2－1－1－1的5组，有种分法， 若分成3－1－1－1－1的5组，有种分组方法， 则有（）种分组方法， ②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有种情况， 则一共有种放法. 30．（2024高二·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【解析】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 31．（2024高二·安徽安庆·期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. (1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ (2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ (3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 【答案】(1)144 (2)1560 (3)252 【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种； （2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果； （3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案. 【解析】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列， 所以共有. （2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种； 再分到4个项目，即可得共有； （3）先考虑全部，则共有种排列方式， 其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种； 甲参加项目同时乙参加项目共有种， 根据题意减去不满足题意的情况共有种. 32．（2024·河南郑州模拟预测）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】首先计算出所有的选派方式，再挑选出不合题意选派方式，即可计算出结果. 【解析】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种， 其中甲、乙都不参与的选派方式共有种， 其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种， 所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种. 故答案为： 33．（2024高二·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 【答案】(1)25 (2)72 【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类； （2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性． 【解析】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为， ②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为， 所以共有选法种数为20+5=25； （2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：， 第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：， 第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ， 所以共有不同的分配方案数为：． 34．（2024高二·浙江·期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球. (1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？ (3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，结合插空法可求得结果； （2）对摸出的黑球的个数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果； （3）先将这个小球分为组，确定每组球的个数，然后再将这三组小球分配给三个不同的盒子，利用分步乘法计数原理可得结果. 【解析】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻， 只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球， 则黑球得个数可以是或或， 由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种. （3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、， 再将这三组小球分配给三个盒子， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种. 35．（2024高二·河北石家庄·期中）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人. (1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本（不平均分组），再将三组作全排即可得结果； （2）首先将7本书分成3本、2本、2本（部分平均分组），再将三组作全排即可得结果； 【解析】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本，共三组有种， 再将三组分给甲、乙、丙三人有种， 所以共有种. （2）首先将7本书分成3本、2本、2本，共三组有种， 再将三组分给甲、乙、丙三人有种， 所以共有种. 36．（2024高三·河北衡水月考）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区. 【解析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况， 第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案， 所以共（种）选派方案， 故选：A. 37．（2024·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 【答案】C 【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 一、单选题 1．（2024高二·吉林·期末）计算的值是（    ） A．62 B．102 C．152 D．540 【答案】A 【分析】利用组合和排列数公式计算 【解析】 故选：A 2．（2024·全国卷）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（   ） A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 【答案】B 【解析】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 3．（2024高三·全国月考）满足，且的有序数组共有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合的定义即可结合组合数求解. 【解析】由于，所以从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为． 故选：A． 4．（2024高二·陕西咸阳月考）若，则的值为（    ） A．83 B．119 C．164 D．219 【答案】D 【分析】根据组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质，即可求得答案. 【解析】由于，故， 则 ， 故选：D 5．（2024·全国模拟预测）“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（    ） A．24种 B．20种 C．12种 D．22种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理，排列应用问题列式计算即得. 【解析】求不同的种植方法需要两步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共（种）方法； 第二步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，与红牡丹、黄牡丹一起排在黑牡丹与紫牡丹中间， 共（种）方法，其中，白牡丹与黑牡丹不相邻的排法有（种）， 所以不同的种植方法共有（种）． 另解：求不同的种植方法需要3步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共（种）方法； 第二步：在黑牡丹和紫牡丹中间种植红牡丹和黄牡丹，共（种）方法； 第三步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，在红牡丹和黄牡丹的前、中、后三个空位种植，且白牡丹与黑牡丹不相邻，共（种）方法， 所以不同的种植方法共有（种）． 故选：B 6．（2024高二·吉林·期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（    ） A．18 B．150 C．36 D．54 【答案】C 【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论，进而即得． 【解析】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人， 分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况， 根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况： 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法； 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法； 故共有：36种分派方法， 故选：． 7．（2024高二·黑龙江牡丹江月考）某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（    ）. A．444种 B．1776种 C．1440种 D．1560种 【答案】B 【分析】先在生、史、地、政中四选一，然后按照语文、外语排课进行分类讨论，由此求得所有的安排方法总数. 【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选， 所以只需在生、史、地、政中四选一，有（种）. 对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有（种）； 第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有（种）， 语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种， 也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有（种）， 其他三科可以全排列，有（种）. 综上，共有（种）. 故选：B 【点睛】本小题主要考查生活中排列、组合的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 8．（2024·黑龙江哈尔滨模拟预测）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（    ） A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种 【答案】C 【分析】分为恰有2名学生所选的课相同，以及4名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，相加即可得出答案. 【解析】恰有2名学生选课相同， 第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能； 第二步，从6个项目中选出3个排好，有. 根据分步计数原理可得，方法有； 4名学生所选的课全不相同的方法有. 根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有. 故选：C. 9．（2024·全国模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（    ） A．20 B．40 C．66 D．80 【答案】C 【分析】先求上午的安排方法种数，再求下午的安排方法种数，结合分步乘法计数原理运算求解. 【解析】因为丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A，所以上午甲、乙、丙参加B，C，D这3个项目， 共有种不同的安排方法. 又因为甲、乙、丙、丁四人下午参加的项目为A，B，C，D，分2类： ①丁参加项目A，共有2种不同的安排方法； ②丁参加B，C，D这3个项目中的1个，从甲、乙、丙中选1人参加项目A，剩下两人参加剩下的2个项目， 共有种不同安排方法； 综上所述：共有种不同的安排方法. 故选：C. 10．（2024·吉林白山模拟预测）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．300 B．432 C．600 D．864 【答案】B 【分析】根据特殊原元素先排列，4名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果. 【解析】杨教授站中间，只有1种方法； 四名男生分成两组放在两边方法数； 两名女生放在两边方法数， 每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为. 故选：B. 11．（2024高二·全国月考）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 【答案】D 【分析】根据题意，结合分组分配问题，结合排列组合，即可求解. 【解析】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组， 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， 所以不同的分配方案有. 故选：D 二、多选题 12．（2024高二·吉林月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ACD 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确. 【解析】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确； 对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确. 故选：ACD. 13．（2024高二·甘肃白银月考）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（    ） A．不同的摆放方法共有120种 B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种 C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种 D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种 【答案】ACD 【分析】A选项：五个摆件全排列即可； B选项：先把“金塔”“木塔”“火塔”三个全排列，再用“水塔”和“土塔”插空即可； C选项：同选项B解析； D选项：把“水塔”和“土塔”捆绑，再考虑捆绑组在两边和中间插空的情况即可. 【解析】由题可知，不同的摆放方法共有种，A正确； 若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有种，C正确，B不正确； 若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有种，D正确． 故选：ACD 14．（2024高三·全国月考）（多选题）下列人员的坐法种数为24的是（    ） A．4把椅子排成一排，4人随机就座 B．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻 C．4人均不坐在写着自己名字的座位上 D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻 【答案】AB 【分析】根据排列组合知识逐项分析即可. 【解析】A项中，4把椅子排成一排，4人随机就座的坐法种数为，故A正确； B项中，利用“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为，故B正确； C项中，第一个人有3种选择，然后第一个人坐的座位名字对应的人也有3种选择，剩余两人只有1种选择，所以共有9种坐法，故C错误； D项中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻的坐法种数为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 15．（2024高二·全国月考）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解. 【解析】依题意，所以且， 由得， ， 所以不等式的解为. 故答案为： 16．（2024高二·全国月考）已知，则的值为 （用数字作答）. 【答案】462 【分析】已知等式利用组合数公式化简，解出的值，代入所求算式，利用组合数的性质化简求值. 【解析】由可得， 即， 化简得，整理得， 解得或， 因为，所以， 所以 . 故答案为：462. 17．（2024高三·辽宁月考）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.    【答案】 【分析】应用乘法原理计算即可. 【解析】小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条， 再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条. 故答案为：120. 18．（2024高三·吉林白城·期中）某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种． 【答案】84 【分析】考虑前2个节目都是语言类节目和前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类两种情况，根据分步乘法原理以及分类加法原理，即可求得答案. 【解析】若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况； 若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况， 剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况． 综上，有种不同的排法， 故答案为：84 19．（2024高二·山东月考）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是 ． 【答案】266 【分析】这是一道有限制的分配问题，先将6支救援队分成三组，再分到A，B，C三个受灾点，利用排列、组合进行计算求解，再减去不满足的情况数. 【解析】若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A，B，C三个受灾点， 共有种不同的安排方法， 其中甲、乙去同一个地方的有种， 所以有N1＝30－12＝18种不同的安排方法； 若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A，B，C三个受灾点， 共有种不同的安排方法， 其中甲、乙去同一个地方的有种， 所以有N2＝240一64＝176种不同的安排方法； 若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A，B，C三个受灾点， 共有种不同的安排方法， 其中甲、乙去同一个地方的有种， 所以有N3＝90－18＝72种不同的安排方法． 故共有N＝N1＋N2＋N3＝266种不同的安排方法． 故答案为：266. 四、解答题 20．（2024高二·江苏·课前预习）一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【答案】(1)10 (2)6 (3)4 【分析】（1）由组合数公式即可求解； （2）由组合数公式即可求解； （3）由组合数公式即可求解； 【解析】（1）从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是. 21．（2024高二·全国月考）判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题 (4)排列问题；组合问题 【分析】由排列和组合的定义，对题目中的情况进行判断. 【解析】（1）4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题. （2）选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题. （3）已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题. （4）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题. 22．（2024高二·江西月考）某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答） (1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； (2)若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数； (3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可； （2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可； （3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可. 【解析】（1）方法一：至少有一名组长含有两种情况： 有一名组长和两名组长，故共有种． 方法二：至少有一名组长可以采用排除法，有种． （2）至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员，有2名女团员，有1名女团员， 没有女团员，故共有种． （3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况： 第一类：女组长当选，有种； 第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人， 其中至少选择1名女团员，有种． 故共有种． 23．（2024高二·上海月考）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】代入阶乘公式，化简证明. 【解析】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 24．（2024高二·江苏·课前预习）（1）求值：； （2）解方程：. 【答案】（1）148（2） 【分析】（1）和（2）都可以直接代入组合数公式计算或者解方程即可. 【解析】（1）； （2）原方程可化为， 即，解得或. 又且， 所以. 25．（2024高二·全国月考）将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12. 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解. （2）利用排列数即可求解. （3）利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解. （4）利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解. （5）首先在4个盒子中选出1个，放入2个小球，再在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解. 【解析】（1）根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有44＝256种放法， （2）根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放1个球，有＝24种放法， （3）根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个， 放入1个盒子中，有＝24种放法， 在剩下的3个盒子中，任选2个， 放入剩下2个两个小球，有＝6种放法，则有6×24＝144种放法； （4）根据题意，分2步进行分析：在4个小球中任选1个， 放入编号相同的盒子中，有＝4种放法， 剩下3个小球放入编号不同的盒子中， 有2种放法，则有4×2＝8种不同的放法， （5）根据题意，在4个盒子中选出1个，放入2个小球，有4种选法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，有＝3中选法， 则有4×3＝12种不同的放法． 26．（2024高二·甘肃白银·期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 【答案】(1)945 (2)84 【分析】（1）根据平均分组的分配规律，结合组合数的计算，即可得答案； （2）结合题意，利用隔板法即可求得答案. 【解析】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案. （2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板， 则分成7组，故分配方案共有种. 27．（2024高二·湖北宜昌·期中）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答） (1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？ (2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？ (3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？ 【答案】(1)63种 (2)504种 (3)540种 【分析】（1）根据可去裁判的人数结合组合数的性质分析运算； （2）利用间接法，在所有排列情况下排除A担任第一场比赛的主裁判或C担任第三场比赛的主裁判的可能； （3）根据题意，分类讨论人数的分配情况运算求解. 【解析】（1）由题意知：可去名裁判， 所以共有（种）不同的安排方法. （2）这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，共有种方法， 若A担任第一场比赛的主裁判的方法数为； 若C担任第三场比赛的主裁判的方法数为； 若A担任第一场比赛的主裁判同时担任第三场比赛的主裁判的方法数为； 所以A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，共有（种）不同的安排方法. （3）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下： ①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法； ②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法； ③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法. 综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，共有（种）不同的安排方法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$