压轴题04 正弦函数的图像与性质（六类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题04 正弦函数的图像与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、正弦函数的图像 2 类型二、利用正弦型函数的单调性求参数 5 类型三、解正弦不等式 6 类型四、求正弦型函数的最小正周期、单调性、值域与最值 7 类型五、正弦型函数的最值与零点、恒成立等问题 12 类型六、正弦型函数的对称性及其应用 16 压轴能力测评（21题） 18 知识点01正弦曲线和正弦函数图象的画法 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 知识点02正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值、对称性 函数 y＝sin x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 解析式 y＝sin x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 对称中心 对称轴 类型一、正弦函数的图像 一、单选题 1．（20-21高一下·上海宝山·期中）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一下·上海宝山·期末）函数与交点的个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 3．（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是 ． 4．（22-23高一下·上海长宁·期中）若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则 . 5．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 . 7．（23-24高一下·上海·期中）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 三、解答题 8．（20-21高一下·上海静安·期末）用“五点法”作出函数，的大致图象，并写出使得 的的取值范围. 9．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 10．（21-22高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 11．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 类型二、利用正弦型函数的单调性求参数 一、单选题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为 ． 3．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ． 4．（20-21高一下·上海·课后作业）设函数在上恒为递增函数，则的取值范围为 ． 5．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是 ． 6．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 三、解答题 7．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 8．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)若函数在的最大值为，求实数的值． 类型三、解正弦不等式 一、填空题 1．（20-21高一下·上海徐汇·期中）不等式的解集为 . 2．（21-22高一下·上海长宁·期中）在上满足的的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 二、解答题 4．（21-22高一下·上海黄浦·阶段练习）已知向量，且，常数. (1)若，求函数在的严格增区间； (2)设实数满足.若对任意，不等式都成立，求的值以及方程在闭区间上的解. 类型四、求正弦型函数的最小正周期、单调性、值域与最值 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高一下·上海·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 5．（23-24高一下·上海·期中）在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是 . 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 7．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 三、解答题 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 9．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 10．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 12．（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 13．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 14．（22-23高一下·上海静安·期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 15．（23-24高一下·上海徐汇·期中）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数x，y，满足．证明：． (2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 16．（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域. (3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 类型五、正弦型函数的最值与零点、恒成立等问题 1．（21-22高一下·上海普陀·期末）对闭区间，用表示函数在上的最小值. (1)设，求的值； (2)设，且偶函数，，求的最大值； (3)设，若有且仅有一个正数使得成立，求正实数的取值范围. 2．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)求函数严格增区间； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 3．（22-23高一下·上海普陀·期中）已知，.设，并记. (1)若，，求集合； (2)若，试求的值，使得集合恰有两个元素； (3)若集合恰有三个元素，且对于任意的都成立，其中为不大于7的正整数，求的所有可能值. 4．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调减区间； (3)当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 5．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 7．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知常数，定义在R上的函数. (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值； (2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a及n的值. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 9．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 类型六、正弦型函数的对称性及其应用 一、单选题 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 3．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 .（填上所有正确的序号） ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 4．（23-24高二上·上海·期末）已知，，则与图像交点的横坐标之和为 . 5．（20-21高一下·上海徐汇·期中）若函数的图像关于直线对称，则 . 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 三、解答题 7．（23-24高一上·全国·期末）已知函数. (1)求的最小正周期以及对称轴方程； (2)设函数，求在上的值域. 8．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 9．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）的单调减区间为 . 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的值域为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 5．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）设均为大于1的自然数，，若存在实数，使得，则有序实数对为 . 7．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 8．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 10．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 11．（21-22高一下·上海闵行·期中）方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是 . 12．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 二、单选题 13．（21-22高一下·上海杨浦·期中）如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 15．（20-21高一下·上海徐汇·期中）数学中一般用表示中的较小值，关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；    ②的图像关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上单调递增； 其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（22-23高一下·上海普陀·期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（23-24高一下·上海·期中）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记. (1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用. 18．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 19．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 21．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题04 正弦函数的图像与性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、正弦函数的图像 2 类型二、利用正弦型函数的单调性求参数 13 类型三、解正弦不等式 20 类型四、求正弦型函数的最小正周期、单调性、值域与最值 23 类型五、正弦型函数的最值与零点、恒成立等问题 38 类型六、正弦型函数的对称性及其应用 52 压轴能力测评（21题） 60 知识点01正弦曲线和正弦函数图象的画法 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 知识点02正弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值、对称性 函数 y＝sin x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 解析式 y＝sin x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 对称中心 对称轴 类型一、正弦函数的图像 一、单选题 1．（20-21高一下·上海宝山·期中）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围． 【详解】函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根， ， 如图： ①当，则，得无解； ②当，则，求得； ③当时，则，求得； ④当时，区间长度超过了正弦函数的两个最小正周期长度，故方程在区间上至少有4个根，不满足题意； 综上，可得或； 故选：D. 2．（20-21高一下·上海宝山·期末）函数与交点的个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】分别作出和图象，由数形结合可得结果. 【详解】用图形计算器分别作出和在上的图象，由图可知两函数图象有10个交点. 故选：B. 二、填空题 3．（20-21高一下·上海徐汇·期中）函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围． 【详解】解：函数在区间内不存在零点且，所以，即，所以， 因为，所以， 或，解得或， 因为，所以或， 故正实数的取值范围为， 故答案为：． 4．（22-23高一下·上海长宁·期中）若存在常数使关于的方程在闭区间上恰有三个不同解，则 . 【答案】/ 【分析】方程化为，由函数在上的图象，可得满足题意，由此可求得，即可得结论． 【详解】方程即为， 由于的最小正周期是， 作出在时的图象，如图，只有直线与它有三个交点， 因此方程在闭区间上恰有三个不同解，不妨设，则，， 由，得， 所以． 故答案为：． 5．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 . 【答案】 【分析】对于①：根据周期性可得；对于②：根据对称性可得或；对于③：结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】对于①：因为，由题意可得：，则； 对于②：可得，解得， 且，可得或，则或； 对于③：因为，则， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知不合题意，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 【答案】5 【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知， ， 令，，此时， 而，，， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，， 一个周期内有三个零点，，则需要个周期， 即； 当时，此时，解得， 若，此时， 则一个周期内有四个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时，， 则一个周期内有三个零点，， 个周期恰好个零点，个周期是个零点， 个周期则个零点，此时不符题意， 若，此时， 一个周期内有两个零点， 则或. 综上所述，这样的正整数有个， 分别是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，通过将三角函数方程换元，得到关于的二次方程，根据二次方程根的分布分类讨论得到的范围，然后根据数形结合的思想结合正弦函数的图像进行求解是解决本题的关键. 三、解答题 8．（20-21高一下·上海静安·期末）用“五点法”作出函数，的大致图象，并写出使得 的的取值范围. 【答案】图像答案见解析，. 【分析】根据五点作图法的方法画图，再计算，的零点，进而根据图象直接求解使的 的取值范围即可. 【详解】解：列出函数图像上的五个关键点，如下表所示． 0 画出函数图象，如图所示： 令，有， 解得：， 令，有， 解得：， 由图可知：当时，有 . 9．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 10．（21-22高一下·上海嘉定·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． (1)求证：函数在上是“1跃点”函数； (2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明； （2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可； （3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可 【详解】（1）， 所以，， 令， 因为，，所以由零点存在定理可得在有解， 所以存在，使得， 即函数在是“1跃点”函数． （2）由题意得 ， 因为， 所以，当且仅当取等号， 所以的取值范围为． （3），即， 化简得，的最小正周期为， 当，；当（为正整数），； 所以从在上的值可得 ①当时，在有个“跃点”， 故，所以； ②当时，在有个“跃点”，故，无解； ③当或时，在上有个“跃点”，故， 综上，或或． 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 11．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，4,理由见解析 (3) 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… （2）作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴，又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3）由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 类型二、利用正弦型函数的单调性求参数 一、单选题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】， 由于且在区间上是严格增函数， 所以， 即的取值范围是. 故选：B 二、填空题 2．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为 ． 【答案】2或6 【分析】由得，由对称轴得出的表达式，由单调性首先缩小的范围，然后对可能取值一一验证可得． 【详解】，，， 又，所以，， 是函数图象的一条对称轴，则，， ， ， ，时，，则在区间上不单调， 所以，， 时，，符合题意， 时，，符合题意， 时，，而，不合题意， 时，，而，不合题意， 故答案为：2或6． 3．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】利用整体代换法求出函数的增区间，然后根据题意分析建立不等式组解出即可. 【详解】由， 得， 即函数的单调增区间为， 因为在是增函数，所以区间过原点，且 所以时，的增区间为， 则满足，即， 所以实数的取值范围是 故答案为：. 4．（20-21高一下·上海·课后作业）设函数在上恒为递增函数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数性质，结合单调性判断，故，由正弦函数单调性知， ，，解得的范围即可. 【详解】由正弦函数性质易知，若函数在上恒为递增函数，则， 故，由正弦函数单调性知， ， 解得，则在时，才能有解集， 故 故答案为： 5．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知（其中），且在闭区间上是严格减函数，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的单调递减区间，结合函数在闭区间上是严格减函数，即可求解. 【详解】由，， 得，， 因函数在闭区间上是严格减函数， 所以，又因，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： 三、解答题 7．（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 8．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)若函数在的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用诱导公式，平方关系即可化简，进而求得最小正周期. （2）由（1）得在区间上是增函数，即而得出，求解即可. （3）利用诱导公式，平方关系，二倍角公式化简，然后利用换元法得到二次函数，求对应含参的二次函数在区间上的最大值问题，即可求得结果. 【详解】（1） ， 则最小正周期为. （2）由（1）知，， 则在区间上是增函数， 所以， 所以， 解得， 又，所以时符合，即. （3）因为， 所以 ， 令， 因为， 所以，， 即， 则对于，， 当，即时，在时取得最大值， 即，解得（舍去）； 当，即时，在时取得最大值， 即，解得； 当，即时，在时取得最大值， 即，解得或（舍去）. 综上，或. 类型三、解正弦不等式 一、填空题 1．（20-21高一下·上海徐汇·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件可构造函数，易判断函数为增函数，从而可解不等式. 【详解】令，易知函数在R上为增函数， 由可得， ，即， 从而得， ∴. 故答案为：. 2．（21-22高一下·上海长宁·期中）在上满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦函数图像数形结合去求的取值范围 【详解】在同一坐标系内作出上和的图像， 则在上满足的的取值范围是 故答案为： 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 二、解答题 4．（21-22高一下·上海黄浦·阶段练习）已知向量，且，常数. (1)若，求函数在的严格增区间； (2)设实数满足.若对任意，不等式都成立，求的值以及方程在闭区间上的解. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得到函数的解析式，整体代入法求解正弦型函数的严格增区间即可； （2）由不等式恒成立可得，利用恒等式求出满足的关系，从而求出的值，可得到函数的解析式，求解三角方程即可. 【详解】（1）解：因为，所以， 所以， 又，则， 当时，， 所以当或时，即或时，函数单调递增， 故函数在的严格增区间为. （2）解：因为，所以函数的值域为， 若对任意，不等式都成立，则， 所以， 所以， 则，解得，故， 因为，所以， 因为，则，所以或或， 解得或或. 故方程在闭区间上的解为或或. 类型四、求正弦型函数的最小正周期、单调性、值域与最值 一、单选题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正弦函数周期性判断命题（1），利用正弦函数单调性求出函数的单调区间判断（2），利用正弦函数的对称性求出对称轴判断（3），利用函数平移法则结合函数的对称性判断（4）. 【详解】函数，的最小正周期，（1）正确. 当，时，即，，函数为增函数， ，函数在区间上是增函数，（2）正确. 当，，即，为函数的对称轴，时，， 函数的图象关于直线对称,（3）正确. 函数图象相当于函数的图象向右平移个单位， 图象关于轴对称，为偶函数,（4）错误. 真命题的个数是3个. 故选：C 2．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且及或，求解（3）． 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图像如下图所示： 因为， 所以为偶函数， 由可知，在,内， 当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图像如下图所示： 显然不是周期函数，故（1）错误； 的图像不关于直线对称，故（2）错误； 因为当， 时，， 所以； 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以； 如图所示， 此时有一个解； 当或，时，， 所以； 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 3．（22-23高一下·上海·期中）对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等． 其中正确的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】函数，定义域为R， ①：因为，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为，所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，解得或，其中当时，， 显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，解得或，其中当时，， ，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 所以4个结论中，正确的有2个. 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【详解】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得，再根据锐角三角形求角B的取值范围，即可得结果. 【详解】由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以b的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合正弦型函数的有界性建立不等式求出最值即得. 【详解】函数的定义域为R，， 则，即， 解得，于是， 所以函数的最大值与最小值之和为. 故答案为： 7．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知，，若存在，对任意，恒成立，则 . 【答案】 【分析】依题意，先确定函数，再由三角函数的性质确定最大最小值. 【详解】依题意，                  ， 对任意， 恒成立， 当时，， 当时，则， 当时，， 当 时，. 所以，得， 所以. 故答案为：. 【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式. 三、解答题 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数， (1)化简的解析式并求其最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据给定函数，利用三角恒等变换化简，然后利用周期公式求得结果. （2）由给定范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）依题意， ， 所以的最小正周期. （2）由（1）知，，当时，， 当，即时，，当，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 9．（23-24高一下·上海·期中）如图，在一个半径为的半圆形铁板中，截取一块矩形，使得矩形的顶点、在半圆的直径上，、在半圆弧上.连接，设. (1)试用和表示矩形的面积，并求其定义域； (2)求矩形的面积的最大值，并求出取到最大值时的值. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）利用三角函数将矩形的长、宽表示出来，即可得到矩形的面积，进而得解； （2）利用三角函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）依题意，，，则，， 所以矩形的面积，定义域为. （2）因为，所以当时，取得最大值. 10．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简解析式，即可求得周期. （2）由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期. （2）由，得， 则当，即时，， 所以在区间上的最小值是. 11．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值. 【答案】(1)，递增区间为； (2)最小值， 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的周期公式与整体代入法即可得解； （2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得该函数的最小值及其对应的值. 【详解】（1）因为函数 ， 所以函数最小正周期是； 由，得， 函数单调递增区间为. （2）因为，所以； 所以当时，即时，， 此时， 所以函数在区间上的最小值为，此时. 12．（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】(1)由已知结合正弦函数的单调性即可求解； (2)结合周期公式先求出，然后结合正弦函数的奇偶性可求，再由二倍角公式及和差角公式对所求式子进行化简，代入即可求解. 【详解】（1）若，则， 令， 解得， 所以函数的单调减区间； （2）若函数的最小正周期为，则， 所以， 因为为偶函数， 所以，则， 因为为锐角，所以， . 13．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． (1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； (2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【详解】（1）由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 14．（22-23高一下·上海静安·期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段；    (1)若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； (2)设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)A在弧的四等分点处， . 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案. （2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）作，垂足为H，交于E，连接，    由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称， 则，则， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则 ； （2）因为，则， ， 故， 则 ， 因为，所以，故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案. 15．（23-24高一下·上海徐汇·期中）三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： (1)已知非负实数x，y，满足．证明：． (2)设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角换元，即可利用三角函数的有界性求解， （2）利用正切的和差角公式，换元为即可根据三角恒等变换，结合二次函数以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）由，设，， 则其中为锐角，且， 故当时，取最大值， 故 （2）由可得， 设，且， 则，满足 则 ， 由于， 当且仅当且时取到等号，故最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由可换元为，且，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 16．（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域. (3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为，值域为； (3). 【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答. （2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答. （3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，，， 所以在上的值域为. （3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称， 则，解得：，又，即有， 于是得，由得：，，而函数的周期， 依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根， 则有，即，解得， 所以正实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 类型五、正弦型函数的最值与零点、恒成立等问题 1．（21-22高一下·上海普陀·期末）对闭区间，用表示函数在上的最小值. (1)设，求的值； (2)设，且偶函数，，求的最大值； (3)设，若有且仅有一个正数使得成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，再结合所给区间求解； （2）先利用偶函数求出，再利用，求出的最大值； （3）根据题意分段讨论，求出的关系式，结合简图可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以，所以，所以. （2）因为为偶函数，所以， ，整理得，所以，此时. 因为，所以，即， 解得，所以的最大值为. （3）， 当时，，， 由，得； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 所以 作出简图，    由图可知，的范围是. 2．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)求函数严格增区间； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域； （2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解； （3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值. 【详解】（1）. 因为，所以， 所以，所以的值域为； （2）因为，又在上严格增， 所以当时，严格增，解得 所以函数的严格增区间为； （3）因为，所以不等式等价于恒成立；即， 因为， 所以当时，有最大值； 所以实数的取值范围为. 3．（22-23高一下·上海普陀·期中）已知，.设，并记. (1)若，，求集合； (2)若，试求的值，使得集合恰有两个元素； (3)若集合恰有三个元素，且对于任意的都成立，其中为不大于7的正整数，求的所有可能值. 【答案】(1) (2)或 (3)3、4、5、6 【分析】（1）当，时，找出周期计算即可； （2）若，则，然后根据已知所给条件进行分析讨论即可； （3）根据定义以及结合所给条件进行计算，然后讨论分析即可； 【详解】（1）当，时，. 函数是以为周期的周期函数， 故. 由于，，， 得. （2）若，则. 由题意知，又，得，知. 由于恰有两个元素，故或， 即或. 若，由于，解得.此时，满足题目要求. 若，即， 所以或 由于，解得. 此时，满足题目要求. 综上可知，或. （3）由于中恰有3个元素，显见. 首先说明、4、5、6都是可能的. 当时，取，，由（1）知，满足要求. 当时，取，，， 此时周期为，且有： ，，，， 所以，满足要求. 当时，取，，， 此时周期为， ，，， ，，， 所以，满足要求. 当时，取，，， 此时周期为， 所以，，， ，，， 所以，满足要求. 下面证明不成立. 假设存在、，使得，且恰有3个元素.注意， 故，，，…，这7个数恰好取3个不同的值， 知其中至少有3个数相等. 不妨设，其中， 即， 知、、中必有两个角的终边重合. 不妨设，则， 进而有， 结合知， 与恰有3个元素矛盾. 综上可知，的所有可能值为3、4、5、6. 【点睛】方法点睛：对于此类题型属于新题型难度很大，解决问题是需要注意： ①注意所给的条件，尤其是定义 ②注意分类讨论分析的思想 ③对所有可能性的值都不能漏掉. 4．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调减区间； (3)当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数解析式，根据正弦函数最小正周期公式可得结果； （2）根据正弦函数的单调递减区间可求出结果； （3）根据正弦函数图象求出的值域，再利用的最值可求出结果. 【详解】（1） , 所以函数的最小正周期为. （2）由，， 得，， ，， 所以当时，求函数的单调减区间为. （3）当时，，， 因为不等式恒成立，即不等式恒成立， 令，，则不等式对恒成立， 所以，解得. 5．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间； (2)若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1）利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出m的值，利用函数的单调性进行求解即可; (2）求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可; (3）根据函数的大小求出m的值，求出,根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】（1）若且的最大值为,则，即，得，即 , 则 , 当时，，为增函数，此时, 即函数在上的单调递增区间是. （2）若，, 函数 由，得 ,当，则      则要使在上有且仅有一个零点， 则或，即实数的取值范围. （3）因为的一条对称轴方程为， 所以 则满足 , 平方得，得 ，得得 ，则, 则, 则, 存在常数 ,使得函数为偶函数， 则， 即 且 , 因为,所以当 时， 取得最小值，此时最小的正数. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数（）.    (1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；最小正周期为 (2) (3)图象见解析； 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解； （3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）解：由，可得， 列表： 1 3 1 1 描点、连线    由函数在内有两个相异的零点， 即在内有两个相异的实根， 即和的图象在内有两个不同的交点， 因为，可得， 当时，即，可得； 当时，即，可得； 当时，即，可得， 要使得和的图象在内有两个不同的交点， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.    7．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知常数，定义在R上的函数. (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值； (2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a及n的值. 【答案】(1)最大值为，； (2)，. 【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的x值； （2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解. 【详解】（1）当时， 则当时，，此时， （2）， 令，，则， 得，，则方程有两个不相等的实数根， 由韦达定理得，即两根异号， ①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题意； ②当，，即，， 当，，即，，即，， 所以方程在上有三个根， 因为，所以方程在上有个根， 又因为方程在上有个根，在上有个根， 所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ③当，，即，， 当，，即，，即，， 所以方程在上有三个根， 因为，所以方程在上有个根， 又因为方程在上有个根，在上有个根， 所以在内恰有2021个根， 故满足题意，此时，. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【详解】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 9．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； (2)若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得 ，由正弦函数的性质求解即可； （2）由题意可得,，将问题转化为 ，且 在 上恒成立，结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可得将问题转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解. 【详解】（1）当时，, 所以当，即 时，所以  ,此时 ； （2）因为 为偶函数，所以, 所以, 所以 ， 又因为在上恒成立， 即在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 ，且 在上恒成立， 因为，所以，所以， 解得 所以 m 的取值范围为; （3）因为过点，所以 所以， 又因为,所以, 所以 ， 又因为对任意的，，都有成立， 所以， 因为，所以 ， 设 , 则有 图像是开口向下，对称轴为 的抛物线， 当 时，在 上单调递增，所以 , 所以，解得 所以； 当 时， 在上单调递减， 所以 , 所以，解得 所以; 当时，, 所以，解得所以, 综上所述：所以实数 a 的取值范围为 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 类型六、正弦型函数的对称性及其应用 一、单选题 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 二、填空题 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 【答案】①③⑤ 【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案. 【详解】①：， 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递减； 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递增； 故①正确； ②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确； ③：， ， 由，则直线是函数的对称轴，故③正确； ④：当时，， 则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增， 由，则函数在存在唯一零点； 当时，， 则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减， 由，则函数在存在唯一零点； 易知，，， 综上：函数在上有两个零点，故④不正确； ⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数的最小值为， 因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 3．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 .（填上所有正确的序号） ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 【答案】①④ 【分析】利用三角函数的定义得到，，，再逐项判断. 【详解】对于①：由三角函数的定义可知，， ，故①正确； 对于②：由于，， 函数关于原点对称是错误的，故②错误； 对于③：当时，， 图象关于对称是错误的，故③错误： 对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确， 综上，故正确的是①④. 故答案为：①④ 4．（23-24高二上·上海·期末）已知，，则与图像交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】先分析出与均关于对称，然后结合图像确定它们的交点的个数，最后根据对称性计算即可 【详解】令，，于是正弦函数的对称中心为，由，则，令，其定义域为，，于是为奇函数，则关于对称，从向左平移单位得到，故关于对称，至此分析可知，与均关于对称. 在同一坐标系画出两者图像如下，注意到，，至此之后，将不再和相交，于是在的部分，两者有个交点，不妨设它们横坐标为（），且；根据对称性，的部分，两者也有个交点，设它们横坐标为（），且，利用对称性可知：，，……，，于是，注意到与图像均过，于是它们图像交点的所有横坐标之和为. 故答案为： 5．（20-21高一下·上海徐汇·期中）若函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数图象，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案． 【详解】作出函数图象，不妨设，如图， 根据三角函数的对称性得可得， 另一方面，，即， 所以， 故答案为： 三、解答题 7．（23-24高一上·全国·期末）已知函数. (1)求的最小正周期以及对称轴方程； (2)设函数，求在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】（1）根据三角函数的最小正周期、对称轴的求法求得正确答案. （2）先求得，然后根据三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期. 令，得对称轴方程为. （2）由题意可知， 因为，所以， 故，所以， 即在上的值域为. 8．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 【答案】(1)；对称轴为 (2) 【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式； （2）用整体代入法，根据正弦函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期； 令 对称轴为 ； （2）当 时，  ， 所以当 ，即 时，函数f(x)单调递增； 所以函数的单调递增区间是. 9．（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）的单调减区间为 . 【答案】. 【分析】先化简原函数解析式，再利用正弦函数的单调性结合整体代入法求单调减区间即可. 【详解】由于函数， 令解得 可得函数的减区间为 故答案为： 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式以及正弦函数图像性质可得值域. 【详解】由可得， 再由正弦函数图象可求得，因此. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其图像性质列不等式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期． 因为在区间上有5个零点， 所以，即， 可得； 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案. 【详解】设， 其中， 则， 于是． 因为是中点， 所以， 即或，又因为， 所以，即点的纵坐标是. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 【答案】 【分析】由得到周期为4从而求得， 因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得，所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，得或，此时 ； 若即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）设均为大于1的自然数，，若存在实数，使得，则有序实数对为 . 【答案】 【分析】由题意变形得，根据三角函数的有界性得到，结合均为大于1的自然数，分，，分别求解即可. 【详解】由已知得，即， 所以，又，且存在实数使其成立， 所以， 又均为大于1的自然数，， 所以，即， 也即， 当时，，则，此时，与矛盾，不等式不成立； 当时，，此时； 当时，，则，与矛盾，不等式不成立， 所以，所以有序实数对为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 9．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【分析】将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图像，求出交点个数即可. 【详解】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. 11．（21-22高一下·上海闵行·期中）方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是 . 【答案】1009或1010/1010或1009 【分析】构造函数，，分析探讨函数性质，作出函数图象，确定两个函数图象的交点个数计算作答. 【详解】方程，令函数，， 函数图象关于点对称，函数的图象也关于点对称，其图象如图， 区间关于数1对称，函数，在的交点成对出现， 它们关于点对称，因方程在上所有根的和等于2024， 因此，两函数图象在上有1012对关于点对称的交点， 则有或，解得或， 所以满足条件的整数m的值是1009或1010. 故答案为：1009或1010 【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个 函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 12．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 二、单选题 13．（21-22高一下·上海杨浦·期中）如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，圆半径为，则，分和分别求出，得的表达式，结合正弦函数的性质可得结论． 【详解】设，圆半径为，则， 时，，， 时，如下图，，， 又， 所以，， 由正弦函数的图象知，只有A满足题意． 故选：A． 14．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 【答案】D 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】由于， 且，故, 由于定义域不关于原点对称，因此无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数， 故选：D 15．（20-21高一下·上海徐汇·期中）数学中一般用表示中的较小值，关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为；    ②的图像关于直线对称； ③的值域为；     ④在区间上单调递增； 其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】首先设设，，从而得到，再画出函数的图象，结合图象依次判断即可. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对①，由图知，函数的最小正周期为，故A错误； 对②，由图知：为函数的对称轴，故②正确. 对③，，由图知：函数的值域为，故③错误； 对④，，，由图知：函数在区间上单调递增， 故④正确. 故选：B 16．（22-23高一下·上海普陀·期中）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，，若对任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以，即， 因为，，所以， 若对任意，都存在，使得成立， 得，只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则，因为， 所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则，因为，的取值符合条件，故B正确； 对于C：当时，，则， 因为，的取值不符合条件，故C错误； 对于D：当时，，则， 因为，的取值不符合条件，故D错误； 故选：B 三、解答题 17．（23-24高一下·上海·期中）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形PCOD，喷泉观景区的形状为△PBC，且C在OB上，D在OA上，P在上，记. (1)试用分别表示矩形PCOD和的面积，并给出角的取值范围； (2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用. 【答案】(1)详见解析 (2)，万元 【分析】（1）根据题意，得到，，进而求得矩形和的面积的表达式； （2）根据题意，得到总费用为：，设，结合二次函数与三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，所以，， 所以矩形PCOD的面积为， 的面积为. （2）由题意，可得建造观景区所需总费用为：， 设，则， 又由， 所以， 当，即时，有， 所以（万元）， 即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元． 18．（23-24高一下·上海·期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）    (1)若的面积为，求的大小 (2)当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据余弦定理表示，再根据等边三角形的面积公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值. 【详解】（1）设，在中，由余弦定理得： ； （2）于是，四边形的面积： ， 因为，则，所以当，时， 四边形的面积取得最大值，最大值为． 19．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图：    由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 20．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 21．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【详解】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$