专题14 锐角三角函数的解题方法（14个高频考点 共56题）-2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题14 锐角三角函数的解题方法 （14个高频考点 共56题） 高频考点01：特殊三角形的三角函数 1 高频考点02：特殊角三角函数值的混合运算 4 高频考点03：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 6 高频考点04：根据特殊角三角函数值求角的度数 9 高频考点05：已知角度比较三角函数值的大小 14 高频考点06：利用同角三角函数关系求值 15 高频考点07：互余两角三角函数的关系 25 高频考点08：三角函数综合 35 高频考点09：解直角三角形的相关计算 50 高频考点10：解非直角三角形构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 58 高频考点11：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 65 高频考点12：方位角问题(解直角三角形的应用） 69 高频考点13：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 75 高频考点14：其他问题（解直角三角形的应用) 82 高频考点01：特殊三角形的三角函数 1．（2023·江苏扬州·一模）（1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算及分式的混合运算， （1）先计算负整数指数幂、化简二次根式及特殊角的三角函数，然后计算加减即可； （2）先计算分式的除法，然后计算加减法即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】此题考查了化简绝对值，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【规范解答】（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）根据负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质分别计算，再将结果相加即可； （2）先把括号内分式与1通分再计算出来，将除法运算化为乘法运算，再将可以因式分解的分母因式分解，约分即可． 【规范解答】解：原式 ； 原式 ． 【考点评析】本题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式的化简，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式化简的方法． 4．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算， （1）先根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂及算术平方根的意义将原式化简，再进行加减运算； （2）先根据平方差公式，单项式与多项式的乘法法则将原式展开，再进行合并即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 高频考点02：特殊角三角函数值的混合运算 5．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【思路点拨】本题考查分式的化简求值、零指数幂的意义、绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及特殊角的三角函数值，本题属于基础题型． （1）根据零指数幂的意义、绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及特殊角的三角函数值即可求出答案． （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将化简后的的值代入原式即可求出答案． 【规范解答】解：（1） ； （2） ， 当， 原式． 6．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解． 【思路点拨】本题主要考查了实数的混合计算，解分式方程，注意分式方程最后一定要检验． （1）先计算零指数幂，乘方和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得；， 经经验，是增根， ∴原方程无解． 7．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算、解分式方程，熟练掌握解题方法是解此题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案； （2）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程，检验即可得出答案． 【规范解答】解：（1） ； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验，当时，， ∴原方程无解． 8．（2024·江苏苏州·一模）计算：． 【答案】0 【思路点拨】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【规范解答】解： ． 高频考点03：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 9．（2015·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线于的切线交于点． （1）求证：； （2）若，：：，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【思路点拨】（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案． 【规范解答】（1）证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ． （2）如图，连接， ， 设， ：：， ，， ， 在中，， 即， ． 【考点评析】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． 10．（2020·江苏盐城·三模）计算： 【答案】 【思路点拨】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义进行化简即可得到结果． 【规范解答】解： =． 【考点评析】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答佌题的关键． 11．（14-15九年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断． 【规范解答】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA=，cosB=， ∴∠A=∠B=30°． ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°． 故选B 12．（19-20九年级上·陕西宝鸡·期末）在中,若，则是 三角形． 【答案】等腰 【思路点拨】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出∠A和∠B的角度，即可得出答案. 【规范解答】∵ ∴， ∴∠A=30°，∠B=30° ∴△ABC是等腰三角形 故答案为等腰. 【考点评析】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 高频考点04：根据特殊角三角函数值求角的度数 13．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，过作于，由勾股定理求解，再利用锐角的余弦即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过作于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 14．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【思路点拨】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 15．（2024·江苏扬州·二模）如图，是的直径，点A为延长线上一点，点B在上，F点为弧的中点，连接，延长与的延长线交于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分面积为：． 【思路点拨】本题考查了切线的判定，圆周角的定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）利用圆周角定理可得出，利用直径所对的圆周角是直角可得出，结合，可得出，即可得证； （2）在中，利用余弦定义求出，进而利用正切定义求出，然后根据求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵F点为弧的中点， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点F是的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为． 16．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在△ABC中，若，则的度数是 ． 【答案】/105度 【思路点拨】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质． 先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 高频考点05：已知角度比较三角函数值的大小 17．（2020·江苏扬州·一模）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】根据即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 也考查了不等式的传递性． 18．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 【答案】C 【思路点拨】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解． 【规范解答】解：， ∵， ∴原式， 故选：C． 【考点评析】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键． 19．（2020·江苏扬州·模拟预测）比较大小：tan30° 　cos30°（用“＞”或“＜”填空） 【答案】＜ 【思路点拨】求出tan30°和cos30°的值，再比较即可． 【规范解答】∵tan30°＝ ，cos30°=，＜， ∴tan30°＜cos30°， 故答案为：＜． 【考点评析】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的计算能力和比较能力． 20．（2019·江苏南京·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是(    ) A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA 【答案】B 【思路点拨】本题可采用特殊值法，令，然后利用特殊角的三角函数值进行判断即可． 【规范解答】∵∠C＝90°， ， ∴可令． A.，所以，故该选项错误； B.，所以，故该选项正确； C.，所以，故该选项错误； D.，所以，故该选项错误； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊值法在选择题中的应用是解题的关键． 高频考点06：利用同角三角函数关系求值 21．（2024·江苏盐城·一模）综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 【答案】【折纸探究】；折叠一：见解析；折叠二：，见解析；【解决问题】 【思路点拨】解：折纸探究：由折叠的性质可得；折叠一：可证明，得结论；折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接，证明，得，从而求出、和的关系；解决问题：延长到点，使得，连接，交于点，连接．易证，可转化为“折叠二”问题，得，把代入， 得 【规范解答】解：折纸探究：根据轴对称的性质得出， 折叠一：连，交于点． ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 解决问题： 延长到点，使得，连接，交于点，连接． ∵平分， ∴， ∴， 转化为“折叠二”问题， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，三角函数的定义，关键是作适当的辅助线构造相似三角形． 22．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 23．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知是的直径，，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)直径为． 【思路点拨】（1）连接，由平行线得到，根据可得，利用可证明是的切线； （2）作，由设，，由勾股定理得，利用等角的正切值相等得到，应用建立方程即可求出，代入即可求解． 【规范解答】（1）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是直径， 是的切线． （2）解：作交于点， ， ， 设，， 由勾股定理得， 由得，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得或（舍去）， 直径． 【考点评析】本题考查的知识点是切线的判定、圆周角定理、三角函数的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用三角函数定义． 24．（2023·江苏常州·二模）如图，已知中，，，，D是边上一点（点D与点A、B不重合），平分，交边于点E．    (1)如图1，若D是边的中点，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F． ①若与相似，求的值； ②若的面积是面积的2倍，直接写出此时的长． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得，利用等腰三角形三线合一的性质千克的； （2）①分和两种情况讨论即可； ②过点E作，垂足为H，利用角平分线的性质以及面积的关系可求，再有线段垂直平分线的性质可求，利用余角的定义可求，进而求出，利用等边三角形的性质可证，则可证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：，D是边的中点， ， 平分， ， ， ； （2）解：①，，， ， 又， ， 分和两种情况讨论： 如图2，当时，有，    ， ， 平分， ， ； 如图3，当时，有，   ， 平分， ， 又， ， ， ； ②如图4，过点E作，垂足为H，   ， ， 平分， ， 又， ， ，， 的面积是面积的2倍， ，即 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，余角的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 高频考点07：互余两角三角函数的关系 25．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为； (2)见解析； (3)线段的长是． 【思路点拨】（1）由四边形是对角互余四边形，，得，则，可求得， ，于是可求得，； （2）延长交于点E，连接，由是的直径，得，而，则，即可证明四边形是“对角互余四边形”； （3）作于点F，使点F与点A在直线的异侧，由，根据勾股定理得，可证明，得，，所以，由，得，而，则，因为，所以，连接，证明，可求得． 【规范解答】（1）解：如图1， ∵四边形是对角互余四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为，周长为； （2）证明：如图2，延长交于点E，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“对角互余四边形”； （3）解：如图3，作于点F，使点F与点A在直线的异侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 【考点评析】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 26．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【规范解答】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 27．（2024·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线表达式； (2)点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为点的坐标为； (3)点的坐标为 或 ． 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）直接利用待定系数法即可求解析式； （2）先求出与的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解； （3）分两种情况讨论，先求出的解析式，联立方程组可求解． 【规范解答】（1）解：点、，三点在抛物线上，将其代入抛物线中得： 解得： ∴抛物线的表达式为：． （2）解：如图，过点作于， ∵、， 又∵， ， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点， 又∵， ， ， ∴当 时，的最大值为 ∴点的坐标为． （3）(3)如图，当点在的下方时，设与轴的交点为， ∵， ∴点 设直线的解析式为： 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 ， 故点； 当点在的上方时，设与轴的交点为， ∴点 设直线的解析式为： 把代入得：， 解得：， ∴直线 的解析式为： 联立方程组可得： 解得：(舍去)或 故点 综上所述：点的坐标为 或 ． 28．（2023·江苏淮安·二模）如图，中，，，中，，，，过A作，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质及含角的直角三角形，解题时要熟练掌握并灵活运用． 由，故A、D、B、C四点共圆，过B分别作，，进而利用，，由勾股定理从而求出，可得，又由四点共圆可得，，从而利用、可得的值，最后在中，可得的值． 【规范解答】解：如图，过B分别作，垂足分别为H、G． ， A、D、B、C四点共圆． ，∠ABC=∠ADC． ，， ． ． 又， ． ． ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， 在中，， 故答案为：． 高频考点08：三角函数综合 29．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据定义可求得；在取E，使，可得，进而得出，从而，进一步得出结论； （2）可求得，设OH=FH=1，则设，则可求得，设，则，根据，得，求得，进一步得出结果； （3）可将的圆心角10等分即可． 【规范解答】（1）解：由黄金三角形尺规作图知，． 如图1，在上取点，使， 是的黄金分割点， ，即， 又 ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：；． （2）证明：在（1）的条件下， ． 如图2，过点作于点． ． 如图3，连结，过点作于点． 设，则 ． 设，则， 由，得， ， ∴五边形（所作图形）即为正五边形． （3）解：以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形，如图4． 30．（2024·江苏苏州·一模）图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)的最小值为4， 【思路点拨】（1）利用勾股定理求出即可； （2）如图1中，过点作于点．设，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，可得结论； （4）如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于．证明，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小． 【规范解答】（1）解：如图1中，在中，，，， ， ； （2）解：如图1中，过点作于点． ， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2中，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，； （4）解：如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于． ， ， ，， ， ， 点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为4， ，， 是等边三角形， ，即， 线段扫过的面积． 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 31．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．    (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接，   是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，是的中点， ， ∴是等边三角形， ， 的半径为3， ， ，， 阴影部分的面积． 32．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且当和时，二次函数的函数值相等． (1)填空： ， ； (2)如图1，动点、同时从点出发，其中点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动．当点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．连接，将沿翻折，使点落在点处，得到．设与重叠部分的面积为，求关于的函数表达式，并注明的取值范围； (3)如图2，点是直线下方抛物线上一动点，过点作，垂足为，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据题意，列出关于、的二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）首先确定点、的坐标，分当点在点右侧、点在点左侧且点在线段上、点在点左侧且点在射线上三种情况，分别求解即可； （3）分两种情况讨论：①过点作轴，作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点，结合轴对称的性质可得，确定点的坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与二次函数解析式并求解，可确定此时点的横坐标；②作的垂直平分线，交轴于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，结合，并根据三角函数可解得得值，再证明，由相似三角形的性质解得、的值，进而确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与二次函数解析式并求解，可确定此时点的横坐标． 【规范解答】（1）解：根据题意，二次函数的图像与轴交于，且当和时，二次函数的函数值相等， 则有，解得． 故答案为：；； （2）由（1）可知，该二次函数解析式为， 令，可得， ∴， ∴， 令，可得， 解得，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 根据题意，动点、同时从点出发，其中点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 当点在点右侧时，如下图， 此时，即， 可有； 当点在点左侧，且点在线段上时，设与交于点，过点作轴于点，如下图， 此时， 可有， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当点在点左侧，且点在射线上时，设与交于点，如下图， 此时， 可有， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，关于的函数表达式为； （3）存在，点的横坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①如下图，过点作轴，作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点， ∵轴， ∴， 由对称的性质可得， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与二次函数解析式， 可得， 解得（舍去），， ∴点的横坐标为4； ②如下图，作的垂直平分线，交轴于点，连接， 则有， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， 若，则有， ∴，即有， ∴，解得， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与二次函数解析式， 可得， 解得（舍去），， ∴点的横坐标为． 综上所述，存在，点的横坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、三角形函数的应用、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 高频考点09：解直角三角形的相关计算 33．（2022·江苏无锡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．动点P从点B出发以1cm/s的速度沿线段BD向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以2cm/s的速度沿线段DA向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)直接写出当t＝　 　时，△PQD与△ABD相似； (2)点Q出发后，设四边形ACPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数表达式； (3)当PQ⊥AB时，求t的值； (4)若以QD、QP为边作□DQPE，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠DAB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)存在， 【思路点拨】（1）求出，，过点作于，则四边形是矩形，得出，，证明是等腰三角形，得出，，分两种情况： ①当时，，得出，即可得出结果； ②当时，，得出，即可得出结果； （2）连接，过点作于，于，过点作于，则四边形、四边形都是矩形，得出，，，，则，求出，，，，由题意得，且，则，由，即可得出结果； （3）时，求出，代入、的值即可得出结果； （4）延长交于，过点作于，证明，，，得出，即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ，， ， 设，，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ， ，， 过点作于，如图1所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 是等腰三角形， ，， 分两种情况：①当时，， ， ， ，， ， 解得：； ②当时，， ， ，即， 解得：； 故答案为：或； （2）解：连接，过点作于，于，过点作于，如图2所示： 则四边形、四边形都是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，， 由题意得：，且， ， ； （3）解：若，则， ， ， ， ，， ， 解得：； （4）解：存在，延长交于，过点作于，如图3所示： 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【考点评析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积的计算、分类讨论等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数定义是解题的关键． 34．（2020·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】C 【思路点拨】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案． 【规范解答】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点， 根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=3km， 在Rt△CBD中， CD=BC×sin60°=3×=(km)， 故选择：C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值． 35．（19-20九年级·河南·阶段练习）如图，是垂直于水平面的一座大楼，离大楼30米（米）远的地方有一段斜坡（坡度为），且坡长米．某时刻，在太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面、斜坡、以及坡顶上的水平面处（均在同一个平面内）．若米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为（），试求出大楼的高．（参考数据：） 【答案】为32.25米 【思路点拨】延长ED交AB于G，DH⊥BF于H，得到四边形DHBG是矩形，求得DG=BH，DH=BG，解直角三角形即可得到结论． 【规范解答】延长交于点，过点作于点． ， 四边形是矩形， ． , , ． ， ， ． 故大楼的高约为32.25米． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 36．（2020·江苏无锡·模拟预测）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=16米，斜坡坡面上的影长CD=10米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（结果保留根号） 【答案】旗杆的高度为米 【思路点拨】过点作交延长线于点，过点作交于点，易证四边形AFED是平行四边形，通过解直角三角形CDE和BEF求出DE和BF的长即可得解. 【规范解答】过点作交延长线于点，过点作交于点 ∴AB//DE ∴四边形AFED是平行四边形， ∴AF=DE 在中，，， ， 太阳光线与水平地面成30°角， 在中，，， 答：旗杆的高度为米． 【考点评析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．熟练掌握含30度的直角三角形三边的关系是解决此题的关键． 高频考点10：解非直角三角形构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【思路点拨】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用; （2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【规范解答】 （1）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴， ∴，即， ∴， 由，∴， ∴，即， ∴． 又，∴， ∴，即， ∴， 即到岸边的距离为． （2）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴，∴， 即，∴． 由，∴，∴， 即，∴． ∴， ∴， 即点到岸边的距离为． 【考点评析】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度． 38．（2021·浙江宁波·一模）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆和可转动灯杆和光源组成，当灯杆绕点转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中，，灯杆，． （1）当灯杆与的夹角为150°时，求光源到桌面的距离； （2）若光源到的距离与圆形照明区域半径的关系是，要使圆形区域半径达到，求灯杆与的夹角的度数． 【答案】（1） +16；（2）120°． 【思路点拨】（1）通过作垂线，转化为矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可得出答案； （2）求出h的值，再利用直角三角形的边角关系可求出答案. 【规范解答】（1）过点作，过点作 ∴四边形是矩形．     ， （2） ．       ． ． 【考点评析】本题考查解直角三角形得应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 39．（2021·江苏扬州·一模）如图，建在山腰点处的一座“5G”发射塔与地面垂直，在地面处测得发射塔的底部、顶端的仰角分别为30°、60°，在地面处测得发射塔的底部的仰角为45°． （1）若设，则______；（用含的代数式表示） （2）若测得米，求． 【答案】（1）；（2）米 【思路点拨】（1）过点A作AECM于E，在△AEC中，∠ACE=30°，，由此可得AE=；在Rt△AED中，AE=，∠ADE=45°，即可得； （2）在Rt△AED中，∠ADE=45°，可得AE=ED，设AE=ED=x米，则CE=CD+DE=米，在Rt△AEC中，∠ACE=30°，根据锐角三角函数的定义可得，即可得，解得，由此可得AE=ED=18米，CE =米，在△BEC=中，∠BCE=60°，CE =米，即可得BE==54米，所以AB=BE-AE=36米． 【规范解答】过点A作AECM于E， ∵∠AEC=90°，∠ACE=30°，， ∴AE=； 在Rt△AED中，AE=，∠ADE=45°， ∴； 故答案为：． （2）在Rt△AED中，∠ADE=45°， ∴AE=ED， 设AE=ED=x米，则CE=CD+DE=米 在Rt△AEC中，∠ACE=30°， ∴， 即， 解得，， ∴AE=ED=18米，CE =米 ∵∠BEC=90°，∠BCE=60°，CE =米, ∴BE===54（米）， ∴AB=BE-AE=54-18=36（米）． 答：AB的长为36米． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键． 40．（2019·江苏南京·二模）如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5 km到达E处，此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？ （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【答案】3.5 km． 【思路点拨】过点B作BM⊥AD，垂足为M，过点C作CN⊥AD，垂足为N，设CN＝x km，在Rt△ACN中，利用∠A的正切值可得AN=x，在Rt△ECN中，利用∠CEN的正切值可得EN=，根据平行线分线段成比例性质可得，可得BM=2x，AN=MN，在Rt△BMD中，利用∠MDB的正切值可得DM=2x，根据DE-DM-EN=MN列方程即可求出x的值，进而可得AE的长. 【规范解答】如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，过点C作CN⊥AD，垂足为N． 设CN＝x km． 在Rt△ACN中，∠A＝45°， ∴tan45°＝， ∴AN＝＝＝x， 在Rt△ECN中，∠CEN＝70°， ∵tan70°＝， ∴EN＝＝． ∵CN⊥AD，BM⊥AD， ∴∠ANC＝∠AMB＝90°． ∴CN∥BM． ∴． 又∵C为AB中点， ∴AB＝2AC，AC＝BC． ∴BM＝2CN＝2x，AN＝MN． 由题可知，∠MDB＝45°． 在Rt△BMD中，∠MDB＝45°， ∵tan45°＝， ∴DM＝＝＝2x． ∴18.5－2x－＝x ∴x＝≈5.5． ∴AE＝AN－EN＝5.5－＝3.5． 因此，E处距离港口A大约3.5km． 【考点评析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键. 高频考点11：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 41．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）徐州风景宜居，素有“一城青山半城湖”的美誉．某校数学兴趣小组为感受徐州地域文化特色，开展了“测量风景区亭子的高度”的综合实践活动．如图，在水平地面点D处，用高的测角仪测得亭子顶部A的仰角为，把测角仪沿水平移动至点C处，测得亭子顶部A的仰角为，若为，求该亭子的高度 【答案】齐贤亭的高度为 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质，由矩形的判定与性质可得，证明，解直角三角形求出的长，即可得解． 【规范解答】解：由题意知，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：齐贤亭的高度为． 42．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）． （参考数据：，，） 【答案】． 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形得应用，过点B作，垂足为F，过点B作，垂足为G．则，．在中，利用含30度角的直角三角形的性质得，则可得，在中，求得，即可得． 【规范解答】解：过点B作，垂足为F，过点B作，垂足为G．如图， 则，． 在中，，， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∴． 答：小明从山脚点A到达山顶点C共走了． 43．（2024·江苏徐州·三模）如图，线段、分别表示甲、乙两建筑物的高，，，垂足分别为、．从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为，甲建筑物的高米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离 (2)求乙建筑物的高． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形与实际应用，特殊角的三角函数值，仰角的概念，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，即可求得答案； （2）作于点，可推出，，根据，得到，最后根据即可求得答案． 【规范解答】（1）在中，，， 则 答：甲、乙两建筑物之间的距离为． （2）作于点， 又， 四边形是矩形， ， 在中，，， 则， 答：乙建筑物的高度为． 44．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）    【答案】17 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 高频考点12：方位角问题(解直角三角形的应用） 45．（2024·江苏泰州·三模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 【答案】(1)南偏东60°， (2)不会闯入安全警戒区域，过程见解析． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．垂径定理的应用； （1）过点C作轴于点D，设，则，解直角三角形求得x，进而求得； （2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：过点C作轴于点D，    依题意，得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ∴ ∵ ∴ 解得：，即 ∴ ∴ ∴ ∴监测点测的方位是南偏东60° （2）解：不会，计算如下： 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，    ∴， ∴， 过点作于点F， 则四边形是矩形， ∴， 由已知得，， ∵， ∴线段是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域． 46．（2024·江苏南京·二模）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 【答案】货轮航行的路程为23.5海里 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， 由题意得：，， 在中，海里，， （海里）， （海里）， 海里， 在中，， （海里）， 海里， （海里）， 货轮航行的路程约为23.5海里． 47．（2024·重庆·一模）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求的长度； (2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 【答案】(1)米 (2)骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理： （1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点K作于H， 由题意得，， ∴ 在中，米， 米， 在中，由勾股定理得米， ∴米； （2）解：在中，米， 米， ∴米， ∴路线②的时间为分钟； ∵米， ∴路线①的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家． 48．（22-23九年级下·江苏连云港·阶段练习）周末，小亮一家在瘦西湖游玩，妈妈在岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从处出发，沿北偏东划行300米到达处，接着向正南方向划行一段时间到达处．在处小亮观测妈妈所在的处在北偏西方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？    （参考数据：） 【答案】这时小亮与妈妈相距米 【思路点拨】作于点，分别在和中，求出和即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：将实际问题转化为数学问题． 【规范解答】解：作于点，   ，，， 在中，，即：，解得：（米）， 在中，，即：，解得：（米）， 故答案为：这时小亮与妈妈相距米． 高频考点13：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 49．（2024·江苏苏州·一模）有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）    (1)水果放置区的水平宽度； (2)求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，可求，进而可得； （2）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，即，可求，根据，求解作答即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作于，            又∵，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴水果放置区的水平宽度为； （2）解：如图1，过点作于， 又，， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴顶棚端点F离地面的高度为． 50．（2024·江苏苏州·二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】建筑物的长约为米 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．设米，延长交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性质得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设米，延长交于，作于，于，   ， 在中， 米，， ， ， 米，米， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 在中， ， 米， 米， 米， 米， 在中， ， ， ， 米， 米， 答：建筑物的长约为米． 51．（2024·江苏南京·二模）如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    【答案】该建筑物的高度为． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，根据三角函数的定义得到，过作于，则，，在中，设，根据三角函数的定义得到，求得，，在中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【规范解答】解：在中， ，， ， 过作于，    则，， 在中，设， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， 答：该建筑物的高度为． 52．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【规范解答】（1）解：过点作于，如图（2）所示：    设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； （2）解：过点作于交于，过点作于交于，    则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 高频考点14：其他问题（解直角三角形的应用) 53．（2024·江苏南京·模拟预测）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，过点作交于点，由平行线的性质及入射角等于反射角得，由正切函数得，即可求解；理解实际意义，掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【规范解答】解：过点作交于点，如下图所示： 点在点正下方， ，即， 房顶与水平地面平行，为墙面， 四边形为矩形． ， ， ， 地面上的点经过平面镜反射后落在点，结合物理学知识可知： ， ， ， 在中， ， ， ， 即水平地面上最远处到小强的距离是． 54．（2023·江苏苏州·二模）每年的春季是苏州旅游的最佳时间．为吸引游客，苏州东太湖湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，．（参考数据：，，， (1)白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度（结果精确到）； (2)傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度（结果精确到）． 【答案】(1)遮阳伞宽度是 (2)点下降高度为 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义列式求解． （1）先根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后根据对称性可求出的长度． （2）当时，此时设，根据锐角三角函数的定义可求出，分别代入的值即可求出答案． 【规范解答】（1）解：在中，，， ，则， ， ， 答：遮阳伞宽度是； （2）解：当时，此时设，过点作于点，如图所示： 四边形是矩形， ，， 在中，，则， ， ， 从减少到，点下降的高度为 ， 点下降高度为． 55．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】先求出，再确定当大树与光线垂直时，影长最大，然后根据直角三角形的性质得出答案． 【规范解答】由题意，得（米）． 当树与光线垂直，即时，影长最长，最大影长为， 在中，， ∴（米）． 故选：D．    56．（2024·河南南阳·二模）高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图1，镜头 B到地面的距离为米，镜头的拍摄广角，为水平线，图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，测得 ，求此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为多少米？(结果精确到1米．参考数据： 【答案】此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A 到地面的距离约为31米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用．在中，由正切函数可求得的长，由互余关系可得，在中，由正切函数可求得的长，由即可求解． 【规范解答】解：由题意，可知在图2中，米． 在中，，， ∴（米）． ∵， ∴． ∴． 在中，，， ∴（米）． ∴（米）． 答：此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 锐角三角函数的解题方法 （14个高频考点 共56题） 高频考点01：特殊三角形的三角函数 1 高频考点02：特殊角三角函数值的混合运算 3 高频考点03：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 4 高频考点04：根据特殊角三角函数值求角的度数 5 高频考点05：已知角度比较三角函数值的大小 6 高频考点06：利用同角三角函数关系求值 6 高频考点07：互余两角三角函数的关系 9 高频考点08：三角函数综合 11 高频考点09：解直角三角形的相关计算 14 高频考点10：解非直角三角形构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 16 高频考点11：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 18 高频考点12：方位角问题(解直角三角形的应用） 20 高频考点13：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 23 高频考点14：其他问题（解直角三角形的应用) 26 高频考点01：特殊三角形的三角函数 1． （2023·江苏扬州·一模）（1）计算：． （2） 化简： 2． （2024·江苏扬州·模拟预测）（1）计算：； （3） 解不等式组：． 3． （2024·江苏徐州·模拟预测）（1）计算：； （2） 化简：． 4． （2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （3） 化简：． 高频考点02：特殊角三角函数值的混合运算 5． （2022·江苏徐州·模拟预测）（1）计算： （2） 先化简，再求值：，其中． 6． （2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （3） 解方程：． 7． （2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2） 解方程：． 8． （2024·江苏苏州·一模）计算：． 高频考点03：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 9．（2015·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线于的切线交于点． （1）求证：； （2）若，：：，求的长． 9． （2020·江苏盐城·三模）计算： 11．（14-15九年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 12．（19-20九年级上·陕西宝鸡·期末）在中,若，则是 三角形． 高频考点04：根据特殊角三角函数值求角的度数 13．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 15．（2024·江苏扬州·二模）如图，是的直径，点A为延长线上一点，点B在上，F点为弧的中点，连接，延长与的延长线交于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若点F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 16．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在△ABC中，若，则的度数是 ． 高频考点05：已知角度比较三角函数值的大小 17．（2020·江苏扬州·一模）比较大小： （填“”、“”或“”）． 18．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 19．（2020·江苏扬州·模拟预测）比较大小：tan30° 　cos30°（用“＞”或“＜”填空） 20．（2019·江苏南京·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是(    ) A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA 高频考点06：利用同角三角函数关系求值 21．（2024·江苏盐城·一模）综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 22．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A． 长 B．长 C．长 D．长 23．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知是的直径，，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 24．（2023·江苏常州·二模）如图，已知中，，，，D是边上一点（点D与点A、B不重合），平分，交边于点E．    (1)如图1，若D是边的中点，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F． ①若与相似，求的值； ②若的面积是面积的2倍，直接写出此时的长． 高频考点07：互余两角三角函数的关系 25．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 26．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 27．（2024·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线表达式； (2)点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标； (3)抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标． 28．（2023·江苏淮安·二模）如图，中，，，中，，，，过A作，则的长为 ． 高频考点08：三角函数综合 29．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 30．（2024·江苏苏州·一模）图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 31．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．    (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 32．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且当和时，二次函数的函数值相等． (1)填空： ， ； (2)如图1，动点、同时从点出发，其中点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动．当点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．连接，将沿翻折，使点落在点处，得到．设与重叠部分的面积为，求关于的函数表达式，并注明的取值范围； (3)如图2，点是直线下方抛物线上一动点，过点作，垂足为，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 高频考点09：解直角三角形的相关计算 33．（2022·江苏无锡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，tan∠ABC＝，AD∥BC，且AD＝2BC．动点P从点B出发以1cm/s的速度沿线段BD向终点D匀速运动，1秒后动点Q从点D出发以2cm/s的速度沿线段DA向终点A匀速运动，设点P运动的时间为t（s）． (1)直接写出当t＝　 　时，△PQD与△ABD相似； (2)点Q出发后，设四边形ACPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数表达式； (3)当PQ⊥AB时，求t的值； (4)若以QD、QP为边作□DQPE，在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠DAB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 34．（2020·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A． km B．km C．km D．km 35．（19-20九年级·河南·阶段练习）如图，是垂直于水平面的一座大楼，离大楼30米（米）远的地方有一段斜坡（坡度为），且坡长米．某时刻，在太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面、斜坡、以及坡顶上的水平面处（均在同一个平面内）．若米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为（），试求出大楼的高．（参考数据：） 36．（2020·江苏无锡·模拟预测）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=16米，斜坡坡面上的影长CD=10米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（结果保留根号） 高频考点10：解非直角三角形构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．（2021·江苏连云港·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 38．（2021·浙江宁波·一模）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆和可转动灯杆和光源组成，当灯杆绕点转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中，，灯杆，． （1）当灯杆与的夹角为150°时，求光源到桌面的距离； （2）若光源到的距离与圆形照明区域半径的关系是，要使圆形区域半径达到，求灯杆与的夹角的度数． 39．（2021·江苏扬州·一模）如图，建在山腰点处的一座“5G”发射塔与地面垂直，在地面处测得发射塔的底部、顶端的仰角分别为30°、60°，在地面处测得发射塔的底部的仰角为45°． （1）若设，则______；（用含的代数式表示） （2）若测得米，求． 40．（2019·江苏南京·二模）如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5 km到达E处，此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？ （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 高频考点11：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 41．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）徐州风景宜居，素有“一城青山半城湖”的美誉．某校数学兴趣小组为感受徐州地域文化特色，开展了“测量风景区亭子的高度”的综合实践活动．如图，在水平地面点D处，用高的测角仪测得亭子顶部A的仰角为，把测角仪沿水平移动至点C处，测得亭子顶部A的仰角为，若为，求该亭子的高度 42．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿行走166米到达点B，再沿到山顶点C．已知山高为142米，从点A看点B的仰角为，从点B看点C的仰角为．求小明从山脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）． （参考数据：，，） 43．（2024·江苏徐州·三模）如图，线段、分别表示甲、乙两建筑物的高，，，垂足分别为、．从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为，甲建筑物的高米． (1)求甲、乙两建筑物之间的距离 (2)求乙建筑物的高． 44．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为 m．（精确到，参考数据：，，）    高频考点12：方位角问题(解直角三角形的应用） 45．（2024·江苏泰州·三模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 46．（2024·江苏南京·二模）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 47．（2024·重庆·一模）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求的长度； (2)骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 48．（22-23九年级下·江苏连云港·阶段练习）周末，小亮一家在瘦西湖游玩，妈妈在岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从处出发，沿北偏东划行300米到达处，接着向正南方向划行一段时间到达处．在处小亮观测妈妈所在的处在北偏西方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？    （参考数据：） 高频考点13：坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 49．（2024·江苏苏州·一模）有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，）    (1)水果放置区的水平宽度； (2)求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1） 50．（2024·江苏苏州·二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前方有一段坡度为的斜坡，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度米，则建筑物的长约为多少米？（参考数据：，，） 51．（2024·江苏南京·二模）如图，小亮和小刚为测量某建筑物的高度，他们都从处出发，小亮沿着水平方向步行到达处，测得顶部的仰角为；小刚沿着坡角为的坡道行至处，分别测得他沿垂直方向上升的高度为、顶部的仰角为，求该建筑物的高度．（参考数据：．）    52．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 高频考点14：其他问题（解直角三角形的应用) 53．（2024·江苏南京·模拟预测）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 54．（2023·江苏苏州·二模）每年的春季是苏州旅游的最佳时间．为吸引游客，苏州东太湖湿地公园组织“踏春”活动，吸引市民打卡游玩．许多露营爱好者在草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种遮阳伞，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制遮阳伞的开合，，．（参考数据：，，， (1)白天时打开遮阳伞，若，求遮阳伞宽度（结果精确到）； (2)傍晚时收拢遮阳伞，从减少到，求点下降的高度（结果精确到）． 55．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 56．（2024·河南南阳·二模）高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图1，镜头 B到地面的距离为米，镜头的拍摄广角，为水平线，图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，测得 ，求此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为多少米？(结果精确到1米．参考数据： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$