专题13 相似三角形与位似（16个高频考点 共64题）-2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题13 相似三角形与位似 （16个高频考点 共64题） 高频考点01：相似三角形的判定综合 1 高频考点02：选择或补充条件使两个三角形相似 3 高频考点03：三角形的判定与性质综合 4 高频考点04：利用相似三角形的性质求解 5 高频考点05：证明三角形的对应线段成比例 7 高频考点06：利用相似求坐标 8 高频考点07：在网格中画与已知三角形相似的三角形 10 高频考点08：相似三角形—动点问题 12 高频考点09：相似三角形实际应用 14 高频考点10：位似图形相关概念辨析 16 高频考点11：求两个位似图形的相似比 17 高频考点12：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 18 高频考点13：求位似图形的对应坐标 21 高频考点14：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 22 高频考点15：在坐标系中画位似图形 24 高频考点16：相似三角形的综合问题 25 高频考点01：相似三角形的判定综合 1．（22-23九年级·上海徐汇·期末）在中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 2．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3) 如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 3．（20-21九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 4．（2023·江苏无锡·三模）中，，于D，于E，交于F (1)求证：； (2)求（用含m的代数式表示）； (3)当时，求的最大值． 高频考点02：选择或补充条件使两个三角形相似 5．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知在中，P为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（　　） A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D． 7．（2016·湖南娄底·中考真题）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 8．（2015·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 高频考点03：三角形的判定与性质综合 9．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 10．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2) 如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，以上一点为圆心、长为半径的圆与相切于点，分别交于点． (1)若连接，求的半径及的长； (2)当的度数为_______时，四边形是平行四边形． 12．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）【问题情境】如图1，垂足为点B，垂足为点C，，且点B、D、C在同一条直线上，可得，则 【探究思考】如图2，在矩形中，点E在边上，作交于点F，，若，，求的值． 【拓展提高】如图3，菱形的边长为10，，点E在边上，作交于点F，交于点G，且，求的长． 高频考点04：利用相似三角形的性质求解 13．（2024·江苏苏州·二模）已知，关于的二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接．    (1)请直接写出点的坐标（用数字或含的式子表示）： ______；______；______；______； (2)作出点关于对称轴的对称点，连接，若和相似，求的值； (3)若，直接写出的取值范围． 14．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 15．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） (1)如图①，格点P在线段AC上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似； (2)如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切， (3)求出（2）中⊙M的半径为．（要求写出解答过程） 16．（2021·江苏扬州·一模）我们规定：三角形其中一边与该边上的高之比叫做这个三角形该边的值．例如，如图1，在中，，上的高，则边的值为，记作：． （1）等腰直角三角形底边的值＝　 　，等边三角形任意一边的值＝　 　； （2）如图2，在中，，，求． （3）如图3，在矩形中，，，点在矩形内，且．若以为圆心，半径为1的圆与矩形的对角线有公共点，设点到的距离为，直接写出的取值范围______． 高频考点05：证明三角形的对应线段成比例 17．（2023·江苏苏州·二模）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，.    (1)连结，求线段的长． (2)求点A到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 18．（22-23九年级下·江苏盐城·期中） (1)【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点． (2)【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹） (3)【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明． (3) 【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围． 19．（2020·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（2008·江苏宿迁·中考真题）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)在直线上是否存在一点，使∽，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 高频考点06：利用相似求坐标 21．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 22．（2019·江苏无锡·一模）如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的B，C两点在第一象限，点A在x轴正半轴上． (1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一个圆，使其圆心D在对角线OB上，DO为半径，该圆和BC所在直线相切于点E；(作图不必写作法，但要保留作图痕迹．) (2)在(1)中，若点B坐标为(4，3)，求点E的坐标． 23．（2020·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．        （1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式； （2）当的值最大时，求点的坐标； （3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标． 24．（2019·江苏无锡·一模）如图①，在平面直角坐标中，点是第一象限内一点，过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，且是的中点，以为直径的交直线于点（位于点右下方），交轴于点，连接交于点. 若点的坐标为，请直接写出两点的坐标和的长. 若，求的度数； 如图②，在的条件下，是上一点，若 ①求的值；②求当取最大值时的半径. 高频考点07：在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．（2023·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中 (1)若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为； (2)的正弦值是______． 26．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 28．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）由36个边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点在格点上． （1）如图1，，也在格点上，连结，相交于点，求的值和的长； （2）如图2，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得． 高频考点08：相似三角形—动点问题 29．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： (1)当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； (2) 当时，满足条件，t的值为 ． 30．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．       (1)为何值时，？ (2)当时，求值； (3)如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 31．（2015·山东潍坊·一模）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接．    (1)若与相似，求t的值； (2)连接、，若，求t的值． 32．（2023·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)以为边作矩形，使点M与点A在所在直线的两侧，且． ①当点Q在边上，且点M落在上时，求t的值． ②当点M在矩形内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围． (3) 当Q在边上时，有一点E在边上，且．若在线段上只存在一点F，使，直接写出符合要求t的取值范围． 高频考点09：相似三角形实际应用 33．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 34．（2024·江苏徐州·模拟预测）徐州方特冲上云霄是一座高空刺激过山车，这座过山车以其惊险刺激的体验和高度而闻名，乘坐者可以在高空中感受到速度和重力的极限挑战．如图，为了测量该建筑物最高处的高度，小红通过调整测角仪的位置，在该建筑物周围的点C处用测角仪测得其顶部A的仰角为（测角仪的高度忽略不计）接着，在阳光下，小红沿着方向向前走47米（即米），到达该建筑物顶部在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一个2米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，，请结合以上数据求该建筑物的高度（精确到）．（参考数据：，） 35．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 36．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 高频考点10：位似图形相关概念辨析 37．（2024·江苏常州·模拟预测）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    38．（2022·江苏苏州·一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，若，则与的面积比为 ． 39．（2020·江苏常州·二模）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 ．    40．（2023·湖北咸宁·三模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 高频考点11：求两个位似图形的相似比 41．（2024·湖南长沙·三模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 42．（2024·江苏盐城·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表： m … 0 1 … … 0 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围； (3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 43．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，与关于点位似，其中，，若，则 ． 44．（2022·四川成都·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 高频考点12：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 45．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 46．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 47．（17-18九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1； (3)四边形AA2C2C的面积是 　平方单位． 48．（19-20九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）请作出绕点逆时针旋转的； （2）以点为位似中心，将扩大为原来的2倍，在轴的左侧得到，请画出； （3）请直接写出的正弦值． 高频考点13：求位似图形的对应坐标 49．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为 ． 50．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，则点的对应点的坐标为 ． 51．（2024·江苏镇江·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表： m … 0 1 2 3 … … 0 1 2 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 52．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 高频考点14：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 53．（16-17九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是 ． 54．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　） A．2 B．4 C． D． 55．（2022·江苏徐州·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△OBC与△OEF的面积比为 ． 56．（18-19九年级下·吉林·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于两点，与反比例函数交于点点的坐标为轴于点． （1）点的坐标为 ； （2）若点为的中点，求反比例函数的解析式； （3）在（2）条件下，以为边向右作正方形交于点直接写出的周长与的周长的比． 高频考点15：在坐标系中画位似图形 57．（2022·江苏盐城·一模）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）． (1)以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF； (2)点A的对应点D的坐标是 ； (3)S△ABM：S四边形ABED= ． 58．（19-20九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．请解答下列问题：    （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标； （2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标； （3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标． 59．（2017·江苏扬州·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）． （1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B1C1（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）． （2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是　 　，⊙P的半径=　 　．（保留根号） 60．（2015·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点B在y轴的正半轴上，以原点O为位似中心，位似比为2:1，把△OAB放大，放大后的三角形为△OCD，把△OAB绕点O逆时针旋转90º后得△OEF，点A的坐标是（1，t）． （1）分别写出点C、E的坐标C（ ， ），E（ ， ）（用含t的代数式表示）； （2）如果直线y＝x＋b经过E、C两点，试求出t与b的值． 高频考点16：相似三角形的综合问题 61．（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 62．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 63．（2021·江苏连云港·一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________； （2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； （3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，． ①求证：四边形为圆美四边形； ②若，，，求的最小值． 64．（2021·江苏南通·二模）给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形． 证明： （1）如图1，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 探究： （2）如图2，在对余四边形中，，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由． 拓展： （3）已知，在中，，，为外一点，且四边形为对余四边形，试求出对角线的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 相似三角形与位似 （16个高频考点 共64题） 高频考点01：相似三角形的判定综合 1 高频考点02：选择或补充条件使两个三角形相似 9 高频考点03：三角形的判定与性质综合 11 高频考点04：利用相似三角形的性质求解 21 高频考点05：证明三角形的对应线段成比例 30 高频考点06：利用相似求坐标 39 高频考点07：在网格中画与已知三角形相似的三角形 49 高频考点08：相似三角形—动点问题 55 高频考点09：相似三角形实际应用 67 高频考点10：位似图形相关概念辨析 71 高频考点11：求两个位似图形的相似比 75 高频考点12：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 80 高频考点13：求位似图形的对应坐标 88 高频考点14：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 95 高频考点15：在坐标系中画位似图形 100 高频考点16：相似三角形的综合问题 104 高频考点01：相似三角形的判定综合 1．（23-24九年级·上海徐汇·期末）在中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.： （1）由，D是的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，易得，，即可证得； （2）首先过A作，垂足为G，易得，可求得的长，继而求得的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的面积． 【规范解答】（1）证明：∵D是的中点， ∵ ∴ ∴ （2）解：过A作，垂足为G，如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， 又， ∴ 2．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析； (2)；； (3)线段为定值，且． 【思路点拨】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证； （）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解； 连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解； （）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可． 【规范解答】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 连接，， 同理可得，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，内心的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 3．（20-21九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【规范解答】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 4．（2023·江苏无锡·三模）中，，于D，于E，交于F (1)求证：； (2)求（用含m的代数式表示）； (3)当时，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）首先证明出，然后得到，进而可证明出； （2）首先根据得到，然后得到，进而可求出； （3）首先根据，得到，然后设，，，然后利用相似三角形的性质表示出，令，进一步得到，然后结合完全平方公式的变形求解即可． 【规范解答】（1）∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴设，， 设，则，， 在和中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 令， ∵， ∴，， ∴， 设c，d为正数，则， ∴， ∴， ∴当且仅当时，， ∴同理，， ∴（当时取等号）， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【考点评析】此题考查了相似三角形的性质和判定，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 高频考点02：选择或补充条件使两个三角形相似 5．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知在中，P为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了相似三角形的性质．由图可得，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得D正确，利用排除法即可求得答案． 【规范解答】解：， 当时，，故A选项正确； 当时，，故B选项正确； 当时，，故D选项正确； 若，还需知道， 不能判定．故C选项错误． 故选：C． 6．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（　　） A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D． 【答案】D 【思路点拨】利用相似三角形的判定方法一一判断即可． 【规范解答】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； C、由∠A＝∠A， 可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意； D、由，推不出，△ABC∽△ADE，故本选不符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 7．（2016·湖南娄底·中考真题）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 【答案】∠B=∠DEC（不唯一） 【规范解答】可添加，理由如下： 故答案为： 8．（2015·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 高频考点03：三角形的判定与性质综合 9．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据定义可求得；在取E，使，可得，进而得出，从而，进一步得出结论； （2）可求得，设OH=FH=1，则设，则可求得，设，则，根据，得，求得，进一步得出结果； （3）可将的圆心角10等分即可． 【规范解答】（1）解：由黄金三角形尺规作图知，． 如图1，在上取点，使， 是的黄金分割点， ，即， 又 ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：；． （2）证明：在（1）的条件下， ． 如图2，过点作于点． ． 如图3，连结，过点作于点． 设，则 ． 设，则， 由，得， ， ∴五边形（所作图形）即为正五边形． （3）解：以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形，如图4． 10．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】(1)①4；②； (2)k的值为． 【思路点拨】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【规范解答】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； （2）解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【考点评析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，以上一点为圆心、长为半径的圆与相切于点，分别交于点． (1)若连接，求的半径及的长； (2)当的度数为_______时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)的半径为，的长为 (2) 【思路点拨】（1）证明，利用对应边成比例得到，代入数据求出的半径；先根据勾股定理求出，，得出，求出； （2）连接，得到，进而得到与平行，得到，进而得到，四边形是平行四边形，得到与平行，再结合与平行，即可证明． 【规范解答】（1）解：设的半径为，连接，如图所示： 与相切于点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； ∴， 根据勾股定理得：， ， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）解：当时，四边形是平行四边形；理由如下： 连接，，如下图所示： 为直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）知，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【考点评析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定等，勾股定理，属于综合题，难度中档，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 12．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）【问题情境】如图1，垂足为点B，垂足为点C，，且点B、D、C在同一条直线上，可得，则 【探究思考】如图2，在矩形中，点E在边上，作交于点F，，若，，求的值． 【拓展提高】如图3，菱形的边长为10，，点E在边上，作交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】探究思考：；拓展提高： 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 探究思考：证明，得出，设，则，，代入计算求出的值即可得解； 拓展提高：连接交于M，交于O，求出，设，，由勾股定理得出，得到，，证明，得出，进而得出，证明，求出，，，进而得出，，，再证明，求出，即可得解． 【规范解答】解：探究思考：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（舍）， ∴； 拓展提高：连接交于M，交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 高频考点04：利用相似三角形的性质求解 13．（2024·江苏苏州·二模）已知，关于的二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象顶点为，连接．    (1)请直接写出点的坐标（用数字或含的式子表示）： ______；______；______；______； (2)作出点关于对称轴的对称点，连接，若和相似，求的值； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)． 【思路点拨】（）把、分别代入函数解析式可求出坐标，再求出抛物线的对称轴即可求出的坐标； （）根据对称性可得，，再根据和相似得，即可得，解方程即可求解； （）设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，为半径画圆，连接，可知当点在上或内时，，得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，顶点坐标，相似三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，根据题意，正确画出图形和作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ∴顶点为， 故答案为：；；；； （2）解：如图，∵点关于对称轴对称，，点在对称轴上， ∴，， ∴， ∵和相似， ∴， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴；    （3）解：设抛物线的对称轴与轴的交点为点，以点为圆心，为半径画圆，连接，    当点在上或内时，， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴． 14．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路点拨】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，． 【规范解答】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心； 如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图，点不是中点，所以点不是重心； ①正确    ②当，如图时最大，， ，，， ， ， ②错误；    ③如图5，若，， ∴，，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴③错误； ④如图6，， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 当时，最大为5， ∴④正确． 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键． 15．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明） (1)如图①，格点P在线段AC上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似； (2)如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切， (3)求出（2）中⊙M的半径为．（要求写出解答过程） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据相似的性质，且在线段上，可知，分，两种情况作图即可； （2）由题意知为的角平分线与的交点，作的角平分线交于，以为圆心，为半径画圆即可； （3）设⊙M与AB相切于点T，连接MT，则BC＝BT＝3，AT＝2，设CM＝MT＝x，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【规范解答】（1）（1）如图①，点Q或Q′即为所求作． （2）解：如图②，⊙M即为所求作． （3）解：设⊙M与AB相切于点T，连接MT，则BC＝BT＝3，AT＝2，设CM＝MT＝x， 在中，， ∴（4﹣x）2＝22+x2， ∴x＝， ∴⊙M的半径为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、切线等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 16．（2021·江苏扬州·一模）我们规定：三角形其中一边与该边上的高之比叫做这个三角形该边的值．例如，如图1，在中，，上的高，则边的值为，记作：． （1）等腰直角三角形底边的值＝　 　，等边三角形任意一边的值＝　 　； （2）如图2，在中，，，求． （3）如图3，在矩形中，，，点在矩形内，且．若以为圆心，半径为1的圆与矩形的对角线有公共点，设点到的距离为，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）2；；（2）；（3）． 【思路点拨】（1）根据“三角形一边的值”的定义进行计算即可； （2）过作于点，过作于点，根据已知条件，可得，再设，则，求出在中，，所以在中，，得到，即可求出； （3）在边上截取，过点作分别交于、于点、，分两种情况：当点在线段上且与相切于点时，或当点在线段且与相切于点时，由得，，再根据半径为，即，即可求出答案． 【规范解答】（1）如图1，①∵是等腰直角三角形，上的高， ∴也是上的中线， ∴，即， ∴等腰直角三角形底边的值； ②∵是等边三角形，上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴等边三角形任意一边的值； （2）过作于点，过作于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，设，则， ∴在中，，， ∴在中，，， ∴， ∴； （3），理由如下： ∵，， ∴点到的距离， 如图3，在边上截取，过点作分别交、于点、， ∵点在矩形内， ∴点在线段（不包括端点）上运动， 当点在线段上且与相切于点时，连结，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵半径为1，即， ∴，， ∴， ∴， 如图4，当点在线段且与相切于点时，同理可得：， ∴当与矩形的对角线有公共点时，. . 【考点评析】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，等腰直角三角形性质，等边三角形性质，圆与直线的位置关系，矩形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，“三角形该边的值”定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 高频考点05：证明三角形的对应线段成比例 17．（2023·江苏苏州·二模）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，.    (1)连结，求线段的长． (2)求点A到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质证明，再利用正弦值即可求出长度． （2）根据角度相等证明求出，再根据余弦值求出长度，即可求出长度，最后可求出点A到对称轴的距离． 【规范解答】（1）解：由图可知，过点作于，延长至，过点作于 ，    ，， ，， ． 故答案为：． （2）解：， ，， ， ．   ， ， ． ，， ， ． ， ． 点A到对称轴的距离为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数和等腰三角形的性质．解题的关键在于明确点A到对称轴的距离，从而作辅助线． 18．（22-23九年级下·江苏盐城·期中） (1)【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点． (2)【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹） (3)【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明． (4)【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) (4) 【思路点拨】（1）在矩形中，，可得，由折叠可得，进而，可得，所以，得证点Q是边的三等分点； （2）以为直径画圆O，在圆O上取点N，连接，延长至D，使，延长至A，使，连接，则四边形为所求四边形； （3）取的中点H，连接，，由等边对等角与三角形的外角可得，由与可得，故，所以； （4）作于点M，推导出，在和中，，得到；在和中，，得到，即可解答． 【规范解答】（1）解：在矩形中，， ， ∵将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上， ，， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， ， ，即Q是边的三等分点． （2）解：如图2，以为直径画圆O，在圆O上取点N，连接，延长至D，使，延长至A，使，连接，则四边形为所求四边形； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵为圆O的直径， ∴， ∴； ∴平行四边形符合条件； （3）取的中点H，连接， ，， ， ， ∵点H是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （4）作于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，k的取值范围是． 【考点评析】本题主要考查平行线分线段成比例，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图．解题的关键是读懂题意，熟练运用各个知识． 19．（2020·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得,再由平行线分线段成比例得即，解得,结合图象，，利用排除法即可得到答案. 【规范解答】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D，如图： ∵A(0，3)，B(4，0)， ∴OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB斜率等于， 由直线知OD=b，且直线与AB平行， ∵AC平分∠OAB, ∴, ∵直线与AB平行, ∴即， 解得, 结合图象直线的位置，b的范围为， 利用排除法， 故选D. 【考点评析】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧． 20．（2008·江苏宿迁·中考真题）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)在直线上是否存在一点，使∽，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1) ∵双曲线过点 ∴ ∵双曲线过点 ∴ 由直线过点得,解得 ∴反比例函数关系式为,一次函数关系式为. (2)存在符合条件的点,.理由如下: ∵∽ ∴∴，如右图,设直线与轴、轴分别相交于点、,过点作轴于点,连接，则, 故,再由得, 从而,因此,点的坐标为. 【规范解答】（1）先根据反比例函数求出点A的坐标，再由A、B的坐标根据待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）由∽，根据对应边成比例即可求出AP的长，再根据一次函数求出与坐标轴的交点坐标，即得AC、CD、DB、PC的长，再由求得CE、PE的长即可求得点P的坐标． 高频考点06：利用相似求坐标 21．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【规范解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 22．（2019·江苏无锡·一模）如图，平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的B，C两点在第一象限，点A在x轴正半轴上． (1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一个圆，使其圆心D在对角线OB上，DO为半径，该圆和BC所在直线相切于点E；(作图不必写作法，但要保留作图痕迹．) (2)在(1)中，若点B坐标为(4，3)，求点E的坐标． 【答案】（1）详见解析；（2）点坐标为 【思路点拨】（1）利用BC⊥y轴，通过角平分线构造等腰三角形可得∠EDB=∠GOB，可得DE垂直BC. （2）由切线的性质可得，依据相似三角形性质列方程求出圆的半径和BE，即可解答. 【规范解答】延长交轴于，作的平分线交于再作的中垂线交于，以为圆心，为半径作圆. 证明：如图，连ED， ∵OD=DE, ∴∠EDB=∠EOD+∠OED=2∠EOD ∵∠GOB=2∠EOB ∴∠EDB=∠GOB ∵∠OGB=90°， ∴∠DEB=90°， ∴圆心D在对角线OB上，DO为半径，该圆和BC所在直线相切于点E 切于，，B坐标为 ∴，， ∴， ， 设半径为，则，得， 点坐标为， 【考点评析】本题考查了基本作图和切线的性质和判定利用相似三角形求解等知识点，利用角平分线构造等腰三角形构造垂直是作图的关键. 23．（2020·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．        （1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式； （2）当的值最大时，求点的坐标； （3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标． 【答案】（1）；（2）点；（3）或或或 【思路点拨】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解； （2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标； （3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可． 【规范解答】解：（1）当时，，解得，． ∴、、． 由题意得，设对应的函数表达式为， 又∵经过点， ∴， ∴． ∴对应的函数表达式为． （2）∵、与轴交点均为、， ∴、的对称轴都是直线． ∴点在直线上． ∴． 如图1，当、、三点共线时，的值最大， 此时点为直线与直线的交点． 由、可求得，直线对应的函数表达式为． ∴点．               （3）由题意可得，，，， 因为在中，，故． 由，得顶点． 因为的顶点P在直线上，点Q在上， ∴不可能是直角． 第一种情况：当时， ①如图2，当时，则得． 设，则， ∴． 由得，解得． ∵时，点Q与点P重合，不符合题意， ∴舍去，此时． ②如图3，当时，则得． 设，则． ∴． 由得，解得（舍），此时． 第二种情况：当时， ①如图4，当时，则得．    过Q作交对称轴于点M，∴． ∴．由图2可知， ∴． ∴，又，代入得． ∵点， ∴点． ②如图5，当时，则．    过Q作交对称轴于点M， ∴，则． 由图3可知，， ∴，， ∴． 又，代入得． ∵点， ∴点， 综上所述，或或或． 【考点评析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答． 24．（2019·江苏无锡·一模）如图①，在平面直角坐标中，点是第一象限内一点，过点的直线分别与轴，轴的正半轴交于两点，且是的中点，以为直径的交直线于点（位于点右下方），交轴于点，连接交于点. 若点的坐标为，请直接写出两点的坐标和的长. 若，求的度数； 如图②，在的条件下，是上一点，若 ①求的值；②求当取最大值时的半径. 【答案】（1）；（2）；（3）①；②2. 【思路点拨】（1）由A是MN的中点可得OA=AM=AN，又OA是直径的AC垂直ON，可得OC=CN，即可求出MN坐标，连接OB，由OA与OB的长，利用勾股定理求出MN的长，根据A为MN中点求出AM的长，根据△MON与△MOB相似，由相似得比例求出BM的长，由AM-BM求出AB的长即可；. （2）连接，由已知易证,得，即可证明AC=CD，是正三角形，即可解答. （3）①连接，作于，先用解直角三角形用a、b表示PH，PC、BH，让后分别用它们表示出BC长和四边形面积，可得，整理a+b的关系. ②根据①可表示，并把b=6-a代入得到关于a的二次函数解析式，根据最大值可得PC=a=4，PB=2，即可得H、B重合，即可得圆的半径. 【规范解答】解：（1） 过程如下：连接， 在Rt△AOB中，OA=6，OB=8， ∴MN=， ∴AM== ∴△MON∽△MOB ∴， ∴， ∴BM=,， ∴AB=AM-BM=-； 连接， ， ∴ ∴， ∴=2AE， 为中点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴是正三角形 ∴， ∴. ①连接，作于由知垂直平分 ∴， ，， ，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 由题意得，化简得 ∵， ∴， ② ， ∴当时，取最大值， 此时，，即重合 ∴，直径， ∴半径为 【考点评析】此题属于二次函数与圆综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，以及利用二次函数求最大值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 高频考点07：在网格中画与已知三角形相似的三角形 25．（2023·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中 (1)若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为； (2)的正弦值是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题主要考查了相似变换、勾股定理以及解直角三角形，得出对应点位置，并熟练掌握正弦值的定义是解题关键． （1）利用相似比为，将三角形各边扩大2倍，进而得出对应点位置即可得出答案； （2）作于G，在中利用正弦函数的定义即可求解； 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图，作于G， ∵在中，，， ∴， ∴； 故答案为：． 26．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【规范解答】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 27．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据位似比为，画出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点P． 【规范解答】（1）解：即为所求 （2）解：即为所求 根据勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴； （3）解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 28．（20-21九年级上·浙江宁波·期末）由36个边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点在格点上． （1）如图1，，也在格点上，连结，相交于点，求的值和的长； （2）如图2，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得． 【答案】（1），；（2）见解析 【思路点拨】（1）由，可证，由性质知，由勾股定理求出，利用比例即可求出CO的长； （2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，构造相似，利用相似比即可求出M满足条件． 【规范解答】解：（1）由图知：，， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， （2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M， ∵AE∥BF， ∴∠A=∠B，∠E=∠F， ∴△AEM∽△BFM， ∴， 如图，点是所求作的点． 【考点评析】本题考查网格作图问题，与平行线性质，相似三角形的判定与性质，掌握网格作图经常利用相似或全等解决问题． 高频考点08：相似三角形—动点问题 29．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： (1)当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； (2)当时，满足条件，t的值为 ． 【答案】(1)①；② (2)或 【思路点拨】对于（1），根据勾股定理求出，并表示，根据平行的性质得，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；②先求出当D、E、F在同一条直线上时t的值，再作，接着证明，表示，，然后根据矩形的性质表示线段的长，再根据列出关系式； 对于（2），当四边形是圆内接四边形时，则，作， 可证明，并求出，，再根据相等列出方程，求出答案即可；当四边形是圆内接四边形时，则，作，连接，先根据勾股定理表示，再证明 ，可得， 然后证明，可得，，根据勾股定理表示，再建立方程求出答案即可． 【规范解答】（1）当时，点E在边上，厘米，厘米， ∵矩形中，厘米，厘米， ∴ ∴（厘米）， ∴厘米， ①如图1， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴当时，； ②当D、E、F在同一条直线上时，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即 解得：，（负值舍去）． ∵， ∴当时，如图3，过点F作于G，交于H， 则， ∴， ∴， ∴，即， ∴厘米，厘米． ∵四边形是矩形， ∴厘米，厘米， ∴厘米，厘米，厘米， ∴， ∴y关于t的函数关系式为； （2）∵， ∴， 当四边形是圆内接四边形时，则， 如图4，过点F作于M， 则， ∴， ∴，即， ∴厘米，厘米， 在中，厘米， ∴厘米， ∵厘米， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）； 当四边形是圆内接四边形时，则． 如图5，过点F作于H，连接， 则 ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴t， ∴， ∴＝， 整理得：， 解得：，（舍去）． 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆内接四边形的性质，矩形的性质等，注意分情况讨论，不能丢解． 30．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．                       (1)为何值时，？ (2)当时，求值； (3)如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为时，； (2)当或时，； (3)的值． 【思路点拨】（）利用勾股定理求得，用的代数式表示出线段，，的长度，利用平行线的判定与性质得出比例式解答即可； （）过点作于点，得到 利用相似三角形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式得到关于的方程，解方程即可得出结论； （）过点作于点，过点作于点，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于的比例式，解方程即可得出结论； 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，添加三角形的高线构造相似三角形是解题的关键． 【规范解答】（1）由题意得，，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，，， 当，， ∴， 解得：， ∴为时，； （2）由题意得：，， ∴， 当时， 则 ， 过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴当或时，； （3）沿折叠，得到，存在某一时刻，使四边形为菱形，值为理由： 过点作于点，过点作于点，如图， 由题意得：，， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， 若四边形为菱形，只需， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴沿折叠得到，四边形为菱形时的值． 31．（2015·山东潍坊·一模）如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接．    (1)若与相似，求t的值； (2)连接、，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) 【思路点拨】（1）分两种情况：①当时，；②当时，，再根据，，，，代入计算即可； （2）过P作于点M，，交于点N，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵中，，，， ∴根据勾股定理得：， ①当时，， ∵，，，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，t＝； ∴或时，与相似； （2）解：过P作于点M，，交于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 32．（2023·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)以为边作矩形，使点M与点A在所在直线的两侧，且． ①当点Q在边上，且点M落在上时，求t的值． ②当点M在矩形内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围． (3)当Q在边上时，有一点E在边上，且．若在线段上只存在一点F，使，直接写出符合要求t的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①；②t的取值范围为或； (3)t的取值范围为或． 【思路点拨】（1）分和两种情况，即可分别表示出； （2）①根据矩形的性质可证得，根据相似三角形的性质，列出方程，解方程即可求解；②分两种情况，画出图形，即可求解； （2）分二种情况，画出图形，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，； 答：或； （2）解：①当点Q在边上，且点M落在上时，如图①， 四边形、都是矩形， ，， ，， ， ， ， 即，解得； ②如图②，此时， 当点Q、M都在边上，点P、N都在边上时，，， 此时四边形是矩形，， 即， 解得， 如图③，此时， 综上，当点M在矩形内部时，t的取值范围为或；   ； （3）解：如图④，当点P在点E的左侧时，以为直径的圆与只有一个交点，此交点即为点F，此时， 当时，，解得， 此时t的取值范围为：， 如图⑤，当以为直径的圆与相切时， ，，， ， 以为直径的圆与相切， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或(舍去)， 此时；      综上，t的取值范围为或． 【考点评析】本题考查了动点问题，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 高频考点09：相似三角形实际应用 33．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与应用，证得是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 34．（2024·江苏徐州·模拟预测）徐州方特冲上云霄是一座高空刺激过山车，这座过山车以其惊险刺激的体验和高度而闻名，乘坐者可以在高空中感受到速度和重力的极限挑战．如图，为了测量该建筑物最高处的高度，小红通过调整测角仪的位置，在该建筑物周围的点C处用测角仪测得其顶部A的仰角为（测角仪的高度忽略不计）接着，在阳光下，小红沿着方向向前走47米（即米），到达该建筑物顶部在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一个2米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，，请结合以上数据求该建筑物的高度（精确到）．（参考数据：，） 【答案】该建筑物的高度约为米． 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 设米，利用正切函数可得到，进而得到米，再利用太阳光线是平行光线可得，再利用相似三角形对应线段成比例，列出方程求解即可． 【规范解答】解：设米， 由题意得：， ∴， ∴米， ∵米， ∴米， ∵, ∴， ∴，即,,解得：． 答：该建筑物的高度约为米． 35．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【规范解答】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 36．（2024·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【规范解答】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 高频考点10：位似图形相关概念辨析 37．（2024·江苏常州·模拟预测）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】2 【思路点拨】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，则正方形的面积为8，得到正方形的边长为，用勾股定理求出，即可得到答案． 【规范解答】解：连接，    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为2， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2. 38．（2022·江苏苏州·一模）如图，与是位似图形，点为位似中心，若，则与的面积比为 ． 【答案】 【思路点拨】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【规范解答】解：∵OA′=A′A， ∴ ， ∵△A′B′C′与△ABC是位似图形， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴△A′B′C′与△ABC的面积比， 故答案为：1：4． 【考点评析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 39．（2020·江苏常州·二模）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【思路点拨】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案． 【规范解答】解：小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为， ∴阴影部分面积占总面积的比值为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了位似图形性质和几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 40．（2023·湖北咸宁·三模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长． 【规范解答】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， ∴是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为4，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 高频考点11：求两个位似图形的相似比 41．（2024·湖南长沙·三模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，由位似图形的性质可知四边形是正方形，得到，即得是四边形的外接圆直径，又由正方形的面积为，可得，利用勾股定理可得，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是四边形的外接圆直径， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 42．（2024·江苏盐城·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表： m … 0 1 … … 0 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围； (3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)或． 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，等定系数法求函数解析式，位似变换等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用等定系数法求解即可； （2）先求出点，再利用平移的性质即可求解； （3）利用位似比得到，得到，或，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：设，将代入得 ， ∴， ， 当时， ∴无论m取何值点M都在该抛物线上． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为：， 设抛物线与轴的交点为， 令，则， 解得：，， ∴， 设，， 依题意， 或向右移动到之间时，移动距离为的范围，如图： 移至： 移至，， 移至，， 移至： 移至，， 移至，， ∴． （3）解：如图，与位似，位似比，则， ， ∴， ，， 令，得； 如图， ， ， ， ， ，， 令， 43．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，与关于点位似，其中，，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【规范解答】∵，， ∴，， ∵与关于点位似，且相似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（2022·四川成都·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】 【思路点拨】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论． 【规范解答】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 高频考点12：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 45．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)Ⅰ．见解析；Ⅱ．． 【思路点拨】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【规范解答】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 46．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定与性质画出，使； （2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出； （3）取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 47．（17-18九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1； (3)四边形AA2C2C的面积是 　平方单位． 【答案】(1)（2，﹣2） (2)见解析 (3)7.5 【思路点拨】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可； （3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可． 【规范解答】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1， 点C1的坐标是（2，﹣2）； （2）如图所示，以B为位似中心，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1， ∴，根据画出点， ∴，根据画出点， 点与点重合， 连接、、，即可得到△A2B2C2； （3）四边形AA2C2C的面积是＝ 故答案为：7.5 【考点评析】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 48．（19-20九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． （1）请作出绕点逆时针旋转的； （2）以点为位似中心，将扩大为原来的2倍，在轴的左侧得到，请画出； （3）请直接写出的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【思路点拨】（1）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点即可； （2）把点的横纵坐标都乘以得到对应点的坐标，然后描点即可； （3）利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，然后利用特殊角的三角函数值求解． 【规范解答】解：（1）如图，为所作； （2）如图，为所作； （3）∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【考点评析】本题考查了旋转作图、位似作图、正弦三角函数值等知识点，较难的是的题（3），掌握正弦三角函数值的定义是解题关键． 高频考点13：求位似图形的对应坐标 49．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于点M，过点D作轴于点N．利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【规范解答】解：过点A作轴于点M，过点D作轴于点N． ∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 50．（2024·江苏盐城·三模）如图，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】或/或 【思路点拨】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质等知识，理解位似图形的定义和性质是解题关键．分与在轴同侧和与在轴异侧两种情况讨论，分别求解即可． 【规范解答】解：分两种情况讨论， ①如下图，当与在轴同侧时，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∵将按相似比放大，得到， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； ②如下图，当与在轴异侧时，过点作轴于点，过点作轴于点， 由①可知，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴ ∴． 故答案为：或． 51．（2024·江苏镇江·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表： m … 0 1 2 3 … … 0 1 2 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值，再令，整理可得，即可证明； （2）先求出点B和点C的坐标，可证明是等边三角形，可知点D、P在抛物线的对称轴上，根据位似图形的定义可得，抛物线的对称轴垂直平分，分情况讨论即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵点M在以点为顶点的抛物线上， ∴设该抛物线的解析式为， 将点代入可得 ∴， ∴， 当时，， ∴无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； （2）令，得， 解得：， ∴，，，抛物线的对称轴垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∵点D在抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形 ∴点P在抛物线的对称轴上， ∵与的相似比是， ∴，， ∴，抛物线的对称轴垂直平分， ∴点Q与点M关于对称轴对称， 当点M在对称轴左侧时，，解得 当点M在对称轴右侧时，，解得 综上，． 【考点评析】本题考查二次函数的性质、二次函数的解析式，位似图形的性质和等边三角形的判定与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 52．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【规范解答】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 高频考点14：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 53．（16-17九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，则点的横坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形是相似形和相似三角形的性质是解题的关键．过B和向x轴引垂线，构造相似比为的相似三角形，那么利用相似比和所给的横坐标即可求得点B的横坐标． 【规范解答】如图，过点B， 分别作轴于D，轴于E， ∴． ∵的位似图形是， ∴点B， C， 在一条直线上， ∴， ∴， ， 又， ． 又∵点的横坐标是2，点C的坐标是， ∴， ， ， ∴点B的横坐标为：． 故答案为． 54．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】 根据题意求出位似比，根据位似比计算即可． 【规范解答】 解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为，C点坐标为， ∴线段与线段的位似比为， ∵， ∴， 故选：C． 【考点评析】 本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键． 55．（2022·江苏徐州·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△OBC与△OEF的面积比为 ． 【答案】4：9/ 【思路点拨】根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF， ∵AB：DE＝2：3，即相似比为2：3． ∴△OBC与△OEF的面积比为相似比的平方，即4：9， 故答案是：4：9． 【考点评析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 56．（18-19九年级下·吉林·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于两点，与反比例函数交于点点的坐标为轴于点． （1）点的坐标为 ； （2）若点为的中点，求反比例函数的解析式； （3）在（2）条件下，以为边向右作正方形交于点直接写出的周长与的周长的比． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】（1）将点A代入一次函数，从而得出一次函数的解析式，然后再求B点的坐标； （2）根据题意，OB是△ACD的中位线，利用中位线的性质可得点C的坐标，代入反比例函数可得解析式； （3）先证△CFG∽△AOB，在根据点的坐标，可求得CD、AO的长，根据相似三角形线段比即为周长比解得． 【规范解答】（1）∵一次函数过点A，代入得： 解得：b=1 ∴一次函数为： 令x=0，则y=1 ∴B(0，1) （2） . 点在上 反比函数解析式为. （3） ∴CD=2，AO=3 ∵四边形CFED是正方形，∴CF=CD=2，CF∥AO，∠F=90° ∴∠FCG=∠BAO ∵∠BOA=∠F=90° ∴△CFG∽△AOB ∴的周长与的周长的比为： 【考点评析】本题考查正方形的性质、求一次函数和反比例函数的解析式、相似的应用，解题关键是利用函数解析式，得出各个点的坐标，从而得出线段长度，进而开展推导过程． 高频考点15：在坐标系中画位似图形 57．（2022·江苏盐城·一模）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）． (1)以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF； (2)点A的对应点D的坐标是 ； (3)S△ABM：S四边形ABED= ． 【答案】(1)画图见解析 (2)（-2，5） (3)1:3． 【思路点拨】（1）根据位似变换的定义找到三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据图形即可得出答案； （2）根据三角形的面积公式计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，△DEF即为所求． ； （2）解：观察图形，点A的对应点D的坐标是（-2，5）； （3）解：∵S△ABM=，S四边形ABED= S△ABM=6 ∴S△ABM：S四边形ABED=2:6=1:3． 【考点评析】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质． 58．（19-20九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．请解答下列问题：    （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标； （2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标； （3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标． 【答案】（1）图详见解析，C1（-3,2）； （2）图详见解析，C2（6,4）；（3）D2（2a,2b） 【思路点拨】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，进而得出C1点的坐标； （2）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出△ABC放大后的图形△A2B2C2，进而得到C2点的坐标； （3）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出对应点D2的坐标． 【规范解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（-3，2）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求，C2（6，4）；    （3）∵原点O为位似中心，位似比为1：2， ∴点D（a，b）的对应点D2的坐标为（2a，2b）． 【考点评析】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键． 59．（2017·江苏扬州·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）． （1）在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出△A1B1C1（△ABC与△A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）． （2）利用方格纸标出△A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是　 　，⊙P的半径=　 　．（保留根号） 【答案】（1）作图见解析；（2）（3，1）， 【规范解答】（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）点P的坐标为（3，1）， PA1= ， 即⊙P的半径为 故答案为（3，1）； 60．（2015·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点B在y轴的正半轴上，以原点O为位似中心，位似比为2:1，把△OAB放大，放大后的三角形为△OCD，把△OAB绕点O逆时针旋转90º后得△OEF，点A的坐标是（1，t）． （1）分别写出点C、E的坐标C（ ， ），E（ ， ）（用含t的代数式表示）； （2）如果直线y＝x＋b经过E、C两点，试求出t与b的值． 【答案】（1）2；2t；-t；1；（2）t=3，b=4． 【规范解答】试题分析：（1）根据以原点O为位似中心，位似比为2:1，把△OAB放大，放大后的三角形为△OCD，所以，所以CD=2，OD=2t，据此写出点C的坐标，根据旋转的性质可知OF=OB=t，EF=AB=1，据此写出点E的坐标； （2）把点C和点E的坐标代入y＝x＋b得到方程组，解得b和t的值． 试题解析：解：（1）根据位似图形的性质可知，， 所以CD=2，OD=2t，即点C的坐标为（2，2t）， 根据旋转的性质可知OF=OB=t，EF=AB=1，所以点E的坐标为（-t，1）； 故答案为2；2t；-t；1； （2）把点C（2，2t）和点E（-t，1）代入y＝x＋b得： ，解得， 所以t的值为3，b的值为4． 考点：位似图形的性质；旋转的性质；待定系数法求解析式． 高频考点16：相似三角形的综合问题 61．（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)， (2)或 (3)①或；②． 【思路点拨】（1）将、和依次代入中，即可求解； （2）分两种情况： ①当P点比A点高时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得，由可得，则可得．再由可得，则，进而可得．作，，由角平分线的性质可得，由此可得P点的坐标； ②当P点比A点低时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得．由可得，则可得，进而可得，．设，由列方程求出m的值，即可得 P点的坐标． （3）①先求出位似比k的值，进而可求得点的坐标．设抛物线的表达式为，将代入求得n的值，即可得抛物线的表达式． ②由可得．再证，则可得，由此得M点在y轴上，因此M点与A点重合，即可得M点的坐标． 【规范解答】（1）把代入中，得， ， 把代入中，得， 解得， ． 把代入中，得， 解得，， ∵和， ∴． （2）①如图，当P点比A点高时， 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， 即， ∴平分． 过P点作，， 则， ， ， ， ． ②如图，当P点比A点低时 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， 又， ， ． ， ， 即． 四边形中，， ． 设，连接， 由， 得， 整理得， 解得，（舍去）， ， 综上，p点坐标为：或． （3）①，，， ，，， ，， ，， ∴位似比， ， ， ． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为：， 化成一般式为：， ∴抛物线的表达式为：或． ②如图， ， ，且， ， 又， ， ， ， 又， ， ∴M点和都在y轴上， 又∵M点在抛物线上， ∴M点与A点重合， ． 【考点评析】本题是一道二次函数与几何的综合题目，主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、位似三角形的性质、二次函数的图像和性质等．能够综合运用以上知识，掌握好数形结合法是解题的关键． 62．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【规范解答】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【考点评析】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 63．（2021·江苏连云港·一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________； （2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； （3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，． ①求证：四边形为圆美四边形； ②若，，，求的最小值． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）①见解析，②的最小值为 【思路点拨】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论； （2）先判断出∠BED＝∠CED＝90°，再根据圆美四边形的定义和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）①先判断出△APD∽△EPB，得出，进而判断出△APE∽△DPB，得出∠AEP＝∠DBP，即可得出结论； ②先判断出AD2+BE2＝AB2+DE2，证，进而得出，设，，，，列出函数关系式即可得出结论． 【规范解答】解：（1）正方形内接与圆，且对角线互相垂直； 故答案为：正方形 （2）连结，，∵等腰中，， ∴为⊙O的直径，，， ∴， ∴， ∵四边形为圆美四边形，∴， ∴弧=弧， ∴， ∴， ∴ （3）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， 即 ∴， ∴， 又∵，， ∴即， ∴， 又∵A，B，E，D在同一个圆上， ∴四边形为圆美四边形． ②∵，∴， ∴， ∵A，B，E，D在同一个圆上， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴当时，y2取到最小值32，的最小值为． 【考点评析】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，圆美四边形的定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质，熟练运用相似三角形的判定进行推理证明是解本题的关键． 64．（2021·江苏南通·二模）给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形． 证明： （1）如图1，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 探究： （2）如图2，在对余四边形中，，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由． 拓展： （3）已知，在中，，，为外一点，且四边形为对余四边形，试求出对角线的最大值． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）对角线的最大值为． 【思路点拨】（1）连结MB、NB，由MN为直径，可得∠BMN+∠BNM=90°，由同弧圆周角性质∠BCN=∠BMN，∠BAM=∠BNM，可证四边形是对余四边形； （2）过D作ED⊥CD于D，截取ED=AD，连结AE，根据四边形ABCD为对余四边形，可得∠EDA=∠ABC，可证△ABC∽△ADE，，，可证△ABD∽△ACE，可得，由，可得，可得，在Rt△EDC中，由勾股定理即可； （3）过AC中点为圆心O，以AC为直径作圆，过O作OF⊥AC交⊙O于F，连结AF、CF，则∠AFC=90°，过F作FG⊥BA交延长线于G，可证四边形AOFG为正方形，由四边形ABCD为对余四边形，可得∠ABC+∠ADC=90°，求出∠ADC= =45°，点D在以点F为圆心，AF长为半径的圆弧优弧上运动，当DB过圆心F时，BD最大，利用勾股定理求FA=FD=FC=，在Rt△BGF中，由勾股定理，可得BD最大=BF+FD=+即可． 【规范解答】解：（1）连结MB、NB， ∵MN为直径， ∴∠MBN=90°， ∴∠BMN+∠BNM=90°， ∵∠BCN=∠BMN，∠BAM=∠BNM， ∴∠BCN+∠BAM=∠BMN+∠BNM=90°， ∴四边形是对余四边形； （2）过D作ED⊥CD于D，截取ED=AD，连结AE， ∴∠EDA+∠ADC=90°， ∵四边形ABCD为对余四边形， ∴∠ABC+∠ADC=90° ∴∠EDA=∠ABC， 又∵AB=BC，ED=AD， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴△ABD∽△ACE， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在Rt△EDC中，由勾股定理， ∴； ∵AD=DE， ∴ （3）过AC中点为圆心O，以AC为直径作圆，过O作OF⊥AC交⊙O于F，连结AF、CF，则∠AFC=90°，过F作FG⊥BA交延长线于G， ∵∠OAG=∠AOF=∠AGF=90°， ∴四边形AOFG为矩形， 又∵OA=OF， ∴四边形AOFG为正方形， ∵四边形ABCD为对余四边形， ∴∠ABC+∠ADC=90°， ∵AB=BC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ADC=90°-∠ABC=45°， ∴点D在以点F为圆心，AF长为半径的圆弧优弧上运动， ∴当DB过圆心F时，BD最大， ∴OA=OC=OF=FG=AG=2， ∵FA=FD=FC= 在Rt△BGF中，由勾股定理 ∴BD最大=BF+FD=+． 【考点评析】本题考查新定义图形，直径所对圆周角性质，同弧圆周角性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，正方形判定与性质，利用辅助线构造直角三角形，辅助圆，掌握新定义图形，会利用新定义图形解决问题，直径所对圆周角性质，同弧圆周角性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，正方形判定与性质，利用辅助线构造直角三角形，辅助圆是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$