专题12 尺规作图（11个高频考点 共44题）-2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题12 尺规作图 （11个高频考点 共44题） 高频考点01：作线段（尺规作图) 1 高频考点02：作角（尺规作图) 7 高频考点03：尺规作一个角等于已知角 14 高频考点04：过直线外一点作已知直线的平行线 19 高频考点05：作三角形（尺规作图） 27 高频考点06：作角平分线（尺规作图) 33 高频考点07：作垂线（尺规作图) 38 高频考点08：作等腰三角形(尺规作图) 44 高频考点09：画圆（尺规作图） 53 高频考点10：作正方形（尺规作图） 59 高频考点11：无刻度直尺作图 65 高频考点01：作线段（尺规作图) 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写做法）    (1)如图1，在边上作点P，使； (2)如图2，在边上作点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是∶ （1）延长至点E，使，连接交于点P即可； （2）延长至点E，使，连接，作的垂直平分线交于点P即可． 【规范解答】（1）解∶如图，点P即为所求，    理由：由作图知：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，点P即为所求，    理由：由作图知，，点P在的垂直平分线上， ∴， 又，， ∴， ∴． 2．（2024·江苏盐城·三模）如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到． （2）根据平行四边形的性质，证明证明． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握作图和平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到． 则点F即为所求． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． ． 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，点是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图：在的延长线上找一点，使平分；（不直接作的角平分线，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析． 【思路点拨】本题考查作图复杂作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作交的延长线于点，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【规范解答】（1）解：图形如图所示：    （2）结论：四边形是菱形． 理由：四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形． 4．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形． （1）根据“型三角形”的定义即可得出需要作以为直角边等腰直角三角形即可； （2）根据是“型三角形”，得出，设，则，，根据，证明，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，即可证明． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求； 【规范解答】（1）根据“型三角形”的定义即可得出，作以为直角边的“型三角形”即过点作的垂线，且等于，即以为直角边等腰直角三角形，如图：    （2）∵是“型三角形”， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；    理由：∵是“型三角形”（为正整数），， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． 高频考点02：作角（尺规作图) 5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知：中，为边上的一点． (1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长； (2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)相切；理由见解析 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键． （1）由题意易得，则有，根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （2）作交于点，作，射线交于点，则点即为所求； （3）作交的延长线于点，连接，证明四边形是等腰梯形，推出，由，推出，推出，然后问题可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①作交于点， ②作，射线交于点，则点即为所求； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴; （3）解：直线与相切，理由如下： 作交的延长线于点，连接，如图， ， 四边形是等腰梯形． ． 的面积等于， ， ， 是的半径， 直线与相切． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【思路点拨】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示， ∴； 点O即为所求 （2）解：如图所示， 连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 【考点评析】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 7．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【思路点拨】方法：作的角平分线，在角平分线取一点，过该点作其中一边的垂线段，夹角为，过点画一条射线，作，的另一边与相交于点，过点作的垂线，与点的射线相交于点，同理作，交点为点，连接，可知，即可得，，即有，故点即为所求； 方法二：作的角平分线，在角平分线取一点，分别过点作角两边的垂直段，在上作，分别过点作的垂线，相交于点，由四边形内角和易得，即点即为所求； 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的画法，作一个角等于已知角，掌握切线的性质和角平分线的画法是解题的关键． 【规范解答】解：方法一：如图，点即为所求； 方法二：如图，点即为所求． 8．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：    (1)如图1，在上求作点D，使； (2)如图2，若点D在边上，在上求作点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）作的垂直平分线与的交点即为所求； （2）如图：由题意得，只要作即可，由第（1）问得，，只要作即可． 【规范解答】（1）解：如图：    作的垂直平分线与交于D点， ， 与高相同， ． 如图1：点D即为所求； （2）如图：    由题意得，只要作即可， 作的垂直平分线交于点， 由第（1）问得，， 故只要作即可， 连接、，要使得，只要作， 根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等， 只要作， 根据“同位角相等，两直线平行”，作，交于点， 如图2：点E即为所求． 【考点评析】本题考查了复杂作图，要求掌握三角形中线的意义及三角形的面积公式，会作线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，其中平行线之间距离性质以及转化思想的运用是解题的关键． 高频考点03：尺规作一个角等于已知角 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，为的直径，点为外一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，当点满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握平行四边形的判定方法． （1）在上方作等于的邻补角即可； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可． 【规范解答】（1）解：（1）如图，射线即为所求； （2）当时，四边形是平行四边形． 理由：，， 四边形是平行四边形． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，已知点P为内一点． (1)如图①，作一条过点P的直线，分别交，于E，F，使得； (2)如图②，在上找一点Q，使得Q到的距离等于的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】（1）①作的角平分线，②过点P做，垂足为G，交，于E，F，直线即为求作的直线； （2）①连接，在上任取一点D，作，垂足为E；②以D为圆心，以为半径作圆，交于点F；③连接，作，交于点Q，点Q即为所求作的点K． 【规范解答】（1）解：如图1，直线即为求作的直线： ； 做法：（1）作的角平分线， （2）过点P做，垂足为G，交，于E，F； ∴直线即为求作的直线； 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，点Q即为所求做的点： ； 做法：（1）连接，在上任取一点D，作，垂足为E； （2）以D为圆心，以为半径作圆，交于点F； （2）连接，作，交于点Q，点Q即为所求作的点； 证明：如图3，作于点K． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即Q到的距离等于的长． 【考点评析】本题为尺规作图问题，考查了尺规作图-做已知角的平分线、做一个角等于已知角、过一点作已知直线的垂线，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大．熟知尺规作图基本知识，并灵活应用全等三角形、相似三角形的性质与判定是解题关键． 11．（2021·江苏盐城·二模）如图，中，点为的中点． （1）过点作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．） （2）在线段上任意找一点（不与、重合），连接并延长，交于点连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）作∠ABP=∠A，根据“内错角相等，两直线平行”即可得到结论； （2）先根据ASA证明≌得，再根据平行四边形判定定理进行判断即可． 【规范解答】解（1）如图所示： （2）如图所示： ∵ ∴ ∵点为的中点 ∴ 在和中 ∴≌（ASA） ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 【考点评析】此题主要考查了平行线的判断，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，证明AE=BF是解答此题的关键． 12．（2019·吉林·一模）如图，∠CAD为△ABC的外角，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； ②以点A为圆心，以BM长为半径画弧，交AD于点P； ③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q； ④经过点Q画射线AE，若∠C＝50°，则∠EAC的大小是 度． 【答案】50 【思路点拨】由作图可知：∠DAE＝∠B，推出AE//BC，利用平行线的性质即可解决问题． 【规范解答】解：由作图可知：∠DAE＝∠B， ∴AE//BC， ∴∠EAC＝∠C＝50°， 故答案为：50． 【考点评析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握知识点是解题关键． 高频考点04：过直线外一点作已知直线的平行线 13．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；② 【思路点拨】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【规范解答】（1）解：如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）解：如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力． 14．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线为一边，作角．作法：在射线上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图． 【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法） 【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见详解 【思路点拨】本题考查尺规作图—复杂作图； （1）在射线上取点E，以为直径作圆O，然后以E为圆心，长为半径作弧交圆O于点F，作射线，则即为所作； （2）过点A作线段的垂线并在的上方截取，过点B作线段的垂线并在的下方截取，连接交于点P，则点P 即为所作． 【规范解答】探究思考： 迁移应用： 15．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和线段m，利用直尺和圆规作一个直角三角形，分别满足下列条件（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)直角三角形的斜边等于m，且有一个内角等于； (2)直角三角形周长等于m，且有一个内角等于． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了尺规作图，作一角等于已知角，角平分线，线段的垂直平分线，作一线段等于已知线段，熟练掌握各种作图方法是解题的关键． （1）作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，以点B为角的顶点，作，延长交于点A，连接，则即为所求； （2）作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，记的垂直平分线交于点F，以点F为圆心，为半径作，作的角平分线，以点D为角的顶点，作，延长交于点A，连接并作其垂直平分线交于点C，连接，则即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求： 作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，以点B为角的顶点，作，延长交于点A，连接，因为为直径，所以，故即为所求； （2）解：如图，即为所求： 作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，记的垂直平分线交于点F，以点F为圆心，为半径作，作的角平分线，以点D为角的顶点，作，延长交于点A，连接并作其垂直平分线交于点C，连接，则即为所求． ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设， 则， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故即为所求． 16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）． (1)求作，使得，周长等于线段l； (2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线等基本作图． （1）作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求； （2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求． 【规范解答】（1）解：作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图： 即为所求； 理由：由作图可知，，， 是的垂直平分线， ， ， ， 的周长等于线段， ， 满足条件； （2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图： 即为所求． 理由：由作图可知，， 到的距离等于， 同（1）可知的周长等于线段，， 满足条件． 高频考点05：作三角形（尺规作图） 17．（2019·吉林长春·二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【规范解答】解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 18．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【规范解答】（1）解：如下图：即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【考点评析】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 19．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查作图—基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．连接，，，设与交于点，由作图可知，即四边形为菱形，则可得，，，根据勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，，，设与交于点， 由作图可知，， 即四边形为菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， 即，两点之间的距离为， 故答案为：． 20．（2024·江苏扬州·一模）阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．      (1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） (2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且． ①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） ②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算） 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等； （1）作出的平分线交于，即可求解； （2）①连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，即可求解； ②由可判定，由全等三角形的性质得，，由可判定，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解； 掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图， 是所求作的点； （2）解：①如图， 是所求作的点； ②如图， 由图得：， ，， 由作图过程得： ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 故答案：． 高频考点06：作角平分线（尺规作图) 21．（2024·江苏淮安·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图 (1)如图1，中，D为边上一点，将点A沿经过点D的直线翻折，E在使得A的对应点A'恰好落在边上，作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，D为线段中点，点P在线段上，沿直线翻折后得到的，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查翻折变换，理解题意掌握作图技巧是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画圆，即可找到折痕； （2）根据题目要求以为圆弧化圆即可得到答案． 【规范解答】（1）解：以点为圆心，为半径画圆，交于点， 再以点为圆心，为半径画圆，两个圆弧的交点为点，即可画出图形； （2）解：以为圆心，长为半径画弧，与的交点即为，作，作的平分线交于点即为所求． 22．（2024·江苏盐城·三模）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出线段的中点； (2)作出线段的三等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图，掌握作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）作出线段的垂直平分线交于点C即可； （2）作出射线，在射线上分别截取，连接，再作出，交于点D即可． 【规范解答】（1）如图，点C即为所作， （2）如图，点D即为所作， 23．（2024·江苏无锡·二模）如图点为中边上的一点， (1)请利用无刻度直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） ①过点D作于点E； ②在上画出点，使得（标出所有符合条件的点）； (2)若为等边三角形且当满足（1）中条件的点有且只有一个时，则_________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【思路点拨】（1）①按尺规作图作垂线的方法作出图形即可； ②按尺规作图作线段垂直平分线的方法作出图形即可； （2）连接；设，由题意得，则，由切线长定理得，且，由正切函数建立等式，即可得a与x的关系，从而求得结果． 【规范解答】（1）解：①如图，于点E； ②作的垂直平分线，以垂直平分线与的交点为圆心，长为半径作圆，与交于两点，则有，点即为所求作； （2）解：如图，连接；设； 在等边中，，； ， ，； 由题意知，与相切，切点分别为E，P，则， ，， 是的角平分线， ； 在中，， 即， ， 即； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了尺规作图：作垂线与作圆，切线长定理，角平分线的判定定理，三角函数，等边三角形的性质，有一定的综合性． 24．（2024·江苏盐城·二模）如图，点是的边上的一定点． (1)如图1，直线是线段的垂直平分线且交射线于点，求证：． (2)在图2中，请用无刻度的直尺和圆规，在射线上作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识． （1）利用三角形外角的性质和等腰三角形的性质证明即可； （2）作线段的垂直平分线交于点J，连接，在的上方作，射线交于点F，点F即为所求． 【规范解答】（1）∵直线是线段的垂直平分线且交射线于点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； （2）如图，点F即为所求． 由（1）可知，， 有作图可知， ． 高频考点07：作垂线（尺规作图) 25．（2024·江苏无锡·二模）尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， (1)连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． (2)在（1）的条件下，求此时的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键． （1）以为圆心，的长为半径化弧，交于点，作的中垂线交于点，即为所求； （2）过点作，设，勾股定理求出的值，利用，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】（1）如图，即为所求； 由作图可知：，， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴，即：， 故点即为所求； （2）过点作，设，则：， 由（1）知， 由勾股定理，得：，即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 26．（2021·江苏·一模）已知在四边形ABCD中，是边上一点，且．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形是矩形； （2）如图②，在四边形中，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）以为直径作圆，与线段的交点即为所求的点． （2）以为边向下作等边三角形，作这个等边三角形的外接圆，圆与线段的交点即为所求． 【规范解答】解：（1）如图①中，点即为所求； （2）如图②中，点即为所求． 【考点评析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27．（2020·江苏南京·二模）【概念认识】 若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】 （1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC． 求证：点P为⊙O的径等点．    （2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求的值． 【问题解决】 （3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）见解析；（2）；（3）共有4个，见解析 【思路点拨】（1）连接BC，根据直径的性质及垂直平分线的性质即可得到AB＝PB，故可求解； （2）分AB＝AP时和PA＝PB时分别作图，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分AP=AB和AP=BP分别作图即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图①，连接BC，    ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝PC， ∴BC垂直平分AP， ∴AB＝PB，即△APB为等腰三角形， ∴点P为⊙O的径等点． （2）①如图②-1，    当AB＝AP时，若PC＝2AC，则， ∴； ②如图②-2，    当PA＝PB时，∵O点是AB中点， ∴OP⊥AB， ∴∠ACB=∠AOP， 又∠A=∠A ∴△ABC∽△APO， ∴， ∵2AC＝PC，设AC＝k，则PC＝2k， ∴， AB＝k， ∴= （3）如图③④，满足条件的点P共有4个．    【考点评析】本题考查作图−复杂作图，圆的基本性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 28．（19-20八年级上·江苏常州·期末）作图与探究: 如图，△ABC中，AB=AC． (1)作图:①画线段BC的垂直平分线l，设l与BC边交于点H; ②在射线HA上画点D,使AD=AB,连接BD．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：∠D与∠C有怎样的数量关系？ 并证明你的结论. 【答案】（1）①画垂直平分线见解析；②画点D见解析；（2）∠C+2∠D=90°. 证明见解析. 【思路点拨】（1）①根据以点B和点C为圆心，以大于BC的一半为半径画弧，过两弧的交点作直线l，则l即为所求；②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线HA于点D，点D为所求； （2）由AB=AC=AD，则∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，利用余角的性质，即可得到2∠D+∠C=90°. 【规范解答】解：（1）①如图所示，直线l为所求； ②如图所示，点D为所求； （2）由（1）可知，直线l为BC的垂直平分线， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠D， ∵∠AHB=90°， ∴∠D+∠ABD+∠ABC=90°， ∴2∠D+∠C=90°. 【考点评析】本题考查了基本作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质定理，以及等边对等角性质，解题的关键是正确作出图形，利用所学的性质定理进行证明. 高频考点08：作等腰三角形(尺规作图) 29．（2024·江苏常州·模拟预测）在中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； （2）当圆心在上时，连接，则，由切线的性质可得，根据勾股定理得到，证明得到，求出，即可求解； （3）作于点，连接、、，根据等面积法求出，由可知是的直径，得到，当，且的值最小时，则的值最小，再根据即可求解． 【规范解答】（1）解：作法：连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； 证明：连接， 点在的垂直平分线上， ， 经过点， 是的半径，且， 与相切于点， 就是所求的图形； （2）如图2，当圆心在上时，连接，则， 与相切于点， ， ， ∠ACB＝90°，AC＝3，， ， ， ， ， ＝， ， 解得:， 的半径长为， 故答案为：． （3）如图3，作于点，连接、、， ， ， 解得:， ， 是的直径， ， ， ， 当，且的值最小时，则的值最小， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了尺规作图，切线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 30．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（2）见解析；（3）见解析 【思路点拨】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得，即可得出结论； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，再根据四边形的内角和可得，即可得出结论； （2）证明，可得，即，再根据三角形面积公式及，即可得出结论； （3）作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D． 【规范解答】解：（1）（Ⅰ）∵， ∴， ∴； （Ⅱ）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D， 理由如下：∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点D、B在上， ∴． 【考点评析】本题考查尺规作图−垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 31．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若． (1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积等知识: (1）以点为圆心，长为半径画圆交于点，作直线交于点，连接，交于点，作直线，则直线为的切线； （2）证明，求出，根据阴影部分的面积的面积-扇形的面积计算即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知，是的切线， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， ，． 阴影部分的面积为． 32．（2023·江苏盐城·一模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 【答案】(1)三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (2)在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (3)见解析 【思路点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识： （1）先求出的值，即可求出的面积； （2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积； （3）分别以直径画圆，围成区域即为所求． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的面积为：， ∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为； （2）解：在中，，为边上的高， ∴，即垂直平分， ∴上任意一点到点B与点C的距离都相等， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 作的垂直平分线，交于点E，如图： 则上任一点到点A与点B的距离都相等，， ∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形， 在中，， ∴， ∴ ， ∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为． （3）觖：分别以为直径画圆，围成区域（实线所围区域）即为所求． 高频考点09：画圆（尺规作图） 33．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据定义可求得；在取E，使，可得，进而得出，从而，进一步得出结论； （2）可求得，设OH=FH=1，则设，则可求得，设，则，根据，得，求得，进一步得出结果； （3）可将的圆心角10等分即可． 【规范解答】（1）解：由黄金三角形尺规作图知，． 如图1，在上取点，使， 是的黄金分割点， ，即， 又 ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：；． （2）证明：在（1）的条件下， ． 如图2，过点作于点． ． 如图3，连结，过点作于点． 设，则 ． 设，则， 由，得， ， ∴五边形（所作图形）即为正五边形． （3）解：以点为顶点，依次作的圆心角（与（1）中相等），从而可以作出正五边形，如图4． 34．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【考点评析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 35．（2019·江苏无锡·中考真题）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： ①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F; ②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH        【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析. 【思路点拨】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求； (2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求； ②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求. 【规范解答】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；    (2)①如图所示，点F即为所求；      ②如图所示，AH即为所求.    【考点评析】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键. 36．（2017·江西景德镇·三模）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）在图1中，过点O作AC的平行线； （2）在图2中，过点E作AC的平行线．    【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析. 【思路点拨】（1）利用正六边形的特性作图即可； （2）结合等边三角形的性质以及正六边形的性质作图即可. 【规范解答】（1）如图所示（答案不唯一）：    （2）如图所示（答案不唯一）：    高频考点10：作正方形（尺规作图） 37．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 【答案】(1)等腰直角三角形；理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，网格作图． （1）由旋转的性质即可得到是等腰直角三角形； （2）取格点，连接，交于点，连接并延长交线段于点G，利用矩形的性质知点是的中点，，即． 【规范解答】（1）解：是等腰直角三角形； 理由：∵将线段绕点A顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，线段即为所求． ． 38．（2023·江苏盐城·一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．    （2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）    【答案】（1）理由见解析（2）图见解析 【思路点拨】（1）证明，即可得出结论； （2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求． 【规范解答】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求，如图：    【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，无刻度尺作图．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，以及对角线互相平分的四边形为平行四边形． 39．（2023·江苏盐城·三模）如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出边上的点，使得； (2)在图2中作出边上的点（不与点重合），连接，使得； (3)在图3中作出边上的点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键． （1）构造线段，且使，连接，交于点．利用相似三角形的性质即可证明点是符合条件的点； （2）取格点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取格点，连接，交网格线于点，连接，取格点，，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点是符合条件的点． 【规范解答】（1）解：如图所示，取，，连接，交于点E．    ， ， ， 点E就是所求作的符合条件的点； （2）解：如图所示，分别取格点、、，使得，，连接交于点，连接， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点， ， 点就是所求作的符合条件的点； （3）解：如图所示，取格点，连接，交网格线于点，连接，取格点，，    ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ． 40．（22-23九年级上·湖北荆州·期末）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图，①在线段上找一点，使； ②过点作直线将四边形的面积二等分； (2)如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，请画出这个圆的圆心． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）①在上取点，使为等腰直角三角形即可． 连接，，相交于点，作直线即可． （2）设点下方圆所经过的格点为点，连接，，作线段，的垂直平分线，交点即为圆心． 【规范解答】（1）如图，点即为所求． 如图，直线即为所求． （2）如图，圆心即为所求． 【考点评析】本题考查作图应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理是解答本题的关键． 高频考点11：无刻度直尺作图 41．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点； (1)仅用直尺作出图一的中点； (2)仅用直尺作出图二的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（）根据平行线分线段成比例定理作图即可； （）根据三角形的重心及中线可进行求解； 本题考查了尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）如图，根据平行线分线段成比例定理 ∴点即为所求； （2）在格点上取一点C，连接，根据（1）所作方法取的中点H、G，连接，交于一点R，然后连接并延长，交于一点D，则点D即为所求，所作图形如图所示： 42．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图． (1)请在图①作出该圆的圆心O (2)请在图②优弧上确定一点P，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查网格作图，圆周角定理推论，的圆周角所对弦是直径确定圆心； （1）取格点N，连接并延长与圆交于点M，得到，连接得到为直径，与格线的交点的交点即为圆心； （2）取圆与格线交点Q及格点R，连接并延长与圆交点即为所求点P，由得出． 【规范解答】（1）解：如图①所示的点O即为所求； （2）解：如图②所示的点P即为所求． 43．（2023·江苏泰州·一模）（1）如图1，过矩形对角线的中点O作直线分别交、于E、F，试说明四边形的面积是矩形面积的一半； （2）如图2，矩形中，，，请用无刻度的直尺和圆规在AD、BC上分别确定点E、F，使得平分矩形的面积，且．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】本题考查了作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据矩形的性质，证明，得到，进而表示出，即可说明结论； （2）连接、交于点，以为圆心长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，即为所求作． 【规范解答】解：（1）四边形时矩形，O为对角线的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形的面积是矩形面积的一半； （2）连接、交于点， 在矩形中，，， ，， 以为圆心长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， 则， ， ， 由（1）可知，过矩形对角线中点的线段平分矩形面积， 则如下图即为所求作； 44．（2023·江苏盐城·二模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．    (1)如图1，点P在线段上，请在图1中完成以下作图：画菱形，在线段上画出一点E，使BE=BP： (2)在图2中完成以下作图：在线段上画出一点F，使tan∠ ； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）将点A向右平移5个格得到点D，连接即得菱形，连接、交于点Q，作射线交于点E，点E即为所作； （2）连接交格点于点M，连接交格点于点N，作射线交于点，则，即点F即为所作． 【规范解答】（1）如图所示，四边形即为所作的菱形，点E即为所作；    （2）如图，点F即为所作．      【考点评析】题考查作图﹣应用与设计，涉及菱形的判定与性质、全等三角形、等腰三角形的性质解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识找到关键信息作图． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 尺规作图 （11个高频考点 共44题） 高频考点01：作线段（尺规作图) 1 高频考点02：作角（尺规作图) 3 高频考点03：尺规作一个角等于已知角 5 高频考点04：过直线外一点作已知直线的平行线 7 高频考点05：作三角形（尺规作图） 10 高频考点06：作角平分线（尺规作图) 11 高频考点07：作垂线（尺规作图) 13 高频考点08：作等腰三角形(尺规作图) 15 高频考点09：画圆（尺规作图） 18 高频考点10：作正方形（尺规作图） 20 高频考点11：无刻度直尺作图 22 高频考点01：作线段（尺规作图) 1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写做法）    (1)如图1，在边上作点P，使； (2)如图2，在边上作点P，使． 2．（2024·江苏盐城·三模）如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：． 3．（2024·江苏盐城·二模）如图，点是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图：在的延长线上找一点，使平分；（不直接作的角平分线，保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 4．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 高频考点02：作角（尺规作图) 5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知：中，为边上的一点． (1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长； (2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 7．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和，求作点，使得分别是的两条切线，且．（要求：用两种方法作图．保留作图痕迹） 8．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：    (1)如图1，在上求作点D，使； (2)如图2，若点D在边上，在上求作点E，使． 高频考点03：尺规作一个角等于已知角 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，为的直径，点为外一点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，当点满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，已知点P为内一点． (1)如图①，作一条过点P的直线，分别交，于E，F，使得； (2)如图②，在上找一点Q，使得Q到的距离等于的长． 11．（2021·江苏盐城·二模）如图，中，点为的中点． （1）过点作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．） （2）在线段上任意找一点（不与、重合），连接并延长，交于点连接，．求证：四边形是平行四边形． 12．（2019·吉林·一模）如图，∠CAD为△ABC的外角，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； ②以点A为圆心，以BM长为半径画弧，交AD于点P； ③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q； ④经过点Q画射线AE，若∠C＝50°，则∠EAC的大小是 度． 高频考点04：过直线外一点作已知直线的平行线 13．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 14．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线为一边，作角．作法：在射线上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图． 【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法） 【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和线段m，利用直尺和圆规作一个直角三角形，分别满足下列条件（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)直角三角形的斜边等于m，且有一个内角等于； (2)直角三角形周长等于m，且有一个内角等于． 16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）． (1)求作，使得，周长等于线段l； (2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l． 高频考点05：作三角形（尺规作图） 17．（2019·吉林长春·二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 19．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为 ． 20．（2024·江苏扬州·一模）阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．      (1)如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点O，使得过点C且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） (2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且． ①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） ②若此网格中每个小正方形边长为1，则的半径为________．（可利用图2备用图计算） 高频考点06：作角平分线（尺规作图) 21．（2024·江苏淮安·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图 (1)如图1，中，D为边上一点，将点A沿经过点D的直线翻折，E在使得A的对应点A'恰好落在边上，作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，D为线段中点，点P在线段上，沿直线翻折后得到的，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹） 22．（2024·江苏盐城·三模）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出线段的中点； (2)作出线段的三等分点． 23．（2024·江苏无锡·二模）如图点为中边上的一点， (1)请利用无刻度直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） ①过点D作于点E； ②在上画出点，使得（标出所有符合条件的点）； (2) 若为等边三角形且当满足（1）中条件的点有且只有一个时，则_________． 24．（2024·江苏盐城·二模）如图，点是的边上的一定点． (1)如图1，直线是线段的垂直平分线且交射线于点，求证：． (2)在图2中，请用无刻度的直尺和圆规，在射线上作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 高频考点07：作垂线（尺规作图) 25．（2024·江苏无锡·二模）尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， (1)连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． (2)在（1）的条件下，求此时的面积． 26．（2021·江苏·一模）已知在四边形ABCD中，是边上一点，且．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，四边形是矩形； （2）如图②，在四边形中，． 27．（2020·江苏南京·二模）【概念认识】 若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】 （1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC． 求证：点P为⊙O的径等点．    （2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求的值． 【问题解决】 （3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）    28．（19-20八年级上·江苏常州·期末）作图与探究: 如图，△ABC中，AB=AC． (1)作图:①画线段BC的垂直平分线l，设l与BC边交于点H; ②在射线HA上画点D,使AD=AB,连接BD．（不写作法，保留作图痕迹） (3) 探究：∠D与∠C有怎样的数量关系？ 并证明你的结论. 高频考点08：作等腰三角形(尺规作图) 29．（2024·江苏常州·模拟预测）在中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 30．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 31．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若． (1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 32．（2023·江苏盐城·一模）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 高频考点09：画圆（尺规作图） 33．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形． (1)如图1，即为黄金三角形尺规作图．已知，则_______，_______． (2)如图2，即为正五边形尺规作图．求证：五边形（所作图形）即为正五边形． (3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形．简要叙述作图方法，无需作图． 34．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 35．（2019·江苏无锡·中考真题）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹. （1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： ①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F; ②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH        36．（2017·江西景德镇·三模）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图． （1）在图1中，过点O作AC的平行线； （2）在图2中，过点E作AC的平行线．    高频考点10：作正方形（尺规作图） 37．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1) 连接，请判断的形状，并说明理由； (2) 请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 38．（2023·江苏盐城·一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．    （2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）    39．（2023·江苏盐城·三模）如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出边上的点，使得； (2)在图2中作出边上的点（不与点重合），连接，使得； (3)在图3中作出边上的点，使得． 40．（22-23九年级上·湖北荆州·期末）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图，①在线段上找一点，使； ②过点作直线将四边形的面积二等分； (3) 如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，请画出这个圆的圆心． 高频考点11：无刻度直尺作图 41．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点； (1)仅用直尺作出图一的中点； (2)仅用直尺作出图二的中点． 42．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图． (1)请在图①作出该圆的圆心O (2)请在图②优弧上确定一点P，使 43．（2023·江苏泰州·一模）（1）如图1，过矩形对角线的中点O作直线分别交、于E、F，试说明四边形的面积是矩形面积的一半； （2）如图2，矩形中，，，请用无刻度的直尺和圆规在AD、BC上分别确定点E、F，使得平分矩形的面积，且．（保留作图痕迹，不要求写作法） 44．（2023·江苏盐城·二模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点是格点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．    (1)如图1，点P在线段上，请在图1中完成以下作图：画菱形，在线段上画出一点E，使BE=BP： (2)在图2中完成以下作图：在线段上画出一点F，使tan∠ ； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$