专题11 与圆相关定理与解题方法（14个高频考点 共42题）-2025年中考数学高频考点专题专项训练（江苏专用）

专题11 与圆相关定理与解题方法 （14个高频考点 共42题） 高频考点01：四点共圆 1 高频考点02：圆周角定理 2 高频考点03：垂径定理 4 高频考点04：切割线定理 4 高频考点05：切线长定理 6 高频考点06：弦切角定理 6 高频考点07：相交弦定理 7 高频考点08：相交圆问题 9 高频考点09：圆中的最值问题 10 高频考点10：定弦定角构造辅助圆 11 高频考点11：两垂一圆构造直角三角形模型 12 高频考点12：圆中的转化思想 13 高频考点13：圆中的分类讨论思想 15 高频考点14：圆中的新定义问题 15 高频考点01：四点共圆 1．（2021•江都区校级模拟）四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是 　　． 2．（2017•鼓楼区二模）如图，顺次连接菱形的各边中点、、、．若，，则四边形的面积是 　　． 3．（2022•宜兴市校级二模）如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件是　　 A． B． C．且 D．不确定 高频考点02：圆周角定理 4．（2023•姑苏区校级二模）如图，已知等腰中，，，点、分别为、边上任意点，以为直径作圆正好经过点，与交于点，则面积最大值为 　　． 5．（2022•靖江市二模）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 　　． 6．（2023•淮安区一模）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则（依据 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据 点，，，四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据　　；依据　　． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为 　　． 拓展探究： （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 高频考点03：垂径定理 7．（2023•金坛区一模）如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 8．（2024•崇川区三模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在弧上，以、为邻边作矩形，边交于点，连接，并延长交于点，若，则的值为 　　． 9．（2024•邗江区二模）如图，的顶点，在上，点在内，在同侧），，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 高频考点04：切割线定理 10．（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为 　　寸． 11．（2024•鼓楼区校级二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径的长度为 　　寸． 12．（2024•新沂市校级模拟）如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 高频考点05：切线长定理 13．（2024•宝应县一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的关联直线．例如，点的关联直线为． （1）已知点，若与点的关联直线相切，求的半径； （2）已知点，点，点为直线上的动点．求点到点的关联直线的距离的最大值． 14．（2024•鼓楼区校级一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，． （1）试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，，求图中阴影部分的面积． 15．（2012•通州区校级模拟）如图：、为的两条割线，若，，则的长为　　 A．10 B．7 C． D．3 高频考点06：弦切角定理 16．（2024•东台市校级模拟）如图，，点、分别在射线、上，，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹； （2）将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　　； （3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 17．（2024•建邺区校级二模）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为 　　． 18．（2024•徐州模拟）如图，在中，，，点在上，以为圆心，长为半径的半圆分别交，，于点，，，且是的中点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留． 高频考点07：相交弦定理 19．（2024•梁溪区校级模拟）如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为　　 A． B．6 C． D．5 20．（2022•玄武区二模）如图，在中，，是的外接圆，是的切线，为切点，且，连接，与交于点． （1）求证； （2）若，，求的半径． 21．（2023•东台市一模）【问题提出】如图1，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分． 【问题联思】如图2，已知线段，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以为底边，底角为的等腰三角形，并写出与的数量关系； 【问题再现】如图3，已知扇形，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深） 高频考点08：相交圆问题 22．（2024•邗江区校级模拟）如图，在中，，是的外接圆，点在上且，连接交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点是的内心，，求的长． 23．（2022•徐州一模）如图， 已知是的直径， 弦于，，，求的长 ． 24．（2024•工业园区校级二模）如图，正方形内接于，点为的中点，连接交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 高频考点09：圆中的最值问题 25．（2023•徐州）如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 　　． 26．（2023•邗江区校级四模）如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点．当点由点运动至点时，点运动路径长 　　． 27．（2024•扬州）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 　　． 高频考点10：定弦定角构造辅助圆 28．（2022•仪征市二模）如图，在锐角三角形中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值是 　　． 29．（2014•溧水县二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 30．（2023•梁溪区校级二模）如图，是的直径，，为的三等分点（更靠近点），点是上个动点，取弦的中点，则线段的最大值为　　 A．2 B． C． D． 高频考点11：两垂一圆构造直角三角形模型 31．（2023•广陵区二模）如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接，． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点的坐标是，求的面积； （3）当点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： ①求证：； ②若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 32．（2017•响水县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为经过点的直线，其图象与轴交于点、，且过点，其顶点为． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标； （2）在轴上找一点（点与点不重合），使得，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，求点的坐标． 33．（2020•徐州模拟）如图，已知点，，点在直线上，则使是直角三角形的点的个数为 　　． 高频考点12：圆中的转化思想 34．（2023•鼓楼区二模）如图，的半径为2，是的一条弦，以为边作一个等边，则长的取值范围是 　　． 35．（2020•锡山区校级模拟）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．图中所示的图尺可读出的值是　　 A． B． C． D． 36．（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和点，与轴交于点、（点在点的左边），且点与点关于坐标原点对称． （1）求该二次函数解析式，并判断点是否在此函数的图象上，并说明理由； （2）若点为此抛物线上一点，它关于轴，轴的对称点分别为，，问是否存在这样的点使得，恰好都在直线上？如存在，求出点的坐标，如不存在，请说明理由； （3）若第四象限有一动点，满足，过作轴于点，设坐标为，，的内心为，连接，直接写出的最小值． 高频考点13：圆中的分类讨论思想 37．（2024•武进区校级模拟）如图，边长为4的正方形中，顶点落在矩形的边上，，而矩形的顶点恰好落在边上．点是边上一动点（不与，重合），以为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为 　　． 38．（2023•宿迁模拟）在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 　　． 39．（2024•盐城一模）在半径为2的中，弦的长度2，点为上异于、两点的一个动点，则　　． 高频考点14：圆中的新定义问题 40．（2024•沭阳县校级二模）概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点，并与点的对边相切于点，则该就叫做的切接圆．根据上述定义解决下列问题： 理解应用 （1）已知，中，，，． ①如图2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径（直接写出答案）． 思维拓展 （2）如图4，中，．，把放在平面直角坐标系中，使点落在轴上，边落在轴上．试说明：以抛物线图象上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 41．（2022•盐城一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． （1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 　　． （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． （3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 42．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度　　． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 与圆相关定理与解题方法 （14个高频考点 共42题） 高频考点01：四点共圆 1 高频考点02：圆周角定理 3 高频考点03：垂径定理 9 高频考点04：切割线定理 12 高频考点05：切线长定理 16 高频考点06：弦切角定理 19 高频考点07：相交弦定理 23 高频考点08：相交圆问题 28 高频考点09：圆中的最值问题 33 高频考点10：定弦定角构造辅助圆 35 高频考点11：两垂一圆构造直角三角形模型 38 高频考点12：圆中的转化思想 46 高频考点13：圆中的分类讨论思想 51 高频考点14：圆中的新定义问题 56 高频考点01：四点共圆 1．（2021•江都区校级模拟）四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是 　菱形　． 【思路点拨】连接、，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可． 【规范解答】解：连接、， 、分别是、的中点， ． 同理，，， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形． 【考点评析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 2．（2017•鼓楼区二模）如图，顺次连接菱形的各边中点、、、．若，，则四边形的面积是 　　． 【思路点拨】根据菱形的性质、矩形的判定定理可以证得四边形是矩形．由三角形中位线定理和矩形的面积公式进行填空． 【规范解答】解：点、分别是菱形、边上的中点， 是的中位线， ，且． 同理，，且， ，且． 四边形是平行四边形． ，． 又四边形是菱形， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了中点四边形．解答该时，利用了三角形中位线定理，菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及矩形的判定与性质． 3．（2022•宜兴市校级二模）如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件是　　 A． B． C．且 D．不确定 【思路点拨】满足的条件应为：，把作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，平行且等于的一半，平行且等于的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到和平行且相等，所以为平行四边形，又等于的一半且，所以得到所证四边形的邻边与相等，所以四边形为菱形． 【规范解答】解：满足的条件应为：． 理由如下：，，，分别是边、、、的中点， 在中，为的中位线，所以且；同理且，同理可得， 则且， 四边形为平行四边形，又，所以， 四边形为菱形． 故选：． 【考点评析】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题． 高频考点02：圆周角定理 4．（2023•姑苏区校级二模）如图，已知等腰中，，，点、分别为、边上任意点，以为直径作圆正好经过点，与交于点，则面积最大值为 　　． 【思路点拨】连接，利用圆内接四边形的性质求得，证明，推出，设，则，，作交延长线于点，利用三角形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：连接， 由题意得，四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为圆的直径， ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， 作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， 当，即时，有最大值，最大值为． 【考点评析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质、含角得直角三角形的性质、三角函数以及二次函数的最值问题，属于综合题． 5．（2022•靖江市二模）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 　　． 【思路点拨】连接并延长，利用四点共圆的判定定理得到，，，四点共圆，再利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理得到，得到点的轨迹，最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【规范解答】解：连接并延长，如图， ， ，， ， ，，，四点共圆， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点的轨迹为的平分线上， 垂线段最短， 当时，取最小值， 的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆的判定 圆周角定理，点的轨迹，垂线段的性质，利用已知条件求得点的轨迹是解题的关键． 6．（2023•淮安区一模）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则（依据 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据 点，，，四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据　圆内接四边形对角互补　；依据　　． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为 　　． 拓展探究： （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可； （2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论； ②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【规范解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆， 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：， 点，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 故答案为：； （3）①证明：， ， 点与点关于的对称， ，， ，， ， ， ，，，四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， 点与点关于对称， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 高频考点03：垂径定理 7．（2023•金坛区一模）如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由三角形外角的性质求出，由圆周角定理得到． 【规范解答】解：，，， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是掌握圆周角定理，三角形外角的性质． 8．（2024•崇川区三模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在弧上，以、为邻边作矩形，边交于点，连接，并延长交于点，若，则的值为 　　． 【思路点拨】先证明为的垂直平分线，是的垂直平分线，为的垂直平分线，设，．再利用射影定理得，故，，再计算即可． 【规范解答】解：过作，延长线交于， 过作，延长线交于，连、． ， 为的垂直平分线． 矩形， 是的垂直平分线， ． ． ． ， ， 为的垂直平分线， 设， ． 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，综合运用这些知识是解题关键． 9．（2024•邗江区二模）如图，的顶点，在上，点在内，在同侧），，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】延长交于点，连接，先利用圆周角定理可得，然后利用三角形的外角性质可得，即可解答． 【规范解答】解：延长交于点，连接， ， ， 是的一个外角， ， ， 的度数可能是， 故选：． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 高频考点04：切割线定理 10．（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为 　13　寸． 【思路点拨】设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【规范解答】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 的半径为13寸， 故答案为：13． 【考点评析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 11．（2024•鼓楼区校级二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径的长度为 　26　寸． 【思路点拨】连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【规范解答】解：连接， 设的半径是寸， 直径， 寸， 寸， 寸， ， ， ， 直径的长度为寸． 故答案为：26． 【考点评析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程． 12．（2024•新沂市校级模拟）如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径的长． 【思路点拨】（1）连接，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，，交于点，如图， 由（1）知：， ， 四边形为平行四边形， ，． ， ． ． 设半径的长为，则， ， ， 解得：． 半径的长为． 【考点评析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 高频考点05：切线长定理 13．（2024•宝应县一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点的关联直线．例如，点的关联直线为． （1）已知点，若与点的关联直线相切，求的半径； （2）已知点，点，点为直线上的动点．求点到点的关联直线的距离的最大值． 【思路点拨】（1）由点可求关联直线，由直线与圆相切可求出圆的半径； （2）直线过点，可求关联直线，由点在直线上，得到点的关联直线，从而求出点到点的关联直线的距离的最大值． 【规范解答】解：（1）点， 点的关联直线是， 直线 与轴的交点，与轴的交点 ，， ， 与点的关联直线相切， 的半径为， （2）直线过点，， 直线解析式为 点在直线上， 设点坐标为． 点的关联直线为． 直线过定点，则 点到直线的距离， ，点到点的关联直线的距离的最大值为． 故答案是：（1）；（2）． 【考点评析】本题主要考查的一次函数解析式的确立和圆的相切知识点的考核，掌握最大距离的思路是关键． 14．（2024•鼓楼区校级一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，． （1）试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）设，则，根据三角形内角和可得，进而可求，可得结论； （2）利用计算即可． 【规范解答】解：（1）是的切线，理由： 证明：设，则， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、扇形面积等问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 15．（2012•通州区校级模拟）如图：、为的两条割线，若，，则的长为　　 A．10 B．7 C． D．3 【思路点拨】根据割线定理得，从而可求得的长，进而可得到的长． 【规范解答】解：，，， ， ． 故选：． 【考点评析】考查了割线定理的运用． 高频考点06：弦切角定理 16．（2024•东台市校级模拟）如图，，点、分别在射线、上，，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹； （2）将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 　　； （3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 【思路点拨】（1）过、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作即可； （2）首先证得为等边三角形，进而得到扇形的面积为，，然后利用解答即可； （3）先证明为等边三角形得到，，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧与线段、围成的封闭图形的面积进行计算． 【规范解答】解：（1）作法：①过、分别作、的垂线，它们相交于， ②以点为圆心，为半径作， 则为所作； （2）， 为等边三角形， 则扇形的面积为：， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （3）， 为等边三角形， ，， 平分， ， ， 劣弧与线段、围成的封闭图形的面积 ． 【考点评析】本题考查了切线的判定与性质，展开图折叠成几何体，圆周角定理，扇形面积的计算，圆锥的计算，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 17．（2024•建邺区校级二模）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，则的度数为 　　． 【思路点拨】连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数． 【规范解答】解：如图，连接， 切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 18．（2024•徐州模拟）如图，在中，，，点在上，以为圆心，长为半径的半圆分别交，，于点，，，且是的中点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留． 【思路点拨】（1）连接，，证明，即可证得结论成立； （2）设，则，从而可表示出、，另一方面，由此建立方程求出的值，利用即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，，如图． ，， ， ， ， ， 是的中点， ． ． ． 是半径， 是的切线． （2）解：，， 是等腰直角三角形． 设，则， ． ， ． 解得． ． 【考点评析】本题考查了切线的判定，不规则图形的面积，勾股定理及等腰直角三角形的性质，掌握切线的判定和性质是关键． 高频考点07：相交弦定理 19．（2024•梁溪区校级模拟）如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为　　 A． B．6 C． D．5 【思路点拨】由弦切角定理，相似三角形的判定和性质可以解决问题． 【规范解答】解：连接，，作于，于， ， ，， ， 切于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查弦切角定理，相似三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造相似三角形， 20．（2022•玄武区二模）如图，在中，，是的外接圆，是的切线，为切点，且，连接，与交于点． （1）求证； （2）若，，求的半径． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用弦切角定理可得，从而可得，然后证明，利用全等三角形的性质即可解答； （2）连接，，，连接并延长交于点，利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而证明，利用相似三角形的性质可求出的长，再利用线段垂直平分线的逆定理可得是的垂直平分线，从而在中，利用勾股定理求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【规范解答】（1）证明：， ， 是的切线，为切点， ， ， ，， ， ； （2）连接，，，连接并延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ，， 是的垂直平分线， ，， ， 设的半径为， 在中，， ， ， 的半径为． 【考点评析】本题考查了切线的性质，弦切角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（2023•东台市一模）【问题提出】如图1，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分． 【问题联思】如图2，已知线段，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以为底边，底角为的等腰三角形，并写出与的数量关系； 【问题再现】如图3，已知扇形，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深） 【思路点拨】问题联思如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求； 问题再现分别作出半径为的弧，即可求解． 【规范解答】解：问题联思如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求； ； 问题再现同上方法作以为底边，底角为的等腰三角形，延长交于点，则， 则，设，则， 以为圆心为半径，作弧，则， 连接，则， 以为圆心为半径，作弧，则， 设， 扇形的面积为， 扇形的面积为， 扇形的面积为， 弧，，即为所求． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，作等腰三角形，垂直平分线的性质，作垂线，扇形面积公式，熟练掌握基本作图以及扇形面积公式是解题的关键． 高频考点08：相交圆问题 22．（2024•邗江区校级模拟）如图，在中，，是的外接圆，点在上且，连接交于点，延长至点，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点是的内心，，求的长． 【思路点拨】（1）连接，由知，结合得，，据此可知，从而得，从而得证； （2）证得，据此知，连接，得，，由点为内心知，结合得，从而得出． 【规范解答】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 如图2，连接， ，， 点为内心， ， 又， ， 即， ． 【考点评析】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 23．（2010•徐州一模）如图， 已知是的直径， 弦于，，，求的长 ． 【思路点拨】根据垂径定理可知；根据相交弦定理可得． 解方程即可 ． 【规范解答】解： 根据垂径定理可知， 根据相交弦定理可得： 解方程得：． 【考点评析】本题主要考查了垂径定理和相交弦定理 ． 24．（2024•工业园区校级二模）如图，正方形内接于，点为的中点，连接交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 【思路点拨】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接，利用平行线分线段成比例定理求得；利用相交弦定理求即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ． ． ， ， ， ； （2）解：连接，如图， ，， ． ． 点为的中点， ， 四边形是正方形， ，，， ，． ． ， ， ； 点为的中点， ， ． ， ． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键． 高频考点09：圆中的最值问题 25．（2023•徐州）如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 　　． 【思路点拨】由折叠性质可知，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【规范解答】解：，， ， 由折叠的性质可知， ， 当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为， 故答案为． 【考点评析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键． 26．（2023•邗江区校级四模）如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点．当点由点运动至点时，点运动路径长 　　． 【思路点拨】点从出发进行的往复运动，只要求出的最大值即可，，所以想到作以为直径的圆，当圆与相切时，最大． 【规范解答】解：以为直径的圆与交于两点，说明点进行的往复运动，当圆与相切时，最大，此时，连接，则， ，，， ，设圆的半径为， 在中，， ， ， 点进行的往复运动， 路径长为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了隐圆、直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是搞清什么时候最大． 27．（2024•扬州）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 　　． 【思路点拨】由题易得四边形是平行四边形，从而得到是定长，又由，得出直角对直角的隐圆模型，再根据最大张角问题（相切时）求解即可． 【规范解答】解：， 四边形是平行四边形， ， 为定点，且， 为定值， ， ， 点在以为直径的圆上运动（如图，为圆心）， 此时， 当与相切时最大， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键，其中识别出隐圆模型至关重要． 高频考点10：定弦定角构造辅助圆 28．（2022•仪征市二模）如图，在锐角三角形中，，，于点，于点，连接，则面积的最大值是 　　． 【思路点拨】画出的外接圆，连接，利用定角对定边可知点在优弧上运动，当时，△的面积最大，求出的最大面积，再利用三角函数求出的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案． 【规范解答】解：画出的外接圆，连接， ，， 点在优弧上运动， 当时，△的面积最大， ， ， ，， ，， 最大为， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，利用定边对定角确定隐圆是解题的关键． 29．（2014•溧水县二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】分别以、为圆心，以长为半径作圆，与轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可． 【规范解答】解：如图，满足条件的点的个数为2． 故选． 【考点评析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 30．（2023•梁溪区校级二模）如图，是的直径，，为的三等分点（更靠近点），点是上个动点，取弦的中点，则线段的最大值为　　 A．2 B． C． D． 【思路点拨】如图，连接，，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接，， ， ， ， 点的运动轨迹为以为直径的，连接，， 当点在的延长线上时，的值最大， 为的三等分点， ， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， ， ， 的最大值为， 故选：． 【考点评析】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 高频考点11：两垂一圆构造直角三角形模型 31．（2023•广陵区二模）如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点在该图象上，交其对称轴于点，点、关于点对称，连接，． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点的坐标是，求的面积； （3）当点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： ①求证：； ②若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【思路点拨】（1）根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再根据二次函数图象经过原点，求出的值，即可得出二次函数的关系式； （2）设直线的解析式为，将点代入，求出直线的解析式，再把代入，求出的坐标，根据点、关于点对称，求出的坐标，从而得出的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案． （3）①设对称轴交轴于点，作于点，由在二次函数图象上，设，再由的坐标，表示出直线的解析式，进而表示出，及的坐标，设对称轴交轴于点，作于点，构建相似三角形：．由相似三角形的对应角相等证得结论； ②能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若为直角，由①得到，可得出三角形为等腰直角三角形，得到，将表示出的及代入，得到关于的方程，求出方程的解得到的值为0或，进而得到此时与重合，不合题意，故不能为直角；若为直角，利用勾股定理得到，由的坐标，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，代入，得到关于的方程，求出方程的解得到的值为或0，然后判断是否为直角；若为直角，则有，由相似得比例，将各自的值代入得到关于的方程，求出方程的解得到的值为4，此时与重合，故不能为直角，综上，点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，不能为直角三角形． 【规范解答】（1）解：设二次函数的表达式为， 把点代入表达式，解得． 二次函数的表达式为， 即； （2）解：设直线为， 将代入，解得， ． 当时，． ． 点、关于点对称， ． ． ； （3）①证明：设点的坐标为， 其中， 设直线为， 将代入，解得． ． 当时，． ． ． 设对称轴交轴于点，作于点， 则，． ，，， ． 则，． ． 又， ． ． ②能为直角三角形，理由如下： 解：分三种情况考虑： 若为直角，由①得：， 为等腰直角三角形， ，即， 整理得：，即， 解得：， 此时点与点重合，故不存在点使为直角三角形； 若为直角，根据勾股定理得：， ，，， ， 整理得：， 解得：或或（舍去）， 当时，点与原点重合，故不能为直角， 当，即，时，为第四象限点，成立，故能为直角； 若为直角，可得，且， ， 又，且， ， ， ，即， 整理得：， 解得：， 此时与重合，故不能为直角， 综上，点在对称轴左侧的二次函数图象上运动时，能为直角三角形，当，即时，为第四象限的点成立． 【考点评析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（3）中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立． 32．（2017•响水县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为经过点的直线，其图象与轴交于点、，且过点，其顶点为． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标； （2）在轴上找一点（点与点不重合），使得，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，求点的坐标． 【思路点拨】（1）根据对称轴的定义求得，把点的坐标代入求得；将一般式方程转化为顶点式方程即可得到点的坐标； （2）设，由勾股定理分别表示，，的长，由于，在中，由勾股定理列方程求的值即可； （3）作轴，垂足为点，由勾股定理求出，又，可证为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形为正方形，得出，利用线段相等关系求点坐标． 【规范解答】解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴，则，． 又二次过点， ，． 即二次函数解析式为： 由，得 顶点坐标为：； （2）（2）解法一：设 由题意，得，，， ，，即 解得，（不合题意，舍去）． ； 解法二： 如图，作轴，垂足为点， 则由题意，得，（1分） 由，得， 由，得， 又， ， 设， 则， 解得，（不合题意，舍去）， ； （3）解法一： 如图，作轴，垂足为点，易得，， 四边形为正方形． 由，得，由，得， ，又， ， ，． ； 解法二： 设， 则，， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【考点评析】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求二次函数解析式，由解析式求顶点坐标，利用勾股定理列方程或利用三角形相似，得出比例式，求出相关点的坐标． 33．（2020•徐州模拟）如图，已知点，，点在直线上，则使是直角三角形的点的个数为 　4　． 【思路点拨】（方法一）设点的坐标为，利用两点间的距离公式找出，，的值，分、及三种情况找出的值（或利用根的判别式确定解的个数）； （方法二）过点作轴，交直线于点，此时；过点作轴，交直线于点，此时；以为直径作圆，交直线于点，，此时． 【规范解答】解：（方法一）设点的坐标为， 则，，． ①当时，， 即， ； ②当时，， 即， ； ③当时，， 即， 整理，得：． △， 关于的方程有两个不等实根， 此时点有两个． 综上所述：使是直角三角形的点的个数为4． 故答案为：4． （方法二）过点作轴，交直线于点，此时； 过点作轴，交直线于点，此时； 以为直径作圆，交直线于点，，此时（此处需验证线段的中点到直线的距离小于； 综上所述：使是直角三角形的点的个数为4． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（方法一）利用勾股定理，找出关于的方程；（方法二）利用数形结合，找出点的位置． 高频考点12：圆中的转化思想 34．（2023•鼓楼区二模）如图，的半径为2，是的一条弦，以为边作一个等边，则长的取值范围是 　　． 【思路点拨】连接下方作等边三角形后，连接，，利用三角形三边之间的关系求得结论． 【规范解答】解： 为弦、是等边三角形， 当是等边角形，且恰好在圆的内部，与重合，此时最小为0， 当在圆的外部，如图： 连接：、、， 在下方作等边三角形， 则，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 最大是4，， ， 故答案为：， 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形三边之间的关系，读懂题意，运用相关知识是解决问题的关键． 35．（2020•锡山区校级模拟）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．图中所示的图尺可读出的值是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如图，连接．只要证明，可得． 【规范解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作，连接． 是直径， ， ，， ， 由刻度尺可知，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查圆周角定理，旋转的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目． 36．（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和点，与轴交于点、（点在点的左边），且点与点关于坐标原点对称． （1）求该二次函数解析式，并判断点是否在此函数的图象上，并说明理由； （2）若点为此抛物线上一点，它关于轴，轴的对称点分别为，，问是否存在这样的点使得，恰好都在直线上？如存在，求出点的坐标，如不存在，请说明理由； （3）若第四象限有一动点，满足，过作轴于点，设坐标为，，的内心为，连接，直接写出的最小值． 【思路点拨】（1）用待定系数法直接求解即可，将点代入解析式验证即可； （2）先将的解析式求出来，然后将表示出来的点，坐标代入解析式求解； （3）先找出的外接圆，利用是角平分线证得全等，求出外接圆的半径，利用三角形三边关系求解即可． 【规范解答】解：（1）二次函数的图象过点和点， ， 解得， ， 点与点关于坐标原点对称， ， 把代入，得： ， 在此抛物线上； （2）设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 假设此抛物线上存在这样的点， 使得它关于轴，轴的对称点，恰好都在直线上， ，， ， 解得， 故所求点的坐标为或； （3）如图1，连接．，，作的外接圆，连接，，，，过点作轴于点， 轴， ， ， 的内心为， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外接圆， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值， 的最小值为． 【考点评析】本题考查了二次函数综合，待定系数法，几何变换对折，三角形内心，外接圆，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，充分利用三角形内心、合理作出辅助线是解题的关键． 高频考点13：圆中的分类讨论思想 37．（2024•武进区校级模拟）如图，边长为4的正方形中，顶点落在矩形的边上，，而矩形的顶点恰好落在边上．点是边上一动点（不与，重合），以为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为 　或2　． 【思路点拨】利用矩形，正方形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得线段，，，，的长，再利用利用分类讨论的方法分①当与矩形的边相切时，②当与矩形的边相切时讨论解答：利用直线与圆相切的定义，圆心到直线的距离等于半径，设，则，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求解． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，． 四边形为矩形， ，． ． ，， ． ， ． ， ， ，． ． ①当与矩形的边相切时，设与交于点， 过点作于点，如图， ， ． ， ， ． ， ． ． ， ，． 设， 与矩形的边相切， ． ，， ， ． ， 解得：． ②当与矩形的边相切时，如图， 过点作于点，延长，交于点，则，． 设， 与矩形的边相切， ． ， ， ， ． 解得：． ； ③过点作于点，如图， 可知，与矩形的边相离． 综上，以为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边相切时，的长为或2． 故答案为：或2． 【考点评析】本题主要考查了矩形，正方形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键． 38．（2023•宿迁模拟）在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 　或　． 【思路点拨】此题注意两种情况： （1）圆与相切时； （2）点在圆内部，点在圆上或圆外时． 根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解． 【规范解答】解：如图，， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 根据勾股定理求得． 分两种情况： （1）圆与相切时，即； （2）点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即． 或． 【考点评析】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系． 39．（2024•盐城一模）在半径为2的中，弦的长度2，点为上异于、两点的一个动点，则　30或150　． 【思路点拨】根据题意可得：，从而可得是等边三角形，进而可得，然后分两种情况：当点在优弧上时；当点在劣弧上时；最后分别进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图： 由题意得：， 是等边三角形， ， 分两种情况： 当点在优弧上时，； 当点在劣弧上时， 四边形是的内接四边形， ， ； 综上所述：或， 故答案为：30或150． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键． 高频考点14：圆中的新定义问题 40．（2024•沭阳县校级二模）概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点，并与点的对边相切于点，则该就叫做的切接圆．根据上述定义解决下列问题： 理解应用 （1）已知，中，，，． ①如图2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径（直接写出答案）． 思维拓展 （2）如图4，中，．，把放在平面直角坐标系中，使点落在轴上，边落在轴上．试说明：以抛物线图象上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【思路点拨】（1）①过点作于点，则，由此可得的长，根据“切接圆”的定义可得出结论； ②根据题意作出图形，过点作于点，可证明，根据“切接圆”的性质可知，，根据比例得出方程，求解即可得出结论； （2）根据题意作出图形，设点的横坐标为，可表达点的坐标，进而可表达及点到轴的距离，根据“切接圆”的定义可得出结论． 【规范解答】（1）解：①是，理由如下： ，， ，即圆的半径为， 如图2，过点作于点， ， ， ，即， ， ，即圆是的“切接圆”； ②在中，，，， ； 当点在上时， ， 点为切点，则； 当点在上时， 如图3，过点作于点， ， ， ， 根据“切接圆”的性质可设，， ， ， 解得； 圆的半径为； 综上，圆的半径为或4； （2）证明：根据题意作出图形，如图4所示， ，，， ， ，即； 设点的横坐标为， ， ，即， 过点作轴于点， ， ， 根据“切接圆”的定义可知，以抛物线图象上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【考点评析】本题是在圆背景下的新定义问题，主要考查相似三角形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征，切线的性质，两点间的距离公式等相关知识，理解“切接圆”的定义是解题关键． 41．（2022•盐城一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． （1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 　，　． （2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围． （3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 【思路点拨】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，满足条件． （2）如图中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，时，满足条件． （3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，的值，可得结论． 【规范解答】解：（1）如图，，， ，， 点不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， ， ， ， 点是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， ， 不是点关于点的锐角旋转点； ，，作轴于点， 则， ， ， 是点关于点的锐角旋转点； 综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，， 故答案为：，． （2）在轴上取点，当直线经过点时，可得， 当直线经过点时，则， 解得：， 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上， 过点作直线，垂足在第四象限时，如图， 则，， ， 当时，取得最小值， ， ， ． （3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分， 如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ，， ， ， ，即， 解得， 如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，， ， 解得， 观察图象可知，． 【考点评析】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点是点关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题． 42．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度　5　． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度． 【思路点拨】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，连接，并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果； （3）方法一：连接，，根据已知条件求出，，再根据相似三角形的性质列式计算即可； 【规范解答】（1）由垂等四边形的定义得， 又， ， ． （2）作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，如图， 连接，并相交于点， ．， ，， ，即， ，，， ． ． ，， 四边形是垂等四边形． （3）连接，，由（2）可得等腰， ， 作，易证得， 设，，可得方程， 解得或3，如图： 或， 作， ． ， ， 或， 或． 【考点评析】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$