第100天 搞定25年高考数学必备考点必备二级结论技巧（16大类）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第 1 页 第 100天-搞定 25年高考数学 必备考点必备二级结论技巧（16大类） 第 100 天寄语： 每天多记 1 个知识点，100 天后你将携带 100 个公式、定理、结论、技巧踏入考场！ 目录 必备考点必备二级结论技巧-第 99 天 集合（5类公式结论） ................................................................... 1 必备考点必备二级结论技巧-第 98 天 常用逻辑用语（3类公式结论） ................................................... 2 必备考点必备二级结论技巧-第 97 天 复数（9类公式结论） ................................................................... 3 必备考点必备二级结论技巧-第 96 天 平面向量（16 类公式结论） ......................................................... 4 必备考点必备二级结论技巧-第 94 天 不等式及基本不等式（8类公式结论） ....................................... 9 必备考点必备二级结论技巧-第 92 天 指对幂函数（6类公式结论） ..................................................... 10 必备考点必备二级结论技巧-第 90 天 分段函数（3类公式结论） ......................................................... 12 必备考点必备二级结论技巧-第 89 天 函数的基本性质（7类公式结论） ............................................. 13 必备考点必备二级结论技巧-第 86 天 切线问题（2类公式结论） ......................................................... 15 必备考点必备二级结论技巧-第 85/83 天 导数（16类公式结论） ......................................................... 16 必备考点必备二级结论技巧-第 80/77/74 天 三角函数、恒等变换与解三角形（31 类公式结论） ... 21 必备考点必备二级结论技巧-第 71/68/65/62 天 数列（17类公式结论） ............................................. 28 必备考点必备二级结论技巧-第 58/55/52/49 天 立体几何（25类公式结论） ..................................... 31 必备考点必备二级结论技巧-第 45/42/39/36/33 天 解析几何（52 类公式结论） ............................... 39 必备考点必备二级结论技巧-第 29/27/25/23 天 概率统计（32类公式结论） ..................................... 53 必备考点必备二级结论技巧-第 20 天 新定义（3类公式结论） ............................................................. 58 必备考点必备二级结论技巧-第 99 天 集合（5类公式结论） 1. 子集与真子集的个数 集合中有 n个元素，子集有 n2 个，真子集有 12 n 个，非空子集有 12 n 个，非空真子集有 22 n 个 第 2 页 2. 集合间的基本关系：子集、真子集、相等 3. 集合间的基本运算： 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合 A或 者属于集合 B的元素组 成的集合  AxxBA  ，或 Bx 集合的交集 所有属于集合 A且 属于集合 B的元素组成 的集合  AxxBA  ，且 Bx 集合的补集 全集U 中不属于集 合 A的所有元素组成的 集合 ∁U  UxxA  ，且 Ax 4. 德摩根公式      BCACBAC UUU   、      BCACBAC UUU   5. 集合中元素的个数        BAcardBcardAcardBAcard                  CBAcardCBcard CAcardBAcardCcardBcardAcardCBAcard     必备考点必备二级结论技巧-第98天 常用逻辑用语（3类公式结论） 1. 充分条件与必要条件 对于若 p则 q类型中， p为条件， q为结论，若 qp 充分性成立，若 pq 必要性成立 若 qp ， pq ，则 p是 q的充分必要条件（简称：充要条件） 若 qp ， pq ，则 p是 q的充分非必要条件（充分不必要条件） 若 qp ， pq ，则 p是 q的必要非充分条件（必要不充分条件） 若 qp ， pq ，则 p是 q的既不充分也不必要条件 2. 全称量词命题与存在量词命题 第 3 页 全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 全称量词命题的否定，全称量词命题： Mx ，  xp ，否定为： Mx ，  xp 存在量词命题的否定，存在量词命题： Mx ，  xp ，否定为： Mx ，  xp 必备考点必备二级结论技巧-第 97 天 复数（9类公式结论） 1. 虚数单位： i，规定 12 i 2. 虚数单位的周期 4T 3. 复数的代数形式：Z=  ,a bi a b R  ， a叫实部，b叫虚部 4. 复数的分类                       0 0 0 0 0 0 0 a b b b a b biaz 纯虚数： 虚数： ： 实数： 5. 复数相等： ,, 21 dicZbiaZ  若 则,21 ZZ  dbca  , 6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；  , ,z a bi z a bi a b R     ，      22 2222 bazz babiabiabiazz   结论： 推广： 7. 复数的几何意义：复数  ,z a bi a b R   一一对应 复平面内的点 ( , )Z a b 8. 复数的模：  RbabiaZ  , ， 则 2 2| |z a bi a b    ； 9. 复数的模 已知 1 i( R)z a b a,b   ， 2 i( , R)z c d c d   且 2 2( 0)c d  ， 则 2 2 11 2 2 2 2 zz a b z z c d     2 2( 0)c d  ， 2 2 2 21 2 1 2z z z z a b c d       第 4 页 必备考点必备二级结论技巧-第 96 天 平面向量（16 类公式结论） 1. 向量的运算 （1）两点间的向量坐标公式：  11, yxA ，  22 , yxB ， AB 终点坐标始点坐标  1212 , yyxx  （2）向量的加减法  11, yxa  ，  22 , yxb   2121 yyxxba  ， ，  2121 yyxxba  ， （3）向量的数乘运算  yxa , ，则：    yxyxa  ,,  （4）向量的模  yxa , ，则 a的模 22 yxa  （5）相反向量 已知 ),( yxa  ，则 ),( yxa  ；已知 （6）单位向量                         2222 2222 , , , yx y yx x yx y yx x yxa 反向单位向量为 同向单位向量为 （7）向量的数量积    ,0,, ,cos   且记作 的夹角，与为其中 ba bababa     21212211 ,,, yyxxbayxbyxa  ， （8）向量的夹角 2 2 2 2 2 1 2 1 2121cos yxyx yyxx ba ba       （9）投影向量 第 5 页 向量 a在b  上的投影向量为 | | cos( , ) | | ba a b b    （10）向量的平行关系 1221// yxyxbaba   （11）向量的垂直关系 00 2121  yyxxbaba （12）向量模的运算 22 aa  （13）爪子定理 形如 AD xAB yAC     “爪”字型图及性质： （1）已知 ,AB AC   为不共线的两个向量，则对于向量 AD  ，必存在 ,x y，使得 AD xAB yAC     。则 , ,B C D三点共线 1x y  当0 1x y   ，则D与 A位于 BC同侧，且D位于 A与BC之间 当 1x y  ，则D与 A位于 BC两侧 1x y  时，当 0, 0x y  ，则D在线段 BC上；当 0xy  ，则D在线段 BC延长线上 （2）已知D在线段BC上，且 : :BD CD m n ，则 n mAD AB AC m n m n        （14）爪平面向量的系数和（等和线）（等值线） 如图，P为 AOB 所在平面上一点，过O作直线 / /l AB，由平面向量基本定理知： 存在 ,x y R ，使得OP xOA yOB     下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和 x y 的值 A B CD 第 6 页 ①若 P l 时，则射线OP与 l无交点，由 / /l AB知，存在实数，使得OP AB   而 AB OB OA     ，所以OP OB OA      ，于是 = - =0x y   ②若 P l 时， （i）如图 1，当 P在 l右侧时，过P作 / /CD AB，交射线OA OB， 于 ,C D两点，则 OCD OAB   ，不妨设 OCD 与 OAB 的相似比为 k 由 ,P C D， 三点共线可知：存在 R  使得： (1 ) (1 )OP OC OD k OA k OB              所以 (1- )x y k k k     （ii）当 P在 l左侧时，射线OP的反向延长线与 AB有交点，如图 1作 P关于O的对称点 P，由（i） 的分析知：存在存在 R  使得： (1 ) (1 )OP OC OD k OA OB               所以 - -(1 )OP k OA OB        于是 - - (1- ) -x y k k k     综合上面的讨论可知：图中OP  用 ,OA OB   线性表示时，其系数和 x y 只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。 因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作 AB边的垂线 l， 设点 P在 l上的射影为 P，直线 l交直线 AB于点 1P，则 1 | || | | | OPk OP   ( k的符号由点 P的位置确定)，因 此只需求出 | |OP 的范围便知 x y 的范围 （15）极化恒等式 2 2( ) ( ) 4 a b a ba b        恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 4 ， 第 7 页 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 ABCD 中, ,AB a AD b     则 2 2( ) ( ) 4 AB AD AB ADa b         在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说: 2 2 2 2( ) ( ) | || | 4 4 AB AD AB AD DBa b AM           （16）奔驰定理 如图，已知 P为 ABC 内一点，则有 0PBC PAC PABS OA S OB S OC          △ △ △ . 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. （1）奔驰定理的证明 如图：延长OA与 BC边相交于点D 则 BOD ABD BODABD ACD COD ACD COD AOC AOBS S S SSBD DC S S S S S               第 8 页 DC BDOD OB OC BC BC      AOC AOB AOC AOB AOC AOB S SOB OC S S S S             BOD COD BOD COD BOA COA BOA BOC AOC AOBCOA S S S S SOD OA S S S S S S            BOC AOC AOB SOD OA S S          BOC AOC AOB AOC AOB AOC AOB AOC AOB S S SOA OB OC S S S S S S                   0BOC AOC AOBS OA S OB S OC             （2）奔驰定理的推论及四心问题 推论O是 ABC 内的一点,且 0x OA y OB z OC          ,则 : : : :BOC COA AOBS S S x y z   有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距 离之比为 2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内 心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心， 它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着 决定性的基石作用. 已知点O在 ABC 内部，有以下四个推论： ①若O为 ABC 的重心，则 0OA OB OC       ； ②若O为 ABC 的外心，则 sin 2 sin2 sin2 0A OA B OB C OC          ；或 OA OB OC     第 9 页 ③若O为 ABC 的内心，则 0a OA b OB c OC          ；备注：若O为 ABC 的内心，则 sin sin sin 0A OA B OB C OC          也对. ④若O为 ABC 的垂心，则 tan tan tan 0A OA B OB C OC          ，或OA OB OB OC OC OA           必备考点必备二级结论技巧-第 94 天 不等式及基本不等式 （8 类公式结论） 1. Ra ， Rb ， ab ba   2 abba 2 （积定和最小） 2. Ra ， Rb ，   4 2baab  （和定积最大） 3. Ra ， Rb ， abba 2 22  4. 基本不等式链 2211 2 22 babaab ba      拓展. m>n 时， 2 2 nmnmnm e nm eeee       5. 权方和不等式的二维形式 若 , , , 0a b x y  则 2 2 2( )a b a b x y x y     当且仅当 a b x y  时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 6. 糖水不等式定理 若 0, 0a b m   , 则一定有 b m b a m a    通俗的理解: 就是 a 克的不饱和糖水里含有 b 克糖, 往糖水里面加入 m 克糖,则糖水更甜; 7. 糖水不等式的倒数形式: 设 0, 0a b m   , 则有: a a m b b m    8. 对数型糖水不等式 第 10 页 （1） 设 n N , 且 1n  , 则有 1 2log log ( 1)n nn n   （2）设 1, 0a b m   , 则有 log log ( )a a mb b m  （3）上式的倒数形式：设 1, 0a b m   , 则有 log log ( )b b ma a m  必备考点必备二级结论技巧-第 92 天 指对幂函数（6 类公式结论） 1.指数函数的图象与性质 xay  a>1 0<a<1 图 像 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 （1）过定点（0，1） （2）当 x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2)当x>0时，0<y<1;x<0 时, y>1 (3)在（-，+） 上是增函数 （3）在（-，+） 上是减函数 2.指数和对数的互化公式  10log  aaNxNa ax 且 3.对数的性质与运算法则 （1）两个基本对数： ① 01log a ，② 1log aa （2）对数恒等式： 第 11 页 ① Na Na log ，② NaNa log （3）幂的对数： ①： bmb a m a loglog  ②： b n b aa n log 1log  ③： b n mb a m a n loglog  （4）积的对数：   NMMN aaa logloglog  （5）商的对数： NM N M aaa logloglog  4.换底公式： a b a b a bb c c a ln ln lg lg log loglog  ； 推广 1：对数的倒数式 a b b a log 1log  1loglog  ab ba 推广 2： ddcbacb acbacba loglogloglog1logloglog  5.对数函数的图象与性质 图 象 1a  0 1a  性 质 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当 x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当0 1x  时， ( ,0)y  ； 当 1x  时， (0, )y  （4）当 1x  时， ( ,0)y  ； 当0 1x  时， (0, )y  第 12 页 （5）在（0,+）上为增 函数 （5）在（0,+）上 为减函数 6.幂函数 恒过定点 )1,1( （1）幂函数的单调性         在第一象限单调递减时，＜ 在第一象限单调递增时，＞ xf xf xxf 0 0   （2）幂函数的奇偶性                               为偶函数为偶数， 为奇函数为奇数， 为奇数时 为非奇非偶函数为偶数时， 为分数，设 为奇函数为奇数， 为偶函数为偶数， 为整数 xfq xfq p xfp p q xf xf xxf      必备考点必备二级结论技巧-第 90 天 分段函数（3类公式结论） 1.分段函数的定义 如果函数 ( ),y f x x A  , 根据自变量 x在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数 为分段函数，例如 1, 0 ( ) , 0 x x f x x x      就是一个分段函数。 2.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次 画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象。 3.关于分段函数概念的理解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值 范围. (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 第 13 页 必备考点必备二级结论技巧-第 89 天 函数的基本性质 （7 类公式结论） 1. 定义域 ①分式函数定义域： )0)(( )( )(  xf xf xgy ②偶次根式函数的定义域： )0)(()(  xfxfy ③0次幂型函数的定义域： )0)(()( 0  xfxfy ④对数函数的定义域： )0)(()(log  xfxfy a ⑤正切函数的定义域： )() 2 )(())(tan( Zkkxfxfy   2. 单调性 （1）单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③ )(xf 为↗，则 )(xf 为↘， )( 1 xf 为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2）复合函数的单调性            结论：同增异减 复合函数，，外函数内函数 复合函数，，外函数内函数 复合函数，，外函数内函数 复合函数，，外函数内函数 叫做外函数，叫做内函数，则设函数              uhxfxguxghxf ,, 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） 第 14 页 ②奇偶性的定义： 奇函数：   )(xfxf  ，图象关于原点对称 偶函数：    xfxf  ，图象关于 y轴对称 ③奇偶性的四则运算 非奇非偶函数偶偶，奇偶奇，偶奇奇  奇 偶 奇 奇，偶奇偶， 偶 偶 偶，偶偶偶， 奇 奇 偶，奇奇  4. 周期性（差为常数有周期） ①若    xfaxf  ，则  xf 的周期为： aT  ②若    bxfaxf  ，则  xf 的周期为： baT  ③若    xfaxf  ，则  xf 的周期为： aT 2 （周期扩倍问题） ④若    xfaxf 1  ，则  xf 的周期为： aT 2 （周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若    xfaxf  ，则  xf 的对称轴为 2 ax  ②若    bxfaxf  ，则  xf 的对称轴为 2 bax  点对称 ①若    xfaxf  ，则  xf 的对称中心为       0, 2 a ②若     cbxfaxf  ，则  xf 的对称中心为        2 , 2 cba 6. 周期性对称性综合问题 ①若    xafxaf  ，    xbfxbf  ，其中 ba  ，则  xf 的周期为： baT  2 ②若    xafxaf  ，    xbfxbf  ，其中 ba  ，则  xf 的周期为： baT  2 第 15 页 ③若    xafxaf  ，    xbfxbf  ，其中 ba  ，则  xf 的周期为： baT  4 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知  xf 为偶函数，  axf  为奇函数，则  xf 的周期为： aT 4 ②已知  xf 为奇函数，  axf  为偶函数，则  xf 的周期为： aT 4 必备考点必备二级结论技巧-第 86 天 切线问题（2类公式结论） 导数的几何意义 函数 ( )y f x 在 0x x 处的导数 0( )f x 就是曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线的斜率 k ，即 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x f x + x f xk f x x      ． 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点 ),( 00 yxP ，斜率为 k，则直线的点斜式方程为：  00 xxkyy  【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切 点和不是切点两种情况求解． （1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为  00 xxkyy  ； （2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 ))(,( 11 xfxP ； 第二步：写出过 ))(,( 11 xfxP 的切线方程为 ))(()( 111 xxxfxfy  ； 第三步：将点 P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1的值代入方程 ))(()( 111 xxxfxfy  ，可得过点 P(x0，y0)的切线方程． 公切线问题 公切线是同时与两条曲线相切的直线，需满足： 该直线是两条曲线的切线； 切点处的导数（斜率）相等； 第 16 页 直线方程在两个切点处一致。截距相同 必备考点必备二级结论技巧-第 85/83 天 导数（16 类公式结论） 1. 八大常用函数的求导公式 （1） 0C （C为常数） （2） 1)(  nn nxx ，例： 45 5)( xx  ， 5 3 5 2 5 2)(   xx ， 76 6)(   xx ， 2 1 2 1 2 1)()(   xxx （3） xx ee )( （4） aaa xx ln)(  （5） x x 1)(ln  （6） ax xa ln 1)(log  （7） xx cos)(sin  （8） xx sin)(cos  2. 导数的四则运算 （1）和的导数：   )()()()( xgxfxgxf   （2）差的导数：   )()()()( xgxfxgxf   （3）积的导数：   )()()()()()( xgxfxgxfxgxf  （前导后不导前不导后导） （4）商的导数： )( )()()()( )( )( 2 xg xgxfxgxf xg xf          ， 0)( xg 3. 复合函数的求导公式 函数 ))(( xgfy  中，设 )(xgu  （内函数），则 )(ufy  （外函数）  xu uyy 4. 导数的几何意义 （1）导数的几何意义 第 17 页 导数 )(xf  的几何意义是曲线 )(xf 在点 ),( 00 yxP 处切线的斜率 （2）直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点 ),( 00 yxP ，斜率为 k，则直线的点斜式方程为：  00 xxkyy  5. 导函数与原函数的关系 )(,0,0)( xfkxf  单调递增 )(,0,0)( xfkxf  单调递减 6. 极值 （1）极值的定义 )(xf 在 0xx  处先↗后↘， )(xf 在 0xx  处取得极大值 )(xf 在 0xx  处先↘后↗， )(xf 在 0xx  处取得极小值 （2）极值与导数的关系 )(xf 是极值点 0)(  xf 0)(  xf  )(xf 是极值点，即： 0)(  xf 是 )(xf 为极值点的必要非充分条件 7. 恒成立问题常见类型 假设 x为自变量，其范围设为D，  f x 为函数； a为参数，  g a 为其表达式， （1）  f x 的值域为 ,m M ①    ,x D g a f x   ，则只需要    ming a f x m     ,x D g a f x   ，则只需要    ming a f x m  ②    ,x D g a f x   ，则只需要    max =g a f x M    ,x D g a f x   ，则只需要    max =g a f x M （2）若  f x 的值域为  ,m M ①    ,x D g a f x   ，则只需要  g a m    ,x D g a f x   ，则只需要  g a m （注意与（1）中对应情况进行对比） ②    ,x D g a f x   ，则只需要  g a M 第 18 页    ,x D g a f x   ，则只需要  g a M （注意与（1）中对应情况进行对比） 8. 能成立（有解）问题常见类型 假设 x为自变量，其范围设为D，  f x 为函数； a为参数，  g a 为其表达式， （1）若  f x 的值域为  ,m M ①    ,x D g a f x   ，则只需要    maxg a f x M     ,x D g a f x   ，则只需要    maxg a f x M  ②    ,x D g a f x   ，则只需要    ming a f x m     ,x D g a f x   ，则只需要    ming a f x m  （2）若  f x 的值域为  ,m M ①    ,x D g a f x   ，则只需要  g a M （注意与（1）中对应情况进行对比）    ,x D g a f x   ，则只需要  g a M ②    ,x D g a f x   ，则只需要  g a m （注意与（1）中对应情况进行对比）    ,x D g a f x   ，则只需要  g a m 9. 端点效应的类型 1.如果函数 ( )f x 在区间[ , ]a b 上, ( ) 0f x  恒成立,则 ( ) 0f a  或 ( ) 0f b  . 2.如果函数 ( )f x 在区问[ , ]a b 上, ( ) 0f x  恒成立,且 ( ) 0f a  (或 ( ) 0f b  ),则 ( ) 0f a   或 ( ) 0f b  . 3.如果函数 ( )f x 在区问 [ , ]a b 上 , ( ) 0f x  恒成立 ,且 ( ) 0, ( ) 0f a f a  (或 ( ) 0f b  , ( ) 0f b  则 ( ) 0f a  或 ( ) 0f b  . 10.洛必达法则： 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件： (1)  lim 0 x a f x   及  lim 0 x a g x   ； (2)在点 a的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0； (3)     lim x a f x l g x    ， 第 19 页 那么     lim x a f x g x =     lim x a f x l g x    。 0 0 型 法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件： (1)  lim x a f x   及  lim x a g x   ； (2)在点 a的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0； (3)     lim x a f x l g x    ， 那么     lim x a f x g x =     lim x a f x l g x    。   型 11. 常见的指对放缩 1e  xx ， xx ee  ， 1ln11  xx x ， e ln xx  12.常见的三角函数放缩       2 π,0,tansin xxxx 13.其他放缩 )1(1ln  x x xx ， )10(1ln  x x xx ， )1)(1( 2 1ln  x x xx ， )10)(1( 2 1ln  x x xx ， )1( 2 32 2 1ln 2  xxxx ， )10( 2 32 2 1ln 2  xxxx )1( 1 )1(2ln     x x xx ， )10( 1 )1(2ln     x x xx 14.常见函数的泰勒展开式 （1）   2 3 1 e 1 e 1! 2! 3! ! 1 ! n n x xx x x x x n n            ，其中  0 1  ； （2）     2 3 1ln 1 1 2! 3! ! n n n x x xx x R n         ，其中     11 11 1 ! 1 nn n n xR n x         ； 第 20 页 （3）     3 5 2 1 1sin 1 3! 5! 2 1 ! k k n x x xx x R k           ，其中     2 1 1 cos 2 1 ! k k n xR x k      ； （4）     2 4 2 2 1cos 1 1 2! 4! 2 2 ! k k n x x xx R k           ，其中     2 1 cos 2 ! k k n xR x k   ； （5） 2 1 1 ( ) 1 n nx x x o x x         ； （6） 2 2 ( 1)(1 ) 1 ( ) 2! n n nx nx x o x     ； （7）   3 5 22tan 3 15 nxx x x o x     ； （8）  2 31 1 11 1 2 8 16 nx x x x o x        ． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： e 1x x  ，  21e 1 0 2 x x x x    ，  31sin 0 6 x x x x   ， 21cos 1 2 x x  ， ln 1 x x ， 1ex x  ，  31tan 0 3 x x x x   ， 11 1 2 x x   ，  ln 1 x x  ． 15.常见函数的泰勒展开式的结论 结论 1 ln(1 ) ( 1)x x x    ． 结论 2 ln 1 ( 0)x x x   ． 结论 3 11 ln x x   （ 0x  ）． 结论 4   1ln ln 1 1 11 1 x x xxx x x        ． 结论 5 1 xx e  ；  1 11 xe x x    ；    ln 1 1 1 x x x x x       ． 结论 6 1 ( )xe x x R   ； 结论 7 1 ( )xe x x R    结论 8  1 1 1 xe x x    ． 结论 9  1 1 1 xe x x    ． 16.拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数 f（x）满足如下条件： 第 21 页 （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得      f b f af b a      ． 拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线  y f x 上至少存在一点 P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于 曲线两端的连线． 必备考点必备二级结论技巧-第 80/77/74 天 三角函数、恒等 变换与解三角形（31 类公式结论） 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 1cossin 22   第 22 页 商数关系：   cos sintan  3. 正弦的和差公式    sincoscossinsin  ，    sincoscossinsin  4. 余弦的和差公式    sinsincoscoscos  ，    sinsincoscoscos  5. 正切的和差公式     tantan1 tantantan    ，     tantan1 tantantan    6. 正弦的倍角公式   cossin22sin  2sin 2 1cossin  7. 余弦的倍角公式    sincossincossincos2cos 22  升幂公式：  2sin212cos  ， 1cos22cos 2   降幂公式： 2 2cos1sin 2   ， 2 2cos1cos2   8. 正切的倍角公式   2tan1 tan22tan   9. 推导公式 2)cos(sin)cos(sin 22   10. 辅助角公式 xbxay cossin  ， )0( a )sin(22  xbay ，其中 a b tan ， ) 2 , 2 (   11. 三角函数的图象与性质 siny x cosy x tany x 图 象 函 数性 质 第 23 页 12. 三角函数型函数的图象和性质 （1）正弦型函数、余弦型函数性质 hxAy  )sin(  ， hxAy  )cos(  A振幅，决定函数的值域，值域为  AA, 定 义 域 R R ,2 x x k k       值 域  1,1  1,1 R 最 值 当 2 2 x k   时， max 1y  ；当 2 2 x k   时， min 1y   ． 当 2x k 时， max 1y  ；当 2x k   时， min 1y   ． 既无最大值也无最小值 周 期 性 2 2  奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在 2 ,2 2 2 k k       上是增函数； 在 32 ,2 2 2 k k       上是减函数． 在 2 ,2k k   上是增函 数； 在 2 ,2k k   上是减函 数． 在 , 2 2 k k        上是增函数． 对 称 性 对称中心  ,0k 对称轴 2 x k   对称中心 ,0 2 k      对称轴 x k 对称中心 ,0 2 k      无对称轴 第 24 页 决定函数的周期，  2 T  x 叫做相位，其中 叫做初相 （2）正切型函数性质 hxAy  )tan(  的周期公式为：   T 13. 三角函数的伸缩平移变换 （1）伸缩变换（ A，是伸缩量） hxAy  )sin(  A振幅，决定函数的值域，值域为  AA, ； 若 A↗，纵坐标伸长；若 A↘，纵坐标缩短； A与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期，  2 T 若↗，T ↘，横坐标缩短；若↘，T ↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2）平移变换（， h是平移量） 平移法则：左右，上下 14. 正弦定理 （1）基本公式： R C c B b A a 2 sinsinsin  （其中R为 ABC 外接圆的半径） （2）变形 ① CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ② , 2 sin, 2 sin, 2 sin R cC R bB R aA  ③ CBAcba sin:sin:sin::  ④ BA ba CBA cbaR C c B b A a sinsinsinsinsin 2 sinsinsin       CB cb CA ca sinsinsinsin       （3）应用：边角互化 ① CBAcba sin5sin4sin3543  ② CBAcba 222222 sin5sin3sin2532  第 25 页 ③ CBCBAABcCbAa sincoscossinsinsin2coscossin2  2 1sinsin)sin(sin2 2  AACBA 或 0sin A （舍） 6 5 6   AA 或 15. 三角形中三个内角的关系  CBA ACB sin)sin(  ， ACB cos)cos(  ， ACB tan)tan(  16. 余弦定理 （1）边的余弦定理 Abccba cos2222  ， Baccab cos2222  ， Cabbac cos2222  （2）角的余弦定理 bc acbA 2 cos 222   ， ac bcaB 2 cos 222   ， ab cbaC 2 cos 222   （3）应用 1.求值，求角 ①在 ABC 中，已知 222 abccb  ，求 A bcacbabccb  222222 ， 32 1 22 cos 222     B bc bc bc acbA ②在 ABC 中，已知 222 4 1 cbaca  ，求 Bcos acbcacbaca 4 1 4 1 222222  ， 8 1 2 4 1 2 cos 222      ac ac ac bcaB （4）应用 2.判断三角形的形状 设a为最大边，则 A为最大角  90A 钝角三角形 0cos A 222 acb   90A 直角三角形 0cos A 222 acb   90A 锐角三角形 0cos A 222 acb  17. 三角形的面积公式 ahS ABC 2 1  AbcBacCabS ABC sin2 1sin 2 1sin 2 1  18. 常见三角不等式 第 26 页 （1）若 (0, ) 2 x  ，则 sin tanx x x  . （2）若 (0, ) 2 x  ，则1 sin cos 2x x   . （3） | sin | | cos | 1x x  . 19. 半角公式 (1)sin α 2 ＝± 1－cos α 2 . (2)cosα 2 ＝± 1＋cos α 2 . (3)tanα 2 ＝± 1－cos α 1＋cos α ＝ sin α 1＋cos α ＝ 1－cos α sin α . 以上称之为半角公式，符号由 α 2 所在象限决定． 20. 万能公式 2 2 2 2 2 tan 1 tan 2 tan 2 2 2sin cos tan 1 tan 1 tan 1 tan 2 2 2 x x x x x xx x x        21. 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2                                     2sin cos sin( ) sin( )A B A B A B    2cos cos cos( ) cos( )A B A B A B    2sin sin cos( ) cos( )A B A B A B    22. 常见三角恒等式 在任意 ABC△ 内，都有 tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC 推论：在 ABC△ 内，若 tanA+tanB+tanC<0，则 ABC△ 为钝角三角形 第 27 页 23. 常见平面几何结论 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 24. 三角形中常见不等式 在锐角三角形中 CBACBA coscoscossinsinsin  25. 内切圆半径 在 Rt△ABC中，C为直角，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，则△ABC的内切圆半径为 2 cba  26. 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是 a、b、c， 则三角形的面积为 ( )( )( )S p p a p b p c    其中 2 a b cp   ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 22 2 2 2 21 4 2 a b cS a b             27. 海伦-秦九韶公式推广 已知三角形三边 x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如 27 ， 28 ， 29 ) ACCBBAS zAC yCB xBA     2 2 2 2 28. 三倍角公式 3sin 3 3sin 4sin    ， 2cos3 4cos 3cos    29. 射影定理 BcCba coscos  ， AcCab coscos  ， AbBac coscos  30. 角平分线定理 （1）在 ABC 中， AD为 BAC 的角平分线，则有 CD AC BD AB  （2） 2 cos 2 BACb c AD b c      （3） 2AD AB AC BD CD    （库斯顿定理） 第 28 页 （4） ABD ACD SAB AC S    31. 张角定理 ADACAB )sin(sinsin    必备考点必备二级结论技巧-第 71/68/65/62 天 数列 （17类公式结论） 1. 等差数列通项公式：  dnaan 11   Nn 或   dmnaa mn   Nn 2. 等差中项：若 A，B，C三个数成等差数列，则 CAB 2 ，其中B叫做 A，C的等差中项 3. 若 na ， nb 为等差数列，则 nn ba  ， nn kbma  仍为等差数列 4. 等差数列前 n项和公式：   2 1 n n aans  或   2 1 1 dnnnasn   5. 等差数列的前 n项和中， 2 1 nn naS ，（n为奇数） 6. 等比数列通项公式：    Nnqaaqaa mnmnnn .11 或 7. 等比中项：若 A，B，C三个数成等比数列，则 ACBACB 2 ,其中 B叫做 A，C的等比中 项 8. 若 na ， nb 为等比数列，则 nn ba  ，       n n b a 仍为等比数列 9. 等比数列前n项和公式：      1 11 1 1, 11 1             q q qaa q qa qna s n n n 10.已知 na 与 nS 的关系 第 29 页         2 1, 1 1 nss ns a nn n 11. 分组求和 若 na 为等差数列， nb 为等比数列，则 nn ba  可用分组求和 12. 裂项相消求和   1 11 1 1     nnnn an    2 1 1 1 21 1       nnnn an               12 1 12 1 2 1 1212 1 nnnn an    32 1 12 1 32 4 12 4 4 1 3212 4                nnnnnn an ) 14 1 14 1( 3 1 )14)(14( 4 11        nnnn n na nn nn an   1 1 1 13.等差数列任意前 n项和的关系 mndSSS nmnm  14.等比数列任意前 n项和的关系 n m mnm SqSS  15.数列不动点 定义：方程 xxf )( 的根称为函数 )(xf 的不动点 利用递推数列 )(xf 的不动点，可将某些递推关系 )( 1 nn afa 所确定的数列化为等比数列或较易求通 项的数列，这种方法称为不动点法 定理 1：若 ),1,0()(  aabaxxf p是 )(xf 的不动点， na 满足递推关系 )1(),( 1   nafa nn ，则 )( 1 paapa nn   ，即 }{ pan  是公比为 a的等比数列. 定理 2：设 )0,0()(     bcadc dcx baxxf ， }{ na 满足递推关系 1),( 1   nafa nn ，初值条件 )( 11 afa  第 30 页 (1)若 )(xf 有两个相异的不动点 qp, ，则 qa pa k qa pa n n n n        1 1 （这里 qca pcak    ） (2)若 )(xf 只有唯一不动点 p，则 k papa nn     1 11 （这里 da ck   2 ） 定理 3：设函数 )0,0()( 2     ea fex cbxaxxf 有两个不同的不动点 21 , xx ,且由 )(1 nn ufu  确定着数 列 }{ nu ,那么当且仅当 aeb 2,0  时, 2 2 1 21 11 )( xu xu xu xu n n n n        16.错位相减---万能公式求和  na 为公差为 d的等差数列， nb 为公比为 q的等比数列，若数列 nc 满足 nnn bac  ，则数列 nc 的前 n 项和 nS 为 2 1 2 1 )1(     q ccqcS nnn 17.通项公式的构造 （1）已知 qpaa nn 1 ，我们可以用待定系数法构造    nn apa 1 ，从而转化为我们熟悉的等比 数列求解 （2）已知  nfpaa nn 1 用   BnAapBAna nn   11 求通项 （3）已知 n nn qpaa 1 用 qq a q p q a n n n n 1 1 1   求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知 nnn qapaa   12 用  nnnn kaahkaa   112 求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知 nnnn apaaa 11   用 paa nn  1 11 求通项公式，其本质是除以 nn aa 1 （6） 已知 qpa maa n n n  1 用 p m aq m a nn   11 1 求通项公式，其本质是取到数 （7）已知  0,01  nqnn appaa 用 paqa nn lglglg 1  求通项公式，其本质是取对数 第100天- 搞定25年高考数学 必备考点必备二级结论技巧（16大类） 第100天寄语： 每天多记1个知识点，100天后你将携带100个公式、定理、结论、技巧踏入考场！ 目录 必备考点必备二级结论技巧-第99天 集合（5类公式结论） 1 必备考点必备二级结论技巧-第98天 常用逻辑用语（3类公式结论） 2 必备考点必备二级结论技巧-第97天 复数（9类公式结论） 3 必备考点必备二级结论技巧-第96天 平面向量（16类公式结论） 3 必备考点必备二级结论技巧-第94天 不等式及基本不等式（8类公式结论） 9 必备考点必备二级结论技巧-第92天 指对幂函数（6类公式结论） 10 必备考点必备二级结论技巧-第90天 分段函数（3类公式结论） 12 必备考点必备二级结论技巧-第89天 函数的基本性质（7类公式结论） 13 必备考点必备二级结论技巧-第86天 切线问题（2类公式结论） 15 必备考点必备二级结论技巧-第85/83天 导数（16类公式结论） 16 必备考点必备二级结论技巧-第80/77/74天 三角函数、恒等变换与解三角形（31类公式结论） 21 必备考点必备二级结论技巧-第71/68/65/62天 数列（17类公式结论） 28 必备考点必备二级结论技巧-第58/55/52/49天 立体几何（25类公式结论） 31 必备考点必备二级结论技巧-第45/42/39/36/33天 解析几何（52类公式结论） 39 必备考点必备二级结论技巧-第29/27/25/23天 概率统计（32类公式结论） 53 必备考点必备二级结论技巧-第20天 新定义（3类公式结论） 58 必备考点必备二级结论技巧-第99天 集合（5类公式结论） 1. 子集与真子集的个数 集合中有个元素，子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个 2. 集合间的基本关系：子集、真子集、相等 3. 集合间的基本运算： 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合 ，或 集合的交集 所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 ，且 集合的补集 全集中不属于集合的所有元素组成的集合 ∁U，且 4. 德摩根公式 、 5. 集合中元素的个数 必备考点必备二级结论技巧-第98天 常用逻辑用语（3类公式结论） 1. 充分条件与必要条件 对于若则类型中，为条件，为结论，若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件） 若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件） 若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件） 若，，则是的既不充分也不必要条件 2. 全称量词命题与存在量词命题 全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 全称量词命题的否定，全称量词命题：，，否定为：， 存在量词命题的否定，存在量词命题：，，否定为：， 必备考点必备二级结论技巧-第97天 复数（9类公式结论） 1. 虚数单位：，规定 2. 虚数单位的周期 3. 复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部 4. 复数的分类 5. 复数相等：若 6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；， 7. 复数的几何意义：复数复平面内的点 8. 复数的模：， 则 ； 9. 复数的模 已知，且， 则， 必备考点必备二级结论技巧-第96天 平面向量（16类公式结论） 1. 向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ， ， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的数量积 （8） 向量的夹角 （9） 投影向量 向量在上的投影向量为 （10） 向量的平行关系 （11） 向量的垂直关系 （12） 向量模的运算 （13） 爪子定理 形如“爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 （14） 爪平面向量的系数和（等和线）（等值线） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 （15） 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: （16） 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. （1）奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 （2）奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 必备考点必备二级结论技巧-第94天 不等式及基本不等式 （8类公式结论） 1. ，，（积定和最小） 2. ，，（和定积最大） 3. ，， 4. 基本不等式链 拓展. m>n时， 5. 权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 6. 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 7. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 8. 对数型糖水不等式 （1） 设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 必备考点必备二级结论技巧-第92天 指对幂函数（6类公式结论） 1.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 像 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 （1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2)当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1 (3)在（-，+）上是增函数 （3）在（-，+）上是减函数 2.指数和对数的互化公式 3.对数的性质与运算法则 （1） 两个基本对数： ①，② （2） 对数恒等式： ①，② （3） 幂的对数： ①： ②： ③： （4） 积的对数： （5） 商的对数： 4.换底公式： ； 推广1：对数的倒数式 推广2： 5.对数函数的图象与性质 图象 性质 （1）定义域：（0,+） （2）值域：R （3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当时，； 当时， （4）当时，； 当时， （5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数 6.幂函数 恒过定点 （1） 幂函数的单调性 （2） 幂函数的奇偶性 必备考点必备二级结论技巧-第90天 分段函数（3类公式结论） 1.分段函数的定义 如果函数, 根据自变量在 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数，例如就是一个分段函数。 2.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象。 3.关于分段函数概念的理解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 必备考点必备二级结论技巧-第89天 函数的基本性质 （7类公式结论） 1. 定义域 ①分式函数定义域： ②偶次根式函数的定义域： ③次幂型函数的定义域： ④对数函数的定义域： ⑤正切函数的定义域： 2. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 4. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 必备考点必备二级结论技巧-第86天 切线问题（2类公式结论） 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即． 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为： 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标； 第二步：写出过的切线方程为； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 公切线问题 公切线是同时与两条曲线相切的直线，需满足： 该直线是两条曲线的切线； 切点处的导数（斜率）相等； 直线方程在两个切点处一致。截距相同 必备考点必备二级结论技巧-第85/83天 导数（16类公式结论） 1. 八大常用函数的求导公式 （1） （为常数） （2） ，例：，，， （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2. 导数的四则运算 （1） 和的导数： （2） 差的导数： （3） 积的导数：（前导后不导前不导后导） （4） 商的导数：， 3. 复合函数的求导公式 函数中，设（内函数），则（外函数） 4. 导数的几何意义 （1） 导数的几何意义 导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率 （2） 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为： 5. 导函数与原函数的关系 单调递增 单调递减 6. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 （2） 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 7. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 8. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 9. 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 10. 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 11. 常见的指对放缩 ，，， 12. 常见的三角函数放缩 13. 其他放缩 ，， ，， ， ， 14. 常见函数的泰勒展开式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 15. 常见函数的泰勒展开式的结论 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 16. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 必备考点必备二级结论技巧-第80/77/74天 三角函数、恒等变换与解三角形（31类公式结论） 1. 特殊角的三角函数值 2. 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 3. 正弦的和差公式 ， 4. 余弦的和差公式 ， 5. 正切的和差公式 ， 6. 正弦的倍角公式 7. 余弦的倍角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 8. 正切的倍角公式 9. 推导公式 10. 辅助角公式 ，，其中， 11. 三角函数的图象与性质 函 数 性 质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 12. 三角函数型函数的图象和性质 （1） 正弦型函数、余弦型函数性质 ， 振幅，决定函数的值域，值域为 决定函数的周期， 叫做相位，其中叫做初相 （2） 正切型函数性质 的周期公式为： 13. 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 14. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 15. 三角形中三个内角的关系 ，， 16. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， （3） 应用1.求值，求角 ①在中，已知，求 ， ②在中，已知，求 ， （4） 应用2.判断三角形的形状 设为最大边，则为最大角 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 17. 三角形的面积公式 18. 常见三角不等式 （1）若，则. （2）若，则. （3）. 19. 半角公式 (1)sin ＝± . (2)cos＝± . (3)tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 20. 万能公式 21. 和差化积与积化和差公式 22. 常见三角恒等式 在任意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC 推论：在内，若tanA+tanB+tanC<0，则为钝角三角形 23. 常见平面几何结论 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 24. 三角形中常见不等式 在锐角三角形中 25. 内切圆半径 在Rt△ABC中，C为直角，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则△ABC的内切圆半径为 26. 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c， 则三角形的面积为 其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 27. 海伦-秦九韶公式推广 已知三角形三边x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，) 28. 三倍角公式 ， 29. 射影定理 ，， 30. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 31. 张角定理 必备考点必备二级结论技巧-第71/68/65/62天 数列 （17类公式结论） 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和 若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 13. 等差数列任意前n项和的关系 14. 等比数列任意前n项和的关系 15. 数列不动点 定义：方程的根称为函数的不动点 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 (1)若有两个相异的不动点，则 （这里） (2)若只有唯一不动点，则 （这里） 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 16. 错位相减---万能公式求和 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 17. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 必备考点必备二级结论技巧-第58/55/52/49天 立体几何 （25类公式结论） 1. 平面初等几何基础 （1） 三角形的面积公式： （2） 正方形的面积公式： （3） 长方形的面积公式： （4） 平行四边形的面积公式： （5） 菱形的面积公式：（，为菱形的对角线） （6） 梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高） （7） 圆的周长和面积公式：， 2. 立体几何基础公式 （1） 所有椎体体积公式： （2） 所有柱体体积公式： （3） 球体体积公式： （4） 球体表面积公式： （5） 圆柱： （6） 圆锥： 3. 平面图形的判定定理 （1） 高中常用的平行四边形的判定定理 ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 菱形的判定定理 ①四边相等的四边形是菱形 ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ③一组邻边相等的平行四边形是菱形 （3） 正方形的判定定理 ①有一个角是直角的菱形是正方形 ②一组邻边相等的矩形是正方形 ③对角线互相垂直的矩形是正方形 （4） 矩形的判定定理 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 4. 平面图形的对角线 平行四边形的对角线互相平分 菱形的对角线互相垂直平分 矩形的对角线相等且互相平分 正方形的对角线互相垂直平分且相等 5. 常见立体几何的定义、性质及其关系 （1） 棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等） （2） 斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱 （3） 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 （4） 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 （5） 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形 6. 四个公理与一个定理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 7. 空间中点线面的位置关系 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 8. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式 （1） 已知长宽高求体对角线： （2） 已知三条面对角线求体对角线： 9. 球体问题 （1） 球体体积公式：，球体表面积公式： （2） 正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ） 球心体心，直径体对角线 已知长宽高，，求体对角线，公式为： ， （3） 直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ） ，其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解） （4） 墙角问题可转化为类型Ⅰ （5） 侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ 10. 空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形中位线，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 11. 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 12. 异面直线所成角 = （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 13. 线面角 直线与平面所成角，(为平面的法向量). 14. 二面角的平面角 （，为平面，的法向量）. 15. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 16. 内切球体积 任意的简单n面体内切球半径为(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积) 17. 三垂线法求二面角 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。 18. 垂面法求二面角 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 19. 射影面积法求二面角 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（如图)求出二面角的大小 20. 三余弦定理 设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则. 21. 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ; (当且仅当时等号成立). 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 22. 空间两点间的距离公式 若A，B，则 =. 23. 异面直线上两点距离公式 . . （）. (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,). 24. 欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). （1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：； （2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：. 25. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 必备考点必备二级结论技巧-第45/42/39/36/33天 解析几何（52类公式结论） 1.两点间的距离公式 ，， 2.中点坐标公式 ，，为的中点，则： 3.三角形重心坐标公式 4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 （1） 斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减， （2） 倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为 （3） 直线的斜率与倾斜角的关系： 不存在 5.两点间的斜率公式 ，， 6.直线的斜截式方程 ，其中为斜率，为轴上的截距 7.直线的点斜式方程 已知点，直线的斜率，则直线方程为： 8.直线的一般式方程 9.两条直线的位置关系 （1） 平行的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：，， （2） 重合的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， （3） 垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， 10.点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 11.两条平行线间的距离公式 ，， 12.圆的标准方程 ，其中圆心坐标为，半径为 13.圆的一般方程 （） 配方可得：， 圆心坐标为，半径为 14.表示圆的充要条件： 15.点与圆的位置关系 已知点，圆的方程为： 若，点在圆内 若，点在圆上 若，点在圆外 16.直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，其中为联立方程根的个数， 几何关系，其中为圆心到直线的距离 17.圆上一点的切线方程 18.圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 19.弦长公式 设，， 则 或： 20.圆上一点到圆外一点的距离的最值 21.圆上一点到圆上一点的距离的最值 22.圆上一点到直线距离的最值 23. 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 24. 椭圆的定义 25. 数学表达式 26. 椭圆的标准方程 焦点在轴上的标准方程？ 椭圆标准方程为： 焦点在轴上的标准方程？ 椭圆标准方程为： 27. 椭圆中，，的基本关系 28. 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 顶点坐标 ， ， ， ， 长轴 长轴长，长半轴长 短轴 短轴长，短半轴长 焦点 ， ， 焦距 焦距，半焦距 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为 离心率 离心率对椭圆的影响 越大，椭圆越扁 越小，椭圆越圆 ，圆 29. 双曲线的定义 30. 数学表达式： 31. 双曲线的标准方程 焦点在轴上的标准方程？ 焦点在轴上的标准方程？ 标准方程为： 标准方程为： 32. 双曲线中，，的基本关系 33. 双曲线的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 顶点坐标 ， ， ， ， 实轴 实轴长，实半轴长 虚轴 虚轴长，虚半轴长 焦点 ， ， 焦距 焦距，半焦距 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为 渐近线方程 离心率 离心率对双曲线的影响 越大，双曲线开口越阔 越小，双曲线开口越窄 34. 抛物线的定义 平面上一动点到定点的距离与到定直线：的点的轨迹叫做抛物线 图形 数学表达式 35. 标准方程的推导 设，由定义可知：，等式两边同时平方得： 36. 抛物线的标准方程及其几何性质 焦点位置 轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 37. 通径 通径长：，半通径长： 38. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离） 39. 点关于线对称的一般性结论 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 40. 直径端点圆的方程 若圆的直径端点，则圆的方程为 41. 解析几何中的切线方程 ①过圆上任意一点的切线方程为 ②过椭圆上任意一点的切线方程为 ③过双曲线上任意一点的切线方程为 ④设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 42. 解析结合中的切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆的切点弦方程为 ②椭圆的切点弦方程为 ③双曲线的切点弦方程为 ④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为 43. 相切的条件 ①椭圆与直线相切的条件是 ②双曲线与直线相切的条件是 44. 斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率) 45. 常见不等式 已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则() 46. 椭球体积 椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为 47. 纵坐标之和 y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为 48. 渐近线围成的四边形面积 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 49. 帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上 50. 斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 51. 椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 标准方程 焦点 焦点 焦半径 为离心率，为点的横坐标. 为离心率，为点的横坐标. 焦半径范围 为椭圆上一点，为焦点. 为双曲线上一点，为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为. （即） 如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则. 焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长. 与数量关系 直线过焦点与椭圆相交于两点，则. 直线过焦点与双曲线相交于两点，则. 已知点是椭圆上一点，坐标原点， 则. 已知点是双曲线上一点，坐标原点， 则. 焦三角形 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 周角定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 直线过焦点与椭圆相交于两点，点， 则（即）. 直线过焦点与双曲线相交于两点，点， 则（即）. 切线方程 已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为. 已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为. 52. 抛物线的结论 如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为. 1． 2．焦半径：，，. 3．焦点弦：. 4．的数量关系：，. 5．三角形的面积. 6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切. 7．直线的斜率之和为零（），即. 8．点三点共线；点三点共线. 9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点. 必备考点必备二级结论技巧-第29/27/25/23天 概率统计 （32类公式结论） 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6．单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有种； ②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：个元在固定位的排列有种. ②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种. （3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为. 7．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有. （2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有 . 8.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 9.等可能性事件的概率. 10.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 11.个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 12.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 13.个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 14.次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 15.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）; （2）. 16. 数学期望 17.数学期望的性质 （1）. （2）若～,则. (3) 若服从几何分布,且，则. 18. 方差 19. 标准差=. 20.方差的性质 (1)； (2）若～，则. (3) 若服从几何分布,且，则. 21.方差与期望的关系 . 22.正态分布密度函数 ，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 23.对于，取值小于x的概率 . . 24. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 25. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 26.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 27.贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 28.数字样本特征 （1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数 （2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数 （3） 平均数：，反映样本的平均水平 （4） 方差： 反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度； 越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定； （5） 标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样 （6） 极差：等于样本的最大值最小值 29.求随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. ·（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，. 30 求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果 31. 线性回归分析解题方法： （1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程. 线性回归直线方程为：，， 其中为样本中心，回归直线必过该点 （4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱） ，正相关；，负相关 32.独立性检验解题方法： （1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性 独立性检验计算公式： 必备考点必备二级结论技巧-第20天 新定义（3类公式结论） 新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力；以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。 题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。 压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式、多角度的提问，考查学生的数学能力. 新定义题型的特点是；通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 难度较难，可以预测2024年新高考大题压轴题命题方向将会以新定义类题型展开命题． 一、数列新定义问题 1. 考察对定义的理解。 2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质. 3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握. 二、函数新定义问题 涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答. 关于新定义题的思路有： 1. 找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； 2. 由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； 3. 将已知条件代入新定义的要素中； 4. 结合数学知识进行解答. 三、集合新定义问题 对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1. 紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2. 用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3. 涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 4. 认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$