专题14 中考数学圆中常用的十种辅助线（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题14 中考数学圆中常用的十种辅助线（原卷版） 模块一 利用圆的性质作辅助线 类型一 图中有弦考虑连接半径 名师指导：遇到弦时，连半径。作用：1．连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；2．连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角。 1．（2024秋•贵州期末）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 2．（2024•南关期末）如图，AC、BC是⊙O的弦，连结OA，OB，若∠C＝38°，则∠AOB的大小为（　　） A．19° B．38° C．52° D．76° 3．（2024秋•平桥区期末）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024秋•义乌市期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE＝6，BF＝1，则⊙O的半径长是（　　） A． B．4 C．5 D． 类型二 图中有弦考虑作弦心距 名师指导：解决有关弦的问题，常添加弦心距或者做垂直于弦的半径或直径。在连接过弦的端点的半径。作用：1．利用垂径定理；2．利用圆心角及其所对的服务弦和弦性质之间的关系；3．利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 5．（2024秋•贵州期中）如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且． （1）求证：AE＝BF； （2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长． 6．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　） A． B．2 C．4 D．22 7．（2024秋•濉溪县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数． 8．（2024秋•灌南县月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长． 9．（2023•灞桥区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝5，则AE+CE＝（　　） A．5+5 B．5+4 C．5+3 D．7+3 类型三：见直角连直径 名师指导：图中遇到90°的圆周角的时候，常连接两条弦没有公共点的另一端点。从而构造出直角三角形。 10．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且∠CAB＝90°，若AB＝10，AC＝8，求⊙O的半径． 11．（2024秋•朝阳区月考）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径和圆心A的坐标． 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程： 解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F． ∴OEOB、OFOC（依据是①　 　）． ∵∠ODB＝30°， ∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是②　 ）． ∵∠BOC＝90°， ∴BC是⊙A的直径（依据是③　 　）． ∴OBBC， ∵OB＝2； ∴A的坐标为（④　 ），⊙A的半径为⑤　 　． 类型四 图中有直角连直径 名师指导：图中有直径时常添加直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。 12．（2024秋•莱芜区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝20°，则∠BCD的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 13．（2023秋•盖州市期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接DE，且ED＝EC． （1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2．求CD的长． 14．（2023•安徽一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． （1）如图①，求证：AC平分∠DAB；（2）如图②，若AC＝4，DC＝4，求CE的长． 类型五 图中有外接圆时常连半径 名师指导：遇到三角形外接圆时，连接外心和各顶点。作用外心到三角形各顶点的距离相等。 15．（2024秋•琼中县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC． （1）求点O到AC的距离；（2）直接写出弦AC所对的圆周角的度数． 16．（2024秋•大丰区期末）如图，△ADC的外接圆直径AB交CD于点E，已知∠C＝65°，∠DEB＝60°，求∠D的度数． 17．（2024•雨花台区月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是的中点，AD是△ABC的高，连接OA、AE． （1）求证：∠OAE＝∠DAE； （2）若∠BAC＝84°，∠ABC＝30°，则∠OAE＝ 　 　°． 18．（2021秋•西山区期中）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且AE与⊙O相切于点A． （1）求证：∠BAE＝∠BCA； （2）若AE∥BC，BC＝8，AB＝2，求⊙O的半径． 模块二 与切线有关的常用辅助线 类型六 作垂线证切线 名师指导：无切点，作垂线，证相等。需证明的切线，条件中未告知与原有交点。则联想切线的定义过圆心作该直线的垂线。证明垂直到圆心的距离等于半径。 19．（2023秋•黔东南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径． 20．如图，在△ABC中，O为AC上的一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若∠BAD＝60°，AD＝6，求⊙O的半径． 类型七 连半径证垂线 名师指导：有切点，连半径，证垂直。当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理。将该点与圆心连接，再证明该半径与直线垂直。 21．（2023秋•长沙县期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，DE＝3，求图中阴影部分的面积． 类型八 图中有两相交切线（切线长）连切点 名师指导：遇到切线长，常连接切点和圆心或连接圆心和圆外的一点或连接两切点。作用：根据切线长定理及其他性质，可得到：1.角、线段的等量关系。2.垂直关系。3.全等相似三角形。 22．（2023秋•江阴市月考）PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定正确的是（　　） A．△BPA为等腰三角形 B．AP与PD互相垂直平分 C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA边上的中线 类型九 图中有内切圆，常连切点和顶点 名师指导：遇到三角形内切圆，连接内心与各顶点（或作垂线），或连接内心与三角形各顶点。作用：利用内线的性质可得：1.内心与三角形三个顶点的连线是三角形各内角的平分线。2.内心到三角形三边的距离相等。 23．（2023秋•绵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 24．（2023秋•广元期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 类型十 构造弦或构造辅助圆 24．（2021秋•江宁区期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H． （1）求证AE＝AH； （2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形． 25．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 26．（2024•会东县二模）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 27．（2024秋•镇江期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝6，，AD∥BC，点E在射线AD上运动，连接CE，过点A，B，E三点的圆交CE于点E，则AF的最小值＝　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆中常用的十种辅助线（解析版） 模块一 利用圆的性质作辅助线 类型一 图中有弦考虑连接半径 名师指导：遇到弦时，连半径。作用：1．连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；2．连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角。 1．（2024秋•贵州期末）AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【思路引领】如图所示，连接OC，则OC＝OB，由垂径定理可得，在Rt△OCE中，根据勾股定理即可求解． 【完整解答】解：如图所示，连接OC，则OC＝OB， ∵弦CD⊥AB于点E，CD＝16，OE＝6， ∴， ∴在Rt△OCE中，OC10， ∴⊙O的半径为10， 故选：B． 【总结提升】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 2．（2024秋•南关区校级期末）如图，AC、BC是⊙O的弦，连结OA，OB，若∠C＝38°，则∠AOB的大小为（　　） A．19° B．38° C．52° D．76° 【思路引领】根据圆周角定理计算即可． 【完整解答】解：∵∠C＝38°， ∴∠AOB＝2∠C＝76°． 故选：D． 【总结提升】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2024秋•平桥区期末）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路引领】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解． 【完整解答】解：如图所示，连接OC，OB， ∵，∠A＝30°， ∴∠COB＝2∠A＝60°， 又∵OC＝OB＝6， ∴△OCB是等边三角形， ∴BC＝6， 故选：D． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2024秋•义乌市期末）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE＝6，BF＝1，则⊙O的半径长是（　　） A． B．4 C．5 D． 【思路引领】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得从，而得出CD＝BE＝6，再利用勾股定理进行求解即可． 【完整解答】解：AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，如图，连接OD，设⊙O的半径为r， ∴，CF＝DF， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴CD＝BE＝6， ∴， ∵BF＝1，OD＝r， ∴OF＝r﹣1， ∴32+（r﹣1）2＝r2， 解得：r＝5， ∴⊙O的半径长是5， 故选：C． 【总结提升】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 类型二 图中有弦考虑作弦心距 名师指导：解决有关弦的问题，常添加弦心距或者做垂直于弦的半径或直径。在连接过弦的端点的半径。作用：1．利用垂径定理；2．利用圆心角及其所对的服务弦和弦性质之间的关系；3．利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 5．（2024秋•贵州期中）如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且． （1）求证：AE＝BF； （2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长． 【思路引领】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论； （2）连接OA，由垂径定理得出AMAB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【完整解答】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示： ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， ∵， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△OBF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF． （2）解：连接OA，如图2所示： ∵OM⊥AB， ∴AMAB＝6， 设OM＝x，则OA＝ON＝x+3， 在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2， 解得：x＝4.5， ∴OM＝4.5． 【总结提升】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　） A． B．2 C．4 D．22 【思路引领】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD，PA＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE2，于是得到结论． 【完整解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E， ∵∠ACB＝60°， ∴∠APB＝120°， ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°， ∵A（﹣5，0），B（1，0）， ∴AB＝6， ∴AD＝BD＝3， ∴PD，PA＝PB＝PC＝2， ∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°， ∴四边形PEOD是矩形， ∴OE＝PD，PE＝OD＝2， ∴CE2， ∴OC＝CE+OE＝2， ∴点C的纵坐标为2， 故选：B． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（2024秋•濉溪县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数． 【思路引领】因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考． 【完整解答】解：解法一：（用垂径定理求） 如图，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F， ∴， 又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠FCA＝25°， ∴的度数为25°， ∴的度数为50°； 解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED， ∵AE是直径， ∴∠ADE＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠E＝∠B＝25°， ∴的度数为50°； 解法三：（用圆心角求）如图，连接CD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠A＝65°， ∵CA＝CD， ∴∠ADC＝∠A＝65°， ∴∠ACD＝50°， ∴的度数为50°． 【总结提升】本题可以利用：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8．（2024秋•灌南县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长． 【思路引领】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长． 【完整解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵S△ABCAC•BCAB•CE， ∴CE， ∴AE， ∴AD＝2AE， 【总结提升】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 9．（2023•灞桥区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝2，DE＝5，则AE+CE＝（　　） A．5+5 B．5+4 C．5+3 D．7+3 【思路引领】过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，根据垂径定理解答即可． 【完整解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，连接OD， ∴CM＝DM， ∵∠CEA＝30°， ∴∠OEM＝∠CEA＝30°， 在Rt△OEM中，∵OE＝2， ∴OMOE＝1，EM＝OE•cos30°＝2， ∵DE＝5， ∴DM＝DE﹣EM＝54， ∵OM过圆心，OM⊥CD， ∴CD＝2DM， ∴CD＝8， ∴CE＝CD﹣DE＝3， ∵OM＝1，DM＝4， ∴在Rt△DOM中，OD7， ∴OA＝OD＝7， ∴AE＝OA﹣OE＝7﹣2＝5， ∴AE+CE＝5+3． 故选：C． 【总结提升】此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法． 类型三：见直角连直径 名师指导：图中遇到90°的圆周角的时候，常连接两条弦没有公共点的另一端点。从而构造出直角三角形。 10．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且∠CAB＝90°，若AB＝10，AC＝8，求⊙O的半径． 【思路引领】连接BC，由圆周角定理得BC是⊙O的直径，由勾股定理求出BC＝2，则OB． 【完整解答】解：连接BC，如图所示： ∵∠CAB＝90°， ∴BC是⊙O的直径，BC2， ∴OB， 即⊙O的半径为． 【总结提升】本题考查了圆周角定理和勾股定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键． 11．（2024秋•朝阳区校级月考）元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于B、C两点，点B的坐标为（2，0），点D在⊙A上，且∠ODB＝30°，求⊙A的半径和圆心A的坐标． 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程： 解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC于F． ∴OEOB、OFOC（依据是①　垂径定理　）． ∵∠ODB＝30°， ∴∠OCB＝∠ODB＝30°（依据是②　圆周角定理　）． ∵∠BOC＝90°， ∴BC是⊙A的直径（依据是③　圆周角定理　）． ∴OBBC， ∵OB＝2； ∴A的坐标为（④　1，　），⊙A的半径为⑤　2　． 【思路引领】根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答． 【完整解答】解：如图2，连接BC．作AE⊥OB于E、AF⊥OC 于F， ∴OEOB、OFOC（依据是垂径定理）， ∵∠ODB﹣30°， ∴∠OCB﹣∠ODB﹣30° （依据是圆周角定理）， ∵∠BOC﹣90°， ∴BC是⊙A的直径（依据是圆周角定理）． ∴， ∵OB＝2，∠A的坐标为 ，⊙A的半径为2， 故答案为：①垂径定理，②圆周角定理，③圆周角定理，④，⑤2． 【总结提升】此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键． 类型四 图中有直角连直径 名师指导：图中有直径时常添加直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。 12．（2024秋•莱芜区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝20°，则∠BCD的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【思路引领】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠BCD． 【完整解答】解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠A＝90°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠A＝90°﹣20°＝70°， ∵四边形ABCD为⊙O内接四边形， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°， 故选：C． 【总结提升】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 13．（2023秋•盖州市期末）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接DE，且ED＝EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝4，BC＝2．求CD的长． 【思路引领】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长． 【完整解答】（1）证明：∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C， ∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B） ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC； （2）方法一： 解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB＝AC， ∴BE＝CEBC， ∵△CDE∽△CBA， ∴， ∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4， ∴•24CD， ∴CD． 方法二： 解：连接BD， ∵AB为直径， ∴BD⊥AC， 设CD＝a， 由（1）知AC＝AB＝4， 则AD＝4﹣a， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得： BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2 在Rt△CBD中，由勾股定理可得： BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2 ∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2 整理得：a， 即：CD． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．（2023•安徽一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． （1）如图①，求证：AC平分∠DAB； （2）如图②，若AC＝4，DC＝4，求CE的长． 【思路引领】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CD，结合AD⊥CD可证OC∥AD，进而得出∠DAC＝∠ACO，根据等边对等角可得∠OAC＝∠OCA，进而得出∠DAC＝∠CAO，即可得证； （2）连接CE，CB，利用勾股定理求出AD，利用圆内接四边形的性质可证∠DEC＝∠ABC，利用圆周角定理，余角的性质等可证∠ACD＝∠ABC，进而得出∠DEC＝∠ACD，证明△ACD∽△CED，再利用相似三角形的性质求出CE即可． 【完整解答】（1）证明：连接OC，如图①， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠DAB； （2）解：连接CE，CB，如图②， 在Rt△ACD中，AC＝4，DC＝4， ∴AD8， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， 又∠DEC+∠AEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°， 又AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， 又∠DAC＝∠CAO， ∴∠ACD＝∠ABC， ∴∠DEC＝∠ACD， 又∠ADC＝∠CDE， ∴△ACD∽△CED， ∴， 即， 解得CE＝2． 【总结提升】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ACD∽△CED是解第（2）问的关键． 类型五 图中有外接圆时常连半径 名师指导：遇到三角形外接圆时，连接外心和各顶点。作用外心到三角形各顶点的距离相等。 15．（2024秋•琼中县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC． （1）求点O到AC的距离； （2）直接写出弦AC所对的圆周角的度数． 【思路引领】（1）过点O作OE⊥AC于点E，利用勾股定理求解即可． （2）连接OA，利用圆周角定理求出∠B，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可． 【完整解答】解：（1）过点O作OE⊥AC于点E， 则CEAC． ∵AC， ∴CE， 在Rt△OCE中，OC＝4， ∴OE． ∴点O到AC的距离为． （2）连接OA． ∵由（1）知，在Rt△OCE中，CE＝OE， ∴∠OCE＝∠EOC＝45°． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°． ∴∠AOC＝90°． ∴∠B＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°， ∴弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°． 【总结提升】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2024秋•大丰区期末）如图，△ADC的外接圆直径AB交CD于点E，已知∠C＝65°，∠DEB＝60°，求∠D的度数． 【思路引领】连接BC，则∠ACB＝90°，根据圆周角定理可求出∠BCE的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠D的度数． 【完整解答】解：连接BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°，∠C＝65°，∠BCE＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°， ∵∠DEB＝60°， ∴∠D＝∠ABC＝∠DEB﹣∠BCE＝60°﹣25°＝35°． 【总结提升】此题考查的是圆周角定理及三角形外角的性质，解答此题的关键是连接BC，构造出直角三角形． 17．（2024秋•雨花台区月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是的中点，AD是△ABC的高，连接OA、AE． （1）求证：∠OAE＝∠DAE； （2）若∠BAC＝84°，∠ABC＝30°，则∠OAE＝ 　18　°． 【思路引领】（1）连接OE，由垂径定理可知OE⊥BC，结合AD是△ABC的高，可推出AD∥OE；再由OA＝OE即可求证； （2）连接OB，利用∠AOB＝2∠ACB求出∠AOB即可进一步求出∠OAB，再由∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB可求∠OAD，结合（1）中结论即可求解． 【完整解答】（1）证明：连接OE． ∵E是的中点， ∴OE⊥BC， ∵AD⊥BC， ∴AD∥OE， ∴∠DAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠OAE＝∠DAE； （2）解：连接OB，如图所示： ∵∠BAC＝84°，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣84°﹣30°＝66°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝132°， ∵OA＝OB， ∴， ∵∠BAD＝90°﹣∠ABD＝60°， ∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝36°， ∵∠OAE＝∠DAE， ∴． 故答案为：18． 【总结提升】本题考查了垂径定理、圆周角定理等相关知识点．熟记相关结论，作出正确的辅助线是解题关键． 18．（2021秋•西山区校级期中）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且AE与⊙O相切于点A． （1）求证：∠BAE＝∠BCA； （2）若AE∥BC，BC＝8，AB＝2，求⊙O的半径． 【思路引领】（1）连接半径OA，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠OAE＝90°．即可证出结论； （2）连接OC，连接OA交BC于点H，证出OA⊥BC，CH＝BH，分别在△ABH，△OBH中通过勾股定理即可求出结果． 【完整解答】（1）证明：连接OA． ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠D+∠ABD＝90°， ∵AE与⊙O相切于点A， ∴∠OAE＝90°， ∴∠OAB+∠BAE＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠D＝∠BAE， ∵∠BCA＝∠D， ∴∠BAE＝∠BCA； （2）解：连接OC，连接AO交BC于点H， ∵AE∥BC，OA⊥AE， ∴OA⊥BC， ∴CH＝BHBC＝4， 在Rt△ABH中， AH2， 在Rt△OBH中，设OB＝r， ∵OH2+BH2＝OB2， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得：r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【总结提升】本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 模块二 与切线有关的常用辅助线 类型六 作垂线证切线 名师指导：无切点，作垂线，证相等。需证明的切线，条件中未告知与原有交点。则联想切线的定义过圆心作该直线的垂线。证明垂直到圆心的距离等于半径。 19．（2023秋•黔东南州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径． 【思路引领】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）根据勾股定理求出AC＝15，然后根据切线长定理可得AF＝AB＝12，利用勾股定理即可求出半径． 【完整解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF， ∴AC与⊙D相切； （2）解：∵AB＝12，BC＝9， ∴AC15， ∵AC与⊙D相切，AB与⊙D相切， ∴AB＝AF＝12， ∴CF＝AC﹣AF＝15﹣12＝3， ∵DC＝BC﹣BD＝9﹣DF， 在Rt△DCF中，根据勾股定理得： DF2+FC2＝DC2， ∴DF2+32＝（9﹣DF）2， ∴DF＝4． ∴⊙D的半径为4． 【总结提升】本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等． 20．如图，在△ABC中，O为AC上的一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若∠BAD＝60°，AD＝6，求⊙O的半径． 【思路引领】（1）作OE⊥AB于点E，通过证明△OEB≌△OCB得到OE＝OC，从而证明AB是⊙O的切线； （2）先证明△ODA≌△OEA，则OD＝OE，证明点D在⊙O上，再解直角三角形求出OD的长． 【完整解答】（1）证明：如图，作OE⊥AB于点E， ∵AD⊥BO， ∴∠ADB＝90°， ∵⊙O与BC相切于点C， ∴BC⊥OC， ∴∠OCB＝90°， ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠EBO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣∠AOD＝∠OAD， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠CBO＝90°﹣∠BOC＝90°﹣∠AOD＝∠OAD， ∴∠EBO＝∠CBO， ∵∠OEB＝∠OCB＝90°，OB＝OB， ∴△OEB≌△OCB（AAS）， ∴OE＝OC， ∴OE是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：如图，∵∠BAD＝60°， ∴∠AOD＝∠BAD＝60°， ∴∠OAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠OAD＝∠OAE＝30°， ∵∠ODA＝∠OEA＝90°，OA＝OA， ∴△ODA≌△OEA（AAS）， ∴OD＝OE， ∴点D在⊙O上， 在Rt△AOD中，AD＝6，∠OAD＝30°， ∴OD＝AD•tan30°＝62， 即⊙O的半径是2． 【总结提升】此题重点考查圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线并且利用全等三角形的判定与性质解题． 类型七 连半径证垂线 名师指导：有切点，连半径，证垂直。当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理。将该点与圆心连接，再证明该半径与直线垂直。 21．（2023秋•长沙县期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABC＝60°，DE＝3，求图中阴影部分的面积． 【思路引领】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可． （2）根据S阴影＝S扇形AOD﹣S△DOF计算即可． 【完整解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下： 连接OD， ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EBD＝∠OBD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∴OD∥EB， ∵DE⊥BC， ∴DE⊥OD． ∴DE与⊙O相切． （2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∠ABC＝60°，DE＝3， ∴∠ABD＝∠ODB＝30°，DF＝DE＝3， ∴∠AOD＝60°，BD＝2DF＝6，， ∵DF⊥AB， ∴∠FDO＝30°，OD＝2OF， ∴OD2﹣OF2＝9， 解得， ∴． 【总结提升】本题考查了切线的判定，阴影面积计算，正确记忆相关内容是解题关键． 类型八 图中有两相交切线（切线长）连切点 名师指导：遇到切线长，常连接切点和圆心或连接圆心和圆外的一点或连接两切点。作用：根据切线长定理及其他性质，可得到：1.角、线段的等量关系。2.垂直关系。3.全等相似三角形。 22．（2023秋•江阴市校级月考）PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定正确的是（　　） A．△BPA为等腰三角形 B．AP与PD互相垂直平分 C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA边上的中线 【思路引领】由PA，PB是⊙O的切线，根据切线长定理得PA＝PB，则△BPA是等腰三角形，可判断A正确；由AP经过PD的端点，可知AP与PD不能互相垂直平分，可判断B不正确；取OP的中点E，连接OA、OB、EA、EB，因为∠OAP＝∠OBP＝90°，所以EA＝EB＝EO＝EPPO，则点A，B都在以PO为直径的圆上，可判断C正确；由PA＝PB，OA＝OB，证明PO垂直平分AB，则AC＝BC，所以PC为△BPA的中线，可判断D正确，于是得到问题的答案． 【完整解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B， ∴PA＝PB， ∴△BPA是等腰三角形， 故A正确； ∵AP经过PD的端点， ∴AP与PD不能互相垂直平分， 故B不正确； 取OP的中点E，连接OA、OB、EA、EB， ∵PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴EA＝EB＝EO＝EPPO， ∴点A，B都在以PO为直径的圆上， 故C正确； ∵PA＝PB，OA＝OB， ∴点P、点O都在AB的垂直平分线上， ∴PO垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∴PC为△BPA的中线， 故D正确， 故选：B． 【总结提升】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 类型九 图中有内切圆，常连切点和顶点 名师指导：遇到三角形内切圆，连接内心与各顶点（或作垂线），或连接内心与三角形各顶点。作用：利用内线的性质可得：1.内心与三角形三个顶点的连线是三角形各内角的平分线。2.内心到三角形三边的距离相等。 23．（2023秋•绵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆的半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 【思路引领】由勾股定理求出AB＝5，设内切圆与AC边的切点为D，与BC边的切点为F，与AB边的切点为E，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，圆的半径为r，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，再由等面积法得出6r＝6，即可得解． 【完整解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， 设内切圆与AC边的切点为D，与BC边的切点为F，与AB边的切点为E，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，圆的半径为r， ， 则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC， ∵，， ∴6r＝6， ∴r＝1， 故选：A． 【总结提升】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式， 24．（2023秋•广元期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC相切于点D、E、F，已知AB＝4，AC＝3，BC＝5，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】连接AO，BO，CO，DO，EO，FO．根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB，再根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝6求出OE，接下来设BE＝x，根据切线长定理得出CE＝CF，AD＝AF，BD＝BE，求出BE，再根据勾股定理求出BO，结合DO＝EO，BD＝BE可知BO是DE的垂直平分线，然后根据求出EG，进而得出答案． 【完整解答】解：连接AO，BO，CO，DO，EO，FO． 根据题意可知OE＝OD＝OF，且OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB， ∵AB＝4，AC＝3，BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2 ∴△ABC是直角三角形 ∴， ∴， 即， 解得OE＝12÷（3+4+5）＝1． 设BE＝x， 则BD＝BE＝x，CE＝CF＝5﹣x，AD＝AF＝4﹣x，得5﹣x+4﹣x＝3， ﹣x﹣x＝3﹣5﹣4， ﹣2x＝﹣6， x＝3， ∴BE＝3． 在Rt△B O E中，， ∵DO＝EO，BD＝BE， ∴BO是DE的垂直平分线， ∴DG＝EG． ∵， 即， 解得EG， ∴． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键． 类型十 构造弦或构造辅助圆 24．（2021秋•江宁区期中）如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H． （1）求证AE＝AH； （2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形． 【思路引领】（1）连接DE、BH，利用△ADE≌△ABH即可得出结论； （2）连接DE，DF，通过证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG得到四边形EFGH的两组 对边相等，可以判定四边形EFGH为平行四边形，再利用平行四边形的性质和圆内接四边形的性质证明∠FEH＝90°，则四边形EFGH为矩形． 【完整解答】证明：（1）连接DE、BH，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， 在△ADE和△ABH中， ， ∴△ADE≌△ABH（ASA）， ∴AE＝AH． （2）∵AB＝AD，AE＝AH． ∴AB﹣AE＝AD﹣AH． 即BE＝DH． ∴． 同理 ∴． 即． ∴EF＝GH． 连接DE，DF，如图， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BED＝∠BFD＝90°． ∴∠AED＝∠CFD＝90°． 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）． ∴AE＝CF． ∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG ∴AH＝CG． 在△AEH和△CFG中， ， ∴△AEH≌△CFG（SAS）． ∴EH＝FG． ∴四边形EFGH是平行四边形． ∴∠FEH＝∠FGH． ∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形， ∴∠FEH+∠FGH＝180°． ∴∠FEH＝90°． ∴四边形EFGH是矩形． 【总结提升】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的匹配度与性质，菱形的性质，矩形的判定，利用同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 25．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】在凹四边形BCDP中，证明∠BPD＝135°，得点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上，进而得到当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 在凹四边形BCDP中， ∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°， ∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°， ∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°， 得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°， 即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上， 由图可得AP+CP≥AC， 当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP， 在Rt△ABC中， ∵AB＝BC＝1， ∴AC， ∵AP＝AB＝1， ∴CP＝AC﹣AP． 故选：D． 【总结提升】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，隐圆问题，本题的关键是证明∠BPD是定值，从而得到点P的轨迹解题． 26．（2024•会东县二模）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【思路引领】如图取BE的中点K．连接AK、OK．只要证明KA＝KB＝KO＝KE，推出A、B、O、E四点共圆，可得∠ABE＝∠AOE＝20°． 【完整解答】解：如图取BE的中点K．连接AK、OK． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝90°， ∵EO⊥BD， ∴∠BOE＝90°， ∴四边形ABOE对角互补， ∴A、B、O、E四点共圆， ∵BK＝KE， ∴KA＝KB＝KO＝KE， ∴∠ABE＝∠AOE＝20°， 故选：C． 【总结提升】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 27．（2024秋•镇江期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝6，，AD∥BC，点E在射线AD上运动，连接CE，过点A，B，E三点的圆交CE于点E，则AF的最小值＝　2　． 【思路引领】要想求AF最小值，则需知道点F的轨迹，由题易得∠BFC＝135°，根据定弦对定角模型，可知点F在以BC为弦的圆O上运动，且∠BOC＝90°，三点共线取最小值，进而求解即可． 【完整解答】解：连接BF， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝∠ABC＝45°， ∵， ∴∠BFE＝∠BAD＝45°， ∴∠BFC＝135°， ∴点F在以BC为弦的圆O上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到F'位置时，AF'＝OA﹣OF'最小， ∵∠BFC＝135°， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠ABO＝∠ABC+∠OBC＝90°，OB8， ∵AB＝6， ∴OA10， ∴AF'＝OA﹣OF'＝2， 即AF最小值为2， 故答案为：2． 【总结提升】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、定点对定角模型等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$