专题13 圆中的分类讨论思想——两解及多解问题题型总结（解析版+原卷版）-2025年中考数学二轮复习专题提优重难点拓展综合训练

专题13 圆中的分类讨论思想——两解及多解问题题型总结（原卷版） 类型一 圆心在两弦之间或者两弦之外 1．（2024秋•东西湖区期中）如图，AB，CD是⊙O中两条平行的弦（AB和CD在圆心O的两侧），且AB＝4，CD＝6，⊙O的半径是，则AB、CD之间的距离为 　 ． 2．（2024秋•兴化市月考）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为20dm，下雨前水面宽AB为12dm．一场雨过后，水面宽变为16dm，则水位上升 　dm． 类型二 讨论弦上某点或端点的位置 3．（2024秋•渝中区期中）在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为　 ． 4．（2020春•东城区期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则CM的长为（　　） A．2cm B．3cm C．2cm或8cm D．3cm或7cm 类型三 讨论点在优弧上或劣弧上 5．（2024•平山县模拟）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（　　） A． B． C．或 D．或 6．（2024秋•罗庄区期中）已知圆内接△ABC，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，腰长AB＝　 ． 7．（2023秋•东台市月考）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 　 　． 类型四 弦所对的圆周角 8．（2024秋•冠县期中）在半径为2cm的圆内有长为cm的弦AB，这条弦所对的圆周角的度数为 　 　． 9．（2023秋•花垣县期中）如图，A、B、C是⊙O上的三点，并且∠BAC＝70°，点P是圆上的一个动点（点P不与点A、B、C重合），连接PB、PC，则∠BPC的度数是（　　） A．70° B．110° C．70°或140° D．70°或110° 10．（2023秋•武进区月考）一条弦把圆分成1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ． 11．（2023•抚远市三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC＝2cm，则∠A＝　 　． 类型五 讨论圆内接三角形的形状 12．（2024秋•牡丹江期中）半径为6的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 　 ． 13．已知顶角A为40°的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是⊙O上一点，则∠ADB＝　 　． 类型六 讨论点与圆的位置关系 14．（2023秋•新华区月考）若⊙O所在的平面内上有一点P，它到⊙O上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定 15．（2024•绥江县三模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C．a D．b 类型七 讨论直线与圆的位置关系 16．（2024•城阳区一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB＝3cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 17．（2022秋•任泽区月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 　 ． 18．（2023•芜湖模拟）如图，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．6秒 B．8秒 C．6秒或8秒 D．6秒或16秒 19．（2022春•虹口区期中）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 cm． 20．（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F． （1）求AO及AF的长； （2）将线段CD连同半圆O绕点C旋转． ①求旋转过程中，点O到AB距离的最小值； ②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切时，设切点为K，连接AK，直接写出AK的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 圆中的分类讨论思想——两解及多解问题题型总结（解析版） 类型一 圆心在两弦之间或者两弦之外 1．（2024秋•东西湖区期中）如图，AB，CD是⊙O中两条平行的弦（AB和CD在圆心O的两侧），且AB＝4，CD＝6，⊙O的半径是，则AB、CD之间的距离为 　5　． 【思路引领】作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，由垂径定理，勾股定理即可求解． 【完整解答】解：作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD， ∵AB∥CD， ∴ON⊥CD， ∵AB＝4，CD＝6， ∴MBAB＝2，DNCD＝3， ∵OB2＝OM2+MB2， ∴OM， ∵OD2＝ON2+DN2， ∴ON， ∴MN＝OM+ON＝3+2＝5． 故答案为：5． 【总结提升】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD 构造直角三角形，以便应用垂径定理，勾股定理． 2．（2024秋•兴化市月考）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为20dm，下雨前水面宽AB为12dm．一场雨过后，水面宽变为16dm，则水位上升 　2或14　dm． 【思路引领】过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可． 【完整解答】解：①如图，过O作OE⊥AB于E，交CD与F连接OB、OC， 由题意得：AB∥CD， ∵OE⊥AB， ∴OE⊥CD， ∴∠OFC＝∠OEB＝90°，，， ∴由勾股定理得：，， ∴EF＝OE﹣OF＝8﹣6＝2（dm）， ∴水位上升2dm； ②如图，过O作OG⊥AB于G，交MN与H连接OB、OM， 由题意得：AB∥MN， ∵OG⊥AB， ∴OH⊥MN， ∴∠OHM＝∠OGB＝90°，，， ∴由勾股定理得：，， ∴GH＝OG+OH＝8+6＝14（dm）， ∴水位上升14dm； 综上可知：水位上升2dm或14dm， 故答案为：2或14． 【总结提升】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型二 讨论弦上某点或端点的位置 3．（2024秋•渝中区期中）在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为　8﹣2或8+2　． 【思路引领】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可． 【完整解答】解：作OC⊥AB于点C， ∴ACAB＝8， 由勾股定理得，OC6， ∴PC2， 当点P在线段AC上时，AP＝AC﹣PC＝8﹣2， 当点P在线段BC上时，AP＝8+2， 故答案为：8﹣2或8+2． 【总结提升】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键． 4．（2020春•东城区期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则CM的长为（　　） A．2cm B．3cm C．2cm或8cm D．3cm或7cm 【思路引领】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论． 【完整解答】解：连接AO， ∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AMAB8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm） 当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM3（cm）， ∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm）； 当C点位置如图2所示时， 同理可得：OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴CM＝5﹣3＝2（cm）； 综上所述，CM的长为8cm或2cm， 故选：C． 【总结提升】本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键． 类型三 讨论点在优弧上或劣弧上 5．（2024•平山县模拟）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC所对的弧长为（　　） A． B． C．或 D．或 【思路引领】先根据题意画出图形，过点O分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【完整解答】解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA， ∵AB，AC， ∴AD，AE， 根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD， ∴∠AOD＝45°， ∵sin∠AOE， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝45°，∠OAC＝90°﹣∠AOE＝30°， ∴∠BAC＝∠OAD+∠OAC＝45°+30°＝75°， ∴的长． ②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD＝45°，∠AOE＝60°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OAC＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，∠OAB＝90°﹣∠AOD＝90°﹣45°＝45°． ∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAC＝45°﹣30°＝15°， ∴的长． 故选：D． 【总结提升】本题考查的是垂径定理及勾股定理，弧长公式，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 6．（2024秋•罗庄区期中）已知圆内接△ABC，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，腰长AB＝　2cm或2cm　． 【思路引领】可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD＝10cm；圆心在内接三角形外时，AD＝4cm 【完整解答】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论， 如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形， 连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD， ∵AB＝AC， ∴AD是BC的中垂线， ∴OD也是BC的中垂线， ∴A、O、D三点共线， ∵OD＝3cm，OB＝7cm， ∴AD＝10cm， ∴BD2cm， ∵OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴AB2cm； 如图二，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形， 和图一解法一样，只是AD＝7﹣3＝4cm， ∴AB2cm， 综上可得腰长AB＝2cm或2cm． 故答案为：2cm或2cm 【总结提升】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，有一定难度． 7．（2023秋•东台市月考）在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 　2或8　． 【思路引领】点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BEAB＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后分别计算出DE和CE即可． 【完整解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，如图， ∵点C和D为弦AB所对弧的中点， ∴CD为直径，CD⊥AB， ∴AE＝BEAB＝4， 在Rt△OAE中，OA＝5，AE＝4， ∴OE3， ∴DE＝OD+OE＝8，CE＝OC﹣OE＝2， 即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为2，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为8． 故答案为：2或8． 【总结提升】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧解答． 类型四 弦所对的圆周角 8．（2024秋•冠县期中）在半径为2cm的圆内有长为cm的弦AB，这条弦所对的圆周角的度数为 　60°或120°　． 【思路引领】过点O作OC⊥AB，垂足为C，所以AC＝CB．利用勾股定理，可以求出OC，根据三角函数值求出∠AOC，再求出∠AOB，由此得出这条弦所对的圆周角度数． 【完整解答】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C， ∴AC＝CB， ∵AB， ∴AC， 在Rt△OAC中，sin∠AOC， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠AOB＝120°， ∴这条弦所对的圆周角为60°或120°， 故答案为：60°或120°． 【总结提升】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，要注意一条弦所对的圆周角有两个． 9．（2023秋•花垣县期中）如图，A、B、C是⊙O上的三点，并且∠BAC＝70°，点P是圆上的一个动点（点P不与点A、B、C重合），连接PB、PC，则∠BPC的度数是（　　） A．70° B．110° C．70°或140° D．70°或110° 【思路引领】根据同弧所对的圆周角相等以及圆内接四边形对角互补即可求解． 【完整解答】解：如图所示， 当P在上时，∠BPC＝∠BAC＝70°， 当P在上时，∠BPC＝180°﹣∠BAC＝110°， 故选：D． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解决本题的关键是掌握圆内接四边形对角互补． 10．（2023秋•武进区月考）一条弦把圆分成1：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数． 【思路引领】根据圆心角、弧、弦的关系分别计算弦AB所对优弧和劣弧所对的圆心角的度数，再利用圆周角定理求出对应的圆周角即可． 【完整解答】解：根据题意，作图如图所示： 点C、C′分别是弦AB所对优弧和劣弧上的任意一点，连接OA、OB、AC、BC、AC′、BC′． ∵：1：4， ∴弧AC′B所对的圆心角的度数是360°72°，弧ACB所对的圆心角的度数是360°288°， ∴∠ACB72°＝36°，∠ACB288°＝144°， ∴这条弦所对的圆周角的度数是36°或144°． 【总结提升】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 11．（2023•抚远市三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC＝2cm，则∠A＝　60°或120°　． 【思路引领】首先利用垂径定理求出弦BC所对的圆心角的度数，分情况讨论点A在优弧BC和劣弧BC上，利用圆周角定理及其推论求解． 【完整解答】解：如图， ∵BC＝2，OD⊥BC， ∴BD， 在Rt△BOD中， sin∠BOD， ∴∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵∠A1BOC＝60°， ∵四边形A1BA2C为圆内接四边形， ∴∠A2＝180°﹣60°＝120°， 故答案为60°或120°． 【总结提升】本题主要考查了三角形的外接圆，解题关键是利用垂径定理求出弦BC所对的圆心角的度数，分情况讨论点A在优弧BC和劣弧BC上，利用圆周角定理及其推论求解． 类型五 讨论圆内接三角形的形状 12．（2024秋•牡丹江期中）半径为6的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 　6或　． 【思路引领】如图1，当∠ODB＝90°时，可得△ABC是等边三角形，解直角△OBD可求解；如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，解△BOC可求解． 【完整解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时， ∴CD⊥AB， ∴AD＝BD， ∴AC＝BC， ∵AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCDABC＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠DBO＝30°， ∵OB＝6， ∴， ∴， ∴， 如图2，当∠DOB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴， 综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为或， 故答案为：或． 【总结提升】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键． 13．已知顶角A为40°的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，D是⊙O上一点，则∠ADB＝　70°或110°　． 【思路引领】根据等腰三角形的性质得到∠C＝70°，分类讨论：当点D在优弧ACB上时，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠C＝70°，当点D在弧AB上时，根据圆内接四边形的性质得到∠AD′C＝180°﹣∠C＝110°． 【完整解答】解：如图， ∵等腰△ABC的顶角A为40°， ∴∠C（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ADC＝∠C＝70°， ∴∠AD′C＝180°﹣∠C＝110°． 故答案为70°或110°． 【总结提升】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 类型六 讨论点与圆的位置关系 14．（2023秋•新华区月考）若⊙O所在的平面内上有一点P，它到⊙O上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定 【思路引领】点P可能在圆内．也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论． 【完整解答】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是（6﹣2）÷2＝2； 当点在圆内时，则这个圆的半径是（6+2）÷2＝4． 故选：C． 【总结提升】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决． 15．（2024•绥江县三模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C．a D．b 【思路引领】根据点P在圆外可知a﹣b即为圆的直径，进而可得出结论． 【完整解答】解：∵点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴⊙O的半径为． 故选：B． 【总结提升】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 类型七 讨论直线与圆的位置关系 16．（2024•城阳区一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB＝3cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【思路引领】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【完整解答】解：∵⊙O的半径为3cm，OA＝4cm，OB＝3cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【总结提升】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 17．（2022秋•任泽区月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　　；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 　3＜r≤4或　． 【思路引领】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断． 【完整解答】解：如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∵， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离， ∴r的取值范围为， ∵⊙C与AB边只有一个公共点， ∴r的取值范围为3＜r≤4或， 故答案为：，3＜r≤4或． 【总结提升】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．（2023•芜湖模拟）如图，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．6秒 B．8秒 C．6秒或8秒 D．6秒或16秒 【思路引领】求出A（3，0），B（0，﹣4），分两种情况画出图形，由切线的性质及相似三角形的判定与性质可求出答案． 【完整解答】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当x＝0时，y＝﹣4， 当y＝0时，，x＝3， ∴A（3，0），B（0，﹣4）， ∴OA＝3，OB＝4， 如图，当点C在线段OB上时， ∵⊙C与AB相切， ∴∠CDB＝90°， ∴∠CDB＝∠BOA， 又∵∠CBD＝∠OBA， ∴△CDB∽△AOB， ∴， ∴， ∴BC， ∴OC＝4， ∴运动的时间为（）÷0.5＝6（秒）， 当点C在线段OB的延长线上时，同理△CBE∽△ABO， ∴， ∴BC， 则运动的时间为（）÷0.5＝16（秒）． 故选：D． 【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 19．（2022春•虹口区期中）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是5cm，圆心O到直线l1的距离是2cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 　7或3　cm． 【思路引领】根据平行线之间的距离处理即可，注意分类讨论． 【完整解答】解：∵圆O与直线l1、l2有三个公共点， ∴l2是圆的切线， 分两种情况： 当l1、l2在圆心O的同侧时，圆O的半径为5+2＝7（cm）， 当l1、l2在圆心O的异侧时，圆O的半径为5﹣2＝3（cm）， ∴圆O的半径为7cm或3cm． 故答案为：7或3． 【总结提升】本题主要考查平行线之间的距离，解题关键是对l1、l2与圆心O的位置进行分类讨论． 20．（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F． （1）求AO及AF的长； （2）将线段CD连同半圆O绕点C旋转． ①求旋转过程中，点O到AB距离的最小值； ②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切时，设切点为K，连接AK，直接写出AK的长． 【思路引领】（1）由勾股定理求出AC＝8，由三角形相似求出OH＝3，则可得出答案； （2）①当CD⊥AB时，点O到AB的距离最小，由三角形面积公式可得出答案； ②分两种情况：当半圆O与BC相切时，当半圆O与AC相时，由切线的性质及勾股定理可得出答案． 【完整解答】解：（1）如图1， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC8，且O是AC的中点， ∴AO＝CO4， 过点O作OH⊥AC交AB于点H， ∴∠AOH＝90°， ∵∠C＝90°，且∠A＝∠A， ∴Rt△ABC∽Rt△AHO，且AO， ∴， 即OH＝3， ∴点H与点F重合， ∴AF5； （2）①当CD⊥AB时，点O到AB的距离最小， 由三角形面积公式可得，， ∴， ∴， ∴点O到AB距离的最小值是； ②当半圆O与BC相切时，如图2，设切点为K，连接OK，AK， 则∠OKC＝90°， 在Rt△OCK中，OK＝3，OC＝4， ∴CK， 在Rt△ACK中，AC＝8， ∴AK， 当半圆O与AC相时，如图3，设切点为K，连接OK， ∴∠OKC＝90°， 在Rt△OCK中，OK＝3，OC＝4， ∴CK， ∴AK＝AC﹣CK＝8． ∴AK的长为或． 【总结提升】此题考查圆的综合应用，掌握切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$