6.2.1排列9题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.1 排列9题型分类 一、排列概念 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.要点诠释: （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 二、排列数 1.排列数的定义： 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. 2.要点诠释: “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 三、排列数公式 1.. 2.要点诠释: 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数. 四、阶乘 1．阶乘的概念： 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． 2.排列数公式的阶乘式： . 五、排列的常见类型与处理方法 1.相邻元素捆绑法 2.相离问题插空法 3.元素分析法 4.位置分析法 （一） 排列与排列数 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数： （1）排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. （2）排列数公式：. （3）阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （4）排列数的阶乘式： 3.排列数公式的应用 （1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． （2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“”的运用． 题型1：排列概念的理解 1．（2024高二·吉林长春月考）下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解. 【解析】根据排列及排列数的定义，可得： 对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题； 对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题. 故选：A. 2．（2024高二·全国月考）给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【分析】根据排列的定义判断即可 【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题； 对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题； 对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题， 故答案为：② 3．（第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列）下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④      B．①②      C．③④      D．①③④ 【答案】A 【解析】①从10个人中选2人分别去种树和扫地，与顺序有关，故是排列；②从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，故不是排列；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，故不是排列；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，与顺序有关，故是排列，故选：A. 4．（2024高二·全国月考）判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)是 (6)是 【分析】根据排列定义分别判断即可. 【解析】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题． 5．（2024高二·全国月考）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可. 【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 题型2：与排列数有关的运算 6．（2024高二·福建·期末）可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义可得出答案． 【解析】 ， 故选：B. 7．（2024高二·河北张家口月考）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数定义即可求得可表示为 【解析】中 总共有个数连乘， 故. 故选：A 8．（2024高二·江苏月考） . 【答案】120 【分析】应用排列数公式整理化简求值即可. 【解析】由. 故答案为： 9．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)348； (2)64. 【分析】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答. 【解析】（1）. （2）. 10．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）根据排列数的计算公式，即可直接求解； （2）根据排列数的计算公式，即可直接求解； （3）根据排列数的计算公式，即可直接求解； （4）根据排列数的计算公式，即可直接求解； 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 11．（2024高二·江苏月考）求不等式的解集． 【答案】 【分析】 由题设可得，化简整理，结合且求解集. 【解析】 由题设，则， 所以， 又且，则且， 所以且，则解集为. 12．（2024高二·江苏月考）解不等式： 【答案】6 【分析】 根据排列数公式及不等式可得，进而求解集即可. 【解析】 由原不等式得且， 所以，即，解得且， 所以. 题型3：排列数的证明 13．（2024高二·江苏月考）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解析】（1）证明：. （2）证明：. 14．（2024高二·全国月考）求证：（1）； （2）. 【答案】见详解. 【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立； （2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立. 【解析】（1）左边 右边， ∴结论成立，即； （2）当时， 左边 右边， ∴结论成立，即. （二） 无限制条件的排列问题 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． 题型4：无限制条件的排列问题 15．（2024高三·重庆渝中月考）某记者要去武汉4个医院采访，则不同的采访顺序有（　　） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】D 【分析】根据排列计算即可. 【解析】由题意可得不同的采访顺序有=24（种）， 故选：D. 16．（2024高二·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【分析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案. 【解析】“word”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 故选：B 17．（2024·上海闵行模拟预测）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ． 【答案】 【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【解析】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择， 再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种. 故答案为：. 18．（2024高二·黑龙江鸡西·期中）5月12日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲座，还要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【答案】D 【分析】3个学校进行排列，直接利用排列数公式计算即可. 【解析】要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为， 故选：D. （三） 排队问题 1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． ①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． ②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． 题型5：相邻问题 19．（2024高三·黑龙江鸡西·期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【答案】B 【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解. 【解析】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素， 先排除去丙的5个元素，共有种排法， 再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法， 所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种. 故选：B. 20．（2024·山西临汾模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 【答案】C 【分析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆绑法结合排列数、组合数运算求解. 【解析】由题意可知：D站在前排，A站在后排， 若E和F站在前排，则不同的排列方式共有； 若E和F站在后排，则不同的排列方式共有； 所以不同的排列方式共有种. 故选：C. 21．（2024·广东韶关模拟预测）现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）. 【答案】24 【分析】法一：先将捆绑，再排除以外其他人，最后插空即可； 法二：先将捆绑，进行全排列，再减去在两边的情况. 【解析】法一：将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边， 所以可选的位置有两种，所以共种排法； 法二：将捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种， 其中排在两边的情况有种， 所以不排在两边的情况有种； 故答案为：. 22．（2024·广西模拟预测）一排有6个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（    ） A．10种 B．12种 C．72种 D．144种 【答案】B 【分析】采用捆绑法和插空法进行求解. 【解析】三个通电的放好，有四个空，两个相邻的不通电的捆绑在一起算一个元素， 另一个不通电算一个元素，插入两个空，有顺序，所以种. 故选：B 23．（2024高二·新疆伊犁·期中）为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】C 【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解. 【解析】由题意可得， 故选:C 题型6：不相邻问题 24．（2024高二·北京·期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可. 【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况， 然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况. 故选：A. 25．（2024·安徽模拟预测）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种． A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解． 【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 则不同的排法共有种， 故选：． 26．（2024·贵州铜仁模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】A 【分析】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可. 【解析】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种. 故选：A. 27．（2024高三·湖北月考）已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（    ） A．40 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】根据题意可按照分类加法和分步乘法计数原理进行计算即可得出结果. 【解析】设这5个人分别为：ABCDE，则要求B与C和D与E的演讲顺序都不能相邻. 第一类：A在BC中间，此时再把D与E插空到这3人中间， 此时的不同的演讲顺序有 第二类：A不在BC中间，此时先考虑B与C和D与E，分别将他们看成两个人的整体，再将他们的顺序应相间排列，最后考虑A，此时的不同的演讲顺序有 综上可得：总共有48种不同的演讲顺序， 故选：D. 28．（2024高二·江苏·单元测试）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据排列组合，结合相邻问题，即可求解. 【解析】（方法1：间接法）：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为． （方法2：直接法）：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有种站法，其余三名学生任意排列有种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（种）． 或者，四名同学全排时，甲同学与老师相邻与甲同学与老师不相邻各占，故有． 故选:BCD． 29．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（    ） A． B． C．84 D． 【答案】AB 【分析】利用不相邻问题插空法，或用全排列减去甲乙相邻的排法. 【解析】先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共种不同的排法， 再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法， 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，不同的排法种数是； 5人并排站成一行有种不同的排法， 若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有种不同的排法， 所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是. 故选：AB． 题型7：相邻与不相邻问题综合 30．（2024高二·重庆荣昌·期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)720种 (2)1440种 (3)960种． 【分析】（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果； （2）根据题意，由插空法，即可得到结果； （3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有种； （3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种． 31．（2024高二·山西晋中·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？ (2)5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)36； (2)24； 【分析】（1）先排两端，再排中间，根据分步乘法计数原理计算即可； （2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可； 【解析】（1）首先排两端，从甲、戊以外的3人中选出2人站两端，有种排法； 中间3个位置全排列，有种排法， 所以共有种排法． （2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种排法． 32．（2024高二·全国月考）4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数． (1)男生和女生均相邻； (2)男生均相邻； (3)女生均不相邻； (4)男生与男生、女生与女生均不相邻； (5)至少有两个女生相邻． 【答案】(1)288 (2)576 (3)1440 (4)144 (5)3600 【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，即可求出结果； （2）利用相邻问题捆绑法，再把男生当成一人，与女生全排即可求出结果； （3）先排男生有种，再利用不相邻问题插空法即可求出结果； （4）先排男生有种，再把女生插入3个空格处即可求出结果； （5）分两类：一类3个女生全相邻，二类是恰有2个女生相邻，分别求出两类的站法种数，再利用分类计算原理即可求出结果. 【解析】（1）因为男生和女生均相邻，将男生和女生分别看成一个整体，再进行全排，所以共有站法种数为种； （2）因为男生均相邻，将男生看成一个整体，再和其余女生进行全排，所以共有站法种数为种； （3）因为女生均不相邻，先将男生任意排列，再将女生插空，所以共有站法种数为种； （4）因为男生与男生、女生与女生均不相邻，将男女生相间排列，所以共有站法种数为种； （5）当3个女生全相邻，共有站法种数为种， 恰有2个女生相邻，共有站法种数为种， 所以至少有两个女生相邻，共有站法种数为种. （四） 排列中的定序问题 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： ①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． ②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中． 题型8：定序问题 33．（2024高三·四川攀枝花月考）2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝.我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排法一共有（ ）种 A．72 B．36 C．45 D．90 【答案】D 【分析】采用插空法，分为插入两个空和一个空两种方法. 【解析】原本8个节目顺序不动，形成个空， 将两个红歌合唱节目插进去，可以插入两个空或一个空两种， 所以共有种排法. 故选：D 34．（2024高二·全国月考）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【答案】30240 【分析】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序男生人数的全排列. 【解析】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：30240. 35．（2024高二·全国月考）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【解析】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. （五） 数字排列问题 数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数． 题型9：数字排列问题 36．（2024高二·上海普陀·期末）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有 个．（用数字作答） 【答案】 【分析】分析可知，个位数只能排或，其他数位没有限制，结合分步乘法计数原理可得结果. 【解析】由题意可知，个位数只能排或，其他数位没有限制， 因此，能被整除的五位数的个数为个. 故答案为：. 37．（2024高二·全国月考）用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ 【答案】可以组成个无重复数字的五位数；能被5整除的五位数有个. 【分析】根据排列数的计算公式以及题目的要求求得正确答案. 【解析】用可以组成个无重复数字的五位数. 若五位数的个位为，这样的五位数有个. 若五位数的个位为，这样的五位数有个. 所以其中能被5整除的五位数有个. 38．（2024高二·广东肇庆·期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数． (1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） (2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】(1)72 (2)48 【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解； （2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【解析】（1）从1，3，5中选一个填入个位，有种， 剩余四个位置全排列，有种， 故共有个． （2）3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有种， 其他位置进行全排列，有种， 故共有个． 39．（2024高二·全国月考）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？ 【答案】360 【分析】偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解； 【解析】偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位上有种排法， 由分步乘法计数原理，知共有四位偶数(个). 一、单选题 1．（2024高二·全国月考）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案. 【解析】由题意所有排列的方法种数为， 故答案为：C 2．（2024高二·广西防城港·期中）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（ ） A．2301 B．2304 C．2305 D．2310 【答案】A 【分析】依次计算首位为1、前两位为20、前两位为21的有多少个数，然后可得答案. 【解析】首位为1的有个，前两位为20的有个，前两位为21的有个， 所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301. 故选：A. 3．（2024高二·广东江门·期中）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 【答案】D 【分析】根据排列数计算出正确答案. 【解析】依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为. 故选：D 4．（2024高二·全国月考）等于（　　） A．107 B．323 C．320 D．348 【答案】D 【分析】 根据排列数计算即可； 【解析】. 故选：D. 5．（2024高二·北京通州·期中）计算：（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算可得结果. 【解析】. 故选：D 6．（2024·河南开封模拟预测）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【答案】B 【分析】特殊位置优先排，分类求解可得. 【解析】当甲跑第1棒时，则有种选择方法； 当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有种选择方法，乙不参加比赛则有种选择方法． 故合适的选择方法种数为种． 故选：B 7．（2024·全国模拟预测）甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（    ） A．27种 B．72种 C．36种 D．54种 【答案】C 【分析】根据题意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列数的计算，即可得到结果. 【解析】根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名， 先排甲乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为种. 故选：C 8．（2024·四川乐山模拟预测）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 【答案】B 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【解析】比小的有，共个，从中选出个排在的右边和下方，方法数有种， 比大的有，共个，从中选出个排在的左边和上方，方法数有种， 所以不同的填法种数为种. 故选：B 9．（2024高三·甘肃白银月考）甲､乙､丙､丁等7人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（    ） A．576种 B．448种 C．288种 D．224种 【答案】A 【分析】分两种情况讨论，第一种情况为丙和甲､乙中的1人相邻，优先排列甲､乙､丙位置，再将三人捆绑，将除丁外三人先排列，再将捆绑的整体和丁用插空法排列即可；第二种情况为若丙和甲､乙不相邻，先优先排列甲､乙位置后捆绑，再将除甲､乙､丙、丁外的三人先排列，最后用插空法将捆绑整体和丙、丁插空排列即可. 【解析】若丙和甲､乙中的1人相邻，则满足条件的站法共有种， 若丙和甲､乙不相邻，则满足条件的站法共有种，故总的站法共有576种. 故选：A 二、多选题 10．（2024高二·全国月考）下列问题中，属于排列问题的有（    ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法 C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义即可得到结果 【解析】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确； 对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误； 对于C，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误； 对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确． 故选：AD 11．（2024高二·重庆南岸·期中）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若A、B两人站在一起有48种方法 B．若A、B不相邻共有12种方法 C．若A在B左边有60种排法 D．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法 【答案】AC 【分析】对于A：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B：利用间接法，在总体中排除A、B两人站在一起的情况；对于C：根据对称性分析求解；对于D：利用间接法，结合组合数运算求解. 【解析】对于选项A：若A、B两人站在一起，则有种方法，故A正确； 对于选项B：A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则有种方法， 所以A、B不相邻共有种方法，故B错误； 对于选项C：根据对称可知A在B左边有种排法，故C正确； 对于选项D：A站在最左边，则有种方法， B站最右边，则有种方法， A站在最左边，B站最右边，则有种方法， 所以A不站在最左边，B不站最右边，有种方法，故D错误. 故选：AC 12．（2024高二·全国月考）(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【分析】可用直接法先排第一位数字，再排后三位；也可用间接法先进行全排列，再排除首位是的情况. 【解析】(直接法)先排第一位，有种方法，再排后三位有种方法，所以共有种排法； (间接法)先进行全排列共有种排法，首位是的排法为,所以共有－排法， 故选： 三、填空题 13．（2024高二·山东月考）方程，的解为 ． 【答案】5 【分析】由排列数公式直接得到关于的方程，解出的值，再代入检验得到答案. 【解析】因为，则且，则且 所以， 即，解得或（舍去）． 故答案为： 5 14．（2024高三·上海长宁·期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种. 【答案】54 【分析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案. 【解析】若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有种不同参赛方案， 若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有种， 所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种. 故答案为：54. 15．（2024·江苏南京模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 ． 【答案】28 【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可． 【解析】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论． 最大数为5的情况： ①，此时共有种情况； 最大数为4的情况： ②，此时共有种情况； ③，此时共有种情况． 当最大数为3时，，故没有满足题意的情况． 综上，满足条件的有序数组的个数是． 故答案为：28． 16．（2024高三·广东东莞月考）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)． 【答案】24 【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数. 【解析】将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种， 排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有种， 综上，共有种排法. 故答案为： 四、解答题 17．（2024高二·全国月考）解不等式：． 【答案】． 【分析】根据排列数的公式直接求解即可. 【解析】由，得，，化简得，解得，所以． 由，得． 18．（2024高二·江苏月考）求证：． 【答案】证明见详解 【分析】利用排列数的计算公式即可证明. 【解析】左边， 右边， 所以，即证. 19．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)360 (2)90 【分析】根据排列数的计算公式求得正确答案. 【解析】（1）. （2）. 20．（2024高三·全国月考）现有8个人男3女）站成一排. (1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？ (4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ (5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ (6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？ (7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？ (8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？ (9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ (10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）利用捆绑法，然后将内部和整体全排列即可； （2）直接将剩下的7人全排列即可； （3）先安排甲乙，然后将剩下的人全排列即可； （4）先将出甲乙之外的6人全排列，然后将甲乙插入即可； （5）直接全排列，然后除二即可； （6）先将出甲乙丙之外的5人全排列，然后插入甲乙丙即可； （7）将3名女生和5名男生分别看成一个整体，然后对内部和整体全排列即可； （8）先在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，剩下的人全排列即可； （9）先将甲乙两人安排在后面的5个位置，剩下的人全排列即可； （10）将5名男生全排列，然后将女生插入空隙即可. 【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况， 将这个整体与5名男生全排列，有种情况， 则女生必须排在一起的排法有种； （2）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况， 将剩下的7人全排列，有种情况， 则甲必须站在排头有种排法； （3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况， 将剩下的6人全排列，有种情况， 则甲、乙两人不能排在两端有种排法； （4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位， 则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况， 则甲、乙两人不相邻有种排法； （5）根据题意，将8人全排列，有种情况， 其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同， 则甲在乙的左边有种不同的排法； （6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位， 则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况， 其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法； （7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况， 再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况， 将男生、女生整体全排列，有种情况， 则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法； （8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况， 将剩下的6人全排列，有种情况， 则第3和第6个排男生，有种不同排法； （9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况， 将剩下的6人全排列，有种情况， 甲乙不能排在前3位，有种不同排法； （10）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选， 在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况， 则女生两旁必须有男生，有种不同排法. 21．（2024高二·山东德州月考）名男生和名女生站成一排． (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (3)男、女分别排在一起的站法有多少种？ (4)男、女相间的站法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 (5)种 【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解； （2）按有特殊位置元素的排列方法求解； （3）按捆绑法排列即可； （4）按插空法排列即可； （5）按部分均匀的排列方法求解即可. 【解析】（1）先排甲有种，其余有种， 共有种排法. （2）先排甲、乙，再排其余人， 共有种排法. （3）把男生和女生分别看成一个元素， 男生和女生内部还有一个全排列，共种. （4）先排名男生有种方法， 再将名女生插在男生形成的个空上有种方法， 故共有种排法. （5）人共有种排法， 其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法． 22．（2024高二·陕西汉中月考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)144 (3)960 【分析】（1）由捆绑法即可得到结果； （2）由插空法即可得到结果； （3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）先将3名男生排好，共有种排法， 在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中， 共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法. 23．（2024高二·全国月考）解不等式：； 【答案】 【分析】根据排列数公式得到不等式，解得即可. 【解析】因为，，， 所以不等式可化为， 解得，又，， 所以不等式的解集为． 24．（2024高二·广东深圳月考）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 【答案】(1)576 (2)1440 (3)840 【分析】（1）将女生看成一个整体，按照捆绑法求解； （2）先排女生，然后按照插空法求解； （3）按照定序法求解即可； 【解析】（1）将女生看成一个整体，与名男生在一起进行全排列，有种方法， 再将名女生进行全排列，也有种方法， 故共有种排法. （2）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾空出的个空位中任选个空位排男生，有 种方法， 故共有种排法. （3）从个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的个人，有种方法， 剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排， 故共有种排法 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.1 排列9题型分类 一、排列概念 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.要点诠释: （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”． （2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列． （3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 二、排列数 1.排列数的定义： 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. 2.要点诠释: “排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）； 三、排列数公式 1.. 2.要点诠释: 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数. 四、阶乘 1．阶乘的概念： 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． 2.排列数公式的阶乘式： . 五、排列的常见类型与处理方法 1.相邻元素捆绑法 2.相离问题插空法 3.元素分析法 4.位置分析法 （一） 排列与排列数 1.排列的定义： 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数： （1）排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. （2）排列数公式：. （3）阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （4）排列数的阶乘式： 3.排列数公式的应用 （1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． （2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“”的运用． 题型1：排列概念的理解 1．（2024高二·吉林长春月考）下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 2．（2024高二·全国月考）给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号） 3．（第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列）下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④      B．①②      C．③④      D．①③④ 4．（2024高二·全国月考）判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 5．（2024高二·全国月考）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 题型2：与排列数有关的运算 6．（2024高二·福建·期末）可表示为（　　） A． B． C． D． 7．（2024高二·河北张家口月考）可表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二·江苏月考） . 9．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)． 10．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（2024高二·江苏月考）求不等式的解集． 12．（2024高二·江苏月考）解不等式： 题型3：排列数的证明 13．（2024高二·江苏月考）求证： (1)； (2)． 14．（2024高二·全国月考）求证：（1）； （2）. （二） 无限制条件的排列问题 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取． 题型4：无限制条件的排列问题 15．（2024高三·重庆渝中月考）某记者要去武汉4个医院采访，则不同的采访顺序有（　　） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 16．（2024高二·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 17．（2024·上海闵行模拟预测）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ． 18．（2024高二·黑龙江鸡西·期中）5月12日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲座，还要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（    ） A．3 B． C．9 D．6 （三） 排队问题 1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． ①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． ②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置． 题型5：相邻问题 19．（2024高三·黑龙江鸡西·期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 20．（2024·山西临汾模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 21．（2024·广东韶关模拟预测）现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）. 22．（2024·广西模拟预测）一排有6个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（    ） A．10种 B．12种 C．72种 D．144种 23．（2024高二·新疆伊犁·期中）为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 题型6：不相邻问题 24．（2024高二·北京·期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 25．（2024·安徽模拟预测）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种． A．40 B．24 C．20 D．12 26．（2024·贵州铜仁模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 27．（2024高三·湖北月考）已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（    ） A．40 B．36 C．56 D．48 28．（2024高二·江苏·单元测试）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（    ） A． B． C． D． 29．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（    ） A． B． C．84 D． 题型7：相邻与不相邻问题综合 30．（2024高二·重庆荣昌·期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 31．（2024高二·山西晋中·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？ (2)5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ 32．（2024高二·全国月考）4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数． (1)男生和女生均相邻； (2)男生均相邻； (3)女生均不相邻； (4)男生与男生、女生与女生均不相邻； (5)至少有两个女生相邻． （四） 排列中的定序问题 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： ①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． ②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中． 题型8：定序问题 33．（2024高三·四川攀枝花月考）2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝.我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排法一共有（ ）种 A．72 B．36 C．45 D．90 34．（2024高二·全国月考）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 35．（2024高二·全国月考）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 （五） 数字排列问题 数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数． 题型9：数字排列问题 36．（2024高二·上海普陀·期末）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有 个．（用数字作答） 37．（2024高二·全国月考）用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ 38．（2024高二·广东肇庆·期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数． (1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） (2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 39．（2024高二·全国月考）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？ 一、单选题 1．（2024高二·全国月考）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 2．（2024高二·广西防城港·期中）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（ ） A．2301 B．2304 C．2305 D．2310 3．（2024高二·广东江门·期中）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 4．（2024高二·全国月考）等于（　　） A．107 B．323 C．320 D．348 根据排列数计算即可； 5．（2024高二·北京通州·期中）计算：（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 6．（2024·河南开封模拟预测）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 7．（2024·全国模拟预测）甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（    ） A．27种 B．72种 C．36种 D．54种 8．（2024·四川乐山模拟预测）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 9．（2024高三·甘肃白银月考）甲､乙､丙､丁等7人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（    ） A．576种 B．448种 C．288种 D．224种 二、多选题 10．（2024高二·全国月考）下列问题中，属于排列问题的有（    ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法 C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数 11．（2024高二·重庆南岸·期中）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若A、B两人站在一起有48种方法 B．若A、B不相邻共有12种方法 C．若A在B左边有60种排法 D．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法 12．（2024高二·全国月考）(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．－ 三、填空题 13．（2024高二·山东月考）方程，的解为 ． 14．（2024高三·上海长宁·期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种. 15．（2024·江苏南京模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 ． 16．（2024高三·广东东莞月考）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)． 四、解答题 17．（2024高二·全国月考）解不等式：． 18．（2024高二·江苏月考）求证：． 19．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)． 20．（2024高三·全国月考）现有8个人男3女）站成一排. (1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？ (4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ (5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ (6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？ (7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？ (8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？ (9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ (10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？ 21．（2024高二·山东德州月考）名男生和名女生站成一排． (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？ (3)男、女分别排在一起的站法有多少种？ (4)男、女相间的站法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 22．（2024高二·陕西汉中月考）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 23．（2024高二·全国月考）解不等式：； 24．（2024高二·广东深圳月考）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$