2.7 幂函数与二次函数 分层作业-2025届高三数学一轮复习

2-7 幂函数与二次函数 分层作业 一、单项选择题 1.已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】设，依题意，所以. 2.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(    ) A． B． C． D．   【答案】C【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案. 【解】设幂函数解析式为，将代入得， 即，故，解得，所以，C选项为其图象；故选：C 3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用二次函数的单调性求实数的取值范围. 【解】二次函数的图象开口向上，对称轴方程为， 由函数在区间上单调递减，则有， 所以实数的取值范围是；故选：B. 4.若幂函数在单调递减，则实数的值为( ) A．0 B．或 C．1 D．2 【答案】C【解】由于函数为幂函数，所以，解得或， 时，，在上递减，符合题意;时，，在上递增，不符合题意. 5．函数在区间上单调递增，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】因为函数的单调增区间为， 又函数在区间上单调递增；则，. 6．二次函数在上的最大值为(    ) A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】C【分析】利用二次函数的单调性求最大值. 【解】因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数在上的最大值为：；故选：C 7．关于函数，以下表达错误的选项是( ) A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C【解】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确， 8.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为幂函数是上的偶函数，则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递增，则，解得；故选：B． 二、多项选择题 9．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是(    ) A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】BC【解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的；故选：BC. 10．已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是(    ) A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．函数是偶函数 【答案】BCD【解】由题意知，，即，得，所以. A：，所以函数的定义域为，故A错误； B：由，知函数的值域为，故B正确； C：由，得且，即，故C正确； D：易知函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数，故D正确.故选：BCD 11．下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC【解】A.因为在R上递减，所以，又 在 上递增，所以 ，所以，故A正确； B. 因为在 上递减，所以，故B错误； C. 在同一坐标系中作出的图象，，由图象知：，故C正确； D. 因为在R上递减，所以，故D错误；故选：AC 三、填空题 12．已知函数是幂函数，则的值为 ． 【答案】或【解】由题意知，，解得或.故答案为：或. 13．已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】2【解】由函数为幂函数且在内单调递增，所以，解得.故答案为：. 14．函数是上的增函数，则的取值范围是 ；的值为 . 【答案】;【解】因为在上单调递增，在上单调递增， 要使函数是上的增函数，所以，解得； 所以.故答案为：; 一、单项选择题 1.(2023·湖南岳阳·校联考模拟预测)探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则(    ) A．2 B．3 C． D．-1 【答案】B【分析】根据幂函数的性质即可得解. 【解】由题意可得且为奇数，所以；故选：B. 2.下列函数中，在上为减函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案． 【解】，因为，所以在上为增函数，故A错误； 在上为减函数，所以在上为增函数，故B错误； ，所以在上为减函数，故C正确； ，所以在上为增函数，故D错误；故选：C． 3.函数与在同一坐标系中的图象大致是图中的( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】当时，在x，y轴上截距分别是， 而开口向上，顶点为原点且对称轴为y轴，排除B； 当时，在x，y轴上截距分别是， 而开口向下，顶点为原点且对称轴为y轴，排除C、D； 4．已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则( ) A．16 B． C．8 D． 【答案】B【解】由题意，． 5.下列命题中，不正确的是( ) A．幂函数y=x-1是奇函数 B．幂函数y=x2是偶函数 C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数 D．y=既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】C【解】因为，，所以A正确；因为，所以B正确； 因为不恒成立，所以C不正确；因为定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确. 6.设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得，所以实数的取值范围为;故选：A 7.(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B【解析】当时，在上单调递减，不合要求， 当时，，故为偶函数，不合要求， 当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求， 当时，，为奇函数， 且在上单调递增，满足要求， 当时，，故为奇函数， 且在上单调递增，满足要求；故选：B 8.(2024高三上·河北邢台·期中)已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值(    ) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B【分析】由幂函数定义与性质求得解析式，确定奇偶性，然后利用单调性与奇偶性可判断. 【解析】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意，所以， ，则，，是奇函数，因此， 所以，即，故选：B. 二、多项选择题 9.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 【答案】AD【解】因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确； 对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误； 结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为 B.f(x)在(－1，0)上单调递增 C.f(x)＞0的解集为(－1，1) D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3] 【答案】AD【解】由题意，当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－(x－)2＋； 当x＜0时，f(x)＝－x2－x＝－(x＋)2＋，f(x)的最大值为，A正确； f(x)在(－，0)上单调递减，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误； 当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确. 11.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A． B．的图象经过点 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ABC【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断. 【解】的图象经过点，则，得，所以幂函数，所以A正确； 又，即的图象经过点，B正确；且在上单调递增，C正确； 不等式，即，解得，D错误；故选：ABC. 三、填空题 12.若，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】利用幂函数的单调性解不等式. 【解】由在上单调递增，故，解得；故答案为： 13.已知函数则函数值域是 . 【答案】【分析】结合分段函数的单调性来求得的值域. 【解】当时，单调递增，值域为； 当时，单调递增，值域为，故函数值域为. 14.已知函数，的值域是，则实数 . 【答案】或【分析】分，与三种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案. 【解】若，此时，其在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，此时， 其在上单调递减，故，解得，满足要求， 若，此时的最小值为0，当时，等号成立，此时不满足值域是. 故答案为：或 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-7 幂函数与二次函数 分层作业 一、单项选择题 1.已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为( ) A． B． C． D． 2.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(    ) A． B． C． D．   3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.若幂函数在单调递减，则实数的值为( ) A．0 B．或 C．1 D．2 5．函数在区间上单调递增，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 6．二次函数在上的最大值为(    ) A．-1 B．0 C．3 D．4 7．关于函数，以下表达错误的选项是( ) A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 8.已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是(    ) A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 10．已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是(    ) A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．不等式的解集为 D．函数是偶函数 11．下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数是幂函数，则的值为 ． 13．已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 14．函数是上的增函数，则的取值范围是 ；的值为 . 一、单项选择题 1.(2023·湖南岳阳·校联考模拟预测)探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则(    ) A．2 B．3 C． D．-1 2.下列函数中，在上为减函数的是(   ) A． B． C． D． 3.函数与在同一坐标系中的图象大致是图中的( ) A． B． C． D． 4．已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则( ) A．16 B． C．8 D． 5.下列命题中，不正确的是( ) A．幂函数y=x-1是奇函数 B．幂函数y=x2是偶函数 C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数 D．y=既不是奇函数，又不是偶函数 6.设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 7.(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.(2024高三上·河北邢台·期中)已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值(    ) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 二、多项选择题 9.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为 B.f(x)在(－1，0)上单调递增 C.f(x)＞0的解集为(－1，1) D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3] 11.已知幂函数的图象经过点，则(    ) A． B．的图象经过点 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 三、填空题 12.若，则实数的取值范围为 . 13.已知函数则函数值域是 . 14.已知函数，的值域是，则实数 . 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$