2.7幂函数与二次函数讲义-2025届高三数学一轮复习

2-7 幂函数与二次函数 讲义 一、幂函数 (一)、幂函数的概念 1.定义：一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2.幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． (二)、幂函数的图象 1.图象：对幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2.五种常见幂函数 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1，1) (1，1) (三)、幂函数的性质 1.幂函数在(0，＋∞)上都有定义； 2.定点：幂函数的图象过定点(1，1)；当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)， 3.单调性：(1)当α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递增， 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (2)当α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减； 4.奇偶性： 5.与在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 6.在第一象限，直线x＝a(a>1)同各幂函数相交，按交点从下到上，则幂指数从小到大．(指大图高) 7.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 二、二次函数 (一)、有关概念 1.一般式：；对称轴：；顶点：； 2.顶点式：；对称轴：；顶点：； 3.零点式：其中：是方程：的两根； 是与x轴的两个交点. (一)、二次函数的性质 1.函数的图象关于直线对称。 2.时，开口向上，在对称轴()左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴右侧；y的值随x值的增大而增大。当时，y取得最小值； 3.时，在对称轴()左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴右侧；y的值随x值的增大而减少。当时，y取得最大值. 三、一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式 1.“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的联系 判别式 两不等实根: 两相等实根 无实数根 R ∅ ∅ 2.分式不等式 (1) ⇔f(x)g(x)>0； (2)⇔f(x)g(x)<0； (3) ⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； (4)⇔f(x)g(x)0且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式： |x|>a(a>0)(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)(－a，a)． 【常用结论】 1.与二次函数有关的恒成立问题：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是 (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是 (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 考点一 幂函数的概念 【例1-1】(2024·山东日照·二模)已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)·的图象不过原点，则m的取值是(　　) A．－1≤m≤2　　　　B．m＝1或m＝2　　　　C．m＝2　　　　D．m＝1 1. (2023·四川成都·一模)已知幂函数的图象过点，则(    ) A． B．1 C．2 D．3 2．已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点，则k＋a＝(　　) A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．或－　　　　　　　　D．2 3.(2024·江西·模拟预测)已知幂函数的图象过点，则(       ) A．0 B．2 C．4 D．5 4.已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1或2　　　　　　　　D．3 5. (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数的图象过点，则 ． 考点二 幂函数的图象 【例2-1】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　　　B．－1<n<0<m　　　　C．－1<m<0<n　　　　D．－1<n<0<m<1 【例2-2】函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为(    ) A． B． C． D． 【例2-3】(2023·山西运城·学业考试)如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为(    ) A． B． C． D． 【例2-4】幂函数y＝x(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．－1　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2 【思维升华】幂函数图象的规律 1.幂函数图象一定经过第一象限；一定不经过第四象限；是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； 2.幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； 3.如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； 4.当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称． 1.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(    ) A． B．  C． D．   2. (2024·四川南充·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 3. (2024·湖南·模拟预测)如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则(    ) A． B． C． D． 4.(2024·全国·高三专题练习)如图所示是函数均为正整数且互质)的图象，则(    ) A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 考点三 幂函数的性质 命题点1 单调性与奇偶性 【例3-1-1】下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为( ) A． B． C． D． 【例3-1-2】幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【例3-1-3】(2024高三上·广东佛山·月考)当时，幂函数递减，则 ． 命题点2 利用幂函数的单调性比较大小 【例3-2-1】已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． 【例3-2-2】(2024高三上·辽宁大连·期中)已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 ． 【例3-2-3】(2024·全国·高三专题练习)幂函数f(x)＝mxn过点，a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 【例3-2-4】已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c　　　　　B．a<b<c　　　　　C．c<b<a　　　　　D．c<a<b 【例3-2-5】若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．c<a<b　　　　　C．b<c<a　　　　　D．b<a<c 【例3-2-6】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．a<c<b　　　　　C．b<a<c　　　　　D．b<c<a 命题点3 幂函数性质的综合应用 【例3-3-1】(2024·吉林·模拟预测)请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 【例3-3-2】已知x，，满足，，则(    ) A．-1 B．0 C．1 D．2 1.如图所示是函数(m、且互质)的图象，则(    ) A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 2.(2024·广东广州·模拟预测)若幂函数在上单调递增，则实数的值为(    ) A．2 B．1 C． D． 3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A．－3　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1或2 4.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数　　　　　　B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数　　　　　　D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 5.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) 　　　　　B．[0，＋∞)　　　　　C．(－∞，＋∞)　　　　　D．(－∞，0) 6.已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是(　　) A．f(m)<f(0)　　　　B．f(m)＝f(0)　　　　C．f(m)>f(0)　　　　D．f(m)与f(0)大小不确定 7.已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(　　) A．1　　　　　　B．0，2　　　　　　C．－1，1，3　　　　　　D．0，1，2 8.(2022·四川乐山·一模)已知幂函数和，其中，则有下列说法： ①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间上，增长速度更快的是；④在区间上，增长速度更快的是. 则其中正确命题的序号是(    ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 9.(2023·江西南昌·一模)已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c　　　　　B．a>c>b　　　　　C．c>a>b　　　　　D．b>c>a 11.设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为(　　) A．x<z<y　　　　　B．y<x<z　　　　　C．y<z<x　　　　　D．z<y<x 12.(2024·福建三明·三模)若 ，则(   ) A． B． C． D． 13.(2024·全国·模拟预测)(多选)下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是(    ) A． B． C． D． 14.(多选)已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 15.已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)的图象经过点(2，)． (1)试确定m的值；(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 16.已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数． (1)求f(x)的解析式；(2)若函数h(x)＝f(x)＋ax＋3－a≥0在区间[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围． 考点四 二次函数与一元二次不等式 命题点1 二次函数性质 【例4-1-1】二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的解析式为____． 【例4-1-2】(2024·广东揭阳·二模)已知函数在上不单调，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【例4-1-3】(2024·四川成都·二模)函数的值域为.若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【例4-1-4】(2024·陕西渭南·二模)已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 思维升华　1.求二次函数解析式的方法 2.解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)． (3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动． 无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系， 当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 命题点2　一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式 【例4-2-1】不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【例4-2-2】关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【例4-2-3】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 命题点3　一元二次方程根的分布 【例4-3-1】关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【例4-3-2】关于x的方程至少有一个负根的充要条件是(    ) A． B． C． D． 【例4-3-3】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 命题点4　一元二次不等式的恒成立问题 【例4-4-1】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________． 【例4-4-2】已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 . 【例4-4-3】已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) 　D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 思维升华　不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题． 1．(2024·福建福州·一模)已知集合，，则(    ) A．或 B． C． D．或 2．(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)不等式的解集是(    ) A．或 B．或 C． D． 3.f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 4．(2024·辽宁·一模)若函数在区间内单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5．(2024·山东·二模)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    )． A． B． C． D． 6．(23-24高三下·福建·开学考试)函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 7．(2024·河南信阳·模拟预测)(多选)若在上单调，则实数的值可以为(    ) A． B． C． D．3 8.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________. 9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________． 10．(2024·河南·模拟预测)已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 1.(2024·全国·高考真题)已知集合，则(    ) A． B． C． D． 2．(2024·上海·高考真题)已知则不等式的解集为 ． 3．(2023·全国·高考真题)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.(2022·北京·一模)下列函数中，定义域与值域均为R的是(       ) A． B． C． D． 5.(2021·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-7 幂函数与二次函数 讲义 一、幂函数 (一)、幂函数的概念 1.定义：一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2.幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． (二)、幂函数的图象 1.图象：对幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2.五种常见幂函数 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1，1) (1，1) (三)、幂函数的性质 1.幂函数在(0，＋∞)上都有定义； 2.定点：幂函数的图象过定点(1，1)；当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)， 3.单调性：(1)当α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递增， 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (2)当α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减； 4.奇偶性： 5.与在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 6.在第一象限，直线x＝a(a>1)同各幂函数相交，按交点从下到上，则幂指数从小到大．(指大图高) 7.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 二、二次函数 (一)、有关概念 1.一般式：；对称轴：；顶点：； 2.顶点式：；对称轴：；顶点：； 3.零点式：其中：是方程：的两根； 是与x轴的两个交点. (一)、二次函数的性质 1.函数的图象关于直线对称。 2.时，开口向上，在对称轴()左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴右侧；y的值随x值的增大而增大。当时，y取得最小值； 3.时，在对称轴()左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴右侧；y的值随x值的增大而减少。当时，y取得最大值. 三、一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式 1.“三个二次”：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的联系 判别式 两不等实根: 两相等实根 无实数根 R ∅ ∅ 2.分式不等式 (1) ⇔f(x)g(x)>0； (2)⇔f(x)g(x)<0； (3) ⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； (4)⇔f(x)g(x)0且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式： |x|>a(a>0)(－∞，－a)∪(a，＋∞)； |x|<a(a>0)(－a，a)． 【常用结论】 1.与二次函数有关的恒成立问题：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是 (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是 (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 考点一 幂函数的概念 【例1-1】(2024·山东日照·二模)已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解】设解析式为，由于函数过点，故，解得， 该解析式为；故选：B 【例1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)·的图象不过原点，则m的取值是(　　) A．－1≤m≤2　　　　B．m＝1或m＝2　　　　C．m＝2　　　　D．m＝1 【答案】B【解】由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2． 又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝1或m＝2． 1. (2023·四川成都·一模)已知幂函数的图象过点，则(    ) A． B．1 C．2 D．3 【答案】C【分析】根据题意可得，求解即可. 【解】因为幂函数的图象过点，所以，解得；故选：C. 2．已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点，则k＋a＝(　　) A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．或－　　　　　　　　D．2 【答案】C【解】因为f(x)＝k2·xa＋1是幂函数，所以k2＝1，所以k＝±1．又f(x)的图象过点， 所以＝，所以a＋1＝，所以a＝－，所以k＋a＝±1－＝－或． 3.(2024·江西·模拟预测)已知幂函数的图象过点，则(       ) A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【解】因为为幂函数，所以； 又的图象过点，即，解得；所以；故选：C. 4.已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1或2　　　　　　　　D．3 【答案】A【解】∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A． 5. (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】【分析】由题意将点代入即可求得幂函数表达式，然后代入即可得解. 【解】不妨设幂函数表达式为，由题意有，解得， 所以幂函数表达式为，所以；故答案为：. 考点二 幂函数的图象 【例2-1】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　　　B．－1<n<0<m　　　　C．－1<m<0<n　　　　D．－1<n<0<m<1 【答案】D【解】y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，故选D． 【例2-2】函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案. 【解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合； 对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合； 对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合； 对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；故选：B. 【例2-3】(2023·山西运城·学业考试)如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断. 【解】因为函数为增函数，所以， 所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为， 由图可知，曲线相应n值为；故选：A 【例2-4】幂函数y＝x(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．－1　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2 【答案】C【解】由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3； 函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0，1，2分别代入，知当m＝1时，满足要求． 【思维升华】幂函数图象的规律 1.幂函数图象一定经过第一象限；一定不经过第四象限；是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； 2.幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； 3.如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； 4.当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称． 1.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(    ) A． B．  C． D．   【答案】C【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象. 【解】设幂函数为，则，，得，得， 所以，定义域为，所以排除AD， 因为，所以函数为偶函数，所以排除B，故选：C 2. (2024·四川南充·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数，且在上是上凸递增，故D正确；故选：D 3. (2024·湖南·模拟预测)如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【解】由题意结合图象可知；故选：B. 4.(2024·全国·高三专题练习)如图所示是函数均为正整数且互质)的图象，则(    ) A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则；又图象关于轴对称，为偶函数， ，又互质，为偶数，为奇数；故选：B. 考点三 幂函数的性质 命题点1 单调性与奇偶性 【例3-1-1】下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为( ) A． B． C． D． 【答案】A【解】由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 【例3-1-2】幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解. 【解】因为幂函数，在区间上是减函数，所以，解得：， 因为，得， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去， 当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去， 当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，所以;故选：A 【例3-1-3】(2024高三上·广东佛山·月考)当时，幂函数递减，则 ． 【答案】【解】由题意可知或， 当时，，此时在第一象限是单调递减函数，符合题意； 当时，，此时在第一象限是单调递增函数，不符合题意；综上：. 命题点2 利用幂函数的单调性比较大小 【例3-2-1】已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________． 【答案】(3，5)【解】f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由f(a＋1)<f(10－2a)，得解得3<a<5． 【例3-2-2】(2024高三上·辽宁大连·期中)已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是 ． 【答案】【解】因为的图象过点；所以，解得 所以在定义域上递减，故，解得. 【例3-2-3】(2024·全国·高三专题练习)幂函数f(x)＝mxn过点，a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 【答案】B【解】因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1；又函数f(x)过点，所以， 解得n＝3，故函数f(x)＝x3，则函数为增函数；因为n＞m＞ln 2，故c＜a＜b. 【例3-2-4】已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c　　　　　B．a<b<c　　　　　C．c<b<a　　　　　D．c<a<b 【答案】C【解】a＝，b＝，c＝，由幂函数y＝在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C． 【例3-2-5】若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．c<a<b　　　　　C．b<c<a　　　　　D．b<a<c 【答案】D【解】因为y＝在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝， 因为y＝是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c．故选D． 【例3-2-6】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　　　　B．a<c<b　　　　　C．b<a<c　　　　　D．b<c<a 【答案】C【解】因为递减，由0.6＜1.5可知； 因为在递增，0.6＜1.5可知；综上，．选C. 命题点3 幂函数性质的综合应用 【例3-3-1】(2024·吉林·模拟预测)请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 【答案】(答案不唯一)【分析】根据幂函数性质写出一个符合①②的幂函数，作差法说明其也满足③. 【解】的定义域为，且在上为增函数；下面证明该函数满足③： 取任意的，，， 则，当且仅当时取等号，即， 即满足③，故答案为： 【例3-3-2】已知x，，满足，，则(    ) A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B【分析】令，易得为奇函数且为增函数，再由，，变形得到可求解． 【解】令，则，∴为奇函数． ∵，∴；又∵，∴， ∴；又∵在R上递增，∴，即．故选：B． 1.如图所示是函数(m、且互质)的图象，则(    ) A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B【分析】根据图象得到奇偶性及上递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数；故选：B 2.(2024·广东广州·模拟预测)若幂函数在上单调递增，则实数的值为(    ) A．2 B．1 C． D． 【答案】A【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【解】幂函数在上是增函数，所以解得；故选：A. 3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A．－3　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1或2 【答案】B【解】由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3． 当n＝1时，f(x)＝x－2＝在(0，＋∞)上是减函数； 当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意．故选B． 4.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数　　　　　　B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数　　　　　　D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 【答案】C【解】设f(x)＝xα，将点(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以， 可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C． 5.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) 　　　　　B．[0，＋∞)　　　　　C．(－∞，＋∞)　　　　　D．(－∞，0) 【答案】D【解】设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，是偶函数，递增区间是(－∞，0)．故选D． 6.已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是(　　) A．f(m)<f(0)　　　　B．f(m)＝f(0)　　　　C．f(m)>f(0)　　　　D．f(m)与f(0)大小不确定 【答案】A【解】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或－1．当m＝3时， 函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6，6]，不合题意； 当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2，2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)． 7.已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(　　) A．1　　　　　　B．0，2　　　　　　C．－1，1，3　　　　　　D．0，1，2 【答案】C【解】∵幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z， ∴m＝－1，0，1，2，3．当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1，1，3． 8.(2022·四川乐山·一模)已知幂函数和，其中，则有下列说法： ①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间上，增长速度更快的是；④在区间上，增长速度更快的是. 则其中正确命题的序号是(    ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【解】幂函数的图象过定点，①正确， 在区间上，越大增长速度更快，③正确，故选：A. 9.(2023·江西南昌·一模)已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得. 【解】易知是奇函数且单调递增， 故原不等式等价于即 所以，所以在任意的上恒成立，故；故选：D 10.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c　　　　　B．a>c>b　　　　　C．c>a>b　　　　　D．b>c>a 【答案】B【解】因为y＝在第一象限内为增函数，所以a＝>c＝， 因为y＝是减函数，所以c＝>b＝，所以a>c>b． 11.设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为(　　) A．x<z<y　　　　　B．y<x<z　　　　　C．y<z<x　　　　　D．z<y<x 【答案】A【解】由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y>z．由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增， 可得x<z．所以x<z<y． 12.(2024·福建三明·三模)若 ，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据幂函数单调性判断的大小，对数函数单调性判断a的范围，即可得答案. 【解】由题意得， 由于在上单调递增，故； 而在上单调递减，故，故，故选：A 13.(2024·全国·模拟预测)(多选)下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解. 【解】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确； 对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误； 对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误； 对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误；故选：AD. 14.(多选)已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有(    ) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由，可判断C，假设 ，对不等式进行证明，即可判断D. 【解】将点代入函数得：，则；所以， 显然在定义域上为减函数，所以A错误； ，所以为偶函数，所以B正确； 当时，，即，所以C错误； 当若时， ；假设，整理得 ，化简得，， 即证明 成立， 利用基本不等式， ，因为，故等号不成立， 成立；即成立，所以D正确；故选：BD. 15.已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)的图象经过点(2，)． (1)试确定m的值；(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 【解】(1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，)，∴＝2，即＝2． ∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2．又∵m∈N*，∴m＝1． (2)由(1)知f(x)＝，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<．∴a的取值范围为． 16.已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)xm＋1为偶函数． (1)求f(x)的解析式；(2)若函数h(x)＝f(x)＋ax＋3－a≥0在区间[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围． 【解】(1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，得m＝1或m＝－． 当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝－时，f(x)＝，不合题意，舍去．所以f(x)＝x2． (2)h(x)＝－－a＋3，令h(x)在[－2，2]上的最小值为g(a)． ①当－＜－2，即a＞4时，g(a)＝h(－2)＝7－3a≥0，所以a≤．又a＞4，所以a不存在； ②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝h＝－－a＋3≥0，所以－6≤a≤2． 又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2； ③当－＞2，即a＜－4时，g(a)＝h(2)＝7＋a≥0，所以a≥－7．又a＜－4，所以－7≤a＜－4． 综上可知，a的取值范围为[－7，2]． 考点四 二次函数与一元二次不等式 命题点1 二次函数性质 【例4-1-1】二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的解析式为____． 【答案】f(x)＝x2－2x＋3【解】由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)， ∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3. 【例4-1-2】(2024·广东揭阳·二模)已知函数在上不单调，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为；故选：C 【例4-1-3】(2024·四川成都·二模)函数的值域为.若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得；故选：B 【例4-1-4】(2024·陕西渭南·二模)已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是；故选：B 思维升华　1.求二次函数解析式的方法 2.解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)． (3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动． 无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系， 当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 命题点2　一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式 【例4-2-1】不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】分式不等式转化成整式不等式求解即可. 【解】由，解得或；故选：C 【例4-2-2】关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 【答案】B【解】依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0两根，∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1. 【例4-2-3】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解】由的解集为，可得：， 为：，解得为：.故选：D 命题点3　一元二次方程根的分布 【例4-3-1】关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【解】设，开口向上， 由题意知，即，解得， 所以．故答案为：． 【例4-3-2】关于x的方程至少有一个负根的充要条件是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是；故选：D. 【例4-3-3】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【解】当时，即为，不符合题意； 故，即为，令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故，故选：D 命题点4　一元二次不等式的恒成立问题 【例4-4-1】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________． 【答案】【解】由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立． 当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a<－， 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a<.. 【例4-4-2】已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 . 【答案】6【分析】不等式等价变为，令得， 构造函数，从而，又， 利用不等式性质即可求解范围. 【解】因为，所以， 则不等式等价于， 等价于，令，则， 从而，令，由对勾函数的性质知， 因为，即，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当即时取等号，故的最大值是6；故答案为：6 【例4-4-3】已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.(－∞，0)∪(1，＋∞) 　D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】A【解】当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立， 只需解得0<k≤1；综上，k的取值范围是[0，1]. 思维升华　不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题． 1．(2024·福建福州·一模)已知集合，，则(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】B【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可. 【解】，则，且，解得， 则集合，；则；故选：B. 2．(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)不等式的解集是(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】C【分析】先因式分解，然后分和求解即可. 【解】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式，解得. 综上，原不等式的解集为；故选：C 3.f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 【答案】D【解】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝， 由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a<0;综上，a的取值范围为[－3,0]． 4．(2024·辽宁·一模)若函数在区间内单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【解】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4；故选： 5．(2024·山东·二模)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【答案】A【分析】结合二次函数的性质，解得，再由，进而求得的取值范围. 【解】对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是；故选：A． 6．(23-24高三下·福建·开学考试)函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【解】当时，若，可得；若，，函数的值域不可能为； 当时，，所以函数在 ，上单调递增，若函数的值域为，只需， 可得．由上知，实数a的取值范围为．故答案为： 7．(2024·河南信阳·模拟预测)(多选)若在上单调，则实数的值可以为(    ) A． B． C． D．3 【答案】BD【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或， 解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为， 则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或；解得：，或， 综上：或；故选：BD 8.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________. 【答案】f(x)＝x2＋2x＋1【解】设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1. 9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】(－∞，－)【解】由题意知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立， 知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立， ∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)． 10．(2024·河南·模拟预测)已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【解】由函数，作出的图象如下：由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时，由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值，不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 1.(2024·全国·高考真题)已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【解】因为，且注意到，从而.故选：A. 2．(2024·上海·高考真题)已知则不等式的解集为 ． 【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【解】方程的解为或， 故不等式的解集为，故答案为：. 3．(2023·全国·高考真题)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是;故选：D 4.(2022·北京·一模)下列函数中，定义域与值域均为R的是(       ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断. 【解】A. 函数的定义域为，值域为R；B. 函数的定义域为R，值域为； C. 函数的定义域为R，值域为R；D. 函数的定义域为，值域为，故选：C 5.(2021·全国·高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】(答案不唯一，均满足)【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为，又，故是奇函数，满足③. 故答案为：(答案不唯一，均满足) 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 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