2025年中考数学解答题复习《解答题之解直角三角形的应用》

第 1页（共 49页） 解析答 解答题 1．如图，某种摄像头识别到最远点 A的俯角α是 17°，识别到最近点 B的俯角β是 45°，该摄像头安装在 距地面 5m的点 C处，求最远点与最近点之间的距离 AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17° ≈0.96，tan17°≈0.31） 【解答】解：根据题意得：CE∥AD，CD＝5m， ∵CE∥AD， ∴∠A＝∠α＝17°．∠CBD＝∠β＝45°， 在 Rt△ACD中， ∵CD＝5， ∴ �� �� = ���17° = 0.31， ∴AD＝5÷0.31＝16.1（m）， 在 Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°， ∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BCD＝∠CBD＝45°， ∴BD＝CD＝5（m）， ∴AB＝AD﹣BD≈16.1﹣5＝11.1＝11（m） 答：最远点与最近点之间的距离 AB约是 11m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关 键． 2．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面 40米的 D处，测 第 2页（共 49页） 得操控者 A的俯角为 30°，测得楼 BC楼顶 C处的俯角为 45°，又经过人工测量得到操控者 A和大楼 BC之间的水平距离是 80米，则楼 BC的高度是多少米？（点 A，B，C，D都在同一平面内，参考数据： 3 ≈1.7） 【解答】解：过点 D作 DE⊥AB于点 E，过点 C作 CF⊥DE于点 F， 则四边形 BCFE是矩形， 由题意得，AB＝80米，DE＝40米，∠ADE＝90°﹣30°＝60°，∠CDF＝90°﹣45°＝45°． 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∵tan∠ADE= ���� =tan60°= 3， ∴AE= 3DE＝40 3（米）， ∴BE＝AB﹣AE＝（80﹣40 3）（米）， ∵四边形 BCFE是矩形， ∴CF＝BE＝（80﹣40 3）米， 在 Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠CDF＝∠DCF＝45°， ∴DF＝CF＝（80﹣40 3）米， ∴BC＝EF＝DE﹣DF＝40﹣80+40 3 ≈28（米）． 答：楼 BC高约 28米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的 关键． 3．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示， 从无人机 A看建筑物顶部 B的仰角为 45°，看底部 C的俯角为 60°，无人机 A到该建筑物 BC的水平 距离 AD为 10米，求该建筑物 BC的高度．（结果精确到 0.1米；参考数据： 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73） 第 3页（共 49页） 【解答】解：由题意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC． ∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝∠ADC＝90°． ∴∠BAD＝∠ABD＝45°． ∴BD＝AD＝10 （米）． 在 Rt△ACD 中， CD＝AD•tan∠CAD ＝AD•tan60° ＝10 3（米）． ∴�� = �� + �� = 10 + 10 3 ≈ 27.3 （米）． 答：该建筑物 BC的高度约为 27.3米． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关 键． 4．“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑 扎、运载于一体（如图 1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图 2的示 意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在 C处．借助测角仪观察，发现中轴 AB上的点 D的仰角是 30°， 第 4页（共 49页） 他与彩亭中轴的距离 BC＝6米，乙同学在观测点 E处借助无人机技术进行测量，测得 AE平行于水平 线 BC，中轴 AB上的点 F的俯角∠AEF＝45°，点 E、F之间的距离是 4米，已知彩亭的中轴 AB＝6.3 米，甲同学的眼睛到地面的距离 MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上 DF的长度．（结果精确到 0.1 米，参考数据 3 ≈1.73， 2 ≈1.41） 【解答】解：过点 M作 MN⊥AB，垂足为 N． 由题意知，四边形 CMNB是矩形． ∴CM＝BN＝1.5米， MN＝CB＝6米， AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）． 在 Rt△DMN中， ∵tan∠DMN= ����， ∴DN＝tan∠DMN•MN＝tan30°×MN= 33 ×6＝2 3（米）． 在 Rt△AEF中， ∵sin∠AEF= ����， ∴AF＝sin∠AEF•EF＝sin45°×EF= 22 ×4＝2 2（米）． ∵AF+DN＝AN+DF， ∴DF＝2 3 +2 2 −4.8 ≈2×1.73+2×1.41﹣4.8 ＝3.46+2.82﹣4.8 ＝1.48 ≈1.5（米）． 第 5页（共 49页） 答：中轴上 DF的长度为 1.5米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质与判定、线段的和 差关系及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键． 5．某中学依山而建，校门 A处有一坡角α＝30°的斜坡 AB，长度为 30米，在坡顶 B处测得教学楼 CF的 楼顶 C的仰角∠CBF＝45°，离 B点 4米远的 E处有一个花台，在 E处测得 C的仰角∠CEF＝60°， CF的延长线交水平线 AM于点 D，求 DC的长（结果保留根号）． 【解答】解：如图，设点 B到 AD的距离为 BG， 在 Rt△ABG中，BG＝ABsin∠BAG＝30× 12 =15米， 设 BF＝x米，则 CF＝x米，EF＝（x﹣4）米， 在 Rt△CEF中，tan∠CEF= ���� = � �−4， 即 � �−4 = 3， ∴x＝6+2 3， ∴CD＝DF+CF＝15+6+2 3 =（21+2 3）米． 第 6页（共 49页） 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问 题是解决问题的关键． 6．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪， 如图 1所示． （1）如图 2，在 P点观察所测物体最高点 C，当量角器零刻度线上 A，B两点均在视线 PC上时，测得 视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β． （2）如图 3，为了测量广场上空气球 A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 B，C分别测 得气球 A的仰角∠ABD为 37°，∠ACD为 45°，地面上点 B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m， 求气球 A离地面的高度 AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【解答】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α； （2）设 AD＝x m， ∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°， ∴CD＝AD＝x m， ∵BC＝20m， ∴BD＝（20+x）m， 在 Rt△ABD中，tan∠ABD= ����， ∴tan37°= �20+�，即 0.75= � 20+�， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是分式方程的解， ∴AD＝60（m）， 答：气球 A离地面的高度 AD是 60m． 【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． 第 7页（共 49页） 7．渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如 图 1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离 CD，如图 2．在桥面上点 A 处，测得 A到左桥墩 D的距离 AD＝200米，左桥墩所在塔顶 B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底 C的俯 角∠CAD＝15°，求 CD的长度．（结果精确到 1米．参考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.73） 【解答】解：过 C作 CE⊥AB于 E，如图： ∵∠BAD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200 2（米）， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE， ∵∠ACB＝90°﹣∠DAC＝75°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°， 设 AE＝x米，则 AC＝2x米， ∴CE= 3AE= 3x米，BE＝AB﹣AE＝（200 2 −x）米， ∴ 3x＝200 2 −x， 解得 x＝100 6 −100 2， ∴CE= 3x＝300 2 −100 6， ∴BC= 2CE＝（600﹣200 3）米， ∴CD＝BC﹣BD＝400﹣200 3 ≈54（米）， 第 8页（共 49页） ∴CD的长度约为 54米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系． 8．超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的 C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示 意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且 A、D、B、F在同一直线上．点 C、点 E到 AB的距离 分别为 CD、EF，且 CD＝EF＝7m，CE＝895m，在 C处测得 A点的俯角为 30°，在 E处测得 B点的 俯角为 45°，小型汽车从点 A行驶到点 B所用时间为 45s． （1）求 A，B两点之间的距离（结果精确到 1m）； （2）若该隧道限速 80千米/小时，判断小型汽车从点 A行驶到点 B是否超速？并通过计算说明理由．（参 考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7） 【解答】解：（1）根据题意，四边形 CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°， ∴DF＝CE＝895m， 在 Rt△EBF中， BF= �����∠��� = 7 1 =7（m）， ∴DB＝DF﹣BF＝895﹣7＝888（m）， 在 Rt△ACD中， AD= �����∠��� = 7 3 3 =7 3 ≈12.12（m）， ∴AB＝AD+BD＝12.12+888≈900（m）， ∴A，B两点之间的距离约为 900m； （2）∵900÷45＝20（m/s）， ∴小型汽车每小时行驶 20×3600＝72000（m）， ∵72000m＝72km，72＜80， ∴小型汽车从点 A行驶到点 B没有超速． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边 的关系． 9．我国航天事业捷报频传，2023年 5月 30日，被誉为“神箭”的长征二号 F运载火箭托举神舟十六号载 第 9页（共 49页） 人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭 从地面 O处发射，当火箭到达 P处时，地面 A处的雷达站测得 AP距离是 5000m，仰角为 23°，9s后， 火箭直线到达 Q处，此时地面 A处雷达站测得 Q处的仰角为 45°，求火箭从 P到 Q处的平均速度（结 果精确到 1m/s）． （参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42） 【解答】解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000m， 则 PO＝APsin23°＝5000×0.39≈1950（m）， AO＝APcos23°＝5000×0.92≈4600（m）， ∴OQ＝AO＝4600m， ∴PQ＝OQ﹣OP＝4600﹣1950＝2650（m）， 则火箭从 P处到 Q处的平均速度为：2650÷9≈294（m/s）， 答：火箭从 P到 Q处的平均速度 294m/s． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出 QO的长是解题关键． 10．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、 第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测 量烈士塔的高度．无人机在点 A处测得烈士塔顶部点 B的仰角为 45°，烈士塔底部点 C的俯角为 61°， 第 10页（共 49页） 无人机与烈士塔的水平距离 AD为 10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87， cos61°≈0.48，tan61°≈1.80） 【解答】解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°， 在 Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m， ∴BD＝AD＝10m， 在 Rt△ACD中，∠DAC＝61°， tan61°= ���� = �� 10 ≈1.80， 解得 CD≈18， ∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）． ∴烈士塔的高度约为 28m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关 键． 11．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡 BE的坡度� = 1： 3，BE＝6m，在 B 处测得电线塔 CD顶部 D的仰角为 45°，在 E处测得电线塔 CD顶部 D的仰角为 60°． （1）求点 B离水平地面的高度 AB． （2）求电线塔 CD的高度（结果保留根号）． 第 11页（共 49页） 【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE， ∵斜坡 BE的坡度� = 1： 3， ∴ �� �� = 1 3 = 3 3 ， 在 Rt△ABE中，tan∠BEA= ���� = 3 3， ∴∠BEA＝30°， ∵BE＝6m， ∴AB= 12BE＝3（m），AE= 3AB＝3 3（m）， ∴点 B离水平地面的高度 AB为 3m； （2）过点 B作 BF⊥CD，垂足为 F， 由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC， 设 EC＝x米， ∵AE＝3 3米， ∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3 3）米， 在 Rt△CDE中，∠DEC＝60°， ∴CD＝CE•tan60°= 3x（米）， 在 Rt△BDF中，∠DBF＝45°， ∴DF＝BF•tan45°＝（x+3 3）米， ∵DF+CF＝CD， 第 12页（共 49页） ∴x+3 3 +3= 3x， 解得：x＝6+3 3， ∴CD= 3x＝（6 3 +9）米， ∴电线塔 CD的高度为（6 3 +9）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合 图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪 念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的 3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点 A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点 A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平 地面的点 M处竖直上升，飞行至距离地面 20米的点 C处时，测得点 A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿 CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点 A正上方的点 E处时，测得 AE ＝9米；… 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪 念碑顶部点 A到地面的距离 AB的长（结果精确到 1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37° ≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）． 【解答】解：延长 CD交 AB于点 H， 由题意得，四边形 CMBH为矩形， ∴CM＝HB＝20， 在 Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°， ∴���∠��� = ����， ∴�� = �����∠��� = �� ���18.4° ≈ �� 0.33， 在 Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°， 第 13页（共 49页） ∴���∠��� = ����， ∴�� = �����∠��� = �� ���37° ≈ �� 0.75， 设 AH＝x米． ∵AE＝9， ∴EH＝x+9， ∴ � 0.33 = �+9 0.75 ， 解得 x≈7.1， ∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米） 答：点 A到地面的距离 AB的长约为 27米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意， 利用数形结合的思想解答． 13．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P恰好看到一颗星星， 此时淇淇距窗户的水平距离 BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了 3m后到达点 D，透过点 P恰好看到月 亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 BQ的距离 AB＝CD＝1.6m，点 P到 BQ 的距离 PQ＝2.6m，AC的延长线交 PQ于点 E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及 tanα的值； （2）求 CP的长及 sin∠APC的值． 第 14页（共 49页） 【解答】解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝ BD＝3（m）， ∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°． ∴CE＝PE． ∴β＝∠PCE＝45°；���� = ���∠��� = ���� = 1 4． （2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°， ∴�� = 12 + 12 = 2�． 如图，过 C作 CH⊥AP于 H， ∵���� = ���∠��� = ���� = 1 4，设 CH＝x m，则 AH＝4x m， ∴x2+（4x）2＝AC2＝9． ∴� = 3 1717 ，． ∴�� = 3 1717 �． ∴���∠��� = ���� = 3 17 17 2 = 3 3434 ． 【点评】本题主要考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题 的关键． 14．2024年 6月 2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某 校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降 第 15页（共 49页） 阶段从 A点垂直下降到 B点，再垂直下降到着陆点 C，从 B点测得地面 D点的俯角为 36.87°，AD＝ 17米，BD＝10米． （1）求 CD的长； （2）若模拟装置从 A点以每秒 2米的速度匀速下降到 B点，求模拟装置从 A点下降到 B点的时间． 参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：AC⊥CD，BE∥CD， ∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°， 在 Rt△BCD中，BD＝10米， ∴CD＝BD•cos36.87°≈10×0.80＝8（米）， ∴CD的长约为 8米； （2）在 Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°， ∴BC＝BD•sin36.87°≈10×0.6＝6（米）， 在 Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米， 第 16页（共 49页） ∴AC= ��2 − ��2 = 172 − 82 =15（米）， ∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米）， ∵模拟装置从 A点以每秒 2米的速度匀速下降到 B点， ∴模拟装置从 A点下降到 B点的时间＝9÷2＝4.5（秒）， ∴模拟装置从 A点下降到 B点的时间约为 4.5秒． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端 A的高度 AB．小明先在竖起的标杆 CD上的点 N处， 测得 A点的仰角α为 45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆 EF，使点 E，C，A在同一直线上，并 测得 ND＝1m，FD＝1.7m．已知 CD＝2.6m，EF＝1m，F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD， EF均垂直于 FB，求避雷针顶端 A的高度 AB． 【解答】解：过点 N作 NH⊥AB于 H，过点 C作 CK⊥AB于 K，连接 EN，如图所示： ∵ND＝EF＝1m，AB，CD，EF均垂直于 FB， ∴点 E，N，H在同一条直线上，四边形 EFDN，四边形 EFBH，四边形 NDBH，四边形 CNHK均为矩 形， ∴CK∥EH， ∵点 E，C，A在同一直线上， ∴∠ACK＝∠AEH， 设 AK＝x， 第 17页（共 49页） ∵CN＝KH＝CD﹣ND＝2.6﹣1＝1.6（m）， ∴AH＝AK+KH＝（x+1.6）m， 在 Rt△ANH中，∠ANH＝α＝45°； ∴tanα= ���� =1， ∴NH＝AH＝（x+1.6）m， ∴CK＝NH＝AH＝（x+1.6）m，EH＝FB＝FD+NH＝（x+3.3）cm， 在 Rt△ACK中，tan∠ACK= ���� = � �+1.6， 在 Rt△AEH中，tan∠AEH= ���� = �+1.6 �+3.3， ∵∠ACK＝∠AEH， ∴ � �+1.6 = �+1.6 �+3.3 ， 整理得：0.1x＝2.56， ∴x＝25.6， 检验后知道 x＝25.6是分式方程 � �+1.6 = �+1.6 �+3.3 的根， ∴AK＝25.6， ∴AB＝AK+CD＝25.6+2.6＝28.2（m）， 答：避雷针顶端 A的高度 AB为 28.2m． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角的定义，熟练掌握锐角三角函 数的定义是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义构造方 程是解决问题的难点． 16．在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图， 次仁在 A处测得山顶 C的仰角为 30°；格桑在 B处测得山顶 C的仰角为 45°．已知两人所处位置的水 平距离 MN＝210米，A处距地面的垂直高度 AM＝30米，B处距地面的垂直高度 BN＝20米，点 M，F， N在同一条直线上，求小山 CF的高度．（结果保留根号） 第 18页（共 49页） 【解答】解：由题意知，四边形 ADFM，BEFN都是矩形， ∴AD＝MF，AM＝DF＝30米，BE＝FN，EF＝BN＝20米， ∴DE＝DF﹣EF＝10米， 设 AD＝MF＝x，则 BE＝FN＝（210﹣x）米， 在 Rt△ACD中，∠CAD＝30°， �� �� =tan∠CAD＝tan30°， ∴CD= 33 x， 在 Rt△BCE中，∠CBE＝45°， ∴CE＝210﹣x， ∵CE＝CD＝DE， ∴210﹣x− 33 x＝10， 解得 x＝100×（3− 3）， ∴CD＝100×（ 3 −1）， ∴CF＝100×（ 3 −1）+30＝（100 3 −70）（米）． 答：小山 CF的高度为（100 3 −70）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解 题的关键． 17．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发 电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示 意图（点 A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡 CD长为 20米，斜坡 CD的坡角为 60°， 在斜坡顶部 D处测得风力发电机塔杆顶端 A点的仰角为 20°，坡底与塔杆底的距离 BC＝30米，求该 风力发电机塔杆 AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈ 0.36， 3 ≈1.73） 【解答】解：过点 D作 DF⊥AB于点 F，作 DH⊥BE于点 H， 由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°， 第 19页（共 49页） 在 Rt△DCH中， ∵���60° = ����，���60° = �� ��， ∴CH＝CD•cos60°＝10m， ∴D� = �����60° = 10 3� ≈ 17.3�， ∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°， ∴四边形 DFBH为矩形， ∴BH＝FD，BF＝DH， ∵BH＝BC+CH＝（30+10）m＝40m， ∴FD＝40m， 在 Rt△AFD中， �� �� = ���20°， ∴AF＝FD•tan20°＝40×0.36m＝14.4m， ∴AB＝AF+BF＝（17.3+14.4）m＝31.7m≈32m， 答：该风力发电机塔杆 AB的高度为 32m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握 仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 18．如图，某数学活动小组用高度为 1.5米的测角仪 BC，对垂直于地面 CD的建筑物 AD的高度进行测量， BC⊥CD于点 C．在 B处测得 A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动 6米至 FG 处，FG⊥CD于点 G，测得 A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交 AD于点 E，求建筑物 AD的高度（结 果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 第 20页（共 49页） 【解答】解：根据题意可知四边形 BEDC是矩形， ∴DE＝BC＝1.5m． 如图，∠ABE＝45°，∠AFE＝58°． ∵���∠��� = ����，���∠��� = �� ��， ∴�� = �� ⋅ ���45° = ��，�� = �����58°． ∵BE＝EF+BF， ∴�� = 6 + �����58° ∴AE≈16米． ∴AD＝AE+DE＝17.5（米）， 答：建筑物 AD的高度约为 17.5米． 【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的 灵活运用． 19．如图 1，塑像 AB在底座 BC上，点 D是人眼所在的位置．当点 B高于人的水平视线 DE时，由远及 近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过 A，B两点的圆与 水平视线 DE 相切时（如图 2），在切点 P 处感觉看到的塑像最大，此时∠APB 为最大视 角． 第 21页（共 49页） （1）请仅就图 2的情形证明∠APB＞∠ADB． （2）经测量，最大视角∠APB为 30°，在点 P处看塑像顶部点 A的仰角∠APE为 60°，点 P到塑像 的水平距离 PH为 6m．求塑像 AB的高（结果精确到 0.1m．参考数据： 3 ≈1.73）． 【解答】（1）证明：如图，设 AD与圆交于 M， 连接 BM． 则∠AMB＝∠APB． ∵∠AMB＞∠ADB， ∴∠APB＞∠ADB； （2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m， ∵���∠��� = ����， ∴�� = �� ⋅ ���60° = 6 × 3 = 6 3（m）， ∵∠APB＝30°， ∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°， ∵���∠��� = ����， ∴�� = �� ⋅ ���30° = 6 × 33 = 2 3（m）， ∴�� = �� − �� = 6 3 − 2 3 = 4 3 ≈ 4 × 1.73 ≈ 6.9(�)， 答：塑像 AB的高约为 6.9m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的 性质，解直角三角形的方法是解题的关键． 20．乾元塔（图 1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺 太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角 三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点 C，D在点 B 第 22页（共 49页） 的正东方向，在 C点用高度为 1.6米的测角仪（即 CE＝1.6米）测得 A点仰角为 37°，向西平移 14.5 米至点 D，测得 A点仰角为 45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度 AB．（结果保留整数，参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【解答】解：过 E作 EF⊥AB于 F， 设 FG＝x m， 在 Rt△AEF中，∵∠AEF＝37°， ∴tan37°= ����， ∴AF＝EF•tan37°≈0.75（x+14.5）＝（0.75x+10.875）米， 在 Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°， ∴���45° = ����， ∴AF＝GF＝x米， ∴0.75x+10.875＝x， ∴x＝43.5， ∴AB＝AF+BF＝43.5+1.6≈45（米）， 答：乾元塔的高度 AB约为 45米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的 可测数据与在点 A，B处测出点 D的仰角度数，可以求出信号塔 DE的高．如图，AB的长为 5m，高 BC 为 3m．他在点 A处测得点 D的仰角为 45°，在点 B处测得点 D的仰角为 38.7°．A，B，C，D，E在 同一平面内． 第 23页（共 49页） 你认为小王同学能求出信号塔 DE的高吗？若能，请求出信号塔 DE的高；若不能，请说明理由．（参 考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 【解答】解：能，过 B作 BF⊥DE于 F， 则 EF＝BC＝3m，BF＝CE， 在 Rt△ABC中，∵AB＝5m，BC＝3m， ∴AC= ��2 − ��2 =4（m）， 在 Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°， ∴AE＝DE， 设 AE＝DE＝x m， ∴BF＝（4+x）m，DF＝（x﹣3）m， 在 Rt△BDF中，tan38.7°= ���� = �−3 4+� ≈0.80， 解得 x＝31， ∴DE＝31m， 答：信号塔 DE的高为 31m． 第 24页（共 49页） 【点评】此题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键． 22．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为 30°的坡地 新安装了一架风力发电机，如图 1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了 测量，图 2为测量示意图．已知斜坡 CD长 16米，在地面点 A处测得风力发电机塔杆顶端 P点的仰角 为 45°，利用无人机在点 A的正上方 53米的点 B处测得 P点的俯角为 18°，求该风力发电机塔杆 PD 的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 【解答】解：延长 PD交 AC于点 F，延长 DP交 BE于点 G， 由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG， 第 25页（共 49页） 设 AF＝BG＝x米， 在 Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴DF= 12CD＝8（米）， 在 Rt△PAF中，∠PAF＝45°， ∴PF＝AF•tan45°＝x（米）， 在 Rt△BPG中，∠GBP＝18°， ∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米）， ∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝1.325x（米）， ∴1.325x＝53， 解得：x＝40， ∴PF＝40米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米）， ∴该风力发电机塔杆 PD的高度约为 32米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合 图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 AB前有一座高为 DE的观景台，已知 CD ＝6m，∠DCE＝30°，点 E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台 C处测得塔顶部 B的仰 角为 45°，在观景台 D处测得塔顶部 B的仰角为 27°． （1）求 DE的长； （2）设塔 AB的高度为 h（单位：m）； ①用含有 h的式子表示线段 EA的长（结果保留根号）； ②求塔 AB的高度（tan27°取 0.5， 3取 1.7，结果取整数）． 【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC， 第 26页（共 49页） 在 Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DE= 12CD＝3（m）， ∴DE的长为 3m； （2）①由题意得：BA⊥EA， 在 Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°， ∴CE= 3DE＝3 3（m）， 在 Rt△ABC中，AB＝h m，∠BCA＝45°， ∴AC= �����45° =h（m）， ∴AE＝EC+AC＝（3 3 +h）m， ∴线段 EA的长为（3 3 +h）m； ②过点 D作 DF⊥AB，垂足为 F， 由题意得：DF＝EA＝（3 3 +h）m，DE＝FA＝3m， ∵AB＝h m， ∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m， 在 Rt△BDF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3 3 +h）m， ∴h﹣3＝0.5（3 3 +h）， 解得：h＝3 3 +6≈11， ∴AB＝11m， ∴塔 AB的高度约为 11m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的 辅助线是解题的关键． 第 27页（共 49页） 24．2023年 5月 30日 9点 31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景 海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 O处发射， 当飞船到达 A点时，从位于地面 C处的雷达站测得 AC的距离是 8km，仰角为 30°；10s后飞船到达 B 处，此时测得仰角为 45°． （1）求点 A离地面的高度 AO； （2）求飞船从 A处到 B处的平均速度．（结果精确到 0.1km/s，参考数据： 3 ≈1.73） 【解答】解：（1）在 Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴AO= 12AC= 1 2 × 8 = 4（km）， （2）在 Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴OC= 32 AC＝4 3（km）， 在 Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°， ∴OB＝OC＝4 3（km）， ∴AB＝OB﹣OA＝（4 3 − 4）km， ∴飞船从 A处到 B处的平均速度= 4 3−410 ≈0.3（km/s）． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键． 25．烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜 尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图 1）．某 数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图 2，无人机飞至距地面高度 31.5 米的 A处，测得烽 燧 BC的顶部 C处的俯角为 50°，测得烽燧 BC的底部 B处的俯角为 65°，试根据提供的数据计算烽 燧 BC的高度． 第 28页（共 49页） （参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1） 【解答】解：如图，过点 A作 AE⊥AD于 E交 BC的延长线于点 E，则 BE＝AD＝31.5米， 在 Rt△ABE中，BE＝31.5米，∠AEB＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAE= ����， ∴AE≈ 31.52.1 =15（米）， 在 Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAE= ����， ∴CE＝AEtan∠CAE＝15tan50°≈15×1.2＝18（米）， ∴BC＝BE﹣CE＝31.5﹣18＝13.5（米）， 答：烽燧 BC的高度约为 13.5米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，构造直角三角形，合理利用三角函数关系是解题的 关键． 26．“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼 AB的高度， 测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面 225m的 P点，测得奇楼顶端 A的俯角为 15°，再 将无人机沿水平方向飞行 200m到达点 Q，测得奇楼底端 B的俯角为 45°，求奇楼 AB的高度．（结果 精确到 1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 第 29页（共 49页） 【解答】解：延长 BA交 PQ的延长线于 C， 则∠ACQ＝90°， 由题意得，BC＝225m，PQ＝200m， 在 Rt△BCQ中，∠BQC＝45°， ∴CQ＝BC＝225m， ∴PC＝PQ+CQ＝425（m）， 在 Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°= ���� = �� 425 ≈ 0.27， ∴AC＝114.75m， ∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m）， 答：奇楼 AB的高度约为 110m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 27．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现 5G网络全覆盖，2021～ 2025年拟建设 5G基站 3000个，如图，在斜坡 CB上有一建成的 5G基站塔 AB，小明在坡脚 C处测得 塔顶 A的仰角为 45°，然后他沿坡面 CB行走了 50米到达 D处，D处离地平面的距离为 30米且在 D 处测得塔顶 A的仰角 53°．（点 A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53° ≈ 45，cos53°≈ 3 5，tan53°≈ 4 3） （1）求坡面 CB的坡度； （2）求基站塔 AB的高． 第 30页（共 49页） 【解答】解：（1）如图，过点 D作 AB的垂线，交 AB的延长线于点 F，过点 D作 DM⊥CE，垂足为 M． 由题意可知：CD＝50米，DM＝30米． 在 Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2， ∴CM＝40米， ∴斜坡 CB的坡度＝DM：CM＝3：4； （2）设 DF＝4a米，则 MN＝4a米，BF＝3a米， ∵∠ACN＝45°， ∴∠CAN＝∠ACN＝45°， ∴AN＝CN＝（40+4a）米， ∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米． 在 Rt△ADF中， ∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°， ∴tan∠ADF= ����， ∴ 4 3 = 10+4� 4� ， ∴解得 a= 152， ∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米）， ∵BF＝3a= 452 米， 中考数学第一轮复习 解答题练习 解答题之解直角三角形的应用 解答题： 1．如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31） 2．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：1.7） 3．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，） 4．“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据1.73，1.41） 5．某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）． 6．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β． （2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 7．渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：1.4，1.73） 8．超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s． （1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）； （2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：1.4，1.7） 9．我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）． （参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42） 10．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80） 11．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°． （1）求点B离水平地面的高度AB． （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）． 12．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；… 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）． 13．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 14．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米． （1）求CD的长； （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75． 15．如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB．小明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF，使点E，C，A在同一直线上，并测得ND＝1m，FD＝1.7m．已知CD＝2.6m，EF＝1m，F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD，EF均垂直于FB，求避雷针顶端A的高度AB． 16．在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN＝210米，A处距地面的垂直高度AM＝30米，B处距地面的垂直高度BN＝20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号） 17．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，1.73） 18．如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 19．如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角． （1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB． （2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：1.73）． 20．乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 21．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内． 你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 22．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）设塔AB的高度为h（单位：m）； ①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）； ②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）． 24．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：1.73） 25．烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度． （参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1） 26．“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 27．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°） （1）求坡面CB的坡度； （2）求基站塔AB的高． 28．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7） （1）求屋顶到横梁的距离AG； （2）求房屋的高AB（结果精确到1m）． 29．【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个觇标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差． 【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m． （1）数据6400000用科学记数法表示为 　 　； （2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 30．如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度．他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α＝45°，AB＝10m．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 31．在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，1.41）． 32．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm． （1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ （2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明． （精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 33．如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°，飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为60°，飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为60°．已知OA＝9千米．（A、B、C、O、M、N在同一竖直平面内） （1）求O、B两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（1.414，结果精确到0.01） 34．某山顶有一座观光塔CM，山脚A处有一条笔直山路直通塔底M．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，先在山脚A处测得塔顶C的仰角∠CAB＝23°，沿着山坡AM向上走200m到达点D处，在D处测得塔顶C的仰角∠CDE＝31°，已知山坡倾斜角∠MAB＝18°，求塔高CM． （结果精确到0.1m．参考数据：tan18°≈0.32，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan23°≈0.42，sin23°≈0.39，tan31°≈0.6，sin31°≈0.52．） 35．小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48m，FD＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 36．如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2：的斜坡AB前进20m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，计算结果用根号表示，不取近似值）． 37．根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度 问题解决 任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 　 　和点 　 　． 获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离． 任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN． 任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm． 38．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m； 【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°； 【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°. 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长） （参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin42°，cos42°，tan42°） 39．某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺． 【步骤三】实地测量并记录数据 如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．测出眼睛到地面的距离AB．测出所站地方到古树底部的距离BD． α＝　 　． AB＝1.54m． BD＝10m. 【步骤四】计算古树高度CD．（结果精确到0.1m） （参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】． 40．为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下： （1）测量坡角 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系． （2）测量山高 同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（1.41，结果精确到1米） （3）测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法． 如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$