专题8.6 实数（全章常考点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题8.6 实数（全章常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【第一部分】概念理解 【考点1】平方根概念的理解.............................................................1 【考点2】立方根概念的理解.............................................................2 【考点3】实数概念的理解...............................................................2 【第二部分】性质巩固 【考点4】算术平方根性质...............................................................2 【考点5】立方根的性质.................................................................3 【考点6】实数的性质...................................................................3 【第三部分】运算夯实 【考点7】求一个数的平方根、算术平方根、立方根.........................................3 【考点8】已知一个数的平（立）方根，求这个数...........................................3 【考点9】无理数的估算整数部分和小数部分的运算.........................................4 【考点10】算术平方根与立方根的综合运算................................................4 【考点11】实数的混合运算..............................................................5 【第四部分】实数的应用 【考点12】程序设计与新定义下的实数运算................................................5 【考点13】实数运算的实际应用..........................................................6 【考点14】平方根、算术平方根、立方根的应用............................................6 【考点15】与实数运算相关的规律问题....................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【第一部分】概念理解 【考点1】平方根概念的理解 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，无意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 【考点2】立方根概念的理解 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 3．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ． 【考点3】实数概念的理解 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·安徽淮北·阶段练习）实数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【第二部分】性质巩固 【考点4】算术平方根性质 1．（23-24七年级下·河南周口·期中）若，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【考点5】立方根的性质 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为 . 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【考点6】实数的性质 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1 C．的相反数为 D．没有倒数 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 3．（20-21七年级下·河南三门峡·期中）的绝对值是 ． 【第三部分】运算夯实 【考点7】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1．（22-23八年级上·河南周口·期中）一个正数b的平方根为和，则的立方根是（    ） A．2 B．3 C．9 D． 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求x的值： （1） （2） 【考点8】已知一个数的平（立）方根，求这个数 1．（22-23八年级上·河南周口·期中）一个正数b的平方根为和，则的立方根是（    ） A．2 B．3 C．9 D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知一个正数的平方根是与，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【考点9】无理数的估算整数部分和小数部分的运算 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： （1）的值； （2）的平方根． 【考点10】算术平方根与立方根的综合运算 1．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 C．0没有立方根 D．1的立方根是±1 2．（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【考点11】实数的混合运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：= ． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算： （1）； （2）． 【第四部分】实数的应用 【考点12】程序设计与新定义下的实数运算 1．（2025九年级下·全国·专题练习）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 3．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． （1）_______； （2）对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【考点13】实数运算的实际应用 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【考点14】平方根、算术平方根、立方根的应用 1．（23-24九年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， （1）方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； （2）方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明家新买一套面积为的房子，他打算用块相同的正方形地砖铺地，每块地砖的边长为多少？ 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【考点15】与实数运算相关的规律问题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ （1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ （2）请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ （3）对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.6 实数（全章常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【第一部分】概念理解 【考点1】平方根概念的理解.............................................................1 【考点2】立方根概念的理解.............................................................3 【考点3】实数概念的理解...............................................................3 【第二部分】性质巩固 【考点4】算术平方根性质...............................................................5 【考点5】立方根的性质.................................................................6 【考点6】实数的性质...................................................................7 【第三部分】运算夯实 【考点7】求一个数的平方根、算术平方根、立方根.........................................8 【考点8】已知一个数的平（立）方根，求这个数..........................................10 【考点9】无理数的估算整数部分和小数部分的运算........................................11 【考点10】算术平方根与立方根的综合运算...............................................13 【考点11】实数的混合运算.............................................................15 【第四部分】实数的应用 【考点12】程序设计与新定义下的实数运算...............................................16 【考点13】实数运算的实际应用.........................................................18 【考点14】平方根、算术平方根、立方根的应用...........................................20 【考点15】与实数运算相关的规律问题...................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【第一部分】概念理解 【考点1】平方根概念的理解 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知正数的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案． 解：∵实数a的一个平方根是2， ∴它的另一个平方根是， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，无意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根，掌握如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．逐项判定即可． 解：A、∵，∴有意义，故此选项不符合题意； B、∵，∴无意义，故此选项符合题意； C、∵，∴有意义，故此选项不符合题意； D、∵，∴有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．是25的一个平方根 D．25的平方根是5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的性质逐项判断即可． 解：A．4是16的一个平方根，说法正确，不符合题意； B．81的平方根是，说法正确，不符合题意； C．是25的一个平方根，说法正确，不符合题意； D．25的平方根是，说法错误，符合题意； 故选：D． 【考点2】立方根概念的理解 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）要使成立，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．任意数 【答案】D 【分析】此题考查了立方根，根据任意一个实数都有立方根，由此即可确定被开方数的取值范围． 解：要使成立， ∵任意一个实数都有立方根， ∴为任意数， 则m为任意数， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．利用立方根的定义判断即可得到结果． 解：A、0有立方根，错误； B、负数有立方根，错误； C、一个数的立方根只有一个，且一个数的立方根与这个数同号，错误； D、一个正数只有一个立方根，正确． 故选：D． 3．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）立方根等于本身的非负数是 ． 【答案】0和1 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可． 解：立方根等于本身的非负数是0和1， 故答案为：0和1 【考点3】实数概念的理解 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了实数求相反数，根据相反数的定义求解即可． 解：的相反数是， 故选：B． 2．（21-22七年级下·安徽淮北·阶段练习）实数的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断的正负性，然后根据绝对值的意义即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，掌握其意义是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 【第二部分】性质巩固 【考点4】算术平方根性质 1．（23-24七年级下·河南周口·期中）若，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值、算术平方根、平方根，本题主要考查了求代数式的值，首先依据绝对值和平方根的定义求得、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是理解绝对值、算术平方根、平方根的定义． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，则； ，，则； 故选：． 2．（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）若，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性求值，根据算术平方根的非负性先求得a、b的值，然后再代值计算即可． 解：， ， 解得， ． 【考点5】立方根的性质 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为 . 【答案】或1或0 【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可． 解：， 或或， 或或， ， 的值为：或1或0 故答案为：或1或0． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的定义，由即可求解，掌握立方根的性质是解题的关键． 解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 【考点6】实数的性质 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1 C．的相反数为 D．没有倒数 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可． 解：A、没有意义，故选项不正确； B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确； C、的相反数为，故选项正确； D、的倒数是，故选项错误； 故选：C． 【点拨】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 3．（20-21七年级下·河南三门峡·期中）的绝对值是 ． 【答案】 【分析】先估算的符号，再根据绝对值的意义解答 ． 解：∵7<9， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查无理数绝对值的应用，在正确估算无理数符号的情况下根据绝对值的意义求解． 【第三部分】运算夯实 【考点7】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1．（22-23八年级上·河南周口·期中）一个正数b的平方根为和，则的立方根是（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】先根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a，进而求得b，然后代入代数式，最后求立方根即可． 解：∵一个正数b的平方根为和 ∴，解得 ∴ ∴ ∴的立方根是3． 故选B． 【点拨】本题主要考查了平方根和立方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a成为解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平方根、算术平方根与立方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．由平方根、算术平方根、立方根的定义，即可求得答案． 解：算术平方根是，的立方根是，的平方根是， 故答案为：，， 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求x的值： （1） （2） 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据平方根的定义计算，即可求解， （2）根据立方根的定义计算，即可求解， 本题主要考查了利用立方根和平方根的意义解方程，解题的关键是掌握立方根与平方根的定义． 解：（1）解：， ∴，， 解得：或， （2）解：， ， ∴， 解得：． 【考点8】已知一个数的平（立）方根，求这个数 1．（22-23八年级上·河南周口·期中）一个正数b的平方根为和，则的立方根是（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】先根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a，进而求得b，然后代入代数式，最后求立方根即可． 解：∵一个正数b的平方根为和 ∴，解得 ∴ ∴ ∴的立方根是3． 故选B． 【点拨】本题主要考查了平方根和立方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a成为解答本题的关键． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知一个正数的平方根是与，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用； （1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）根据（1）的结论，算出，再计算平方根，即可求解． 解：（1）∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴的平方根． 【考点9】无理数的估算整数部分和小数部分的运算 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： （1）的值； （2）的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 解：（1）解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； （2）解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 【考点10】算术平方根与立方根的综合运算 1．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 C．0没有立方根 D．1的立方根是±1 【答案】A 【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可． 解：∵4的算术平方根是2， ∴A正确，符合题意； ∵0.16的平方根是±0.4， ∴B错误，不符合题意； ∵0的立方根是0， ∴C错误，不符合题意； ∵1的立方根是1， ∴D错误，不符合题意； 故选A． 【点拨】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，立方根如果一个数的立方等于a，称这个数为a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 解：（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 【考点11】实数的混合运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算，无理数的估算，化简绝对值，根据，化简绝对值合并同类项即可． 解：， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．首先因为，所以，又因为，所以可得：原式，然后再计算即可． 解： ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算． （1）利用算术平方根、立方根的法则计算即可； （2）利用算术平方根、绝对值的法则计算即可． 解：（1）解： （2） 【第四部分】实数的应用 【考点12】程序设计与新定义下的实数运算 1．（2025九年级下·全国·专题练习）在一列数，，，……，中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 解：∵输出的数是， ∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是， 故x的值为， 故答案为：． 3．（2025七年级·全国·专题练习）定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． （1）_______； （2）对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 解：（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 【考点13】实数运算的实际应用 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）以下命题中，假命题有（    ）个 ①互补且有公共边的两个角是邻补角；②过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；③若，则是一个小于的整数；④若有理数，满足等式，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，邻补角的定义，平行线的判定，算术平方根的应用，实数的运算等，熟练掌握“等式中两侧含有无理数和有理数，则有理数项和无理数项分别相等”是解题的关键． 解：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；只有公共边没有公共点的两个角不是邻补角，故①为假命题； 在同一平面内，过直线上不同两点分别作这条直线的垂线，则这两条垂线互相平行；若不在同一平面内，则这两条垂线不一定平行，故②为假命题； ∵， ∴， 原式为：， 整理得：， 解得：，故③为假命题； ∵，均为有理数，且满足等式， ∴，， 解得：，， 则或，故④为假命题； 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 【考点14】平方根、算术平方根、立方根的应用 1．（23-24九年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， （1）方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； （2）方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】（1）651；（2）能，理由见分析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 解：（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明家新买一套面积为的房子，他打算用块相同的正方形地砖铺地，每块地砖的边长为多少？ 【答案】每块地砖的边长为 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，掌握算术平方根的计算是解题的关键． 根据题意可得每块正方形地砖的面积，再根据算术平方根的计算即可求解． 解：由题意得，每块地砖的面积为， ∴每块地砖的边长为． 答：每块地砖的边长为． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【答案】正方体容器的棱长为 【分析】本题考查了立方根的应用．设正方体容器的棱长为，依题意列方程求解即可． 解：设正方体容器的棱长为． 依题意，得， 解得． 故正方体容器的棱长为． 【考点15】与实数运算相关的规律问题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 解：∵， …… ∴， ∴ ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ （1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ （2）请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ （3）对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 解：（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$