重点专题1-3 向量的基本定理及坐标运算【17类题型综合】- 【重难点突破】2024-2025学年高一数学下·人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题1-3 向量的基本定理及坐标运算 总览 题型·解读 【课前小测】 模块一 重点题型梳理 【题型1】基底的判断 【题型2】用基底表示向量以及向量基本定理 【题型3】平面向量正交分解及坐标表示 【题型4】平面向量坐标运算 【题型5】利用坐标求向量共线，垂直问题 【题型6】数量积的坐标运算 【题型7】利用坐标求向量的夹角 【题型8】利用坐标求向量的模或模的最值 【题型9】利用坐标表示投影向量 模块二 以几何为背景建立坐标系运算 【题型10】以矩形，直角梯形为背景建系求数量积 【题型11】四边形，三角形为背景建系求数量积 【题型12】以圆为背景建系求数量积 【题型13】建系求基底的系数 【题型14】建系求基底系数和的范围 模块三 综合运用 【题型15】斜坐标系中的向量计算 【题型16】与三角函数结合的向量坐标运算 【题型17】向量新定义问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 【课前小测】 1. （多选）已知，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2. 在四边形中，，分别为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 3. 平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4. 已知向量且，则（    ） A． B． C． D． 5. （多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 6. （多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，向量与向量的夹角为锐角 C．存在，使得 D．若，则 7. （多选）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若，则 模块一 重点题型梳理 基础知识 知识点01 平面向量基本定理 1、定义：如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 2、基底：若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底，基底给定时，分解形式唯一，在中，是唯一确定的数值. 知识点02 平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值，设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. （3）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （4）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （5）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点03 向量的坐标表示 （1）定义：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 （2）任一向量的坐标：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点04 平面向量的坐标运算 已知 1、向量和差运算：， 2、向量数乘运算： 3、向量共线运算：向量共线的充要条件是 证明:用坐标表示,可写为,即：消去得到：. 4、平面向量数量积的坐标表示：其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 5、两个向量垂直的坐标表示：． 6、向量模的坐标表示：若向量，由于，所以． 两点间的距离公式：已知原点，点， 则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． 7、向量的单位向量的坐标表示：设，表示方向上的单位向量 8、两向量夹角余弦的坐标表示：是与的夹角，则． 两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 【题型1】基底的判断 典型例题 【例题1】设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2】用基底表示向量以及向量基本定理 典型例题 【例题1】如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【例题2】如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若，则 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型3】平面向量正交分解及坐标表示 典型例题 【例题1】如图，向量，，的坐标分别是 ， ， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【巩固练习2】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标. 【题型4】平面向量坐标运算 典型例题 【例题1】已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例题2】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知向量且，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知向量，，若满足，则 ． 【巩固练习3】若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】设平面向量，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【题型5】利用坐标求向量共线，垂直问题 典型例题 【例题1】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【例题2】已知，，向量与垂直，则实数的值为 . 【例题3】向量，，，若∥，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】已知向量，，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【巩固练习3】在平面直角坐标系中，，，，，若与共线，则___________. 【题型6】数量积的坐标运算 典型例题 【例题1】设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【例题2】若向量，，则（    ） A． B．25 C． D．19 巩固练习 题型 【巩固练习1】向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【巩固练习2】已知向量，，则 ． 【巩固练习3】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【题型7】利用坐标求向量的夹角 典型例题 【例题1】已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【例题2】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是________ 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【巩固练习2】（多选）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【巩固练习4】已知，． （1）若与垂直，求k的值； （2）若为与的夹角，求的值． 【题型8】利用坐标求向量的模或模的最值 典型例题 【例题1】已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【例题2】已知向量，，且，则（    ） A．2 B． C． D．3 【例题3】已知，，则的最小值为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【巩固练习2】平面向量与的夹角为，则等于（ ） A． B． C．4 D．12 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值；(2)当取得最小值时，求实数的值. 【巩固练习4】已知向量，. (1)若，求m的值；(2)当时，若，求的最小值. 【题型9】利用坐标表示投影向量 典型例题 【例题1】已知向量，，则在方向的投影向量为 . 【例题2】已知点、、、，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，，则向量在向量上的投影向量为 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，满足，且，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，，则在方向上的投影向量的模长为（   ） A． B． C． D． 模块二 以几何为背景建立坐标系运算 解题技巧 常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 【题型10】以矩形，直角梯形为背景建系求数量积 典型例题 【例题1】如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【例题2】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．    【例题3】在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【巩固练习2】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 . 【巩固练习3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______ 【巩固练习4】（多选）如图，在梯形中，，分别为边上的动点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最大值为12 D．的最大值为18 【巩固练习5】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值；(2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【题型11】四边形，三角形为背景建系求数量积 典型例题 【例题1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【例题2】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·四川宜宾·期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求的值； (3)试确定点的位置，使得最小. 【题型12】以圆为背景建系求数量积 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知单位圆与轴正半轴交于点，点在第二象限且在单位圆上．若，劣弧的中点为，则（　　） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二上·广东珠海·开学考试）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）    A． B． C． D．12 【题型13】建系求基底的系数 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【例题2】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形ABCDEFGH中，若（，），则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江西赣州·期末）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习3】（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高一下·江苏无锡·期中）帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【题型14】建系求基底系数和的范围 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 模块三 综合运用 【题型15】斜坐标系中的向量计算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东佛山·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【例题2】（高一下·广东东莞·阶段练习）如图，斜坐标系中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为60°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，记为，在斜坐标系中完成下列问题： (1)若，，求； (2)若，求. 【例题3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（   ） A．设，若，则 B．设，则 C．设.若，则 D．设，若与的夹角为，则 【例题4】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建泉州·期中）设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记作.同时把有序数对叫做点在斜坐标系xOy中的坐标，记作，已知在斜坐标系xOy中，的三个顶点，且A，B，C异于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．的重心的坐标为 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江·期中）（多选）如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（    ） A．设，，若，则 B．设，，若，则 C．设，则 D．设，，若与的夹角为，则 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（   ） A．设，若，则 B．设，则 C．设.若，则 D．设，若与的夹角为，则 【巩固练习4】（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题：    (1)若，求的值； (2)若，求的坐标； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【巩固练习5】（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题 (1)在平面直角坐标系中，已知，； (2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中， ①已知，求； ②已知，，，求的最大值. 【题型16】与三角函数结合的向量坐标运算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知函数，其中， (1)将化简成的形式并求出最小正周期； (2)求使取得最大值的自变量的集合 【例题2】（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，，若， (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若存在，使，求m的最小值． 【例题3】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间的值域为，求的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，． (1)求在上的值域； (2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，． (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的值． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知平面向量． (1)设函数，求的最小正周期、对称轴方程和上的值域； (2)设函数， ①记，试用t表示，并写出t的取值范围； ②求y的最大值． 【题型17】向量新定义问题 解题技巧 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 典型例题 【例题1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则 ． 【例题2】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量，的夹角；定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量，的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点，，为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作. (1)已知，求，的“广义坐标”； (2)已知，，求； (3)已知，，求证：的充要条件是. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题1-3 向量的基本定理及坐标运算 总览 题型·解读 【课前小测】 2 模块一 重点题型梳理 4 【题型1】基底的判断 6 【题型2】用基底表示向量以及向量基本定理 8 【题型3】平面向量正交分解及坐标表示 10 【题型4】平面向量坐标运算 12 【题型5】利用坐标求向量共线，垂直问题 14 【题型6】数量积的坐标运算 16 【题型7】利用坐标求向量的夹角 17 【题型8】利用坐标求向量的模或模的最值 19 【题型9】利用坐标表示投影向量 21 模块二 以几何为背景建立坐标系运算 24 【题型10】以矩形，直角梯形为背景建系求数量积 24 【题型11】四边形，三角形为背景建系求数量积 30 【题型12】以圆为背景建系求数量积 34 【题型13】建系求基底系数 38 【题型14】建系求基底系数和的范围 45 模块三 综合运用 47 【题型15】斜坐标系中的向量计算 47 【题型16】与三角函数结合的向量坐标运算 56 【题型17】向量新定义问题 62 题型汇编 知识梳理与常考题型 【课前小测】 1. （多选）已知，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BD 【详解】，由得，即，解得或.故选：BD． 2. 在四边形中，，分别为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为，分别为边的中点， 所以，所以.故B，C，D错误. 3. 平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故. 4. 已知向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得． 5. （多选）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用向量的坐标运算，逐个验证选项. 【详解】已知向量，，， ，，选项A正确； ，，选项B正确； ，选项C错误； ，， 设与的夹角为，则，与的夹角为，选项D正确. 6. （多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，向量与向量的夹角为锐角 C．存在，使得 D．若，则 【答案】AD 【分析】对A，将1代入公式计算即可，对B，利用求向量夹角公式可知要判断夹角性质只需要验证结果， 对C，利用共线向量性质可得，对D，由向量垂直可得. 【详解】当时，，所以，故A项正确； ，当时，，但当时，向量与向量同向，夹角为，故B项错误； 若，则，故C项错误； 若，则，即，解得，故D项正确． 7. （多选）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角为钝角，则 B．的最小值为9 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．若，则 【答案】BC 【分析】A选项，且不反向共线，得到不等式，求出；B选项，利用模长公式得到的最小值为3；C选项，求出，从而得到利用求出答案；D选项，利用模长公式得到方程，求出. 【详解】A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线， 则且，解得且， 综上，，A正确； B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，B错误； C选项，，与共线的单位向量有2个， 为，C错误； D选项，若，则，解得，D正确. 模块一 重点题型梳理 基础知识 知识点01 平面向量基本定理 1、定义：如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 2、基底：若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底，基底给定时，分解形式唯一，在中，是唯一确定的数值. 知识点02 平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值，设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. （3）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （4）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （5）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点03 向量的坐标表示 （1）定义：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应 ②两向量相等时，坐标一样 ③，， ④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 （2）任一向量的坐标：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. （3）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点04 平面向量的坐标运算 已知 1、向量和差运算：， 2、向量数乘运算： 3、向量共线运算：向量共线的充要条件是 证明:用坐标表示,可写为,即：消去得到：. 4、平面向量数量积的坐标表示：其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 5、两个向量垂直的坐标表示：． 6、向量模的坐标表示：若向量，由于，所以． 两点间的距离公式：已知原点，点， 则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． 7、向量的单位向量的坐标表示：设，表示方向上的单位向量 8、两向量夹角余弦的坐标表示：是与的夹角，则． 两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 【题型1】基底的判断 典型例题 【例题1】设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线， 对于A， 和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底； 对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底； 对于C，因为，即和共线，不能作为基底； 对于D，，故和没有倍数关系， 故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，不共线，所以可以作为一组基底. 对于B，不共线，所以可以作为一组基底. 对于C，，所以共线，所以不可以作为一组基底. 对于D，，所以共线，所以不可以作为一组基底.故选：CD. 【巩固练习2】设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】对A：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，A错误； 对B：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，B错误； 对C：∵，则与共线， 故和不能作为基底向量，C错误； 对D：∵，则与不共线， 故和不能作为基底向量，D正确；故选：D. 【题型2】用基底表示向量以及向量基本定理 典型例题 【例题1】如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，数形结合求解. 【详解】因为， 所以. 【例题2】如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件知，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可 【详解】因为，， 所以， 所以，，则． 巩固练习 题型 【巩固练习1】平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线性质和向量线性运算即可. 【详解】根据三角形中位线知：. 故选：C. 【巩固练习2】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【详解】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 【题型3】平面向量正交分解及坐标表示 典型例题 【例题1】如图，向量，，的坐标分别是 ， ， . 【答案】 【分析】结合图象运用平面向量坐标表示求解即可. 【详解】如图， 将各向量分别向单位正交基底，所在直线分解， 则，∴， ，∴， ，∴， 故答案为：；；. 巩固练习 题型 【巩固练习1】若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【详解】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 【巩固练习2】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标. 【详解】由图可知；； ；. 【题型4】平面向量坐标运算 典型例题 【例题1】已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量，若， 则. 【例题2】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，，因， 从而有，解得，所以P点的坐标为. 【例题3】已知向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 【巩固练习2】已知向量，，若满足，则 ． 【答案】 【详解】因为，且，所以. 【巩固练习3】若，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以． 【巩固练习4】设平面向量，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设B点坐标为，所以，解得，所以B的坐标为. 【巩固练习5】已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，则，即，解得，故， 【题型5】利用坐标求向量共线，垂直问题 典型例题 【例题1】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【答案】6 【详解】因，，则， 又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得. 【例题2】已知，，向量与垂直，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，，则，， 由向量与垂直，得，所以. 【例题3】向量，，，若∥，且，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标表示得到关于、的方程组进行求解. 【详解】由题意，得 ，， 因为，所以，解得， 则，即，解得， 故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 【巩固练习2】已知向量，，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 由与平行，得，解得. 【巩固练习3】在平面直角坐标系中，，，，，若与共线，则___________. 【答案】-1 【分析】设，根据题意和平面向量的坐标表示可得和、，即可求解. 【详解】设，由与共线，所以. 由，得 ，， 则，解得. 【题型6】数量积的坐标运算 典型例题 【例题1】设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，又， 所以， 【例题2】若向量，，则（    ） A． B．25 C． D．19 【答案】A 【详解】因为，，所以， 故. 巩固练习 题型 【巩固练习1】向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】由题可知，∴. 【巩固练习2】已知向量，，则 ． 【答案】2 【详解】因为，，则，，所以． 【巩固练习3】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为___________. 【答案】 【解析】点在线段的延长线上，且，， ,,,．所以点P的坐标为. 【题型7】利用坐标求向量的夹角 典型例题 【例题1】已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与垂直，故，解得，则, ，设与夹角为，则.故选：A. 【例题2】向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是________ 【答案】且 【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，，得. 向量，共线时，，得.此时. 所以且. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，，，且，． （1）求向量、； （2）若，，求向量，的夹角的大小. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为，，，且，， 所以，， 所以，，所以，； 设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以， 因为，所以． 【巩固练习2】（多选）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为， 所以. 因为为锐角， 所以，解得. 当时，，解得. 当为锐角时，实数的取值范围是. 所以实数可能的取值是，.故选：BD. 【巩固练习3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解. 【详解】由题可知且与不共线，即，得. 故答案为：. 【巩固练习4】已知，． （1）若与垂直，求k的值； （2）若为与的夹角，求的值． 【答案】（1）；；（2）. 【解析】（1）因为，，则，， 依题意，，解得， 所以. 由（1）知，，，则，， 因此，而，所以. 【题型8】利用坐标求向量的模或模的最值 典型例题 【例题1】已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 【例题2】已知向量，，且，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得. 【详解】解：因为，所以，即，即， 因为，所以，所以，所以 【例题3】已知，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】： 对称轴，所以当时， 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】转化，求解，再结合向量线性运算和模长的坐标公式求解即可. 【详解】由题意，， ，解得， 故，. 【巩固练习2】平面向量与的夹角为，则等于（ ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【解析】因为，所以，因为向量与的夹角为60°，所以， 所以，所以，故选：B. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值；(2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 【巩固练习4】已知向量，. (1)若，求m的值；(2)当时，若，求的最小值. 【答案】(1)-7 (2)3 【分析】（1）先写出的坐标，再由，求解即可； （2）根据，展开运算，利用配方法，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. （2）当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. 【题型9】利用坐标表示投影向量 典型例题 【例题1】已知向量，，则在方向的投影向量为 . 【答案】 【详解】在方向的投影向量为. 【例题2】已知点、、、，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，，得到， 则向量在方向上的投影向量为， 所以投影向量的模长为 【例题3】（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】（或） 【分析】根据坐标系中角度和线段长度大小，分别作垂线即可求得点B和点C的坐标，再利用投影向量定义即可求得结果. 【详解】过作轴，垂足为，作轴，垂足为，过作，垂足为， 如下图所示： 根据题意可知，， 所以，， 所以，即的坐标为； ，， 所以，的纵坐标为，所以的坐标为， 所以，； 则向量在向量上的投影向量为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知向量，满足，且，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【详解】依题意，在上的投影向量为. 【巩固练习2】设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在方向上的投影向量为. 【巩固练习3】已知，，则在方向上的投影向量的模长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在方向上的投影向量的模长为. 模块二 以几何为背景建立坐标系运算 解题技巧 常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 【题型10】以矩形，直角梯形为背景建系求数量积 典型例题 【例题1】如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 【例题2】（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系， 则，设， 故， 所以， 则当时，取得最小值.    【例题3】在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可得解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【详解】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 【巩固练习2】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设，其中， 则，，， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 【巩固练习3】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______ 【答案】49 【解析】如图所示建立直角坐标系，设， ，， 则； 【巩固练习4】（多选）如图，在梯形中，，分别为边上的动点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最大值为12 D．的最大值为18 【答案】AC 【分析】首先以点为原点建立平面直角坐标系，并利用坐标表示，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则.设， 其中，且， 得. 因为，所以， 解得，当且仅当时，等号成立.， 当且仅当点或点与点重合时，等号成立，则. 所以的最大值为12，最小值为. 【巩固练习5】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值；(2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则，所以， 因为，故当时，取得最大值，当时，取得最小值， 故的取值范围为． 【题型11】四边形，三角形为背景建系求数量积 典型例题 【例题1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系并标点，利用向量数量积的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，    过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 【例题2】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 法二：极化恒等式 取BC中点D，则 则 再去AO中点M， 当时取到最小值，故 故选：． 【例题3】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可. 【详解】 如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系， 易知，，， 设，且，故，， 故，而，. 【巩固练习2】（23-24高一下·四川宜宾·期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 【答案】12 【分析】先建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再进行数量积运算，由算式判断最大值. 【详解】过作的垂线，垂足分别为， ，则， 以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 等腰梯形ABCD中，，，，， 则有，，所以，， 设，，则， 令，得，，则， 有，当时取到等号. 所以的最大值为12. 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求的值； (3)试确定点的位置，使得最小. 【答案】(1) (2) (3)时，最小 【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可； （2）将向量转化为已知向量等，进行运算； （3）法一：设()，利用基底法计算，结合二次函数求最值； 法二：建立平面直角坐标系，设()，利用数量积的坐标运算，再求最值. 【详解】（1），，，， ，， ， ； （2） （3）法一：设()，则， ， 当时，即时，最小. 法二：建立如图平面直角坐标系，则，， ，， 设()，则， 当时，即时，最小． 【题型12】以圆为背景建系求数量积 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知单位圆与轴正半轴交于点，点在第二象限且在单位圆上．若，劣弧的中点为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过单位圆、点坐标及，得，设与正半轴的夹角为，则，求出即可. 【详解】由题意可知，，则， 在第二象限且在单位圆上，设，且，则， 因为，所以，即，故. 设与正半轴的夹角为，则， 因为，且，则，所以， 所以点坐标为，故. 故选：A. 【例题2】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意不妨设，则，所以设，然后利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量均为单位向量，且，所以不妨设， 设，因为，所以， 则设， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A    【巩固练习2】（23-24高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点在圆上，设点，计算得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值. 【详解】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 【巩固练习3】（23-24高二上·广东珠海·开学考试）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）    A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】建系，根据向量的坐标运算和辅助角公式得到得到，然后根据三角函数的性质求最大值即可. 【详解】    以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设， 所以，， 故． 所以的最大值为. 【题型13】建系求基底系数 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以 【例题2】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论. 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 【例题3】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，在正八边形ABCDEFGH中，若（，），则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求得相关向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】不妨设，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示． 正八边形内角和为， 则， 所以，，，， 所以，，， 因为，所以 ， 所以， 解得，， 所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·江西赣州·期末）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标运算直接可得解. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设，则，， ，， 所以点的纵坐标为，横坐标为， 即，， 又，， 所以 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 【巩固练习3】（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】    以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，，，，． 因为，所以 解得所以． 【巩固练习4】（23-24高一下·江苏无锡·期中）帕波斯在其著作《数学汇编》中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得. 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.    不妨设，则，，，，， 故，，. 设，则，解得，所以. 【题型14】建系求基底系数和的范围 典型例题 【例题1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建系标点，设，根据向量的坐标表示可得，进而可得取值范围. 【详解】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即 模块三 综合运用 【题型15】斜坐标系中的向量计算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东佛山·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，，则， 所以， 所以． 【例题2】（高一下·广东东莞·阶段练习）如图，斜坐标系中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为60°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，记为，在斜坐标系中完成下列问题： (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意，应用向量数量积的运算律求； （2）由，结合即可求结果. 【详解】（1）由题设，， 所以 （2）由已知，则， 所以. 【例题3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（   ） A．设，若，则 B．设，则 C．设.若，则 D．设，若与的夹角为，则 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量模长的定义可得B错误；由向量平行的坐标表示可得C正确；由向量数量积的定义可得D错误. 【详解】A：因为，所以， 又，所以， 即， 所以， 因为，所以，故A错误； B：因为，所以， 所以， 又，且， 所以，故B错误； C：因为，所以， 又，则，即， 即，所以，故C正确； D：因为，所以， 又与的夹角为， 所以， 解得， 所以，故D错误 【例题4】 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·福建泉州·期中）设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记作.同时把有序数对叫做点在斜坐标系xOy中的坐标，记作，已知在斜坐标系xOy中，的三个顶点，且A，B，C异于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．的重心的坐标为 【答案】B 【分析】先计算，再根据新定义计算、、，判断ABC的正误，利用向量线性运算得，根据斜坐标系坐标定义求解判断D的正误. 【详解】依题意，. 由向量，，则，故A正确； ，故B错误； 若，则，即，即， 所以，故C正确； 设为的中点，根据三角形重心性质知，则， 所以， 所以， 所以，故D正确. 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江·期中）（多选）如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（    ） A．设，，若，则 B．设，，若，则 C．设，则 D．设，，若与的夹角为，则 【答案】BD 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量平行的坐标表示可得B正确；由向量模长的定义可得C错误；由向量数量积的定义可得D正确. 【详解】对于A，若，则， ，故A错误； 对于B，若，则， 则，所以，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，， 即， 解得，所以，故D正确． 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（   ） A．设，若，则 B．设，则 C．设.若，则 D．设，若与的夹角为，则 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得A错误；由向量模长的定义可得B错误；由向量平行的坐标表示可得C正确；由向量数量积的定义可得D错误. 【详解】A：因为，所以， 又，所以， 即， 所以， 因为，所以，故A错误； B：因为，所以， 所以， 又，且， 所以，故B错误； C：因为，所以， 又，则，即， 即，所以，故C正确； D：因为，所以， 又与的夹角为， 所以， 解得，所以，故D错误 【巩固练习4】（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题：    (1)若，求的值； (2)若，求的坐标； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）首先由数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律求出，即可得到； （3）设所求向量为，则且，即可得到方程组，解得、，从而求出的坐标. 【详解】（1）由题知，， 又，，所以，， 所以 . （2）∵，∴， 即， 即， ∴，从而； （3）设所求向量为，即， 则①， 又， 即， 即②， 由①②解得或， 所以或， 即与垂直的单位向量的坐标为，． 【巩固练习5】（23-24高一下·福建·期中）解决下列问题 (1)在平面直角坐标系中，已知，； (2)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中， ①已知，求； ②已知，，，求的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由向量夹角余弦公式可得答案； （2）①由题目所给信息结合向量模长公式可得答案；②由①可得表达式，后令，结合及函数单调性可得答案. 【详解】（1）依题意得， ， 则 .所以 与的夹角为； （2）①由题意可知： ，， 则， ∴； ②由题意可知， . 由①可得：. 令 ,又因为， 且，所以，， ∴， 则. 又因为函数在单调递增， 即：时，函数取到最大值7， 即，则有，∴当时，的最大值为. 【题型16】与三角函数结合的向量坐标运算 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知函数，其中， (1)将化简成的形式并求出最小正周期； (2)求使取得最大值的自变量的集合 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由数量积的运算得到，再结合倍角公式和辅助角公式将整理为的形式；由最小正周期的公式得到的最小正周期； （2）将看成一个整体，令，解出即可得到答案. 【详解】（1） ，所以最小正周期为. （2）由（1）知，，则当时， 即时，取得最大值2， 所以使取得最大值的自变量的集合为. 【例题2】（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，，若， (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若存在，使，求m的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把表达式化简为正弦型函数，再计算即可； （2）利用整体代换求出单调递减区间即可； （3）由得，由得，根据题意，解不等式即可. 【详解】（1）由题意得， 所以； （2）令，得，， 所以的单调递减区间为. （3）因为，所以， 由得，即，所以，解得， 故m的最小值为． 【例题3】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简的解析式。由公式得最小正周期； （2）当时，，其中时，单调递减，求的取值范围即可； （3）时，，结合正弦函数图象可知， 有，求解的取值范围即可． 【详解】（1）向量，， 函数， 所以函数的最小正周期. （2）当时，， 其中，即时，的单调递减， 所以当时，函数的单调递减区间是； （3）时，， 若函数在区间的值域为，则函数在区间的值域为 结合正弦函数图象可知， 有，解得， 即的取值范围为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，． (1)求在上的值域； (2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程． 【答案】(1)； (2)对称中心，对称轴. 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角的余弦公式及辅助角公式化简求得，再求出值域. （2）由（1）中函数式，结合正弦函数性质求出对称中心及对称轴. 【详解】（1）依题意，， 当时，，则， 所以的值域为. （2）由，得， 所以函数图象的对称中心坐标为； 由，得， 所以函数图象的对称轴方程为. 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，． (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行得出坐标关系求参即可； （2）先应用数量积公式再应用二倍角公式及辅助角公式得出三角函数值，最后应用诱导公式计算求解. 【详解】（1）由，可得 因为，所以， 所以，所以 （2） ，∴， 所以 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知平面向量． (1)设函数，求的最小正周期、对称轴方程和上的值域； (2)设函数， ①记，试用t表示，并写出t的取值范围； ②求y的最大值． 【答案】(1)最小正周期、对称轴方程及对应值域分别为； (2)①，t的取值范围，②. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示可得，结合正弦函数的性质即可求解； （2）根据平面向量数量积的坐标表示可得，由题意可得且，进而，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以的最小正周期为； 由，得， 即的对称轴为； 由，得，所以， 故在上的值域为. （2）由题意知，， 则， 设，则， 由，所以， 得， 又函数是一条开口向下、对称轴为的抛物线， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以. 【题型17】向量新定义问题 解题技巧 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是平面向量的数量积的坐标表示. 典型例题 【例题1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则 ． 【答案】 【分析】根据题中定义，结合特殊角的正余弦值、向量的坐标表示公式和向量加法的坐标运算法则进行求解即可. 【详解】由点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 得点绕点沿逆时针方向旋转后得到点， 设，则有， 由点，点，得， 因此，且， 解得，即，而，则， 所以. 【例题2】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值. （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. （3）结合条件得出的范围、向量与的夹角的余弦值的范围，再根据题目所给定义和题目条件，求出的值，将转化为，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故的值为. （2）因为向量、是单位向量，所以，， 由， 可得， 解得， 由，可得， ， 故向量与的夹角的余弦值为. （3）设向量与的夹角为，由题意可知，则， 因为，所以，. 因为，所以，. 因为是整数，所以， 所以，， 而 ，即，所以， 因为， ，所以，即， 故的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量，的夹角；定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量，的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点，，为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】对于AB：根据内积和外积的定义分析求解；对于C：根据数量积可得，，即可得结果；对于D：分析可知，，结合数量积分析求解. 【详解】对于A中，因为是非零向量， 由，可得， 即，可得， 且，解得或，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，因为，可知，则， 且，可得，所以，故C正确； 对于D中，因为，即， 可得，可知，可得，， 则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以D错误 【巩固练习2】（23-24高一下·江苏无锡·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作. (1)已知，求，的“广义坐标”； (2)已知，，求； (3)已知，，求证：的充要条件是. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件及向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可求解； （3）根据已知条件及向量的共线定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为，两分别为，正方向上的单位向量，且夹角为， 所以 ， 所以， （3）必要性：若，则； 若，，则存在，使得，即，消去得； 充分性：当，若，则， 若，不妨设，则，则, 则存在，使得 【巩固练习3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见详解；② 【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可； （2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$