6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

重难点手册高中数学必修第二册RJA。 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 重点和难点 课标要求 1.理解平面向量基本定理及其意义， 重点：平面向量基本定理、平面向量的 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐 坐标表示及平面向量运算的坐标 标表示 表示 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 难点：平面向量基本定理唯一性的 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向 证明. 量的夹角 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件. 1AB1011B11111010101011111111100101110010111111011103111111010111 必备知识梳理 B1A1111B01011011113011100311101031111010131100301311011111001111111111 基础梳理 知识点（①平面向量基本定理 敲黑板⊙ 1.平面向量基本定理 (零向量不能构成基底，因为零向量与任意向量共线) 对平面向量基本定理的理解 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 1.基底不唯一，只要是同一 平面内的两个不共线向量，都可 平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1，入2，使a=入1e1+ 以作为基底.同一非零向量在不 入2e2.若e1,e2不共线，我们把{e1,e2》叫作表示这一平面内所有向 同基底下的分解式是不同的 量的一个基底.心敲黑板) (构成基底的向量叫作基向量) 2.基底给定时，分解形式唯 2.定理的证明 一，入1，入2是被a,e1,e2唯一确 平面向量基本定理包括两个方面的内容： 定的数值 (1)存在性，即存在实数入1，入2，使a=入1e1十入2e2. 3.若{e1,e2}是同一平面内 如图1，对于向量a和一个基底{e1,e2},首先将a,e1,e2都平 所有向量的一个基底，则当a与 e1共线时，入2=0；当a与e2共 移到同一个起点O,且令e1=OA,e2=OB,a=OC,然后过点C 线时，入1=0；当a=0时，入1=入2 分别作OA和OB所在直线的平行线，交OA,OB所在的直线于 =0. M,N两点，如图2，则有OM=入1e1,ON=入2e2,所以a=入1e1十 λ2e2: e e 图1 图2 (2)唯一性，即对任一向量a,存在唯一一对实数入1，入2，使a =λ1e1+入2e2 事实上，若存在入1入2∈R,142∈R,且a=入1e1十入2e2,a= 30 第六章平面向量及其应用 8888888888 u1e1十2e2, 则λ1e1十λ2e2=1e1十42e2,即（入1-μ1）e1=(2-λ2)e2, .e1与e2不共线， .入1一41=0,42一入2=0.∴…入1=41，入2=42. 3.定理的实质 拓视野⊙ 由平面向量基本定理可知，可将任一向量a在给定基底{e1, 1.如果e1,e2是共线向量， e2}的条件下进行分解一平面内的任一向量都可以用平面内任 那么当a与e1,e2共线时可以 意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 用e1,e2表示，且表示方法不唯 一，否则不能表示 ◆拓视野 2.n个不共线的向量e1, 4.定理的功能 e2,…,en与n个实数入1，入2，…， 平面向量基本定理体现了转化的数学思想方法，在用向量解 入m所组成的向量入1e1十入2e2 决几何问题时，我们可以适当地选择基底，将问题涉及的向量向基 十十入en叫作向量的线性组 底化归，使问题得以解决， 合.当向量a是向量e1,e2,…, 知识点(2平面向量的正交分解及坐标表示 en的线性组合，即a=入1e1十 入2e2十…十入nem时，我们称向量 1.平面向量的正交分解 a可以分解成向量e1,e2,…,en (1)给定平面内两个不共线的向量e1,2,由平面向量基本定 的线性组合，其中{e1,e2,…, 理可知，平面上的任意向量a均可分解为两个向量入1e1,λ2e2,即 en}是关于向量a的一个基底. a=入1e1十λ2e2,其中向量入1e1与e1共线，向量入2e2与e2共线. (2)在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个 向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解 (3)如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 辨差异@ 点的坐标与向量的坐标的 联系与区别 点的坐标反映的是点的位 2.平面向量的坐标表示 置，而向量的坐标反映的是向量 (1)平面向量的坐标表示 的大小和方向，向量的坐标由向 如图1，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两 量的大小和方向决定，与向量的 个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个 位置无关。 向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得 (1)联系：当且仅当表示向 量的有向线段的起点为原，点时， a=xi-+yj. ① 表示向量的有向线段的终，点的 这样，平面内的任一向量α都可由x,y唯一确定，我们把有 坐标等于向量本身的坐标 序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a三(x,y).◆辨差@ ② (2)区别：书写格式不同，如 其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标， a=(1,2),A(1,2) ②式叫作向量的坐标表示. 31 用重难点手册高中数学必修第二册RJA。 x.y 图1 图2 (2)平面向量与有序数对的对应关系 如图2，在平面直角坐标系中，以原点0为起点作OA=a,则 点A的位置由向量a唯一确定 设OA=xi十yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐 标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因为 OA=a,所以终点A的坐标(x,y)就是向量a的坐标.因此，在 平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序数对唯 一表示 (向量与有序数对一一对应) 知识点3 平面向量线性运算的坐标表示 1.平面向量加法、减法的坐标运算 划重点 已知a=(x1,y1),b=(x2y2), 1.当向量确定以后，向量的 则a+b=(x1十x2y1十y2),a一b=(x一x2y1-y2), 坐标就是唯一确定的，因此向量 在平移前后坐标不变 即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 2.求一个向量的坐标时， 和（差） 可以先求出这个向量的起点 2.由向量起点和终点的坐标求向量坐标的方法 坐标和终点坐标，再由终，点坐 已知A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点， 标减去起点坐标，即得到该向 量的坐标. 则AB=OB-OA=(x2y2)-(x1y)=(x2一x1y2-y), 3.求一个点的坐标时，可以 (向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关) 转化为求该点相对于坐标原点 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标 的位置向量的坐标， 减去起点的坐标.·划重点 3.数乘向量的坐标运算 已知a=(x,y),λ∈R, 则λa=λ(xi十yj)=λxi十λyj,即λa=(x,y) 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应 坐标 知识点（④平面向量共线的坐标表示 1.向量a,b共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0)， 32 第六章平面向量及其应用 888888888 则a/仍台x1y2一x2y1=0.◆题黑板 敲黑板⊙ 2.向量共线的坐标表示的推导 当使用公式x1y2一x2y1= 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，若向量a,b共线，当 0时，无条件x2≠0，y2≠0的限 且仅当存在实数入，使得a=λb.如果用坐标表示，可写为(x1,y1)= 制，便于应用；当使用公式1 A(xyg)=Qx2A),即1-”消去入后得1，-- y1=λy2, 时，虽有条件x2≠0，y2≠0 V, 0.也就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a,b(b≠0)共线. 的限制，但便于记忆.所以我们 在学习时可以记比例式，但在解 知识点⑤平面向量数量积的坐标表示及向量的模 题时可将其改写成乘积的形式。 1.平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即若a= 敲黑板⊙ (x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2十y1y2.推导过程如下： 向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其 .a=xi+yj,b=x2i+y2j, 大小应为平面直角坐标系中两 .a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) 点间的距离，如a=(x,y),则在 =x1x2i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j. 平面直角坐标系中，一定存在点 又"i:=1jj=1,i:j=j:=0, A(x,y),使得OA=a=(z,y), .a·b=x1x2十y1y2(依据是i时为单位正交向量，则川=1=1，且i1j) ∴.1OA1=|a=√x2+y2,即 该公式的重要意义是使得用向量解决平面解析几何及代数问 a|为点A到原，点的距离. 同样地，若A(x1,y), 题成为可能，较好地体现了数形结合思想. B(x2,y2),则AB=(x2-x1, 2.向量的模和两点间的距离公式 y2-y1）, |AB1= (1)向量的模◆敲黑板) √x2-x)+y2-y),即AB1 设a=(x,y),则|a2=x2十y2,a=√x2+y2 为A,B两，点间的距离。 如图1，a|2=a2=a·a=x2十y2,a=√x2十y2.拓视野 由此可知，向量的模的坐标 运算的实质为平面直角坐标系 41y 中两，点间的距离的运算」 A(x,y) 拓视野⊙ B 因为向量a的单位向量ao 图1 图2 =1a,若a=(x,y),则|a= (2)两点间的距离公式 如图2，设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2一x1,y2一 √+y,所以ag=a= 4,)=( 1 y1),AB=√/(x2-x1)2+(y2-y1) +y2 知识点6平面向量垂直与平面向量夹角的坐标表示 1.两个向量垂直的坐标表示 此式为向量a=(x,y)的 设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b台 单位向量的坐标表示， 1x2十y1y2=0.一（可与向量共线的坐标表示对比记忆） 33 重难点手册高中数学必修第二册RJA 2.两个向量夹角的坐标表示 明概念⊙ 设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(x2,y2),0是a与b cos0的符号只由x1x2十 a·b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos9=ab y1y2决定.当x1x2+y1y2<0 x1x2十y1y2 时，os0<0.0e(登]当x1 ◆明概念更 Vxi+yivx2+y2 +y1y2>0时，cos0>0,0∈0， 重难拓展 ）当x1x,+3=0时，c0s0 重难点①定比分点的坐标表示 1.线段定比分点的定义 0,0=受 如图，设P1,P2是直线l上两点，点P是1 上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 入，使得P1P=入PP2,入叫作点P分线段P1P2 所成的比，点P叫作线段PP2以定比为入的定比分点. 提个醒回 在使用定比分点的坐标公 2.定比分点的坐标表示 一（起点坐标）（分点坐标） 式时，应明确(x,y),(x1,y1), 设O为坐标原点，若P(cy),P2(x2y),P(x,y),P1P (x2,y2)的意义，它们分别为分 =λPP2,则OP-OP1=λ(OP2-OP), 、(终点坐标) 点、起点、终点的坐标.但在具体 即oi=中0p+计0P, 问题的计算中，往往是自行确定 Γ1+λ 分点、起点、终点，并且这些点必 x1+λx2 须与定比分点公式中的分点、起 1+λ9 点、终点相对应. y y1十λy2 1+λ 拓视野⊙ 定比分点的两种特殊情况 故点卫的整标为计校，) 利用定比分点坐标公式可 以得到线段的中点坐标公式及 例①(2025·湖北十一校联考)若过点P1(2,3),P2(6,一1) 三角形的重心坐标公式 的直线上有一点P,使PP1:PP2=3:1,求点P的坐标 (1)中点坐标公式：设 解析设O为坐标原点，连接OP,OP1,OP2· P1(x1y1),P2(x2,y2)的中点 PP1|:PP21=3:1,.1PP1=3PP2, 为P(x,y),则x=十2」 2,y= ∴PP1=3PP2或PP1=-3PP2: y十.利用中点坐标公式可 2 当PP,=3PP2,即P1P=-3PP2时， 解决与两点的中点有关的问题 oP=1+-0P+1+20P,=8,-3》. (2)重心坐标公式：在△ABC 当PP1=-3PP2,即P1P=3PP2时， 中，A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3y3),则△ABC的重心坐标 oi=+0p+30P=6,0. 为G(西十十，十十当 3 3 故点P的坐标为(8，一3)或(5,0).◆拓视野 34 第六章平面向量及其应用 变式①已知平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点， 拓视野⊙ 点C在直线AB上，且AC-)BC,连接DC并延长至点E,使 不等式(x1x2十y1y2)2≤ (x子十y)(x号十y)有着非常广 C2-4ED1,则点E的坐标为 泛的应用，由此还可以推广到一 般（柯西不等式）： 重难点2|a·b≤|a川b的应用 (a1b1+a2b2+…+abn)2 ≤(a2+a十…+a)(b3+b号 例2[回归教材P37T16]用向量方法证明：对于任意的a,b, +…+b). c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 敲黑板) 解析构造向量u=(a,b),v=(c,d), 借助向量思想解决下面的 则u·v=|u|vcos(u,v) 问题： =√a2+b·√c2+d2·cos(u,v. (1)已知实数x,y满足x十 .u·v=ac+bd, y一4=0，求x2+y2的最小值. .(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)·cos2u·v) (2)已知实数x,y满足 ≤(a2十b2)(c2十d2).→路视野为 (x+2)2+y2=1,求2x-y的 最大值。 (因为u和v的夹角属于[0，π]，故cos2(u,v〉∈[0,1]) 深挖教材 [提示](1)令向量m= (x,y),n=(1,1) 奥妙的向量思想 ,lm·n≤|mln, 已知向量a=(x1,y1),b=(x2y2),0是a与b的夹角. ∴.lx+y≤√x2+y√2， 根据平面向量的数量积及向量的模的坐标表示，我们可以得到|a· 即2(x2+y2)≥(x+y)2= b|≤al|b,即|a·b|=|x1x2+y1y2|≤√x+y·√x十y台(x1x2十 16,.x2+y2≥>8. y1y2)2≤(x+y)(x2+y). 故x2十y2的最小值是8. 下面讨论向量共线的条件： (2)令向量m=(x十2，y), n=(2,-1),2x-y=t.由m· (1)当向量a,b同向时，0=0°，a·b=|a||b|=√x十y· n≤mln,得|2(x十2)-y √x+y; ≤√(x+2)+y2·√5=√5，即 当向量a,b反向时，0=180°，a·b=-|a|b=-√/x1+y1· t+4≤5， Va2+y2. 解得-4-√5≤t≤5-4. 故2x一y的最大值是5-4. (2)由cos0= x1x2十y1y2 可知，若0=0°，则c0s0=1,若0 √x+y·√x十y 当然我们也可以利用其他 方法来求解，此处之所以利用向 =180°，则cos0=-1,则有x1x2十y1y2=士√x十y7·√x号十y. 量坐标法求解，是为了体现向量 利用上述结论可以判断两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共 的工具性 线。◆敲黑板) 日HH1HH1H1HHi1H电 关键能力提升 MIA1IT11NIBIA111111110111010111111111111111111011100111111111111111010111111111 题型(1 对平面向量基本定理的理解及 果e1,e2是平面内一组不共线的向量，那么下 简单应用问题 列四组向量中，不能作为基底的是(). 1.有关基底向量的判定问题 Ae1与e1+e2 例3(2025·湖南石门一中单元检测)如 B.e1-2e2与e1+2e2 35 重难点手册高中数学必修第三册RJA。 C.e1+e2与e1-e2 于点F,设AB=a,AC=b,则AF=(). D.e1+3e2与6e2+2e1 1=入1， 解析选项A中，设e1十e2=入1e1,则 无 1=0, 解；选项B中，设e1-2e2=λ2(e1+2e2),则 1=；无解；选项C中，设e十e=入，(e一e),则 -1=λ2， 1 A. 50+ B 7 5 1=λ3 1=-λ3 无解；选项D中，e1十3e2=2(6e,+2e1), c号a+b 2 1 1 D.3a+ib 所以两向量是共线向量，故D中向量不能作为基底。 (作为基底的向量，前提为不共线的向量) 解析因为2AD=DB,AE=EC, 答案D 所以Ad=Ai,A正=Ad 2.平面向量基本定理的理解问题 例④如果e1,e2是平面a内两个不共线 因为D,F,C三点共线， 的向量，那么下列说法中不正确的是( 所以A=Ai+1-X0A-}A店+1-DAd ①e1+e2(入，u∈R)可以表示平面a内 因为E,F,B三点共线， 的所有向量； 所以A=+(I-w)A正-店+21-Ad, ②对于平面a内任一向量a,使得a=λe1 十μe2成立的实数对（入，μ）有无穷多个； 3=, ③若向量入1e1十1e2与入2e1+μ2e2共 所以 线，则有且只有一个实数入，使得λ1e1十1e2= 1-=1-0, 入(2e1十42e2)成立； 所以A=号Ai+Ad ④若实数入，μ使得e1十μe2=0成立，则 答案B λ==0. 4.平面向量基本定理的唯一性及其应用 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 问题 解析 例6如图1，O是△ABC的重心，D是边 序号正误 原因 BC上一点，且BD=3DC,OD=λAB+uAC, ① √ 由平面向量基本定理可知①正确 若一个平面的基底确定，则任意一个 则=( ② × 向量在此基底下的实数对是唯一的 当向量入1e1十μ1e2与入2e1十μ2e2均 ③ X 为零向量，即入1=入2=41=42=0时， 满足条件的实数入有无数个 ④ 由平面向量基本定理可知④正确 图1 图2 答案B A号 c D.4 3.用基底表示向量的问题 解析延长AO,与BC交于点E,如图2所示 例5(2025·山西太原五中月考)如图， 因为O是△ABC的重心， 在△ABC中，2AD=DB,AE=EC,CD交BE 所以E是BC的中点， 36 第六章平面向量及其应用锥 则O2-}A正-日店+AC. 不断转化，直至能用基底表示为止；(2)列向量方程 又D是BC上一点，且BD=3DC, 组，利用基底表示向量的唯一性求解，即若a=入11 十41e2且a=入2e1十42e2,则构建方程（组) 则D是EC的中点， 入1=入2， 则有ED=BC子AC-A), 使得问题获解 1=2 则oi-O2+Ei-日(A+AC)+(AC 变式2如图，在△ABC中，CM=2MB, A)=A店+是A 过点M的直线交射线AB于点P,交AC于点 Q,若AP=mAB,AQ=nAC,则m十n的最小 又0i=+c,则X=品=是 值为( 故入=一 51 答案A M 5.平面向量基本定理与共线向量条件的 P 综合问题 B 例7已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC A.3 B.2√2 =3,BC=4,P为线段AB上的点，且CP= C1+2 3 D.3 CA CB -十y ,则xy的最大值为( 题型(2 平面向量基本定理在平面几何 A.1 B.2 C.3 D.4 中的应用问题 解析P为线段AB上的点， 1.两条直线交点的位置的确定问题 存在实数入使得AP=入AB(0<≤1)， 例⑧如图所示，在△ABC :.CP=CA+AP=CA+aAB=CA+中，M是BC的中点，点N在 λ(CB-CA)=(1-λ)CA+CB(0≤≤1). AC上，且AN=2NC,AM与 B 1-= BN相交于点P,则AP：PM的值为 又c-CA+, ,BP:PN的值为 入= 4 解析设BM=e1,CV=e2, :xy=121-x0=-12-）°+3≤3， 则AM=AC+CM=-3e,-e1, BN-BC+CN=2e1+e2. 当且仅当入=2时取等号，故x)的最大值是3， A,P,M和B,P,N分别共线， 答案C ∴.存在实数入，u,使得AP=入AM=一λe1 方法总结 3e2,BP=uBN=2μe1+μe2 1.判断两个向量能否构成基底的方法 判断两个向量能否构成基底，主要看这两个向 BA=BP+PA=BP-AP=(a+2u)e+ 量是否为非零向量以及是否共线， (3λ十u)e2. 2.用基底表示向量的方法 而BA=BC+CA=2e1+3e2, 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方 +2u=2, 法有两种：(1)利用向量的线性运算法则对所求向量 由平面向量基本定理得 3λ十u=3, 37 重难点手册高中数学必修第二册RJA 方法总结 解得 1.向量法是解决几何图形有关问题的重要方 4=5 法，其关键在于选取合适的基底，并注意与已知条 件的联系 A-Ad,B驴-B。 2.用向量法证明三线共，点的一般思路：设三条 .AP:PM=4:1,BP:PN=3:2. 直线l1,l2,l3中，l1与L2的交点为G1,l2与l3的 答案4：2 交点为G2,在图形中选择两个简单的不共线向量 作为基底，证明共起，点的向量的表示方法唯一，如 2.三线交于一点的证明问题 证明AG1=AG2,则可证点G1,G2重合. 例⑨(2025·河北石家庄二中单元检测) 3.一个重要结论：坐标平面内的三点A,B,C 求证：三角形的三条中线交于一点， 共线的充要条件是存在三个均不为0的实数l,m, n,使得OA+mOB+nOC=0,且1+m十n=0;反 证明如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线. 之亦成立 题型3 平面向量线性运算的坐标表 示的应用问题 1.求向量的坐标问题 令AC=a,BC=b,则AB=AC-BC=a-b. 例10(2025·湖南浏阳一中单元检测)已 AD-AC+CD-a- 知向量a=(5,2),b=(一4，一3)，若c满足3a 一2b+c=0,则c=( ). B酝=Bc+C龙- 2a+b. A.(-23,-12) B.(23,12) 令AD与BE交于点G1,并假设AG,=AD, C.(7,0) D.(-7,0) 解析a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a BG-uBE, 2b+c=0,∴.c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)= 剥有AG=a-含b,BG- 2atub. (-8-15,-6-6)=(-23,-12). 答案A :.AG:-AB+BG-(1-2)a+(g-D6. 2.利用向量线性运算的坐标表示求点的 坐标问题 A=1-台， 例11已知点A(-2,4),B(3,-1), C(-3,-4),且CM=3CA,CV=2CB,求点 含--1 M,N及MN的坐标. 由此可得=以=号，aG-导Ad 解析方法一由点A(-2,4),B(3,一1)，C(-3, 4)可得CA=(1,8),CB=(6,3),所以CM=3CA 再令AD与CF交于点G2, =(3,24),CN=2CB=(12,6). 同理可得AG-号Aà】 设M(x1y1),N(x2y2), (利用方程思想求解) ∴点G1与点G2重合，即AD,BE,CF相交于同 则CM=(x1+3,y1+4)=(3,24),CN=(x2+ 一点.三角形的三条中线交于一点 3,y2+4)=(12,6), 38 第六章平面向量及其应用 所以x1=0,y1=20,x2=9,y2=2, .a=2,.a=(2,0). 所以M(0,20),N(9,2), 所以MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). 设b=(）.则=b1ms150=1X(-号） 方法二设点O为坐标原点， 号=61m150=1x} √ 由CM=3CA,CN=2CB可得OM-OC=3(OA 0元)，0N-0元=2(oi-0C, b(》 从而0M=3OA-20C,ON=20-0C, 所以OM=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), 同理可务-(-，2， 0N=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), 设c=入1a十入2b(入1，入2∈R), 即点M(0,20),N(9,2), (待定系数法的运用) 所以MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). 则(--39）-2,0+(-》= 3.由坐标下的向量线性运算求参数问题 5、1、 例12(2025·四川成都树德中学单元检 2λ1 2122λ2， 测)设P(-3,一2)，Q(x,2),则当OP与OQ 3 的夹角为钝角时，x的取值范围为 2 11=-3, 解得 解析P(-3,一2)，Q(x,2), 212 3√3 λ2=-3√3. 2 ∴.0P=(-3,-2),0Q=(x,2). 当OP与OQ的夹角为钝角时，OP·OQ=-3x .c=-3a-3W3b. 一4<0； 方法总结 当OP与OQ反向共线时，(-3，-2)=(x,2) 1.利用向量的坐标运算求，点的坐标的方法 (k<0),解得k=-1,x=3. 向量用坐标表示后，向量的线性运算都可以用 坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数 故x的取值范国为（←音，3）U(3,十∞)。 与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就 答案(-号，3U(3,十o. 可以转化为熟知的数量运算. 2.利用向量的坐标运算求参数的方法 4.利用向量坐标运算表示向量问题 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求 例13(2025·浙江杭州二中单元检测)已 参数的问题，本质是运用坐标运算，用已知点的坐 知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC 标和参数表示该点的坐标，利用该点的位置确定 =90°.设OA=a,OB=b,OC=c,且|a|=2, 横、纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程（组） 。 1b|=1,c=3,试用a,b表示c. 或不等式（组）求解即可. 解析如图，以O为原点，向量OA所在的直线为 3.利用向量坐标运算表示向量的思路 x轴建立平面直角坐标系. (1)依据题中条件建立适当的平面直角坐标 系，利用向量的模及向量与x轴非负半轴的夹角求 向量的坐标，再利用向量的坐标运算，用a,b表示c. (2)通过建立适当的平面直角坐标系，从而求 出向量的坐标来解决向量或几何问题是一种常见 的方法。 39