精品解析：云南省曲靖市会泽县2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

会泽县2024-2025学年秋季学期教学质量检测 高二数学试题卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 则. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再由共轭复数和复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以，. 故选：B. 3. 经过点且与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 4. 已知函数与均是其定义域内的增函数，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数和一次函数的单调性即可得出答案. 【详解】已知函数与均是其定义域内的增函数， 所以，解得：. 故选：C. 5. 已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ） A. 62 B. 66 C. 56 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列， 可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 故选：D. 6. 在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再由，代入三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， ， 则， 可得：. 故选：B. 7. “原神”作为一款卡牌类养成游戏，“抽卡”也是其中深受大部分人喜欢的一个环节.在最新卡池“风法、雷女”活动中，该活动每次抽奖抽中金色人物的概率为0.02，且每次抽取相对独立，一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是（ ） A. 0.0396 B. 0.0004 C. 0.9996 D. 0.02 【答案】B 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由题意可得：第一次抽中金色人物的概率为0.02， 因为每次抽取相对独立，所以第二次抽中金色人物的概率为0.02， 所以一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是： . 故选：B. 8. 世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无公共点 【答案】D 【解析】 【分析】求出椭圆的蒙日圆方程，求出点的轨迹方程为，判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 设点，则，整理可得， 圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，所以，， 故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小王，小李两位同学在6次考试中数学成绩（满分100）分别为：小王68，73，72，73，70，94；小李52，72，96，83，72，75，则下列说法正确的是（ ） A. 小王和小李在6次考试中的平均分相同 B. 小王成绩的极差大于小李成绩的极差 C. 小王成绩的众数大于小李成绩的众数 D. 小李成绩比小王成绩更稳定 【答案】AC 【解析】 【分析】计算出平均数、极差、方差与众数，即可判断. 【详解】小王的成绩从小到大排列为：68,70,72,73,73,94， 所以平均分为，极差为， 众数为，方差为； 小李的成绩从小到大排列为：52,72,72,75,83,96， 所以平均分为，极差为， 众数为，方差为； 所以小王和小李在6次考试中的平均分相同，故A正确； 小王成绩的极差小于小李成绩的极差，故B错误； 小王成绩的众数大于小李成绩的众数，故C正确； 小王成绩比小李成绩更稳定，故D错误. 故选：AC 10. 已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 11. 抛物线，焦点为F，准线为l，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足为P，Q，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设出直线的方程及点的坐标，联立直线与抛物线的方程，得到韦达定理，再由抛物线的定义与性质及和韦达定理，基本不等式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】设直线的方程为， 由，消去得，，则，. 所以，， 对于A，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，依题意， 所以，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D， 故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量垂直向量的坐标表示求解即可. 【详解】，，且满足， 则，解得：. 故答案为：. 13. 已知一组数据满足，其方差为，则新数据的方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由方差的性质求解即可. 【详解】因为数据满足，其方差为， 则新数据的方差为. 故答案为：. 14. 已知函数，有两个不同的零点，则m的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，化简，由求出，分别求出和在上的前两个根，作出图像，结合图像即可得出答案. 【详解】令，因为，所以， 所以，所以， 所以， 令，解得：或，如图所示， 因为在上的前两个根分别为， 在上的前两个根分别为， 因为函数在有两个不同的零点， 所以，所以m的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，D为线段BC中点，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系化简已知式可得，结合，即可求出答案. （2）由余弦定理可求得，利用三角形的面积公式可求得，再由，利用余弦定理代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 又因为， 所以，因为， 所以，所以，可得 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，，由余弦定理得：， 可得， 由于， 解得：，所以， 又因为D为线段BC中点，所以，， 所以， 可得： 整理可得：，所以， 解得：. 16. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得或， 当时数列的通项公式； 当时数列的通项公式； 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 17. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4， 为线段 的中点， 为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. （3）求直线 到平面的距离. 【答案】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又 为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线 的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线 到平面的距离即为点 到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线 与平面所成角为 ，则， 所以直线 与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面， 平面， 所以平面， 所以直线 到平面的距离即为点 到平面的距离， 又， 所以点 到平面的距离， 即直线 到平面的距离为. 18. 云南一学校高二年级共有400人，在一次数学月考考试中，统计了他们的数学成绩分别在之间，其中共有80人，共有100人，共有120人，共有60人. （1）根据以上数据，求出每个成绩区间的频率，并画出这组数据的频率分布直方图； （2）利用第（1）问的直方图，学校决定将数学成绩在排名超过80%以上的学生定义为985院校目标生，那么本次考试需达到多少分可以成为985院校目标生？（四舍五入只保留整数部分） （3）从，两个成绩区间中按分层抽样的方式选出5人，再从这5人中任选2人参加一个问卷，求选出的2人来自同一个成绩区间的概率？ 【答案】（1） 的频率为：，的频率为：，的频率为：， 的频率为：，的频率为：， 频率分布直方图如下： （2）估计本次考试须达到分可以成为985院校目标生. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出各组的频率与高，即可画出频率分布直方图； （2）根据百分位的概念求解即可； （3）根据分层抽样的概念及古典概率的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 所以频率分布直方图如下： 【小问2详解】 因为前几组的频率依次为：， 所以80%分位数位于内，且为， 所以估计本次考试须达到分可以成为985院校目标生. 【小问3详解】 因为与的频率之比为：， 所以从中抽3人，记为，中抽2人，记为， 再从这5人中任选2人参加一个问卷基本事件有：，，，共种， 求选出的2人来自同一个成绩区间的基本事件有：，，，共种， 所以概率为. 19. 已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. （1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； （3）在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）直线恒过定点. （3）所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即可； （2）先求出，设直线的方程为：，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用，可得的等量关系，再将其代入直线的方程，即可求出直线PQ过的定点； （3）结合（2）中所得，根据，可知点在以为直径的圆上，再求最小值即可. 【小问1详解】 由题意可得：，即椭圆. 【小问2详解】 证明：把代入椭圆可得：， 因为A为上方的交点，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立， ，， 因为，所以， 所以， 整理得：， 所以， 化简可得：， 即，或； 当时，直线恒过A点，不合题意； 当时，直线， 恒过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为：， 代入，解得：， 设， ， 所以 则，解得：（舍去）或， 所以直线的斜率不存在时，直线恒过定点. 综上所述：直线恒过定点. 【小问3详解】 设直线恒过定点，由题意可得：，， 则点在以为直径的圆上，其中圆心为的中点， 半径，所以点的轨迹方程为， 设椭圆的左顶点为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 会泽县2024-2025学年秋季学期教学质量检测 高二数学试题卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 经过点且与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数与均是其定义域内的增函数，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ） A. 62 B. 66 C. 56 D. 46 6. 在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（ ） A. B. C. 2 D. 7. “原神”作为一款卡牌类养成游戏，“抽卡”也是其中深受大部分人喜欢的一个环节.在最新卡池“风法、雷女”活动中，该活动每次抽奖抽中金色人物的概率为0.02，且每次抽取相对独立，一同学在第一次单独抽中金色人物的前提下，接下来两次再次抽取金色人物的概率是（ ） A. 0.0396 B. 0.0004 C. 0.9996 D. 0.02 8. 世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无公共点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小王，小李两位同学在6次考试中数学成绩（满分100）分别为：小王68，73，72，73，70，94；小李52，72，96，83，72，75，则下列说法正确的是（ ） A. 小王和小李在6次考试中的平均分相同 B. 小王成绩的极差大于小李成绩的极差 C. 小王成绩的众数大于小李成绩的众数 D. 小李成绩比小王成绩更稳定 10. 已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线，焦点为F，准线为l，过焦点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，过A，B分别作准线l的垂线，垂足为P，Q，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，且满足，则__________. 13. 已知一组数据满足，其方差为，则新数据的方差为__________. 14. 已知函数，有两个不同的零点，则m的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，D为线段BC中点，求AD. 16. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 17. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4， 为线段 的中点， 为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. （3）求直线 到平面的距离. 18. 云南一学校高二年级共有400人，在一次数学月考考试中，统计了他们的数学成绩分别在之间，其中共有80人，共有100人，共有120人，共有60人. （1）根据以上数据，求出每个成绩区间的频率，并画出这组数据的频率分布直方图； （2）利用第（1）问的直方图，学校决定将数学成绩在排名超过80%以上的学生定义为985院校目标生，那么本次考试需达到多少分可以成为985院校目标生？（四舍五入只保留整数部分） （3）从，两个成绩区间中按分层抽样的方式选出5人，再从这5人中任选2人参加一个问卷，求选出的2人来自同一个成绩区间的概率？ 19. 已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. （1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； （3）在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $