精品解析：江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题

泰州市2025届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 5. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（ ） （参考数据：） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为实数，则z是实数 B. 若为虚数，则z是虚数 C. 若，则是实数 D. 若，则 10. 口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ） A. B. C. A与B为互斥事件 D. A与B相互独立 11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（ ） A. 平面 B. 向量不共面 C. 平面与平面的夹角的正切值为 D. 平面截该正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，则__． 13. 过抛物线的焦点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为______________. 14. 将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为______，m小于100的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据： 女 男 未参加跳绳比赛 参加跳绳比赛 （1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关 （2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率． 附：其中． 16. 在，已知，. （1）求B； （2）若为的平分线，的面积为14，求. 17. 如图，在直三棱柱中，，. （1）证明：三棱柱是正三棱柱； （2）证明：； （3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积. 18. 已知函数的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）. （1）讨论的单调性； （2）若函数有三个零点，求a的取值范围； （3）若，点P在的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求的最小值. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）求C的方程； （2）若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； （3）若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网组卷网 泰州市2025届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在 其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|lnx≥0}，则A∩B=() A.[-1,2] B.[1,2] C.(0,2] D.(0, 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求集合，再由集合的交运算求集合 【详解】集合B={x|lnx≥0}={x|x≥1}，又A={x|-1≤x≤2， 所以AnB={x1≤x≤2}=[1,2] 故选：B 2.已知向量a,b满足a+2b=(3,1,2a-36=(-1,2),则ā与万的夹角为() 小君 B交 3 Dπ 【答案】B 【解析】 【分析】设云=(x,乃)，b=(x2,y2),根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角 【详解】设ā=(x,y),6=(x2,y2), 因为a+2b=3,1,2a-3b=-1,2), 第1页/共20页 可学科网 丽组卷网 x+2x2=3 x=1 y+2y2=1 所以 当=1 2x-3x=-1'解得 七3=1 2y-3y2=2 y3=0 所以a=(1,1,万=(1,0)，ab=1,则cos(a,b)= ab 1-V2 ab1√2x12 因为a,6c0.,则a,6)-平 故选：B 3.某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为() A.4V6 B&2 c 5/15 D 4W6 3 3 3 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积 【详解】在正四棱锥P-ABCD中，令AC∩BD=O,连接PO,PO⊥平面ABCD, 则∠PA0=60,由40=}AC=V2,得P0=N6, 、) 所以该正四楼锥的体积为26=46 3 3 故选：A B 4已知等比数列a}的前n项和为S,且S1,S,S2成等差数列，则马=（) a A.1 B.2 C.4 D.9 【答案】C 【解析】 第2页/共20页 可学科网可组卷网 【分析】利用等差中项列式求出公比即可得解 【详解】由Sn1，Sn,Sn2成等差数列，得S+2-S。=Sn-Sn+1,则an+2+an+1=-an+1, 即am+2=-2a+1,因此等比数列{an}的公比9=一2， 所以%=g2=4 a 故选：C 5.在某个时期，某湖泊中的蓝濛每天以%的增长率呈指数增长若增长为原来的倍经过了4天，则增长 为原来的2倍需要经过的天数约为() (参考数据：1g2=0.3) A.6 B.12 C.16 D.20 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得1+p%=己，进面可得已=2，利用指对数关系、对数的运算性质、换底公式 求n即可. 【详解】若原水蓝藻数量为a,则a+p%=子4，可得1+p%=(, 令经过n天后蓝蒸增长为原来的2倍，则a1+p%”=2a,即（子-2， 可得n=1og,16=,1g16=41lg24×0.3 lg5-lg41-3lg21-3×0.3 =12天 故选：B 奇函数了x满足/x=广八4-x,且/x在-2,2上单调递 b=f c=f-13),则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【答案】D 第3页/共20页 耐学科网 可组卷网 【解析】 【分析】根据题意得到f(x)的图象的对称轴是x=2,周期是8，进一步有 0=f（3)=了付.c=-13到=了3到=0，东合单调性即可得解 【详解】定义在R上的奇函数f(x)满足∫x)=f(4-x, 则fx)的图象的对称轴是x=2, 所以f(x)=f(4-x)=-f-x), 则f(x+4)=-f(x), 则f(x+8)=-f(x+4=f(x),所以f(x)的周期是8， 所以b=f)=分e=f-1到=3到=fm. 因为f(x)在[-2,2]上单调递增， 所以=f付)ke=f<a=f目 故选：D. 7已奥双道线C:号若-1(a0,b>0:的去、右能是分别为，5，为C的E支上-点. AE与C的一条渐近线平行若AF,=EF,，则C的离心率为() A.2 B.2√2 C.3 D.3V5 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线，由平行关系求出Cos∠AF,F,,再结合双曲线定义及等腰三角形性质列式求 出离心率 【详解】由对称性，不妨取双曲线C:士-二=1的渐近线y=。x,令C的半焦距为©， b a2 b2 第4项/共20页 命学科网可组卷网 依题意，tan∠AEE,=-b,则cos∠AB,= e总4=62 )Alc-a-a,解得c=3a 则1A52c-2a,cos∠AE5,=EE,2cc 所以C的离心率为e=C=3. 故选：C 3版函数=sr君动>0，者到在)上有且贝有？个零，且对在意实裁a, fy在a,a+ 上存在极值点，则⊙的取值范围是() A63 B. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围 因为通数f=mor君引o>0),若f八在0月 上有且只有2个零点， 7 13 则π< 20、 ≤2π，解得 6 <0≤ 3 3 又对任意实数a,f(x)在a,a+ 上存在极值点，且a,a+ 的长度 3 而函数f(x)的最小正周期 2，则5>， >二，解得0>3， 30 第5页/共20页 命学科网列组卷网 综上，®的取值范围是3,3] 13 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知乙，22是复数，则下列说法正确的是() A.若z2为实数，则z是实数 B.若z2为虚数，则z是虚数 C.若z2=21,则z22是实数 D.若22+号=0，则222=0 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB,设z=x+yi,x,y∈R,由复数概念以及乘法即可判断；对于CD,设 乙1=X1+i,22=x2+y2,x,x2,y,y2∈R,由复数概念以及乘法即可判断 【详解】对于A,B,设z=x+i,xy∈R,则z2=(x+yi2=(x2-y2+2yi, 若22为实数，则2xy=0,但这不一定能得到y=0,比如x=0,y=1, 这个时候满足z2为实数，但z不是实数，故A错误； 若z2为虚数，则2xy≠0，这一定能得到y≠0，此时z是虚数，故B正确： 对于C,D,设z1=x+yi,z2=x2+y2i,x,x2,y,y2∈R, 若z2=x2+y2i=21=x1-y，这表明X=X2,=-y2, 所以z22=x,+yx,-y=x+y是实数，故C正确： 若z+z号=(x+yi)+(x2+y)=(x2+--)+2(x出+xy2)i=0, 这表明x+x号-y-y=(xy+x2y2)=0, 但z22=x1+y(x2+y2=（xx2-yy2)+xy2+x2y)i不一定等于0， 比如x=y=x2=-》2=1,这个时候有z2+z=0, 但z22=（x+yx2+y2=（xx2-y2)+(xy2+x2)i=2,故D错误。 故选：BC 第6页/共20页 可学科网命组卷网 10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球从口袋内无放回地依次抽取2个球， 记“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到黄球”为事件B,则() A.P(A)=3 B.P(B4)=2 C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断， 【详解】对于A,P(A=3,A正确： 对于B.P4B)=-,P8A)=P=号 A361 PA)2,B正确： 对于C,事件A,B可以同时发生，则A与B不互斥，C错误； B7,由选项AB知，P(4B)≠P(A0PB),则4与B相不独 故选：AB 11.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E,F分别是棱AB,AD的中点，则() A.C,F⊥平面DD,E B.向量A,E,BF,B,D,不共面 C平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为2V5 D.平面CEF截该正方体所得的截面面积为√29 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断ABC;作出截面，结合余弦定理、三角形面积公式 计算判断D 【详解】在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，建立如图所示的空间直角坐标系， D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),A(2,0,2),C1(0,2,2),B(2,2,2),E(2,1,0),F(1,0,2), 对于A,CF=(1,-2,0),DD=(0,0,2),DE=(2,1,0),则CF·DD=0,CF·DE=0, 第7页/共20页 命学科网可组卷网 即CF⊥DD,CF⊥DE,而DD1ODE=D,DD,DEC平面DD,E,因此C,F⊥平面DD,E,A正确： 对于B,A,E=(0,1,-2),BF=(-1,-2,2),D,B,=(2,2,0)=-24E-2BF,则向量AE,BF,B,D共面， B错误； 对于C,设平面CEF的法向量=(x,y,z),CE=(2,-1,0),EF=(-1,-1,2), iCE=2x-y=0 则 ,取x=2,得n=(2,4,3),平面ABCD的法向量m=(0,0,1), i.EF=-x-y+22=0 设平面CEF与平面ABCD的夹角为0，则cos日cos(m,D=m:m=3 1m川nl√29' sin0= 2W5 三，因此平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为2W5,C正确： √29 3 3 C E A B D C E 对于D,连接CE并延长交DA的延长线于G,连接GF交AA于H,交DD,延长线于K, 连接KC交C,D,于M,则五边形FMCEH即为所求截面，CG=2CE=2√5， 侣6能誓周号o-2正版- cos∠IHGE= 5、25 52, 2.2面5V6sn∠h6E- 59= 6 V65, 3 =12.5.2-2四，HE为△GkC的中位线，则Sc S.GE 4V29 23 V653 3 ScK=V29,因此截面面积小于√29，D错误 第8页/共20页 西学科网丽组卷网 M A H D B G 故选：AC 【点睛】关键点点晴：正确作出截面是求解判断D选项的关键 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知二项式(2x-1)5=a。+ax+a2x2+a3x3+a4x4+ax，则a1+a3+a3=_· 【答案】122 【解析】 【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出。 【详解】解：令x=1得，a。+a,+…+a=1①， 令x=-1得，4-a1+a2-.-45=-243② ①-②得，a1+a3+a=122. 故答案为：122. 13.过抛物线y2=4x的焦点作斜率为1的直线I交抛物线于A、B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的 弦长为 【答案】2√7 【解析】 【详解】设A(x,y),B(x2,y,),直线1的方程为y=x-1,将其代入y=4x中并整理得x2-6x+1=0, 所以x+x2=6,所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为3，所以圆心到y轴的距离为3， |AB=p+x+x2=8,所以以AB为直径的圆的半径为4，由己知及垂径定理得以AB为直径的圆被y轴 截得的弦长为242-32=2√7 第9页/共20页 学科网丽组卷网 点晴：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x。,yo)为抛 =2Px(P>0上一点，由定义易得PFF+:若过焦点的弦ABAB的端点4 A(x,y),Bx2,y,),则弦长为AB=x+x2十P,x+x可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准 方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到， 14.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，前3个数字构成三位数a,后三个数字构成三位数b.记m=a-b, 则m的最小值为，m小于100的概率为 1 【答案】 ①.47②. 6 【解析】 【分析】根据给定条件，结合差的绝对值的对称性，逐一分析各个数位上的数字即可求出最小值；分两步 探讨，结合古典概率列式计算得解 【详解】由m=a-b中a,b的对称性，不妨令a>b,要m最小， 百位必相邻，a的百位为4，b的百位为3： 对于十位，b的十位尽可能的大，为6，a的十位尽可能的小，为1； 同理b的个为5，a的个位为2，因此a=412,b=365,所以m的最小值为47： 要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步： 51 取百位的概率为C了：取十位，在剩下的4个数字巾取两数分配给@，b作十位， 而a的十位大于b的十位与a的十位小于b的十位的概率相等，此步符合要求的概率为)， 111 所以m小于100的概率为。×。 326 1 故答案为：47； 6 【点睛】关键点点睛：按两步分析，分别求出各步发生的概率求得第二空 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到 如下数据： 女 男 第10页/共20页 可学科网可组卷网 未参加跳绳比赛 75 90 参加跳绳比赛 25 10 (1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关？ (2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究，老师甲 从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率. 附：X2= n(ad-be)2 ,其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d(a+c)(b+d) P(x2≥k 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有 (2) 34 55 【解析】 【分析】(1)根据给定数表，求出X2的观测值，再与临界值比对即可. (2)利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率. 【小问1详解】 由表格中的数漏，得X-20075x10-90x25-6007.792>6.635, 100×100×165×3577 所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关。 【小问2详解】 利用分层抽样的方法从女生这100人中抽取12人，则未参加跳绳比赛的有S人，参加跳绳比赛的有3人， 老师甲从这12人中随机选取3人，记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A, 则PA0=1-P0=1-S=1-21-34 C 5555 34 所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是 55 6在ABC.巴知anA=,sm4-B列SV② 10 第11页/共20页 可学科网可组卷网 (1)求B; (2)若AD为∠BAC的平分线，ABC的面积为14，求AD 【答紫1)牙 (2) 75 3 【解析】 【分析】(1)利用同角三角函数的关系求出tan(A-B),再利用两角差的正切公式结合B=A-(A-B)即 可求解 (2)由(1)的结论以及三角形中sinC=sinA+B)求出角C的正弦，再利用正弦定理与 三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解 【小问1详解】 在ABC中，tanA= >0，所以0<4<号 因为0<B<元，所以-元<A-B< 因为sin(A-B到=2 0 0,所以0<A-B< 所以cos4-8例=V-sin2(4A=72 10 所以tan(A-B) sin(A-B)1 cos(A-B)7' 41 tand-tan(4-B)3 7 所以tanB=tanA-A-B)tan4tamA-BL+4 37 又因为0<B<元，所以B=工 【小问2详解】 由a4-手0<4子所以n4-号c4-房} 第12页/共20页 可学科网可组卷网 所以sinC=sinA+B)=sinAcosB+cosAsinB= 7V2 10 记ABC中角A、B、C所对的边为a、b、c, b 由正弦定理可得 inBsinc'所以 以b-sinB-5 所以S4=)bcsind=xcx4-14. 1 2 275 解得c=7（负值舍去)，所以b=5 2亏，得sin4-5 又由cos4=1-2sin24_3, 25 所以h5ac=5ao+5e·有14=eA0n +b.ADsin 22 7V5 所以14=2× D+5x 25 25 AD,解得AD=7N 3 17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=CA,BC⊥CA A B B (1)证明：三棱柱ABC-AB,C,是正三棱柱； (2)证明：AB⊥CA; (3)设AB,c平面，BC,∥平面，若直线BC与平面的距离为√3，求三棱柱ABC-AB,C,外接 球的表面积 【答案】(1) 在直三棱柱ABC-AB,C,中， BB,=CC,=AA,∠ABB,=∠BCC1=∠CAA,=90°， 第13页/共20页 学科网组卷网 又因为AB=BC=CA, 所以△ABB,≌△BCC≌ACAA, 所以AB=BC=CA, 所以三棱柱ABC-AB,C为正三棱柱 B (2) 取AC,AC的中点D,D,连结BD,DD, 则BD⊥AC 因为AA∥DD,AA⊥平面ABC, 所以DD,⊥平面ABC 以{DB,DC,DD}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设AC=2a,AA=b,则 A0,-a,0,BV5a,0,0,C(0,a,0,4(0,-a,b), C(0,a,b),B3a,0,b, 所以BC=（-V3a,a,b,CA=(0,-2a,b,AB=（3a,a,b) 因为BC⊥CA,所以BC⊥CA, 所以BC1.CA1=-2a2+b2=0,所以b=√2a 所以AB1·CA1=-2a2+b2=0, 所以AB,⊥CA,即AB⊥CA (3)33元 第14页/共20页 学科网可组卷网 【解析】 【分析】(I)通过证明三角形全等得到AB=BC=CA,即可证明三棱柱ABC-ABC为正三棱柱： (2)建系，利用空间向量的方法证明线线垂直： (3)根据垂直关系得到CA可以作为平面0的法向量，然后利用点到面的距离公式列方程，解方程得到a ，然后求外接球表面积即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为AB,C平面0，BC∥平面， 又因为BC⊥CA,AB⊥CA, 所以不妨取平面a的法向量i=CA=0,-2a,V2a 因为直线BC,与平面0的距离为√3， 所以点B到平面α的距离为√3 因为BB=0,0,V2a, BB· 所以点B到平面o的距离d= 2a2 2 a=5, V4a2+2a2V6 所以a= 32 2 13V2 所以正三角形ABC的外接圆半径”=2×5 =√6 2 所以正三棱柱ABC-AB,C的外接球的半径 A =+2 V33 所以三棱柱ABC-A,B,C,外接球的表面积为S=4πR2=33π 第15页/共20页 命学科网可组卷网 18.已知函数f(x=x3+ax的图象与x轴的三个交点为A,O,B(O为坐标原点). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数gx)=fx-21n-有三个零点，求a的取值范围， 1+x (3)若a≠-1，点P在y=f(x)的图象上，且异于A,O,B,点Q满足PA·QA=0,PB.QB=0,求 OQ的最小值 【答案】(1) f(刘在-， -3a -3a V-3a -3a 和 上单调递增，在 上单调递减， 3 3 (2)a<-4; (3)√2 【解析】 【分析】(1)根据根的个数可得a<0,再应用导数研究函数的单调性即可： (2)令gx)=x3+ax-2ln }-工，求出函数的定义域，并证明g(x)为奇函数，由零点的个数及奇函数 1+x 的对称性，将问题化为gx)在(0,1)上有且仅有一个零点，讨论a+4≥0、a+4<0研究gx)在(0,1)上 零点的个数，即可得参数范围； (3)设A(x,0),B(x,0),且x1=-x2=-√-a,P(m,n,(x,y),应用向量数量积的坐标表示求得 x=-m,y=二， 1 最后应用基本不等式求最小值， m 进而有00仁m+m 【小问1详解】 由已知得，f(x)=0有三个根，令x3+ax=0,得x=0或x2+a=0, 所以x2+a=0有两个不同的解，所以a<0,又f'(x)=3x2+a, 令fx>0,得x<-30成r>30,令f<0,得-3a<r<3a 3 3 3 -3a 和 上单调递增， 第16页/共20页 可学科网组卷网 √-3a√-3a 在 上单调递减. 3 3 【小问2详解】 令->0，得-1<r<1,令gx)=+ar-2n- 1+x 1+x 因为g-+g(刘=--ar-2n+x++ar-2n-=0,所以g(x为奇函数 “1-x 1+x 因为g0)=0,所以0是g(x)的一个零点， 要使g(y=f(x)-2n-有三个零点，只需要g(x在(0,1)有且仅有一个零点 1+x 8'(x)=3x2+a+, 4之在0，上单调递增，8'0=a+4 当a+4≥0，即a≥4时，g'x)≥0，所以gx)在(0,1)上单调递增， 由g0)=0,得gx)在(0,1)上无零点，不合题意，舍去. 当a+4<0,即a<-4时， a 所以存在x,∈(0,1)，使得g(x)=0 当0<x<x时，g'x)<0,所以g(x)在(0，x)上递减： 当，<x<1时，g(x)>0,所以gx在(xo,1上递增 当x∈(0，xo)时，g(x)<g(0)=0,且g(xo)<0 当x∈(x,l)时，g(x)=x2+m-2h-x>a-2n-x 1+x 1+x -e2 所以8 1+x 1+e2 1+e2 所以gx)在(xo,1)上存在唯一的零点 综上，a<-4 第17页/共20页 可学科网可组卷网 【小问3详解】 设Ax,0,B(x2,0),且x=-x2=-V-a,P(m,n,Q(x,y), 因为点P异于A,O,B,所以m≠0，±√-a 由PAQA=0,PB·QB=0,得 （m-x)(x-x)+y=0 (m-x2)(x-x2)+y=0' (m+a)(x+a)+ny=0 ,解得x=-m,则y=m+a=m+a=-1 (m-Va)(x-Va)+ny=0 n -m3-am m 所以00外F+了-+石之5，当且仅当=事m=士时，整号候立 所以O9的最小值为√2 【点睛】关键点点隋：第二间，判断g)=x+ax-21n}-的奇偶性，将问题化为gx)在(0,1有且 1+x 仅有一个零点为关键 9知确胭c名+中(a>>0的路心为义 ,且经过点A , 定义第n(neN) 2 次操作为：经过C上点A,作斜率为k的直线与C交于另一点Bn,记Bn关于x轴的对称点为A1,若A1 与Bn重合，则操作停止；否则一直继续下去 (1)求C的方程； (2)若A为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值； (3)若k=- ,A是C在第一象限与A不重合的一点，证明：△A,A1A+2的面积为定值. a 【答案】(1) +y2=1; 4 2)3 (3) 当=时，由四式料42,2》 同理A(-x,-y),所以A与A关于原点对称 第18页/共20页 西学科网丽组卷网 如图，由椭圆的对称性可知，A与A关于原点对称，A与A重合， B 所以{A,}是以4为周期的周期点列，所以△AnAn+1An+2的面积S等于△A,A,A,的面积 因为直线A,A的方程为x-xy=0,44=2V+, 点A到直线A,A,的距离d 2+. 2 √x2+y2Vx+y√x2+y 所以5=44d=x2+听×2 。=2 x+y 【解析】 【分析】(1)由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程； (2)设Anxm,yn),则直线ABn的方程为y=k(x-xn)+yn,联立椭圆方程消去y,结合x+4y=4求 三义=Y身科必出唑X马编·"(1-，化+“0yZ““0y8-"x1- 得XW 4k2+1 4k2+1 到方程，即可求参数值； (3)由(2)易得A与A关于原点对称，结合椭圆对称性有A与4关于原点对称，A与A重合，进而有 {A,}是以4为周期的周期点列，得△AnA+1A+2的面积S等于△A,4,A;的面积，再应用点线距离公式、 三角形面积公式求面积 【小问1详解】 √a2-b25 由题设有 2 2,解得a=2,b=1, 1 262=1 所以椭圆C的方程为 +y2=1 第19页/共20页 可学科网可组卷网 【小问2详解】 设Anxn,yn)，则直线ABn的方程为y=k(x-xn)+yn,与C的方程联立， 消去y得4k2+1x2+8k(yn-kxn)x+4(yn-xn)-4=0 因为x7+4y2=4,所以4k2+1x2+8k(yn-kx,)x+(4k2-1x2-8kxy.=0 因为=是它的一银，所以，---8购=2流-(4-. 4k2+1 -,yB.= 4k2+1 即Xn1= (4k2-1x-8ky 26.+(4k2-0y.*) 4k2+1 -,yn+= 4k2+1 珠 B B2 B3 A2 若A(-2,0),经过3次操作后停止，即为B3(2,0). 将A(-2,0)代入(*)式得， -2(4k2-1-4k 4k2+1’4k2+1 因为A-2,0),B2,0)关于原点对称，A,B,∥AB,所以B,与A关于原点对称， 因为A与B,关于x轴对称，A与B关于x轴对称，所以A与B2关于原点对称， 2k 所以k=k4B=k04三42一'解得k=±V3 2 综上，当n=3时，k=± 2 【小问3详解】 略 【点晴】关键点点晴：第二、三问，找到相关点的对称性，利用对称性得到k=k4A,=k4,、 △AnAn+1An+2的面积S等于△A,A2A,的面积为关键 第20页/共20页