18.1.3 平行四边形的判定（三角形中位线） 讲义 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

18.1.3 平行四边形的判定——三角形的中位线 一、知识要点 1、三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； （2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 （3）三角形中位线逆定理 ①在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线； ②在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 二、典例分析 例1.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 例2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是　 　． 例3.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 例4.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 例5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 例6.如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 三、针对练习 1.如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，DC＝AC＝10，且，作∠ACB的平分线CF交AD于点F，CF＝8，E是AB的中点，连接EF，则EF的长为　 　． 2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 4.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　） A． B． C．1 D． 5.如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为　 　．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　 ． 6.如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为　 ． 7.如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为　 ． 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 9.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点． （1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长； （2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1.3 平行四边形的判定——三角形的中位线 一、知识要点 1、三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； （2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 （3）三角形中位线逆定理 ①在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线； ②在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 二、典例分析 例1.如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 【分析】延长BE交AC于G，证△ABE≌△AGE（ASA），得BE＝GE，再由三角形中位线定理得EF∥GC，则∠EFD＝∠C，然后求出∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝70°，即可解决问题． 【解答】解：延长BE交AC于G，如图所示： ∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠BAE＝∠GAE∠BAC＝40°， ∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠GEA＝90°， ∵AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（ASA），∴BE＝GE， ∵F为BC的中点，∴EF是△BCG的中位线，∴EF∥GC，∴∠EFD＝∠C， ∵∠BEA＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°， ∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C． 例2. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是　 　． 【分析】根据三角形中位线定理得到PM∥BC，PMBC＝3，PN∥AD，PNAD＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：∵P、M分别是AB、AC的中点，∴PM∥BC，PMBC＝3， ∴∠APM＝∠CBA＝70°， 同理可得：PN∥AD，PNAD＝3，∴∠BPN＝∠DAB＝50°， ∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN为等边三角形，∴△PMN的周长为9， 故答案为：9． 例3.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EGBC，GFAD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系． 【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF， ∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EGBC，GFAD， 在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BCAD＞EF，∴AD+BC＞2EF， 当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，∴AD+BC＝2EF， 所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF． 故选：B． 例4.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　） A．2 B．5 C．7 D．9 【分析】根据三角形的中位线定理得出EFDN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答． 【解答】解：连接DN， ∵ED＝EM，MF＝FN，∴EFDN， ∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小， ∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB13，∴EF的最大值为6.5． ∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B． 例5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE； （2）若点F为BC的中点，求EF的长． 【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE， ∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AED＝90°， 在△AEC和△AED中，，∴△AEC≌△AED（ASA），∴CE＝DE； （2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴， ∵△AEC≌△AED，∴AD＝AC＝6，∴BD＝AB﹣AD＝4， ∵点E为CD中点，点F为BC中点，∴． 例6.如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？ 【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明． 【解答】解：相等．理由如下： 取AD的中点G，连接MG，NG， ∵G、N分别为AD、CD的中点，∴GN是△ACD的中位线，∴GNAC， 同理可得，GMBD， ∵AC＝BD，∴GN＝GMACBD．∴∠GMN＝∠GNM， 又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF． 三、针对练习 1.如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，DC＝AC＝10，且，作∠ACB的平分线CF交AD于点F，CF＝8，E是AB的中点，连接EF，则EF的长为　 　． 【分析】根据等腰三角形的性质得到F为AD的中点，CF⊥AD，根据勾股定理得到DF6，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵DC＝AC＝10，∠ACB的平分线CF交AD于F， ∴F为AD的中点，CF⊥AD，∴∠CFD＝90°， ∵DC＝10，CF＝8，∴DF6，∴AD＝2DF＝12， ∵，∴BD＝8， ∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EFBD＝4，故答案为：4． 2.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】证明△AFG≌△AFC，得到GF＝FC，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠GAF＝∠CAF， ∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°， 在△AFG和△AFC中，，∴△AFG≌△AFC（ASA）， ∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2， ∵GF＝FC，BE＝EC，∴EFGB＝1，故选：A． 3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【分析】如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH， ∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°， ∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°， 在△DNB和△HNC中，，∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH， 在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH5， ∵DM＝ME，DN＝NH，∴MNEH＝2.5，故选：A． 4.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（　　） A． B． C．1 D． 【分析】取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DHFC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可． 【解答】解：取BF的中点H，连接DH， ∵BD＝DC，BH＝HF，∴DHFC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE， 在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AFFC， ∵AC＝4，∴AF，故选：B． 5.如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为　 　．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是　 ． 【分析】根据E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，可以判断EF、FG、EG为三角形中位线，利用中位线定理求出EF、FG、EG与BC、AB、CA的长度关系即可求得△EFG的周长是△ABC周长的一半，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，以此类推，可以求得第n个三角形的周长． 【解答】解：∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点， ∴EF、FG、EG为三角形中位线， ∴EFBC，EGAC，FGAB， ∴EF+FG+EG（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半． 同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为64＝16． 以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n﹣1＝27﹣n。故答案是：27﹣n． 6.如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为　 ． 【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可． 【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM， ∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线， ∴EM∥AB，MF∥DC，EMAB＝2，MFDC＝3， ∵MF∥DC，∴∠FGC＝∠EFM， ∵EM∥AB，∴∠FEM＝∠FHB， ∵∠BHF与∠CGF互余，∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°， ∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，∴△EMF是直角三角形， ∴EF，故答案为：． 7.如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为　 ． 【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解． 【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN， ∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE， ∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN， 又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN， ∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6． 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF，FH∥EC，FH，从而得到FG＝FH； （2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH； （3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，∴BD＝EC ∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，∴FG∥BD，GF，FH∥EC，FH ∴FG＝FH； （2）证明：由（1）FG∥BD， 又∵∠A＝90°，∴FG⊥AC； ∵FH∥EC，∴FG⊥FH； （3）解：延长FG交AC于点K， ∵FG∥BD，∠A＝80°，∴∠FKC＝∠A＝80°； ∵FH∥EC，∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°； 9.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点． （1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长； （2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2． 【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度； （2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP． ∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PEAB＝3，PF∥CD且PFCD＝4． 又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°， ∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°， 在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF5，即EF＝5； （2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP． ∵E，F分别是AD、BC的中点，∴PE∥AB，且PEAB，PF∥CD且PFCD． ∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC， ∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD， ∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°， ∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$