精品解析：重庆市（康德卷）2025届高三第一次联合诊断检测数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测数学 数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为坐标原点，点，将绕点逆时针方向旋转得到，则的模等于（ ） A. 2 B. C. D. 4 4. 已知平行六面体的体积为1，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知双曲线的右焦点为， ，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知数列的通项，若且，使得，则的取值个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ） A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 10. 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，若满足（ 为正常数）的动点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得曲线经过原点 B. ，曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 当时，面积的最大值为 D. 当时，曲线围成的面积大于曲线围成的面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若复数，则________． 13. 已知圆分别是上的动点，则的最大值为________． 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数 的取值范围为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）已知 为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求 ． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点 在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点 为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 、两点， 在 轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，． （1）当时，求直线的方程； （2）已知为坐标原点，证明：． 18. 年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． （1）现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 19. 由边长为，，的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形： ①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边 ②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边． 设，由方法①，②均可得到，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三条边，且，为斜边，满足对于任意，有， （1）设，求的通项公式； （2）若，求 ； （3）证明：在直角三角形序列中，若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测数学 数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可得解. 【详解】因为集合，因此. 故选：B. 2. 已知，则“的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的解集为可得，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，所以， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件. 故选：. 3. 已知为坐标原点，点，将绕点逆时针方向旋转得到，则的模等于（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出，根据，结合数量积的运算法则求解即可. 【详解】因为点，绕点逆时针方向旋转得到， 所以， 故选：A.. 4. 已知平行六面体的体积为1，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可. 【详解】设点 到平面的距离为，的面积为， 显然有，所以， 因此剩余部分几何体的体积为， 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出即可. 【详解】因为，所以. 又因为. 故选：B. 6. 已知的角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 7. 已知双曲线的右焦点为， ，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为 ，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】 设 ，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 8. 已知数列的通项，若且，使得，则的取值个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得为方程的两个不等正整数解，为负整数，结合韦达定理分析求解. 【详解】令，即， 由题意可得为方程的两个不等正整数解， 由韦达定理可得，可知为负整数， 因为， 所以，共 个． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ） A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可. 【详解】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为，则数学学科抽取人数为人，故A正确； 对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为，则男性科研人员被抽到的人数为人，故选项B错误. 对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，选项C错误； 对于选项D: 若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故选项D正确； 故选：AD 10. 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型. 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，若满足（ 为正常数）的动点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得曲线经过原点 B. ，曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 当时，面积的最大值为 D. 当时，曲线围成的面积大于曲线围成的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，列出曲线的方程，分析方程的特点，判断各选项的准确性. 【详解】由题意，轨迹的方程为：① 选项A：取，①即为，曲线经过原点．A正确． 选项B：用代替 方程不变，用代替方程也不变，同时用代替 ，代替方程也不变.所以曲线关于轴， 轴和原点对称．B正确． 选项C：当时，①即为．若，则的面积为；若，由曲线的对称性，不妨设，则，所以，此时的面积大于．C错误． 选项D：当时，由，得．曲线 ：上任意一点满足．所以曲线 “包含于”曲线，两条曲线的公共点仅有，曲线围成的面积大于曲线 围成的面积．D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件列出曲线的方程，然后分析曲线的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若复数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知圆分别是上的动点，则的最大值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出圆心及半径，再根据求出距离的最大值. 【详解】圆，圆心，， 圆，圆心，， 因为分别是上的动点， 则的最大值为. 故答案为：10. 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数 的取值范围为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 由，显然不可能是零点，则有且仅有一个根， 当或，则， 令， 当，则， 令，则，即在上单调递增， 由， 即使，则， 所以上，即，则在上单调递减， 上，即，则在上单调递增， 而在上恒成立， 所以在上恒成立，且其最小值， 此时，时，在上无解，即 不存在， 时，在上有1或2个解，与或唯一性矛盾， 当，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，， 趋向于1时，，则； 当，则， 令在上单调递减，且， 趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）已知 为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由单调性与导数符号的关系列出不等式即可求解； 【小问1详解】 的定义域为． 当时 所以 在处的切线方程为． 【小问2详解】 令． 由题意，当时 当时 只需 即 解得： 因为 为整数，所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点 在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点 为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 以 为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点 为棱的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）建系标点，设，根据直线与的交点求得，即可得结果； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 、两点， 在 轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，． （1）当时，求直线的方程； （2）已知为坐标原点，证明：． 【答案】（1） （2）由题意，． 因为，所以在线段上． 同理，在线段上． 因为，所以与相似， 从而，即． 【解析】 【分析】（1）由题意设直线的方程为：，与抛物线方程联立，可得根与系数的关系.由结合根与系数关系可求出 的值，从而得到直线的方程. （2）由向量共线的坐标运算可得在线段上；同理，在线段上，由，可得相似三角形，由相似比即可得证. 【小问1详解】 由题意，为抛物线的焦点．设． 设直线的方程为：，代入，得：． 则①，②． 因为，所以，即③． 由①③得：．又由②，解得． 因为，所以．直线的方程为． 【小问2详解】 略 18. 年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． （1）现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出 瓶，取出的罐头不放回，求在第 次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有 次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）设第 次抽到优级品为事件 ，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、 、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有 次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）设第 次抽到优级品为事件 ，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、 、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． 【小问2详解】 设在次抽检中至少有 次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 19. 由边长为 ， ，的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形： ①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边 ②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边． 设，由方法①，②均可得到，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三条边，且，为斜边，满足对于任意，有， （1）设，求的通项公式； （2）若，求 ； （3）证明：在直角三角形序列中，若，则． 【答案】（1）； （2）； （3） 设中有两个及以上的直角三角形满足互质， 在所有的中，取分母最小者，并在这些分母最小的有理数中取分子最小者， 将得到的有理数记作，设，则，则;;， 它的前序三角形即得到的三角形应为;;或;;， 若，则为偶数，应存在不同的偶数，，使得， 这就有，由于，这与取法矛盾， 若，则为奇数，应存在不同的奇数，，使得， 此时，同样与取法矛盾， 所以假设不成立，故不存在两个及以上的三角形满足，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，，，进而确定的通项公式； （2）根据定义得， 是奇数且;;，是偶数且，进而得到，则即可求参数； （3）设，，则;;，进而得前序三角形应为;;或;;，讨论、得到矛盾，证结论. 【小问1详解】 ;， 由，，， 由且，，，，均为偶数，得， 又，其中，所以有， 所以有，则 【小问2详解】 若;;，因为，所以 是奇数，则;;， 又，所以是偶数，所以， 同理有，，，，， 所以，则有． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，记，得前序三角形应为;;或;;，再应用反证法证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $