专题13 矩形（11大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题13 矩形 目录 【题型一 利用矩形的性质求角度】 1 【题型二 利用矩形的性质求线段长】 2 【题型三 利用矩形的性质求面积】 3 【题型四 利用矩形的性质求坐标】 4 【题型五 利用矩形的性质证明】 4 【题型六 斜边的中线等于斜边的一半】 5 【题型七 添一个条件使四边形是矩形】 6 【题型八 证明四边形是矩形】 7 【题型九 根据矩形的性质与判定求角度】 8 【题型十 根据矩形的性质与判定求线段长】 8 【题型十一 根据矩形性质与判定求面积】 9 【题型一 利用矩形的性质求角度】 例题：（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型二 利用矩形的性质求线段长】 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D． 【题型三 利用矩形的性质求面积】 例题：（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型四 利用矩形的性质求坐标】 例题：（21-22九年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ． 2．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型五 利用矩形的性质证明】 例题：（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形中，为边上一点，连接，．若，过点作于点．求证：． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，交于点E，．求的度数． 【题型六 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，点D在的延长线上，连接．点E，F分别是，的中点．若，则的长为 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，连接，，，求证：． 【题型七 添一个条件使四边形是矩形】 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ． 2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 【题型八 证明四边形是矩形】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【题型九 根据矩形的性质与判定求角度】 例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（21-22八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 2．（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【题型十 根据矩形的性质与判定求线段长】 例题：（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【题型十一 根据矩形性质与判定求面积】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 5．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 7．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，中，，，点D，E分别是，的中点，点F在上，且，则 ． 8．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接．若，．则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 13．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．    (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，于，于E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 矩形 目录 【题型一 利用矩形的性质求角度】 1 【题型二 利用矩形的性质求线段长】 4 【题型三 利用矩形的性质求面积】 6 【题型四 利用矩形的性质求坐标】 8 【题型五 利用矩形的性质证明】 10 【题型六 斜边的中线等于斜边的一半】 12 【题型七 添一个条件使四边形是矩形】 14 【题型八 证明四边形是矩形】 16 【题型九 根据矩形的性质与判定求角度】 18 【题型十 根据矩形的性质与判定求线段长】 21 【题型十一 根据矩形性质与判定求面积】 24 【题型一 利用矩形的性质求角度】 例题：（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了矩形性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识点．根据矩形性质可得，推出，根据三角形外角性质求出，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 【题型二 利用矩形的性质求线段长】 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，利用矩形的性质得出，进而利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，根据矩形对角线相等且互相平分得到，再根据题意推出，则垂直平分，据此可得，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线、交于点O， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解决此题的关键．根据矩形的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【题型三 利用矩形的性质求面积】 例题：（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据矩形的性质得出，，推出，然后证明，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， ． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 【题型四 利用矩形的性质求坐标】 例题：（21-22九年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ． 【答案】（，0） 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解． 【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1， ∵OB＝＝＝， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 2．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 【题型五 利用矩形的性质证明】 例题：（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形中，为边上一点，连接，．若，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，交于点E，．求的度数． 【答案】 【分析】连接，先证明，可得，证明，结合已知证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型六 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，点D在的延长线上，连接．点E，F分别是，的中点．若，则的长为 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故答案为：6 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，先证明，可得，再结合角的和差运算可得答案. 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质知识点．在两个直角三角形中分别利用斜边中线性质得到两条相等线段，再根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】证明：∵，E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【题型七 添一个条件使四边形是矩形】 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）平行四边形的对角线、相交于点，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：要使平行四边形是矩形，可添加的条件是（对角线相等的平行四边形是矩形）或者（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 【题型八 证明四边形是矩形】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等角对等边等等，先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定和性质． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴． 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形； （2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点是的中点，是边的中线， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． （2）解：是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 【题型九 根据矩形的性质与判定求角度】 例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【变式训练】 1．（21-22八年级下·重庆渝北·期末）如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 2．（22-23八年级下·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 【题型十 根据矩形的性质与判定求线段长】 例题：（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，过点D作于点E，根据矩形的性质分别求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：．    2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 【题型十一 根据矩形性质与判定求面积】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，过点 D 作于点G，则四边形是矩形．可得，再根据矩形和平行四边形的性质可得． 【详解】解：如图，过点 D 作于点G， ∵ 四边形 是矩形， ∴， ． ∴ 四边形是矩形． ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定，勾股定理等知识，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 故选：C． 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质．先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到． 【详解】解；如图所示，连接， ∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴． 故答案为2． 7．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，中，，，点D，E分别是，的中点，点F在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴； 又∵， ∴； 又∵， ∴在中，点是的中点， ∴； 又∵， ∴； 又∵， ∴； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元一次方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接．若，．则的长为 ． 【答案】3 【分析】由和 均为直角三角形，可得．再根据等边对等角，三角形外角的性质，证明，推出为等边三角形，即可得解． 【详解】解：于点D，于点E， 和 均为直角三角形， 又 F为的中点，， ． ， ， ，， ，， ，， ， ， 又， 为等边三角形， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，能够综合运用上述知识点，证明为等边三角形是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． （1）先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由此可得出结论； （2）根据等边三角形性质得，，，由此得，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ∵点是的中点， ， 为等边三角形； （2）证明：∵和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中，, ， ． 12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论； （2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ∵， ， ， 又， ，即是的中点； （2）证明：，， 四边形是平行四边形 ，， 即 四边形是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 13．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键． 根据四边形是矩形，可得，，进而可得，即以证明，可得结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形，， ，， ． 在和中， ，，， ， ． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．    (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据，，为的中点，得，结合，求的周长即可． （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，为的中点，， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：，为的中点， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， 的度数为． 15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，于，于E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定： （1）利用斜边上的中线得到，，进而得到，即可得证； （2）利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：证明：，，M为的中点， ，， ， 是等腰三角形； （2）由（1）得：， 又， 的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$