专题12 三角形的中位线（7大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题12 三角形的中位线 目录 【题型一 利用三角形的中位线求长度】 1 【题型二 利用三角形的中位线求角度】 2 【题型三 利用三角形的中位线求面积】 3 【题型四 利用三角形的中位线求最值】 3 【题型五 利用三角形的中位线求周长】 4 【题型六 利用三角形的中位线进行证明】 5 【题型七 三角形的中位线的实际应用】 6 【题型一 利用三角形的中位线求长度】 例题：（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为 ． 2．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 【题型二 利用三角形的中位线求角度】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，M、N分别是的中点，且，则 ．    【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为 ． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【题型三 利用三角形的中位线求面积】 例题：（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【题型四 利用三角形的中位线求最值】 例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【变式训练】 1.（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ． 【题型五 利用三角形的中位线求周长】 例题：（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，是的中位线，若的周长为14，则的周长为 ．    【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【题型六 利用三角形的中位线进行证明】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 【题型七 三角形的中位线的实际应用】 例题：（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 二、填空题 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，分别是边，的中点，若，则的长度是 ． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 8．（22-23八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，是上一点，若、分别是、的中点，的面积为6，则的面积为 ．    9．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为中点，，，则平行四边形的周长为 ． 三、解答题 11．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 12．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 13．（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）在等腰三角形中，，，平分，于点，过点作交于点． (1)求的度数； (2)若是的中点，连接，求的长． 15．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角形的中位线 目录 【题型一 利用三角形的中位线求长度】 1 【题型二 利用三角形的中位线求角度】 3 【题型三 利用三角形的中位线求面积】 5 【题型四 利用三角形的中位线求最值】 8 【题型五 利用三角形的中位线求周长】 12 【题型六 利用三角形的中位线进行证明】 13 【题型七 三角形的中位线的实际应用】 16 【题型一 利用三角形的中位线求长度】 例题：（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出，然后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得，，易证得，然后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据点C，D分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，从而可求槽宽的长． 【详解】∵把两根钢条、的端点连在一起，点C，D分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：11． 2．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：点，分别是，的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 【题型二 利用三角形的中位线求角度】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，M、N分别是的中点，且，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及三角形内角和定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；三角形内角和是． 由三角形内角和定理可得度数，得出是的中位线，可知，从而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，平行线的性质，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ∴ ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【题型三 利用三角形的中位线求面积】 例题：（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵点E是的中点，的面积的为20， ∴的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∵D，E分别是的中点， ， ∴的面积的面积， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出为等边三角形，由，求得，再证明出点E为的中点，得到，可求出面积 【详解】解：∵折叠至处，，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E为的中点， ∴折叠重合部分的面积为：， 故答案为： 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【题型四 利用三角形的中位线求最值】 例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，过B作于F，交于E，则的长即为的最小值，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，交于E，如图， ∵，为的中线， ∴，， ∴的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，的值最小， 当时，最小， 此时，， 即， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质．连接，过点D作与G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，再由平行四边形的性质可得，，从而得到，再由直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作与G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【题型五 利用三角形的中位线求周长】 例题：（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，是的中位线，若的周长为14，则的周长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ， ∴的周长为； 故答案为：7． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆垫江·期末）在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵平分，且， ∴，，， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； 故答案为：． 【题型六 利用三角形的中位线进行证明】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】延长、交于F，证明，可得，，求得，根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长、交于F， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、直角三角形的性质，正确构造全等三角形证明是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证； （2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形 （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【题型七 三角形的中位线的实际应用】 例题：（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分，点E是边上的中点，连接，若，则的长为（　　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一以及中位线的判定与性质，先根据，平分，得出，结合点E是边上的中点，得出为的中位线，即可作答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， 即点D是的中点， 点E是边上的中点， 为的中位线， 故选：C 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接， 则， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，分别是边，的中点，若，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，中位线的判定和性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 根据题意，由勾股定理可得（负值舍去），由，分别是边，的中点，得到是中位线，由中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∵，分别是边，的中点， ∴， 故答案为： ． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质．首先根据三角形中位线的性质可知，根据平行四边形的性质可知，根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证，根据等角对等边可得，从而可得． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 8．（22-23八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，是上一点，若、分别是、的中点，的面积为6，则的面积为 ．    【答案】24 【分析】连接，先证明，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接．   、分别是、的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形中线的性质，解题的关键是灵活应用三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，属于中考常考题型． 9．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 10．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为中点，，，则平行四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质可得点O是的中点，从而可得是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：点E为中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O是的中点， 又∵点E为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：20． 三、解答题 11．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． 12．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点． ∴是的中位线， ∴． 同理推知，是的中位线， 则． 又∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 【答案】（1）证明过详解 （2），理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，中位线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）方案一：先证明，得到，再证明，得到，即可求解； 方案二：证明，得到，则有，即可求解； （2）如图所示，取线段的中点，连接，可得，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）方案一：如图②，过作于，于， 证明：在四边形中，， ∴， ∵共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 方案二：如图③，延长至，使， 证明：在四边形中，， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2），理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴， 如图所示，取线段的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）在等腰三角形中，，，平分，于点，过点作交于点． (1)求的度数； (2)若是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质可得，进而解答即可． （2）由角平分线的定义及平行线的性质可得，即可证明，再利用直角三角形的性质可证明，即可得是的中位线，进而可证明结论． 【详解】（1）解：平分， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ∵， ， ； （2）解：， ， ， 是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用． 15．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$