专题14 菱形（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题14 菱形 目录 【题型一 利用菱形的性质求角度】 1 【题型二 利用菱形的性质求线段长】 3 【题型三 利用菱形的性质求面积】 5 【题型四 利用菱形的性质证明】 7 【题型五 添一个条件使四边形是菱形】 9 【题型六 证明四边形是菱形】 11 【题型七 根据菱形的性质与判定求角度】 13 【题型八 根据菱形的性质与判定求线段长】 15 【题型九 根据菱形的性质与判定求面积】 18 【题型一 利用菱形的性质求角度】 例题：（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，为中点，． ， 在中，， ． ． 故答案为：． 【题型二 利用菱形的性质求线段长】 例题：（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西·期中）如图，四边形是菱形，于点，则的长是（  ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知菱形的周长为，对角线、交于点，且，则的长为（   ） A．6 B．10 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解决问题的关键．根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，由菱形的周长可得的长，在中，根据勾股定理可以求得的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型三 利用菱形的性质求面积】 例题：（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质．直接根据菱形的面积公式计算即可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴这个菱形的面积是． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据勾股定理求出，从而得到，然后根据菱形的性质即可求出其面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 【题型四 利用菱形的性质证明】 例题：（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，作于F，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出 【详解】证明：菱形， ，， ，， ， 在与中， ， ， 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．先证明，根据性质得出即可证明结论． 【详解】证明：在菱形中，， 又， ， ， ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知：如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，熟练掌握菱形的性质，是解题的关键： （1）菱形的性质，得到，利用即可得证； （2）证明即可得证． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， 在和中 ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【题型五 添一个条件使四边形是菱形】 例题：（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，是的中点，E是上一点，连接并延长到点，使．连接，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】添加条件：（答案不唯一），证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质及菱形的判定是解题的关键． 【详解】条件：当，或任意一组邻边相等时，四边形为菱形， 证明：∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴（AAS）， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【题型六 证明四边形是菱形】 例题：（24-25九年级上·山东济南·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定以及性质等知识．根据平行四边形的判定以及菱形的判定以及性质一一判定即可得出答案． 【详解】解：．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分，原说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的判定．菱形的判定定理有：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形． 首先根据等腰三角形的三线合一定理可证且，再根据可证四边形是菱形． 【详解】证明：在中，平分， ，， 又， 故四边形是菱形． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 【题型七 根据菱形的性质与判定求角度】 例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 【题型八 根据菱形的性质与判定求线段长】 例题：（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图中，是角平分线，交于E，交于F，若， 那么四边形周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的判定方法一组邻边相等的平行四边形是菱形是关键． 根据两组对边平行得出四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义，可得，进而可得，然后根据领边相等的平行四边形是菱形可证平行四边形是菱形，最后根据菱形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， 是角平分线 ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形周长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示：连接交于于点，首先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示：连接交于于点， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型九 根据菱形的性质与判定求面积】 例题：（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的判定与性质及勾股定理，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线首先过点作于点，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案 【详解】解：过点作于点，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵在中，，即 ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 故选： 2．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 一、单选题 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，，点在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质；根据菱形的性质得出，进而可得是等腰直角三角形，进而求得的长，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江西萍乡·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，垂直平分线的性质可得，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）下列命题正确的是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，于点E，交于点F，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出的长时解题的关键．根据菱形的性质和勾股定理得到，设，，利用勾股定理，在和中，得到，解得，再根据勾股定理求出，根据等积法求出，最后求出结果即可． 【详解】解：是菱形， ，，， 又， ， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴  ， 解得：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形， ∵， ∴， 当运动到，作边时，    ∴ 当运动到时    ∵点F是y轴负半轴上一个动点 ∴不符合题意； 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若菱形的对两条对角线长分别是和，则这菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，利用菱形的面积公式：“对角线乘积的一半”来解决是解题关键． 根据菱形的面积公式：两对角线乘积的一半，求得菱形的面积． 【详解】解：这个菱形的面积是：． 故答案为： 8．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是 (只填一个即可)．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线，互相平分， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 10．（24-25九年级上·全国·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 11．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，连接求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行四边形得出，结合，得出，因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，证明边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形为菱形，，点是上一点．，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形外角的性质，根据菱形对边平行得到，则由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质得到，据此可证明． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 14．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，根据菱形的性质得到，可证，即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ∴． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 菱形 目录 【题型一 利用菱形的性质求角度】 1 【题型二 利用菱形的性质求线段长】 2 【题型三 利用菱形的性质求面积】 3 【题型四 利用菱形的性质证明】 3 【题型五 添一个条件使四边形是菱形】 4 【题型六 证明四边形是菱形】 5 【题型七 根据菱形的性质与判定求角度】 6 【题型八 根据菱形的性质与判定求线段长】 7 【题型九 根据菱形的性质与判定求面积】 7 【题型一 利用菱形的性质求角度】 例题：（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是 ． 【题型二 利用菱形的性质求线段长】 例题：（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西·期中）如图，四边形是菱形，于点，则的长是（  ） A． B．6 C． D．12 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知菱形的周长为，对角线、交于点，且，则的长为（   ） A．6 B．10 C．18 D．12 【题型三 利用菱形的性质求面积】 例题：（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为 ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【题型四 利用菱形的性质证明】 例题：（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，作于F，，求证： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知：如图，在菱形中，，分别是和上的点，且．求证： (1)； (2)． 【题型五 添一个条件使四边形是菱形】 例题：（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，是的中点，E是上一点，连接并延长到点，使．连接，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【题型六 证明四边形是菱形】 例题：（24-25九年级上·山东济南·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型七 根据菱形的性质与判定求角度】 例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【题型八 根据菱形的性质与判定求线段长】 例题：（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图中，是角平分线，交于E，交于F，若， 那么四边形周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【题型九 根据菱形的性质与判定求面积】 例题：（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 一、单选题 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，，点在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西萍乡·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）下列命题正确的是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 5．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，于点E，交于点F，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为 ．    7．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若菱形的对两条对角线长分别是和，则这菱形的面积为 ． 8．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是 (只填一个即可)．    9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 10．（24-25九年级上·全国·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 三、解答题 11．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，连接求证：． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形为菱形，，点是上一点．，交于，求证：． 13．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 14．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$