专题11 平行四边形的判定（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题11 平行四边形的判定 目录 【题型一 判断能否构成平行四边形】 1 【题型二 添一个条件成为平行四边形】 3 【题型三 数图形中平行四边形的个数】 6 【题型四 求与已知点组成平行四边形的点的个数】 8 【题型五 证明四边形是平行四边形】 11 【题型六 利用平行四边形的判定与性质求解】 13 【题型七 利用平行四边形的判定与性质证明】 16 【题型八 平行四边形的判定与性质的应用】 19 【题型一 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A．， B． ， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图： A. 当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； B.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； C.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； D.当，时，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知四边形，有以下四组条件：，；，；，；，，其中可以确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图， ，，，不能确定四边形为平行四边形，故不符合题意； ，，不能确定四边形为平行四边形，故不符合题意； ，，能确定四边形为平行四边形，故符合题意； ，，不能确定四边形为平行四边形，故不符合题意； 综上所述，可以确定四边形为平行四边形的是， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； B、， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； C、， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； D、， ，不可以判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选：D． 【题型二 添一个条件成为平行四边形】 例题：（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【答案】（或）（（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：， 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 添加条件为：， 理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 故答案为：（或）（答案不唯一）． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 【题型三 数图形中平行四边形的个数】 例题：（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【题型四 求与已知点组成平行四边形的点的个数】 例题：（2022九年级上·吉林长春·学业考试）如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题考查平行四边形的判定，线段的平移． 作出图形，结合图形分析即可解答． 【详解】在平面直角坐标系中， 如图，将线段向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，    此时，点C的坐标为； 如图，将线段向下平移2个单位长度，得到，    此时，点D的坐标为； 如图，将线段向上平移2个单位长度，得到，    此时，点E的坐标为． 综上所述，可以作为第四个顶点的是或，． 故选：ABD． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【题型五 证明四边形是平行四边形】 例题：（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【详解】（1）∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 2．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型六 利用平行四边形的判定与性质求解】 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，分别在边和上，，交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理．由平行四边形的性质推出，，得到，由勾股定理求出，判定四边形是平行四边形，推出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 故答案为：3． 【题型七 利用平行四边形的判定与性质证明】 例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴，        ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的定义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，从而得出． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的中点， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴. 2．（24-25八年级上·吉林·期末）四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先求得，再利用平行四边形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ，， ， 平行四边形的面积． 故答案为：44． 【题型八 平行四边形的判定与性质的应用】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【答案】见解析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 【详解】解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点睛】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行分线段成比例定理得出即可求解． 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，，四边形为平行四边形， 所以，， 又，，， 则， 则． 故答案为：3． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A．6 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点F作，交于点G，可证明，可得，，再根据平行四边形的性质可得，，从而得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ， 故选：C． 4．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（    ） A．24 B．16 C．22.8 D．18.2 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．理解当最小时最小，且当时最小是解题关键．由题意易证四边形为平行四边形，从而可证，得出，进而求出，即说明当最小时最小，且当时最小．过点A作，可知，由勾股定理可求得，最后根据等积法可求出，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴当最小时最小，且当时最小． 如图过点A作， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴，即最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 故选C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 7．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，旋转的性质及勾股定理，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H，先求出，证明四边形是平行四边形，从而求出，进而求出答案． 【详解】解：如下图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：15． 10．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据题意求得平行且相等即可证得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， ． 13．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，为的中点，，， (1)求证： (2)当时，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用即可证明； （2）首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ， 是中点， ， ∵， ∴； （2）解：， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ，为的中点， ． 14．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了网格中作平行四边形， （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，，是的中点，且，已知． (1)证明四边形是平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质， （1）根据平行线的性质，结合，可得，根据平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据平行线的性质可得，，，根据且，可证四边形是平行四边形，由此可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵且， ∴,， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平行四边形的判定 目录 【题型一 判断能否构成平行四边形】 1 【题型二 添一个条件成为平行四边形】 2 【题型三 数图形中平行四边形的个数】 3 【题型四 求与已知点组成平行四边形的点的个数】 3 【题型五 证明四边形是平行四边形】 4 【题型六 利用平行四边形的判定与性质求解】 5 【题型七 利用平行四边形的判定与性质证明】 6 【题型八 平行四边形的判定与性质的应用】 7 【题型一 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A．， B． ， C．， D．， 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知四边形，有以下四组条件：，；，；，；，，其中可以确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【题型二 添一个条件成为平行四边形】 例题：（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【题型三 数图形中平行四边形的个数】 例题：（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型四 求与已知点组成平行四边形的点的个数】 例题：（2022九年级上·吉林长春·学业考试）如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【题型五 证明四边形是平行四边形】 例题：（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 2．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【题型六 利用平行四边形的判定与性质求解】 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在腰长为的等腰中，，，，分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，分别在边和上，，交于点．若，，，则的长为 ． 【题型七 利用平行四边形的判定与性质证明】 例题：（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，E、F分别是、的中点．求证：． 2．（24-25八年级上·吉林·期末）四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 【题型八 平行四边形的判定与性质的应用】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 2．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（   ） A．6 B．10 C．20 D．40 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（21-22八年级下·广东江门·期中）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（    ） A．24 B．16 C．22.8 D．18.2 二、填空题 6．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 7．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形中，，，则 ． 10．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 三、解答题 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 13．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，为的中点，，， (1)求证： (2)当时，求长． 14．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，，是的中点，且，已知． (1)证明四边形是平行四边形； (2)求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$