专题07 不等式及其基本性质（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题07 不等式及其基本性质 目录 【题型一 不等式的概念】 1 【题型二 不等式的实际应用】 2 【题型三 不等式的解集】 3 【题型四 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 5 【题型五 根据不等式的性质比较大小】 6 【题型六 不等式的性质与数轴的综合应用】 8 【题型七 根据不等式的解决求参数的取值范围】 11 【题型八 根据不等式的性质求最值】 12 【题型九 利用不等式的性质进行证明】 13 【题型一 不等式的概念】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键． 由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有A符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与4的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为． 【题型二 不等式的实际应用】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为 ． 立即送出 送达 【答案】 【分析】此题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式即可． 【详解】解：∵小明中午在订餐软件下单订餐，立即送出，在送达， ∴小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为， 故答案为； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为． 【详解】解：根据“水温不高于”可以写为． 故答案为：． 【题型三 不等式的解集】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·广东佛山·阶段练习）我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】利用最低气温和最高气温即可表示出气温的变化范围． 【详解】解：∵最高气温是，最低气温是 ∴ 故答案为． 【点睛】本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【题型四 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 例题：（24-25八年级上·上海·期中）已知，则下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴四个选项中，只有B选项的不等式正确，符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质1解答B，再根据不等式的基本性质2解答C，然后根据不等式的基本性质3解答D，最后根据不等式的基本性质解答A即可． 【详解】解：由，根据不等式的基本性质1，两边都减去1，得，所以B不正确； 由，根据不等式的基本性质2，两边都乘以5，得，所以C正确； 由，根据不等式的基本性质3，两边都除以，得，所以D不正确； 当，可知，但是，所以A不正确． 故选：C． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，即：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项符合题意； D、∵，∴，∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型五 根据不等式的性质比较大小】 例题：（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由不等式的性质可得，于是得解． 【详解】解：，且， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，比较x，，，的大小． 【答案】. 【分析】本题考查了实数大小的比较，属于基础题． 利用不等式的性质及作差法即可得出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 【题型六 不等式的性质与数轴的综合应用】 例题：（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据范围，确定代数式的范围，进而得出答案． 【详解】解：， ，即， 满足条件的点可能是Q， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“”“”或“”． (1)______． (2)________0． (3)__________． (4)________． (5)________． (6)_______． (7)________． (8)_______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （4）根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （5）先根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，再根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （6）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （7）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （8）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得． 【详解】（1）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （2）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即； 故答案为； （3）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （4）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则； 故答案为：； （5）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （6）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （7）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则； 故答案为：． （8）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则． 故答案为：． 2．（2022·四川乐山·二模）实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断代数式符号及大小，涉及不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质等知识，先由实数在数轴上对应的点的位置得到，再逐项判断代数式符号，结合不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴判断代数式符号及大小、绝对值意义、一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：实数在数轴上对应的点，如图所示，   ， A、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； B、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； C、， ，由绝对值意义可知，选项错误，符合题意； D、， ， 由一次函数图象与性质可知，函数中，随的增大而减小，选项正确，不符合题意； 故选：C． 【题型七 根据不等式的解决求参数的取值范围】 例题：（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 2．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 【题型八 根据不等式的性质求最值】 例题：（24-25七年级上·四川成都·期中）已知，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的加法法则，分类讨论是解题的关键．先依据绝对值的性质得到和的值，然后结合，分类计算即可． 【详解】解：，， ，． 又， ，． 当，时，． 当，时， ． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）若，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查有理数的加法和绝对值．熟练掌握绝对值的性质，有理数的大小比较，加法法则，是解题的关键． 由绝对值的性质和可求解对应的m，n值，再分别代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，． 故答案为：或． 【题型九 利用不等式的性质进行证明】 例题：（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的最小值是（     ） A．0 B．3 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质等知识点，运用完全平方公式对原式进行适当变形是解题的关键． 利用完全平方公式将变形为，然后利用不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 的最小值是， 故选：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·北京朝阳·期中）已知：，含x的代数式，那么代数式A的值有最 值，是 ． 【答案】 小 【分析】根据不等式的性质计算求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴代数式有最小值， 故答案为：小，； 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；掌握其性质是解题关键． 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴．∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长； (3)已知，求的最小值． 【答案】(1)，小， (2) (3)19 【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式，不等式的性质是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解作答即可； （2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可； （3）由，判断作答即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴． ∴当时，的值最小，最小值是， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：，小， （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，代数式的最大值是， ∴， 此时该三角形的周长是 （3）∵ ∴， ∴ 当时，的最小值为19 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的大小，不等式的性质．由数轴可得，，则，，，而不一定成立，然后判断作答即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， 而并一定成立；当时，则； ∴D正确，故符合要求；A、B、C错误，故不符合要求； 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案． 【详解】解：A．若，则不等式两边同时减去3得，，原变形成立，故本选项符合题意； B．若，则不等式两边同时减去得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； C．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； D．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．理解不等式的定义是解题关键．主要依据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：②，③是等式，④是代数式，①⑤⑥是不等式， 因此不等式有3个， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，且，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，，进而推出或，然后将，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或 ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）若实数满足，求的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数的非负性，且，确定，得到，代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 解得， 所以， 所以， 故答案为：5． 8．（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，熟知不等式的性质是解题的关键：（1）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）若，不等式两边同时乘以2得到， 故答案为：； （2）若，不等式两边同时除以得到， 故答案为：； （3）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时减去1得到， 故答案为：； （4）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时加上1得到， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以用一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． （1）根据不等式的性质3，不等式两边除以即可求解； （2）根据不等式的性质1，不等式两边减5，根据不等式的性质3，不等式两边除以，由此即可求解． 【详解】（1）解： 根据不等式的性质3，不等式两边除以，得． （2）解： 根据不等式的性质1，不等式两边减5，得， 根据不等式的性质3，不等式两边除以，得． 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出不等式即可； （2）根据题意列出不等式即可； （3）根据题意列出不等式即可； （4）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示为：； （2）x减去y不大于表示为：； （3）a的倍与的和是非负数表示为：； （4）a的与b的平方的和为正数：． 【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 14．（23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 15．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【阅读】代数式． ， ， ∴当时，的值最小，最小值为1， 即的最小值为1． 【应用】（1）代数式的最小值为_______． （2）求代数式的最小值． 【拓展】代数式的最大值为_______． 【答案】应用：（1）3；（2）；拓展：4 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式，熟记偶次方具有非负性是解题的关键． 应用：（1）根据偶次方的非负性即可求解；（2）根据偶次方的非负性，完全平方公式解答即可． 拓展：根据偶次方的非负性，完全平方公式解答即可． 【详解】解：应用：（1）∵， ， ∴当时，的值最小，最小值为3， 故答案为：3； （2）， 则的最小值是； 拓展：， ， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为4， 故答案为：4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 不等式及其基本性质 目录 【题型一 不等式的概念】 1 【题型二 不等式的实际应用】 1 【题型三 不等式的解集】 2 【题型四 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 2 【题型五 根据不等式的性质比较大小】 3 【题型六 不等式的性质与数轴的综合应用】 3 【题型七 根据不等式的解决求参数的取值范围】 4 【题型八 根据不等式的性质求最值】 5 【题型九 利用不等式的性质进行证明】 5 【题型一 不等式的概念】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 【题型二 不等式的实际应用】 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为 ． 立即送出 送达 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【题型三 不等式的解集】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式训练】 1．（20-21八年级下·广东佛山·阶段练习）我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【题型四 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 例题：（24-25八年级上·上海·期中）已知，则下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型五 根据不等式的性质比较大小】 例题：（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，比较x，，，的大小． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【题型六 不等式的性质与数轴的综合应用】 例题：（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“”“”或“”． (1)______． (2)________0． (3)__________． (4)________． (5)________． (6)_______． (7)________． (8)_______． 2．（2022·四川乐山·二模）实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 【题型七 根据不等式的解决求参数的取值范围】 例题：（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【题型八 根据不等式的性质求最值】 例题：（24-25七年级上·四川成都·期中）已知，，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）若，且，则 ． 【题型九 利用不等式的性质进行证明】 例题：（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的最小值是（     ） A．0 B．3 C．12 D．无法确定 【变式训练】 1．（22-23七年级下·北京朝阳·期中）已知：，含x的代数式，那么代数式A的值有最 值，是 ． 2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴．∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长； (3)已知，求的最小值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，且，，且，则的取值范围是 ． 7．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）若实数满足，求的值是 ． 8．（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 10．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，将下列各式变形为，，或的形式． (1)； (2)． 12．（22-23八年级上·全国·课后作业）用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 14．（23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 15．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【阅读】代数式． ， ， ∴当时，的值最小，最小值为1， 即的最小值为1． 【应用】（1）代数式的最小值为_______． （2）求代数式的最小值． 【拓展】代数式的最大值为_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$