第03讲 导数大题的综合（十大重难点）-2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第03讲 导数大题的综合 重难点01导数的切线 【解题必备】 求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 【详解】（1）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 . 例2．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； 【详解】（1）设曲线在点处的切线的斜率， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 又的导函数， 所以， 所以， 所以， 练习2．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． (1)求曲线在点处的切线方程； 【详解】（1）， ， 直线l的斜率为， 由题意知，解得， ，，即， 曲线在点处的切线方程为， 即； 练习3．已知，， (1)若，曲线上一点P处的切线与直线垂直，求点P坐标； 【详解】（1）因为，设点， 则点P处切线的斜率，因为， 由曲线上一点P处的切线与直线垂直， 得，所以， 即点P坐标为. 练习4．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 则，即， 所以，即, 令，则, 又在区间上单调递增，且当时，， 所以，即，所以． 重难点02利用导数研究函数的单调性 【解题必备】 求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 例3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递增 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例4．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 【跟踪练习】 练习1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 练习2．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 从而， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得的定义域为. 当，即时， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 当，即时，恒成立，则在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 练习3．已知函数，． (1)若函数在单调增，求实数a的取值范围： 【详解】（1）据题意：，， 则当时，，则在单调减，所以， 由于在单调增，则恒成立，即，故． 练习4．已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； 【详解】（1）函数的定义域为， 可得， 令， 所以， 因为时，，所以单调递减， 时，，所以单调递增， 所以， 因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以，即； 重难点03利用导数研究函数的极值、最值 【解题必备】 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 例5．已知函数. (1)求函数的单调区间与极值； 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得，函数在上递增，在上递减， 当时，函数取得极大值，无极小值， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为0，无极小值. 例6．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数在上的极值. 【答案】(1) (2)极小值，无极大值 【详解】（1）当时，，则， 所以，，故所求切线方程为， 即. （2）当时，，所以， 令，则， 当时，，又，所以当时，， 当时，由，知，又， 所以当时，，即， 故知在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，所以时，，单调递减；时，， 单调递增， 又因为，故在处取得极小值0，无极大值. 【跟踪练习】 练习1．已知 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的极值点个数； 【详解】（1）当时 因为所以切线的斜率为又因为切点为 所以曲线在处的切线方程为； （2）当时则 当时 故在上单调递增，不存在极值点； 当时令 则总成立， 故函数在上单调递增，且 所以存在唯一使得 所以当时单调递减；当时单调递增； 故在上存在唯一极小值点， 综上，当时，函数的极值点有且仅有一个. 练习2．已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取得极小值，也即最小值，为． 因为， ， 所以在处取得最大值1． 综上，． 练习3．已知函数的最小值是0． (1)求； (2)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若时，则均为单调递增函数，因此函数单调递增，此时函数没有最小值， 若时，此时，由于单调递增，故为单调递增函数，令，则， 故时，单调递增，时，单调递减， 因此在取到最小值，故， 进而， 令，则单调递减，且，故 （2）由（1）知， 由于，故，则， 即， 故，所以， 令则， 当单调递减，单调递增， 故的最小值为， 因此的最小值为 练习4．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间内有最小值，求的取值范围； 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，，随的变化情况如下表所示： 0 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意． 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值． 当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意． 综上，的取值范围为． 重难点04利用导数解决恒成立与能成立 【解题必备】 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 例7．已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 (2) 【详解】（1）因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . （2）易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 例8．函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1），令，得． 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值； 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）时，等价于，则在区间内有解． 令，则， 令，则在上单调递增，有， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内恒成立， 所以在区间内单调递增，即，即， 故的取值范围是． 练习2．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为. (2) 【详解】（1）若，则， . 令，可得或；令，可得， 所以单调增区间为和，单调减区间为. （2）因为对于任意，都有成立， 所以对于任意，都有成立， 即对于任意，. 因为，所以对于任意，. 设，其中，则， 因为，所以， 当时，. 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即，故的取值范围为. 练习3．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）当时，函数的定义域为R，求导得， ，当时，，则， 当时，，当时，， 则当时，，函数在上递增，在上递减， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）若，恒成立，则，且，因此， 下面证当时，， 令，，则问题转化为证， 由在上单调递增，得， 令，，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，对恒成立， 所以实数a的取值范围是. 练习4．已知函数． (1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值． (2)若存在x使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)3； (2). 【详解】（1）函数，求导得， 由函数的单调递减区间为，得是的解集， 于是是方程的二根，则，解得， 而当时，，由，得，符合题意， 所以实数a的值是3. （2）不等式，依题意，存在正数，使得， 令，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数a的取值范围. 重难点05利用导数求解函数的零点 【解题必备】 导函数处理零点个数问题较复杂综合，涉及单调性、特殊位置函数值符号、隐零点探索、参数分类讨论等多类特征，需整合多种基本方法、思想和技能，常通过极值与单调性判断走势，分类讨论不可或缺。 例9．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）当时，， ，． 又，故在处的切线方程为：． （2）． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）当时，在上单调递增，不符合题意，故． 由（2）知，当时，． 有两个零点，． 又，． 令，则， 在上单调递减，且， 当时，，即． 又， 在上有一个零点； ，． 当时，， 在上有一个零点． 综上所述，有两个零点时，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由（2）得，，构造函数利用导数研究零点. 例10．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以， 所以在处的切线方程为，即． （2）由得， 设，则在上单调递增，， 当时，在区间上单调递增， 因为，所以在区间上没有零点. 当，即时，在区间上单调递减， 所以在区间上没有零点. 当时，， 存在，使得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以要使有零点，需满足， 即，综上得的取值范围是． 【跟踪练习】 练习1．设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值，无极大值． (2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）当时，，则的定义域是， ， 令，得或 (舍去)． 当x变化时，，变化情况如下表所示： x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 函数在处取得极小值，无极大值． （2）由可得， 令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值为， 若函数有零点，则，解得. 当时，函数在上单调递减． 又，，所以函数在上有一个零点； 当时，函数的最小值为正数，所以函数在上没有零点． 综上，当时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点． 练习2．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)记函数，已知只有1个零点，求正整数的最小值． 【答案】(1)在区间上单调递减，上单调递增 (2) 【详解】（1）当时， ，， 则， 当时，；当时，． 故在区间上单调递减，上单调递增． （2）， ， 因为，令，则或． 当时， 由，可得或， 由，可得： 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 又，因只有1个零点，需使． 令，求导得：， 又，，易得 可知在上单调递减； 又时，，， 即存在，使得， 因，，又因，故． 练习3．已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当时，函数，求导得， 所以切线斜率，又，则切线方程为，即 （2）设，则，又，则， 即，解得，于是， 对任意，有，即 若方程存在除a以外的其他解，则方程需无解， 求导得，由得或， ①当，时，，在R上递增，方程有唯一解a，满足题意； ②当时，当时，，在区间递减； 当时，，在区间和上递增， 此时极大值，所以方程有唯一解a，满足题意； ③当时，当时，，在区间递减； 当时，在区间和上递增， 此时极大值为，极小值为， （i）当时，则极小值，又时，， 所以存在，满足，且方程有解，不满足题意. （ii）当时，则极小值， 此时若方程有除a以外的其他解t，必有， 而极小值，且当时，，无解，满足题意， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 练习4．已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）首先求函数的定义域和导数. 函数的定义域为. 对求导可得，，. 然后令，即，则，解得或. 接着分情况讨论： 当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减.    综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，；当时，，且，由（1）可知， 当时，在取得极大值，在上恰有一个零点. 当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点. 当时，在取得极大值，且， 所以在上恰有一个零点.   综上所得，，在上均恰有一个零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用，考查转化能力，通过构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 重难点06利用导数证明不等式 【解题必备】 利用导数证明或判定不等式问题有多种方法：一是构造新函数，通过导数研究其单调性与极值（最值）得出不等关系；二是分离变量构造函数转化为最值问题；三是适当放缩构造；四是构造“形似”函数，对不等式变形构造辅助函数。 例11．已知函数，的导函数为，且． (1)求的最值； (2)求证：． 【答案】(1)最小值为，无最大值． (2)证明见解析 【详解】（1）由，得， 所以， 解得，所以． 因为的定义域为，令，求导，得，所以在上单调递增． 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，无极大值， 所以的最小值为，无最大值． （2）要证，只需证，即证． 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值， 所以． 又，所以，恒有， 即，也即． 例12．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 【跟踪练习】 练习1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 【点睛】方法点睛：证明不等式，一般转化为，令，由证明. 练习2．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以． 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）要证明， 即证明， 因为，且，所以， 故只需证明，即． 设，则． 易知在上单调递增，且，， 所以存在唯一的，使得，即，． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以， 故原命题成立． 练习3．已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增， 故的单调增区间为． （2）由，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 故， 设， 则，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，即， 所以，当时等号成立， 又，当时等号成立， 故，得证． 练习4．已知函数满足. (1)求与的值； (2)判断函数零点的个数并证明； (3)当时，证明：. 【答案】(1)， (2)无零点，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1） 令，有.求得. 令，有. 求得. （2） 有 . 令 所以在上单调递增. 故使 时，单调递减； 时，单调递增. 所以 又当时， 所以，， 故恒成立.在上无零点. （3）令 时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以 故有…………① 令 时， 在上单调递增， 故有……② 由①，②可得. 又时，恒成立 所以 即. 【点睛】在证明不等式时，运用不等式的可加性，将不等式分成几个不等式分别证明成立，然后再相加. 重难点07利用导数研究双变量问题 【解题必备】 处理双变量不等式的核心思路是将双变量问题转化为单变量问题。主要策略包括： ①整体代换：通过引入新变量（如比值、差值等）将双变量关系归一化，构造单变量函数； ②分离变量：将两个变量拆分为独立函数，分别分析最值或单调性，再通过不等式传递关系综合结论； ③选取主元：将其中一个变量视为主元，另一个视为参数，利用导数工具分析主元函数的性质； 最终通过构造函数、求导分析极值或单调性，证明不等式成立或求解参数范围 例13．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得， ∴的最小值为， 即． （2）记，， 则． 令，得或（舍去）． 当t变化时，，的变化情况如下表所示． t 1 + 0 极大值 ∴在内有最大值． ∵对任意恒成立， ∴对任意恒成立， ∴，∴． ∴实数m的取值范围为． （3）∵， ∴． 令，得或（舍去）． 当时，，递增； 当时，，递减， ∴当时，． 令，，则． 由题意可知， 解得． ∴实数n的取值范围为． 例14．已知函数，若方程有两个根，证明:. 【答案】证明见解析 【详解】若方程有两个根， 则，即. 要证，需证，即证. 设，则等价于. 令，则， 所以在上单调递增，，即，故. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续． 当时，．由在上单调递减可知， 当时，，， 综上，的取值范围为 （2）当时，， 且， 下面证明， 即证明，等价于证明：， 设，所证即为：， 等价于证明：， 设函数． 在上单调递增，而， ，所证不等式成立． 练习2．已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 【答案】(1)，经过一个定点 (2) 【详解】（1）因为， 所以（c为常数）． 因为，所以， 所以． 又， 所以曲线在点处的切线的方程为， 即， 所以经过定点． （2）令，可得． 因为，满足，且， 所以关于的方程有两个不相等的正实数根， 则， 所以 ， 令函数， 则， 令，得， 因为当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，， 所以的取值范围为， 即的取值范围为． 练习3．已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2)证明见解析 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）,, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. 练习4．设函数的两个极值点分别为，． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题，定义域为． 则，由题可得有两个不等实数根，， 于是有两个不同的实数根，等价于函数与图象在有两个不同的交点， ，由，由， 所以在递增，在递减， 又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图（如图所示）．    所以，要使函数与图象在有两个不同的交点，当且仅当． 即实数的取值范围为 （2）由（1）可知：，是方程的两个实数根，且． 则 ． 由于，两边取自然对数得， 即， 令，则在恒成立． 所以在恒成立 令，则． ①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意． ②当时，在递增，在递减，所以，当时，， 因此，在不能恒成立，不满足题意． 综上所述，，即的取值范围是． 重难点08隐零点问题综合应用 【解题必备】 处理隐零点问题的核心思路： ①判定存在性：通过零点存在定理和合理赋值确定导函数零点所在区间，结合单调性明确零点个数； ②虚设代换：虚设零点并利用零点方程进行转化，如指数/对数互换、同构思想等超越式简化，必要时需多次代换 例15．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 则的图象在点处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点， 所以该切线与坐标轴转成的三角形面积为. （2）当时，函数，求导得， 令，，求导得，则函数在上递增， 因此，当，即时，函数在上单调递增，， 当时，，则存在，使得， 当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 例16．，若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】 【详解】依题意，，，令，， 求导得，则函数，即在上单调递增， 若，则，当时，恒成立， 从而在上单调递增，则当时，恒成立，因此； 若，有，则，，由在上单调递增， 得存在，使得成立，即在上单调递减，从而，不符合题意， 所以的取值范围为. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意，当时，，，而，则， ∴，满足题意； 注意到，，， 令， 当时，，∴在上单调递增， 结合知，从而在上单调递增， 又，∴恒成立，满足题意； 当时，，∴在上单调递增， 结合，，可得在上有唯一的零点， 且当时，，∴在上单调递减， 又，∴当时，，从而不能恒成立，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． 练习2．已知函数，其导函数为. (1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围： (2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 由题意得：在上恒成立，即在上恒成立， 由于函数在上单调递减，所以，， 所以 （2）当时，. 设，则 令， 则，所以在上单调递减， 又，， 故存在，使得， 当时，，即，在上单调递增； 当时，，即，在上单调递减； 又，，， 所以在和上各有一个零点， 从而在上有且仅有两个零点. 练习3．已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)3. 【详解】（1）的定义域为，求导得：， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2），， 令，，则， 由（1）知，在上单调递增，且， 则在区间内存在唯一的零点，使，即， 则当时，，，有在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 于是得，因此，， 所以整数的最大值为3. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 练习4．已知函数，其中. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）证明：由（1），知，， 易知在区间上单调递增，且， ，， 所以，存在，使得，即有唯一的根，记为， 则，对两边取对数， 得，整理得， 因为时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以，， 令，，， 则在上单调递减，从而， 所以． 重难点09导数与数列综合应用 【解题必备】 证明数列不等式的核心步骤与技巧： ①建立原型不等式：从第一问的函数性质（如单调性、极值）或导数分析出发，构造关键函数不等式； ②变量替换与赋值：将函数中的自变量替换为与正整数相关的表达式，生成局部数列不等式； ③累加求和与放缩：对替换后的不等式逐项累加，结合裂项相消、等比/等差数列求和等技巧简化表达式，必要时通过放缩（如指数/对数替换、同构变形）控制误差范围 例17．已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设二次函数且，则，故， 所以，又函数经过坐标原点，则，故， 又点均在函数的图象上，所以， 当，则，故，显然也满足， 所以； （2）由（1）， 所以， 由在上能成立， 当为奇数时，因为，所以； 当为偶数时，因为，所以； 存在，使能成立，只需或， 即. 例18．已知函数在点处的切线与轴重合． (1)求函数的单调区间与极值； (2)已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，且， 由题意可得，即，可得， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以有极大值，无极小值． （2）由（1）可得，当且仅当时取等号， 可得，当且仅当时取等号， 等价变形为，即，当且仅当时取等号， 代入题干中可得， 则，即， 当时，，即， 且符合上式，所以，，则， 由，令得，即， 所以. 【跟踪练习】 练习1．已知关于x的函数，与x轴相切． (1)求的表达式； (2)证明：； (3)设数列，的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）函数与x轴相切，则， 解得：，代入可得，可得， 所以. （2），则， 解可得：，解可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，得证. （3）由（2）可知：当时，，所以当时，， 即当时，； 又当时，有，所以， 所以， 则， 即， 所以，得证. 练习2．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则，，， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）若对定义域内，都有恒成立， 即恒成立，只需即可， 设，，则， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 故的取值范围为. （3）由（2）得当时，恒成立，即， 将中的替换为，显然， 则， 故， 即. 故. 练习3．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前项和； (3)设（），数列前项和为，证明：． 【答案】(1)，，猜想：（），证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，， 猜想：（）， 证明：由得，， 所以，即， 所以，且， 数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，故. （2）设， 设的前项和为， ①， ②， ①－②得， ， 所以的前项和为. （3）， ， 要证， 只需证， 即证， 方法一： 设， 只需证明的最大值小于0， 作差得， 构造函数（）， 则， 在上单调递减，所以， 故， 从而，得证． 方法二： 不等式，左边是数列的前项和， 于是将右边看成另一个数列的前项和的形式， 易得， 记， 只需证明，即证， 构造函数证明即可，过程与方法一相同． 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推公式求解通项，求和问题，以及数列不等式的证明.其中，证明数列不等式的关键点是将要证不等式化简得到，并且构造函数（），根据导函数利用函数单调性证明不等式. 练习4．已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求实数的值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，则，即（）， 所以数列是以为首项、为公差的等差数列； （2）由（1）可得（）， 所以， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 其前4项的和为， 所以实数； （3）原不等式等价于在上恒成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上递减，所以， 令，则；令，则， 所以在上递增，在上递减，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 重难点10利用导数研究极值点偏移问题 【解题必备】 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.2 例19．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 例20．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 【跟踪练习】 练习1．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 练习2．已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 练习3．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【详解】（1）当时，，易知， 所以曲线在点处的切线方程为：； （2）由已知可得， ①若，则，， 即在上单调递增，上单调递减，， 又时，，所以函数存在两个零点； ②若时，，显然不符合题意； ③若时，令， 当时，令或，令， 即在上单调递减，和上单调递增， 函数极小值为，函数极大值为， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，，则单调递增，至多一个零点，不符合题意； 当时，令或，令， 即在上单调递减，和上单调递增， 函数极大值为，函数极小值为， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 综上所述，时函数有两个零点，则一正一负， 不妨令，设， 令，即在R上单调递增， 所以，， 故时，有，时，有， 即，所以， 则， 又因为在上单调递减，故，证毕. 【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明可利用构造差函数，通过证明来判定极值点偏移问题. 练习4．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令得，所以在上递增， 当，此时在上递减， 所以的极大值也是最大值，∴． 又时，；趋向于时，趋向于． 所以，有两个零点，a的取值范围为． （2）不妨设，由，则． 构造函数，   ， 因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴， ∴． 又，∴． 而，，在上递减，所以，，即，所以，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第03讲 导数大题的综合 重难点01导数的切线 【解题必备】 求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例1．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 例2．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； 练习2．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行． (1)求曲线在点处的切线方程； 练习3．已知，， (1)若，曲线上一点P处的切线与直线垂直，求点P坐标； 练习4．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； 重难点02利用导数研究函数的单调性 【解题必备】 求含参数函数的单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数a:②判别式Δ:③方程f′(x)=0根的大小: （4）结合定义域,画数轴、标根；（5）判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 例3．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 例4．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【跟踪练习】 练习1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 练习2．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 练习3．已知函数，． (1)若函数在单调增，求实数a的取值范围： 练习4．已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； 重难点03利用导数研究函数的极值、最值 【解题必备】 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 例5．已知函数. (1)求函数的单调区间与极值； 例6．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数在上的极值. 【跟踪练习】 练习1．已知 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的极值点个数； 练习2．已知函数． (1)当时，求在区间上的最值； 练习3．已知函数的最小值是0． (1)求； (2)若实数，满足，求的最小值． 练习4．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间内有最小值，求的取值范围； 重难点04利用导数解决恒成立与能成立 【解题必备】 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 例7．已知函数 ． (1)求函数 在 上的最大值和最小值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围. 例8．函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【跟踪练习】 练习1．已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 练习2．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 练习3．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 练习4．已知函数． (1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值． (2)若存在x使得，求实数a的取值范围． 重难点05利用导数求解函数的零点 【解题必备】 导函数处理零点个数问题较复杂综合，涉及单调性、特殊位置函数值符号、隐零点探索、参数分类讨论等多类特征，需整合多种基本方法、思想和技能，常通过极值与单调性判断走势，分类讨论不可或缺。 例9．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 例10．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 【跟踪练习】 练习1．设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 练习2．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)记函数，已知只有1个零点，求正整数的最小值． 练习3．已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 练习4．已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 重难点06利用导数证明不等式 【解题必备】 利用导数证明或判定不等式问题有多种方法：一是构造新函数，通过导数研究其单调性与极值（最值）得出不等关系；二是分离变量构造函数转化为最值问题；三是适当放缩构造；四是构造“形似”函数，对不等式变形构造辅助函数。 例11．已知函数，的导函数为，且． (1)求的最值； (2)求证：． 例12．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【跟踪练习】 练习1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 练习2．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，． 练习3．已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 练习4．已知函数满足. (1)求与的值； (2)判断函数零点的个数并证明； (3)当时，证明：. 重难点07利用导数研究双变量问题 【解题必备】 处理双变量不等式的核心思路是将双变量问题转化为单变量问题。主要策略包括： ①整体代换：通过引入新变量（如比值、差值等）将双变量关系归一化，构造单变量函数； ②分离变量：将两个变量拆分为独立函数，分别分析最值或单调性，再通过不等式传递关系综合结论； ③选取主元：将其中一个变量视为主元，另一个视为参数，利用导数工具分析主元函数的性质； 最终通过构造函数、求导分析极值或单调性，证明不等式成立或求解参数范围 例13．设函数． (1)求的最小值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围； (3)若对任意的，都有，求实数n的取值范围． 例14．已知函数，若方程有两个根，证明:. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 练习2．已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 练习3．已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 练习4．设函数的两个极值点分别为，． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）． 重难点08隐零点问题综合应用 【解题必备】 处理隐零点问题的核心思路： ①判定存在性：通过零点存在定理和合理赋值确定导函数零点所在区间，结合单调性明确零点个数； ②虚设代换：虚设零点并利用零点方程进行转化，如指数/对数互换、同构思想等超越式简化，必要时需多次代换 例15．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 例16．，若在上恒成立，求的取值范围. 【跟踪练习】 练习1．已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 练习2．已知函数，其导函数为. (1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围： (2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点. 练习3．已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值. 练习4．已知函数，其中. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：. 重难点09导数与数列综合应用 【解题必备】 证明数列不等式的核心步骤与技巧： ①建立原型不等式：从第一问的函数性质（如单调性、极值）或导数分析出发，构造关键函数不等式； ②变量替换与赋值：将函数中的自变量替换为与正整数相关的表达式，生成局部数列不等式； ③累加求和与放缩：对替换后的不等式逐项累加，结合裂项相消、等比/等差数列求和等技巧简化表达式，必要时通过放缩（如指数/对数替换、同构变形）控制误差范围 例17．已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 例18．已知函数在点处的切线与轴重合． (1)求函数的单调区间与极值； (2)已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：． 【跟踪练习】 练习1．已知关于x的函数，与x轴相切． (1)求的表达式； (2)证明：； (3)设数列，的前n项和为，证明：． 练习2．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：，. 练习3．数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前项和； (3)设（），数列前项和为，证明：． 练习4．已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求实数的值； (3)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 重难点10利用导数研究极值点偏移问题 【解题必备】 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.2 例19．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 例20．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【跟踪练习】 练习1．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 练习2．已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 练习3．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明. 练习4．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$