专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用 【考点一：距离测量问题】 1 【考点二：高度测量问题】 6 【考点三：角度测量问题】 13 【考点四：其他应用问题】 20 【考点一：距离测量问题】 【知识点：距离测量问题】 [方法技巧] 处理距离问题的策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 1．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.    6．（2025高三上·宁夏银川·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 7．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 8．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【考点二：高度测量问题】 【知识点：高度测量问题】 [方法技巧] 求解高度问题应注意的问题 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　 1．（2025高三上·江西·阶段练习）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）某同学为测量某楼高，选取了与楼基在同一水平面内的两个测量基点与，测得，，，通过计算得楼高为，则两个测量基点之间的距离约为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二上·山西晋中·阶段练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 7．（2025高三上·重庆·阶段练习）育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为 m．      8．（安徽省2025学年高三上学期期末考试数学试题）如图，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量，在C点测得B点的仰角为，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影分别为A，B，C且．则A与C两点的海拔高度差为 m． 【考点三：角度测量问题】 【知识点：角度测量问题】 [方法技巧] 解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　 1．（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 2．（2025高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2025高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 4．（24-25高三上·山东青岛·期中）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则 . 5．（2024·上海·高考真题）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 6．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 7．（2025高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 8．（2025高一上·上海·课堂例题）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进米后到达点，又从点测得斜度为，建筑物的高为米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值. 【考点四：其他应用问题】 【知识点：其他应用问题】 1．（2025高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·重庆·阶段练习）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大， 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    3．（2025高一·全国·课堂例题）如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°、距离为10nmile的C处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．    4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 5．（24-25高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 6．（24-25高一下·云南曲靖·期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用 【考点一：距离测量问题】 1 【考点二：高度测量问题】 6 【考点三：角度测量问题】 13 【考点四：其他应用问题】 20 【考点一：距离测量问题】 【知识点：距离测量问题】 [方法技巧] 处理距离问题的策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　 1．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】如图，由题可知. 在中，由余弦定理可得海里， 所以乙船至少需要航行的海里数为. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线AC与BC的交点C即地震的位置，由此构建三角形，解三角形即可. 【详解】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 3．（2025高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案. 【详解】由已知得，得到，，所以. 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，可得三个内角的大小，再求出，利用正弦定理解，可求. 【详解】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，， 气球的高度是，所以，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以． 故选：C 5．（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.    【答案】 【分析】由题设得，利用正弦定理求A，B两点间的距离. 【详解】由题设， 在中， 所以m. 故答案为： 6．（2025高三上·宁夏银川·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 【答案】海里． 【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理计算． 【详解】由题意，，，    在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 故答案为：海里． 7．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【分析】在中求出AC，在中用正弦定理求出AM，再在中求解作答. 【详解】在中，因，则， 在，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 在中，，，则． 所以山高为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 【考点二：高度测量问题】 【知识点：高度测量问题】 [方法技巧] 求解高度问题应注意的问题 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　 1．（2025高三上·江西·阶段练习）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别在与中用正弦定理，化简可得解. 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）某同学为测量某楼高，选取了与楼基在同一水平面内的两个测量基点与，测得，，，通过计算得楼高为，则两个测量基点之间的距离约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合两角差的正弦公式可得解. 【详解】由题意得，， 则， 在中，， 则由正弦定理得， 所以，， 则， 故选：B. 3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长DC与AB的延长线交于点E，根据角的关系得，，设，在中由余弦定理得列式得，从而有，即可求解. 【详解】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E. 由已知得，， 则，则，， 设，则， 又，则在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又因为，所以. 故选：C 5．（2025高二上·山西晋中·阶段练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 【答案】C 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 6．（2025高三·全国·专题练习）如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度 米． 【答案】204 【分析】设米，根据余弦定理列方程求解． 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为，所以， 所以米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 在中，由余弦定理可得， 即，解得． 故答案为：204. 7．（2025高三上·重庆·阶段练习）育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为 m．      【答案】 【分析】由题可得，，由正切函数的定义得出，进而得出点为的外心，根据已知条件及余弦定理，正弦定理即可求解． 【详解】    由题可知，，， 设，在中，，所以， 同理可得，所以点为的外心，且外接圆半径为， 由余弦定理得，，所以， 由正弦定理得，，则， 所以该雕塑的高度为， 故答案为：． 8．（安徽省2025学年高三上学期期末考试数学试题）如图，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量，在C点测得B点的仰角为，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影分别为A，B，C且．则A与C两点的海拔高度差为 m． 【答案】360 【分析】通过图像确定 与两点的海拔高度差为可求解. 【详解】如图，作 ，由题知 ， ， 则 ， 在 中，因为 ， 所以 ，由正弦定理得 ， 解得 ， 作 ， ，则 ，所以 ， 所以 与 两点的海拔高度差 . 故答案为：360 【考点三：角度测量问题】 【知识点：角度测量问题】 [方法技巧] 解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　 1．（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 【答案】C 【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：C. 2．（2025高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 3．（2025高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 4．（24-25高三上·山东青岛·期中）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则 . 【答案】/ 【分析】首先得到，然后在中，由余弦定理得求出，可求出，即可求出. 【详解】    如图，O为楼脚，OP为楼高，则，， 所以，又因为，，所以， 所以，所以，所以 又因为，所以在中， ， 所以， 故.，所以，所以. 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 【答案】乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【分析】先由余弦定理得，再由正弦定理求解，即可求得乙船的方位. 【详解】根据题意，, 由余弦定理得 ， 由正弦定理得， 所以乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 6．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 7．（2025高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 8．（2025高一上·上海·课堂例题）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进米后到达点，又从点测得斜度为，建筑物的高为米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值. 【答案】. 【分析】在中利用正弦定理求出，在中利用正弦定理计算可得. 【详解】在中，，米，. 根据正弦定理，即，∴， 又在中，，，，， 根据正弦定理，即， 即，解得. 其中 ， 所以此山对于地平面的倾斜角的余弦值为. 【考点四：其他应用问题】 【知识点：其他应用问题】 1．（2025高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（2025高二上·重庆·阶段练习）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大， 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    【答案】8 【分析】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，利用两家和差公式求得，在结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，    则，且， 因为，则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或， 故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭． 故答案为：8. 3．（2025高一·全国·课堂例题）如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°、距离为10nmile的C处，并测得该渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠拢渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．    【答案】舰艇应沿着方位角为66.8°的方向航行，经过40min就可靠拢渔轮 【分析】理解题意，将实际问题转化为用正弦、余弦定理解三角形即可得出结论. 【详解】设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则nmile，nmile． 又nmile，． 由余弦定理，得： ， 即， 化简，得， 解得（负值舍去），． 由正弦定理，得： ， 所以，方位角为． 故舰艇应沿着方位角为66.8°的方向航行，经过40min就可靠拢渔轮． 4．（24-25高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 5．（24-25高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 6．（24-25高一下·云南曲靖·期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 【答案】(1)距离为100或200米； (2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为. 【分析】（1）作出图形，利用余弦定理即可得到答案； （2）根据（1）中的结论得，求出，设，根据余弦定理得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意得，，， 在三角形中，根据余弦定理有， 即，解得或100，    故钓友与小孩之间的距离为100或200米. （2）因为钓友到点处比到点处的距离更近，则，      设钓友在最短时间内救援到地点为点，， 则， 所以， 整理得，解得（负根舍去）， 因为，所以钓友这次救援有成功的可能， 且成功的最短时间为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$