专题17.1 勾股定理 讲义 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

17.1 勾股定理 17.1.1 勾股定理 1、 知识要点 1、勾股定理的内容：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.（古代把直角三角形中较短的边称为“勾”，较长的边称为“股”，斜边称为“弦”。） 2、勾股定理的证明： （1）邹元治证法： （2）课本证法 （3）赵爽弦图证法 （4）总统证法（美国第二十届总统，美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德） 二、典例分析 例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝　 　，b＝　 　； （2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝　 　． 例2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　） A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2 例3.已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　） A．21 B．15 C．6 D．21或9 例4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　） A．3 B．10 C．12 D．15 例5.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 三、针对练习 1．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝　 　． 2.在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　） A． B. C． D． 3.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（　　） A． B． C．h2＝ab D．h2＝a2+b2 4.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　 　． 6.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为　 　． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　 　． 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是　 　． 9.如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　） A．18 B．36 C．72 D．125 10. 1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 11.在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式． （1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）； （2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1 勾股定理 17.1.1 勾股定理 1、 知识要点 1、勾股定理的内容：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.（古代把直角三角形中较短的边称为“勾”，较长的边称为“股”，斜边称为“弦”。） 2、勾股定理的证明： （1）邹元治证法： （2）课本证法 （3）赵爽弦图证法 （4）总统证法（美国第二十届总统，美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德） 二、典例分析 例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝　 　，b＝　 　； （2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝　 　． 【分析】（1）设a＝3k，则b＝4k，由勾股定理求出c＝5k，再根据c＝10求出k的值，进而得到a与b的值；（2）首先根据勾股定理求得斜边c＝10；然后由面积法来求斜边上的高线． 【解答】解：（1）设a＝3k，则b＝4k， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c5k， ∵c＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8； （2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴c10． 设斜边上的高为h，则abch，∴h4.8．故答案是：6，8；4.8． 例2.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　） A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2， 又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2）， 则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．故选：D． 例3.已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　） A．21 B．15 C．6 D．21或9 【解答】解：如图所示，在Rt△ABH中， ∵AB＝17，AH＝8，∴BH15； 在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH6， ∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21； 当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故选：D． 例4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　） A．3 B．10 C．12 D．15 【分析】作DH⊥AC于H，如图，先根据勾股定理计算出AC＝10，再利用角平分线的性质得到DB＝DH，进行利用面积法得到AB×CDDH×AC，则可求出DH，然后根据三角形面积公式计算S△ADC． 【解答】解：作DH⊥AC于H，如图， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC10， ∵AD为∠BAC的角平分线，∴DB＝DH， ∵AB×CDDH×AC，∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC10×3＝15．故选：D． 例5.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可； （3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为， 也可以表示为，∴，即a2+b2＝c2； （2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． 三、针对练习 1．在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝　 　． 【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9， 则AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案为：18 2.在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　） A． B. C． D． 【分析】根据在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，可以得到∠C的度数，然后根据勾股定理，即可判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 3.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（　　） A． B． C．h2＝ab D．h2＝a2+b2 【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出c，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设斜边为c，根据勾股定理得出c， ∵abch，∴ab•h，即a2b2＝a2h2+b2h2， ∴，即．故选：B． 4.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解答】解：根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B． 5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　 　． 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝π（）2，S2＝π（）2，S3＝π（）2， ∴S1+S2＝π（）2π（）2π（）2S3， ∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案为：9π． 6.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为　 　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可以得到AE＝BE，再根据勾股定理，即可求得BE的长． 【解答】解：连接AE， ∵ED是AB的垂直平分线，∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，∵AC＝9，BC＝12，∴CE＝12﹣x， ∵∠ACE＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即92+（12﹣x）2＝x2，解得x，故答案为：． 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　 　． 【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理用BD表示出BC，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：在Rt△ACD中，CD3， 在Rt△BCD中，BC， 在Rt△ABC中，BC， ∴，解得，BD＝9，故答案为：9． 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是　 　． 【分析】根据角平分线的性质，可以得到DE＝DC，然后根据BC＝3，且BD：DC＝5：4，可以得到DC的长，从而可以得到DE的长，再根据AB的长，即可计算出△ABD的面积． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE， ∵BC＝3，且BD：DC＝5：4，∴DC＝3，∴DE， ∵AB＝5，DE⊥AB，∴△ABD的面积是：，故答案为：． 9.如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　） A．18 B．36 C．72 D．125 【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积． 【解答】解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F， ∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF4， ∵，∴，解得．AE， ∵BD，CD＝5，∴BC，∴△ABC的面积是：18，故选：A． 10. 1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理． 【解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B． 11.在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式． （1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）； （2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2． 【分析】（1）根据大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个直角三角形的面积，即可证明； （2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成； 【解答】解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；四个直角三角形面积和为：4ab； 由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积， 即有：c2＝（b﹣a）2+4ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2； （2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2；所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$