第七章 概率初步（续）（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第七章 概率初步（续）（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．若随机变量服从二项分布，则的方差为 . 【答案】 【分析】根据随机变量服从二项分布，则求解即可. 【解析】. 故答案为：. 2．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解. 【解析】由分布列的性质得，且， 即可解出． 故答案为：. 3．一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球，求出，再利用条件概率公式，即可求出结果. 【解析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球， 因为，， 所以， 故答案为：. 4．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 . 【答案】/ 【分析】设“任取一件产品，结果是不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，，根据全概率公式可得求解即可. 【解析】由题意可知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05、0.04、0.03和0.02， 设“任取一件产品，结果是不合格品”， “任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，， 根据已知题意得，， ， ， ， ，，，， 根据全概率公式可得 . 故答案为：. 5．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用随机变量均值的性质求解参数，再进行乘法运算即可. 【解析】，则，由，得，则． 故答案为： 6．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】0.35/ 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【解析】由题意可知，则， 故图中阴影部分的面积为． 故答案为：0.35. 7．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【解析】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．设口袋中有黑球、白球共8个，从中任取2个球，令取到白球的个数为，且的期望，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【分析】直接由超几何分布的期望公式列方程即可求解. 【解析】设口袋中白球的个数为，则由超几何分布的期望公式有，，解得. 故答案为：3. 9．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ． 【答案】10 【分析】根据变量符合二项分布，写出试验发生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值． 【解析】 ， 当时，． 显然当时，取得最大值． 故答案为：10 10．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】因为a，b，c成等差数列，所以．结合分布列性质，及，求解，，，然后利用方差的计算公式计算即可. 【解析】因为a，b，c成等差数列，所以． 又由分布列性质知，所以． 又因为，所以，，， 所以． 故答案为：． 11．某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ． 附：，， 【答案】4 【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可. 【解析】因为蓝莓果重量服从正态分布其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得：， 所以， 由，即，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可. 12．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【解析】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 二、单选题 13．以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【解析】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 14．将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型分别求出，代入条件概率公式即可. 【解析】由题意，事件即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”， ， ， ． 故选：A． 15．已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 【答案】B 【分析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情况． 【解析】由题意得，， 所以当增大时，减小， ， 所以在上随的增大而增大. 故选：B． 16．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 【答案】A 【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2. 【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确； ，则， 而，， ， 所以，故，命题2错误； 故选：A 三、解答题 17．已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【答案】 【分析】由题意可取3、4、5、6，算出对应的概率得出分布列，进一步根据期望公式即可求解. 【解析】可取3、4、5、6， ，，，， 所以的分布为， 的期望． 18．在甲、乙等6个学校参加的一次演出活动中，每个学校的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各学校的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： (1)甲、乙两学校的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两学校之间的演出学校个数的期望． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意求出甲、乙的演出序号均为偶数的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可得的所有可能取值为0、1、2、3、4，求出相应的概率，从而可求得的分布和期望. 【解析】（1）设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”， 由等可能性事件的概率计算公式得； （2）的所有可能取值为0、1、2、3、4， 且，，， ，． 从而知的分布为， 所以． 19．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率； （2）（i）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求； （ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【解析】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得：. （2）（i）设为赔付金额，则可取，由题设中的统计数据可得：， ，， ，， 故， 故（万元）. （ii）由题设保费的变化为，故. 20．某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 【答案】(1)甲运动员，理由见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即可得结论； （2）（i）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即可； （ii）按游戏共使用次数，求出的值及对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【解析】（1）解：甲运动员的成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，则其中位数小于80， 所以：甲运动员参加第二阶段游戏； （2）解：(i)若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率； 所以甲能参加游戏的概率为； (ii)因为甲参加每一个游戏获胜的概率都是， 所以参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用4次机会，则或； ②游戏使用3次机会，游戏使用1次机会，则或； ③游戏使用2次机会，游戏使用2次机会，则或； ④游戏使用2次机会，游戏使用1次机会，则或； ⑤游戏使用1次机会，游戏使用3次机会，则或； ⑥游戏使用1次机会，游戏使用2次机会，则或； ⑦游戏使用1次机会，游戏使用1次机会，则或或； 其中有两种情况：参加游戏第一次成功，第二次失败和第一次失败，第二次成功， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以 . 21．某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）15 【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明； （2）（ⅰ）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ⅱ）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可. 【解析】（1）由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布， 则，， ， ， 所以，. （2）（ⅰ）由（1）可知， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 由题意可知：，则， 所以，； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，则， 则， 由题意可知：， 解得，且，则， 所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15. 【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 概率初步（续）（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若随机变量服从二项分布，则的方差为 . 2．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ． 3．一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 4．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 . 5．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ． 6．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ． 7．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 8．设口袋中有黑球、白球共8个，从中任取2个球，令取到白球的个数为，且的期望，则口袋中白球的个数为 ． 9．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ． 10．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ． 11．某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ． 附：，， 12．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 14．将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一个6点”，则条件概率等于（    ） A． B． C． D． 15．已知，随机变量的分布为，当增大时（    ）． A．增大，增大 B．减小，增大 C．增大，减小 D．减小，减小 16．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分） 17．已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 18．在甲、乙等6个学校参加的一次演出活动中，每个学校的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各学校的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： (1)甲、乙两学校的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两学校之间的演出学校个数的期望． 19．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率． (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差． （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小． 20．某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 21．某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$