专题05 整式乘法（7大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

专题05 整式乘法压轴 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、幂的运算 2 类型二、含参多项式的乘法 3 类型三、乘法公式运用 6 类型四、平方差公式与几何背景 10 类型五、完全平方公式与几何背景 12 类型六、整式运算中规律问题 15 类型七、整式运算中新定义问题 15 压轴能力测评 16 一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法 (都是正整数)； 2. 幂的乘方 (m，n都是正整数)； 3. 积的乘方法则 （n是正整数） 4. 同底数幂的除法法则 都是正整数，并且； 二、整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，就是把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2. 单项式与多项式相乘的乘法法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 3. 多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 三、乘法公式 1．平方差公式： 2. 完全平方公式： 3. 完全公式推导变形： 4. 其他公式： 类型一、幂的运算 例1．我们知道：若且，则．设，，．现给出，，三者之间的三个关系式：①；②；③．其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式1-1．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且 ，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：，且 ，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较、、的大小 （2）比较、、的大小 （3）已知，，比较、的大小 （4）比较与的大小 变式1-2．阅读下列材料： 一般地，个相同的因数相乘记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． （1）计算以下各对数的值： 　2　，　　，　　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 　　；且，， （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论． 类型二、含参多项式的乘法 例2．如果的展开式中不含项和项，则，的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 变式2-1．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则　　 A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 变式2-2．已知的展开式中不含和项． （1）求与的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 例3．如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为 　　． 变式3-1．如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为、，丙是长方形，长为，宽为（其中，如果要用它们拼成若干个边长为的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是　　 A．无法确定 B． C． D． 变式3-2．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片　　张才能用它们拼成一个新的正方形． 例4．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：　　； （2）若一个正方形与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含的代数式表示）； ②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由； 变式4-1．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）与的大小关系为：　　；（用“”、“ ”、“ ”填空） （2）若满足条件的整数有且只有5个，则的值为 　　． 类型三、乘法公式运用 例5．按要求完成下列各题： （1）已知实数、满足，，求的值； （2）已知，试求的值． 变式5-1．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，求的值 （2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积． （2）已知，试求的值． 变式5-2．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，根据图中的面积写出关于、的等量关系式：　 　； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片 　　张； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 例6．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是　　 变式6-1．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为： （1）图③可以解释为等式：　．　． （2）要拼出一个长为，宽为的长方形，需要如图所示的　　块，　　块，　　块． （3）．如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若s用、表示四个小长方形的两边长，观察图案，以下关系式正确的是 　　（填序号）． ①②③④ 变式6-2．一天，王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． （1）图③可以解释为等式：　 　 （2）要拼出一个长为，宽为的长方形，需要如图①所示的　 　块，　 　块，　 　块． （3）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式： （1）（2）（3）（4） 其中正确的有　 　 ．1个 ．2个 ．3个 ．4个． 例7． 【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：　　； （2）如图3，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为、的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 　　． （3）利用图2得到的结论，解决问题： 若实数、、满足，，求的值． 变式7-1．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． ①请你检验这个等式的正确性． ②若，，，求出的值． （2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值． 变式7-2． 设实数，，满足． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 类型四、平方差公式与几何背景 例8．（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为　　． （2）若，，求的值． 变式8-1．两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用，表示为　　 A． B． C． D． 例9．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图． （1）上述操作能验证的等式是　　；（请选择正确的一个） 、 、 、 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 变式9-1．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）　　． （2）　　． （3）化简：． 变式9-2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图． （1）上述操作能验证的等式是　　；（请选择正确的一个） 、 、 、 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 类型五、完全平方公式与几何背景 例10．图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的面积为 　　； （2）观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 　　； （3）若，，求； （4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？ 变式10-1．如图所示，两个正方形的边长分别为和， 如果，，那么阴影部分的面积是　　 A．10 B．20 C．30 D．40 变式10-2． 如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含、的式子表示） （2）若，且，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 例11．阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： （1）问题发现：若满足，求的值； （2）类比探究：若满足．求的值； （3）拓展延伸：如图，正方形和正方形和重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长、，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 变式11-1．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，； （2）若，且，求的值； （3）若，试说明 是完全平方式． 变式11-2．【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　　，利用等式解决问题：若，，则的值为 　　； （2）【拓展探究】若，求的值； （3）【实际运用】如图3，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，．沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积． 类型六、整式运算中规律问题 例12．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． （2）请你利用上面的结论计算： ． 变式12-1．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如下是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期 　　． 类型七、整式运算中新定义问题 例13．给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为 　 　； （2）求有序实数对，0，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对，2，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 变式13-1．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“如意数”． （1）若，，则，的“如意数” 　　； （2）若，，求，的“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数” ．请用含的代数式表示． 变式13-2．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．若的结果中不含和项，则的值为　　 A．11 B．5 C． D． 2．如果，那么我们规定，例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空： 　　，　　　　； （2）记，，．求证：． 3．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 　　． 4．已知实数、、满足，则的最大值是　　 A．12 B．20 C．28 D．36 5．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将、并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形、的面积之和为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：　　． （2）满足条件的整数有且只有4个，则　　． 7．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． （3）利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 8．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． （1）写出由图2所表示的数学等式：　　；写出由图3所表示的数学等式：　　； （2）利用上述结论，解决下面问题：已知，，求的值． 9．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图 这个图形的面积可以表示成： 或　 这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决： （1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程） 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？ 如图2，表示1个的正方形，即： 表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：、、就可以表示2个的正方形，即： 而、、、恰好可以拼成一个的大正方形． 由此可得： 尝试解决： （2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：　　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：　　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 10．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则　　． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 整式乘法压轴 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、幂的运算 2 类型二、含参多项式的乘法 4 类型三、乘法公式运用 8 类型四、平方差公式与几何背景 16 类型五、完全平方公式与几何背景 19 类型六、整式运算中规律问题 24 类型七、整式运算中新定义问题 25 压轴能力测评 28 一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法 (都是正整数)； 2. 幂的乘方 (m，n都是正整数)； 3. 积的乘方法则 （n是正整数） 4. 同底数幂的除法法则 都是正整数，并且； 二、整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，就是把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2. 单项式与多项式相乘的乘法法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 3. 多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 三、乘法公式 1．平方差公式： 2. 完全平方公式： 3. 完全公式推导变形： 4. 其他公式： 类型一、幂的运算 例1．我们知道：若且，则．设，，．现给出，，三者之间的三个关系式：①；②；③．其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】：B 【解析】：解：，，， ，，， ①，故此结论正确； ②，故此结论错误； ③ ，故此结论正确； 正确的是：①③． 选：． 变式1-1．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且 ，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：，且 ，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 （1）比较、、的大小 （2）比较、、的大小 （3）已知，，比较、的大小 （4）比较与的大小 【答案】：（1;（2）; （3）<;（4） 【解析】：解；（1），， ， ，， 即； （2），，， ，， 即； （3） ，， （4） ，， ，， ； （4），， 又，． 变式1-2．阅读下列材料： 一般地，个相同的因数相乘记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． （1）计算以下各对数的值： 　2　，　　，　　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 　　；且，， （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论． 【答案】：（1）2 ;4 ; 6;（2）；（3）； （4）； 【解析】：解：（1），，； （2），； （3）； （4）证明：设，， 则，， ， 即． 类型二、含参多项式的乘法 例2．如果的展开式中不含项和项，则，的值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】：C 【解析】：解：， 又式子展开式中不含项和项， ，解得．选：． 变式2-1．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则　　 A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【答案】：A 【解析】：解：， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数，， 整理得：． 又，，，．，． ． ，均为正整数，的取值为1，2，3，4，5．的最大值为1，的最小值为． ，，． ，均为正整数，的取值为1，2，3，4，5． 的最大值为1，的最小值为． 故选项正确，符合题意． 选：． 变式2-2．已知的展开式中不含和项． （1）求与的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】：（1），；（2）-1792 ; 【解析】：解：（1）， 根据展开式中不含和项得：，解得：．即，； （2）， 当，时， 原式． 例3．如图，现有，类两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为 　5　． 【答案】：5; 【解析】：解： ， 需要类卡片张数是5， 答案：5． 变式3-1．如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为、，丙是长方形，长为，宽为（其中，如果要用它们拼成若干个边长为的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是　　 A．无法确定 B． C． D． 【答案】：D 【解析】：解：根据公式，可知应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是． 选：． 变式3-2．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片　4　张才能用它们拼成一个新的正方形． 【答案】：4; 【解析】：解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是，大于8的完全平方数依次是9，16，，而丙的面积是2，因而不可能是9； 当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张． 因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形． 答案：4． 例4．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：　　； （2）若一个正方形与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含的代数式表示）； ②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由； 【答案】：（1）<；（2）① ②4; 【解析】：解：（1）由题意： ， ， ， ， 答案：， （2）①甲的周长为， 正方形的周长与甲的周长相等， 正方形的边长为， ②由①可得，正方形的面积， ， 与的差（即是常数，这个常数是4． 变式4-1．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）与的大小关系为：　　；（用“”、“ ”、“ ”填空） （2）若满足条件的整数有且只有5个，则的值为 　　． 【答案】：（1）;（2）1010; 【解析】：解：（1）， ， ， 为正整数，，， ， 答案：； （2）， 的整数有且只有5个，这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020， ，解得：， 为正整数，． 答案：1010． 类型三、乘法公式运用 例5．按要求完成下列各题： （1）已知实数、满足，，求的值； （2）已知，试求的值． 【答案】：（1）7;（2）4095; 【解析】：解：（1），， ，． ，， ． （2） ． 变式5-1．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，求的值 （2）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积． （2）已知，试求的值． 【答案】：（1）7;（2）4; 【解析】：解：（1）， ，， ， ； （2）设，， ，， ， ， ， ． 变式5-2．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，根据图中的面积写出关于、的等量关系式：　　； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片 　　张； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】：（1）;（2）3；（3）①7;②16； 【解析】：解：（1）图2是边长为的正方形，因此面积为， 图2可以看作4个部分的面积和，即为， 所以关于、的等量关系式为：； 故答案为：； （2）， 所以要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片3张； 故答案为：3； （3）①，， ， 即； ②设，，则，，， ， ， 故的值为16． 例6．如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是　　 A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】：C 【解析】：解：由拼图可知，，，因此①正确； 由于，因此③正确； 由于表示一个小长方形的面积，由拼图可知，，因此②不正确； 由于， 因此④不正确； 综上所述，正确的有①③， 选：． 变式6-1．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为： （1）图③可以解释为等式：　．　． （2）要拼出一个长为，宽为的长方形，需要如图所示的　　块，　　块，　　块． （3）．如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若s用、表示四个小长方形的两边长，观察图案，以下关系式正确的是 　　（填序号）． ①②③④ 【答案】：①②③④ 【解析】：解：（1）图③可以解释为等式： 答案：． （2） 答案：2；7；3． （3）①正确； ②正确； ，，即，故③正确； ④正确． 答案：①②③④． 变式6-2．一天，王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． （1）图③可以解释为等式：　　 （2）要拼出一个长为，宽为的长方形，需要如图①所示的　 　块，　 　块，　 　块． （3）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式： （1）（2）（3）（4） 其中正确的有　 　 ．1个 ．2个 ．3个 ．4个． 【答案】：D 【解析】：解：（1）图③可以解释为等式是， 答案：． （2）， 答案：2，7，3． （3），（1）正确； ，（2）正确； 、， ，即，故（3）正确； ， （4）正确； 答案：． 例7． 【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：　　； （2）如图3，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为、的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 　　． （3）利用图2得到的结论，解决问题： 若实数、、满足，，求的值． 【答案】：（1） ；（2）；（3）-20 ； 【解析】：解：（1）由图2知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 答案：． （2）有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片， 又， 从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以拼成的正方形的最大边长为． 答案：． （3），，，，， ，， 即， ， ． 变式7-1．（1）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ， 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． ①请你检验这个等式的正确性． ②若，，，求出的值． （2）利用我们学过的知识，尝试解决问题：若，，求出的值． 【答案】：（1）① ②3；（2）-4; 【解析】：解：（1）①等式右边， ， 等式左边． 等式成立． ． ． ②由（1）得，． 当，，时，． （2）， ． 变式7-2． 设实数，，满足． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 【答案】：（1） ；（2）3 ； 【解析】：解：（1）， ， ， 而， ； （2）， 而，即， 同理有，， ， ， 而， ， 的最大值为3． 类型四、平方差公式与几何背景 例8．（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为　　． （2）若，，求的值． 【答案】：（1） ；（2）10 ； 【解析】：解：（1） （2）， ． 变式8-1．两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用，表示为　　 A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解：设正方形乙的边长为，正方形甲的边长为，由图①可得： ，， ． 选：． 例9．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图． （1）上述操作能验证的等式是　　；（请选择正确的一个） 、 、 、 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】：（1）B；（2）①3 ②; 【解析】：解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， 则． 答案； （2）①， 得：； ②原式 ． 变式9-1．阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）　　． （2）　　． （3）化简：． 【答案】：（1） ；（2） ；（3） ； 【解析】：解：（1）原式； 答案： （2）原式； 答案：； （3）． 当时，原式； 当时，原式． 变式9-2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图． （1）上述操作能验证的等式是　　；（请选择正确的一个） 、 、 、 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】：（1）B；（2）①3 ②; 【解析】：解：（1）根据图形得：， 上述操作能验证的等式是， 答案：； （2）①，， ； ②原式． 类型五、完全平方公式与几何背景 例10．图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的面积为 　　； （2）观察图2，三个代数式，，之间的等量关系是 　　； （3）若，，求； （4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？ 【答案】：（1）；（2）；（3）； （4） ； 【解析】：解：（1）图②中的阴影部分的面积为，答案：； （2），答案：； （3），则； （4）． 变式10-1．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，， 那么阴影部分的面积是　　 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】：C; 【解析】：解：首先令直线与直线的交点为； 则；① 底高； ② 底高； ③ 阴影部分面积①②③ ，④ 由已知，，构造完全平方公式： ，解得， ，化简代入④式， 得，． 选：． 变式10-2． 如图1，将一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2的空白部分的边长是多少？（用含、的式子表示） （2）若，且，求图2中的空白正方形的面积． （3）观察图2，用等式表示出，和的数量关系． 【答案】：（1）；（2）25；（3） ； 【解析】：解：（1）图2的空白部分的边长是 （2）由图可知，小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的边长，大正方形的面积， 又个小长方形的面积之和大长方形的面积， 小正方形的面积 （3）由图2可以看出，大正方形面积空白部分的正方形的面积四个小长方形的面积 即：． 例11．阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： （1）问题发现：若满足，求的值； （2）类比探究：若满足．求的值； （3）拓展延伸：如图，正方形和正方形和重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长、，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】：（1）21 ；（2） ；（3）900 ； 【解析】：解：（1）设，，则， 由完全平方公式可得， 即：的值为21； （2）设，，则，， 由完全平方公式可得，即：的值为； （3）设，，则，，， 又由， 正方形的面积为：． 变式11-1．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，； （2）若，且，求的值； （3）若，试说明 是完全平方式． 【答案】：（1）；（2）0 ；（3）； 【解析】：解：（1）， ． （2），． ． ，， ． （3）当时，， ， ． 是完全平方式． 变式11-2．【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　　，利用等式解决问题：若，，则的值为 　　； （2）【拓展探究】若，求的值； （3）【实际运用】如图3，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，．沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积． 【答案】：（1） ；12；（2）17 ；（3）192 ； 【解析】：解：（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：， ，，， ， ， ， ， 答案：，12； （2）设，， ， ， ， ， 即； （3）设正方形的边长为， ，， ，， 设，， ， 四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400， ， ， ， ， 长方形的面积为192． 类型六、整式运算中规律问题 例12．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法． （1）分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． （2）请你利用上面的结论计算： ． 【答案】：（1）；；；；（2）； 【解析】：解：（1）； ； ； ； （2）． 答案：（1）；；； 变式12-1．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如下是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期 　四　． 【答案】：四； 【解析】：解： ，，，为系数， ， 是7的倍数， 再过天是星期四， 答案：四． 类型七、整式运算中新定义问题 例13．给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为 　，2，　； （2）求有序实数对，0，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对，2，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 【答案】：（1），2，；（2） ；（3）-3 ； 【解析】：解：（1）根据题意可知关于的二次多项式的特征系数对为，2，． 答案：，2，； （2）有序实数对，0，的特征多项式为：， 有序实数对，，的特征多项式为：， ； （3）有序实数对，2，的特征多项式为：， 有序实数对，，的特征多项式为：， ， 有序实数对，2，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为， ，，， ，即的值为． 变式13-1．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“如意数”． （1）若，，则，的“如意数” 　　； （2）若，，求，的“如意数” ； （3）已知，且，的“如意数” ．请用含的代数式表示． 【答案】：（1）-7 ；（2）或；（3） ； 【解析】：解：（1）根据题意可知： ， 答案：． （2）当，时， ， ，， 或． （3）根据题意可得： ， ， ， ， ，， ． 变式13-2．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B 【解析】：解：，， ，解得，故（1）正确； ，， ，，故（2）正确； ，， 当时，则不成立， ，， 、都是整数，或或， 或或0或或或， 满足题意的、的值可以为，，，，，，故（3）错误； ，，，， ，， ，，对任意有理数、都成立， ，故（4）错误． 综上：正确的有①②． 选：． 1．若的结果中不含和项，则的值为　　 A．11 B．5 C． D． 【答案】：B 【解析】：解： ． 乘积中不含与项， ，， ，． ． 选：． 2．如果，那么我们规定，例如：因为，所以 （1）根据上述规定，填空： 　3　，　　　　； （2）记，，．求证：． 【答案】：（1）3，0，；（2）见解析 ； 【解析】：解：（1），，， 答案：3，0，； （2）证明：，，， ，，， ， ， ． 3．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 　五　． 【答案】：五； 【解析】：解：，（其中，，，为常数）， 除以7的余数为1， 今天是星期四，再过7天还是星期四， 再过天是星期五． 答案：五． 4．已知实数、、满足，则的最大值是　　 A．12 B．20 C．28 D．36 【答案】：C; 【解析】：解：实数、、满足， 当时的最大值是28． 选：． 5．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将、并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形、的面积之和为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】：C； 【解析】： 解：设大正方形的边长为，较小正方形的边长为， 图甲中阴影部分的边长为，所以有，即①， 由于图乙中阴影部分的面积为10，即②， 由②得，代入①得，， 即， 选：． 6．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：　　． （2）满足条件的整数有且只有4个，则　　． 【答案】：（1） ；（2）2 ； 【解析】：解：（1）， ， ， 为正整数，， ，， 答案：． （2）， 的整数有且只有4个，这四个整数解为5，6，7，8， ，解得：， ． 答案：2． 7．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影正方形的边长　　（用，的代数式表示）． （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的等量关系． （3）利用（2）中的结论，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】：（1） ；（2） ；（3） ； 【解析】：解：（1）图2中阴影正方形的边长； 答案：； （2）方法1：阴影部分面积为，方法2：阴影部分面积为， ； （3）根据（2）中结论可得， ． 8．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． （1）写出由图2所表示的数学等式：　　；写出由图3所表示的数学等式：　　； （2）利用上述结论，解决下面问题：已知，，求的值． 【答案】：（1）；； （2） 45； 【解析】：解：（1）由图2可得正方形的面积为： 答案： 由图3可得阴影部分的面积是： 即： 故答案为： （2） 由（1）可得： . 9．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式． 证明：将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图 这个图形的面积可以表示成： 或　 这就验证了两数和的完全平方公式． 类比解决： （1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程） 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：？ 如图2，表示1个的正方形，即： 表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，因此：、、就可以表示2个的正方形，即： 而、、、恰好可以拼成一个的大正方形． 由此可得： 尝试解决： （2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：　　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）． （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：　　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程） 【答案】：（1）见解析 ；（2） ；（3） ； 【解析】：解：（1）如图，左图的阴影部分的面积是， 右图的阴影部分的面积是， ， 这就验证了平方差公式； （2）如图，表示1个的正方形，即； 表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形， 因此：、、就可以表示2个的正方形，即：； 与，与和可以表示3个的正方形，即； 而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形， 由此可得：； 答案：； （3）由上面表示几何图形的面积探究可知，， 又， ． 答案：． 10．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则　　． 【答案】：（1） ；（2）见解析 ；（3）30 ；（4）156 ； 【解析】：解：（1）正方形的面积；正方形的面积． ． 答案：． （2）证明：， ， ． （3）， ，， ． 答案：30； （4）由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ，，． ． 答案：156． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$