特训01 平面向量与三角形的心（六大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训01 平面向量与三角形的心（六大题型） 题型1：向量的线性运算与三角形的心 1．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【解析】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 2．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 3．在中，为的重心，.则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算的性质，即可求解. 【解析】根据三角重心的性质，有， 所以，，故. 故选：B 题型2：向量的数量积与三角形的心 4．已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】首先判断，再根据重心的向量表示，变形后，利用数量积公式，即可求解. 【解析】因为，故． 而，故， 则． 故选：B 5．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【解析】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 6．已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【解析】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 题型3：用平面向量表示三角形的心（含参型） 7．已知点是的重心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【解析】 设的中点为，连接，点是的重心，则在上， ， 所以，， 所以. 故选：B. 8．已知为的外心，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形在坐标平面内的位置，求出点和点的坐标，得的坐标，由，列方程组求出和即可；或利用图形关系结合解三角形知识及平面向量基本定理即得. 【解析】解法一： 若，则有，如图所示， 设的外心，由，得，解得， 由，得，解得， 得，则， 又，， 由，即， 得，解得， 故. 方法二： 过点作于，过点作于， 过点作交的延长线于，交的延长线于， 因为则， 由余弦定理，，则， 而三角形的外接圆的半径为， 所以， 且，所以， 所以，得所以， 故， 由于三点共线，有，因此． 故选：D 9．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算结合三角形四心的定义即可得解. 【解析】取线段BC的中点E，则， 动点P满足：， 则，则，所以， 又为两向量的公共起点，所以三点共线， 所以直线一定通过的重心． 故选：C． 10．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【解析】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 11．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由结论可得，从而可得，再根据可得，从而有，求解即可. 【解析】    如图，因为O是的外心， 所以， 由结论可得， 即 ， 可得，即. 因为， 所以， 所以，即，即， 解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛： 这道题的关键是能由结论得到，从而得到，再进行向量分解求解. 12．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明为的外心、垂心、重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论． 【解析】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令， 则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，充分理解三角形心的向量表示，从而得解. 13．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 【答案】A 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可. 【解析】由，得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心； 延长交于点，因为，，三点共线，则设（）， 且，， 代入，得， 即①， 又因为与共线，与、不共线， 则只能当且时，①成立， 即，则, 由正弦定理得：， 又，则， 即，又，所以， 则是的角平分线，即点在的角平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是内角平分线的交点，故是的内心； 故选：A. 14．若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心. 【解析】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心. 故选：B 题型4：动点轨迹过三角形的心问题 15．在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】本题根据O是BC的中点，结合给定的向量条件式，即可判断动点M的轨迹. 【解析】因为，所以， 又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线， 故动点M的轨迹必通过的外心. 故选：B. 16．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【解析】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 17．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【解析】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 18．（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 【答案】 重心 内心 【分析】空1：设中边的中点为，知，从而得到，进而可知点的轨迹必过的重心；空2：由可得，从而可知在的角平分线上，进而可知点的轨迹一定通过的内心． 【解析】空1：由已知，， 根据平行四边形法则，设中边的中点为，知， ， ，则，，三点共线， 点的轨迹必过的重心； 空2：由已知，，而表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 在的角平分线上， 点的轨迹一定通过的内心． 故答案为：重心；内心． 题型5：由三角形的心得出向量关系 19．设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别是，，，则正确的是（    ） A．为的外心 B．为的重心 C．为的垂心 D．为的内心 【答案】BCD 【分析】由三角形四心的定义，利用向量共线定理、向量垂直的几何意义和平面几何的知识，即可得出结果. 【解析】对于A：当为三角形的外心，取的中点，，则，，即， 反之，若，取的中点，则，即， 即，只能得到在的垂直平分线上，不能得到为三角形的外心，故A错误； 对于B：当为三角形的重心，为中线的交点，延长交于点， 可得，所以，. 反之，取的中点，若，则， 则可得，，三点共线且，即为三角形的重心，故B正确； 对于C：当为三角形的垂心，， 同理可证，即，反之也成立，故C正确； 对于D：当为三角形的内心，为三角形的角平分线，则，， 如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M， 则四边形为平行四边形， ， 所以，反之也成立，故D正确； 故选：BCD 20．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ． 【答案】 【分析】由可得，根据相似三角形可得，，即，即可得 【解析】由可得 根据可得，同理可得， 所以， 所以 故答案为： 【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题. 题型6：平面向量与三角形心的综合应用 21．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. 【解析】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 22．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【解析】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 23．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 【答案】ABD 【分析】根据为的外心，得到，结合，求得，可判定A正确；根据为的内心，延长交于，得到点为的中点，且，求得和的长度，得到，可判定B正确；由为的重心，得，根据题意，求得，可判定C不正确；由到三边距离为，结合三角形的面积公式和正弦的倍角公式，求得和，可判定D正确. 【解析】对于A中，因为为的外心，可得， 因为，可得， 所以，所以， 所以，所以，所以A正确； 对于B中，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且， 因为，，可得， 由三角形内心的性质，可得， 即，解得，， 所以， 因为， 所以，所以B正确； 对于C中，因为为的重心，可得，所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为向量与不共线的非零向量，所以且， 所以，此时不是等边三角形，所以，所以C不正确； 对于D中，设的外接圆的半径为， 因为到三边距离为，可得， 且， 所以，可得， 同理可得：，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略： 1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示，然后选择适当的基底向量，将相关的向量表示为基底向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题； 2、再将向量的运算的结果还原为几何关系，应用向量相关的知识，可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质，同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用； 3、向量的运算公式，若不含图形，可直接运用相应的运算法则求解；若含有图形，可将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等，把未知向量用已知向量进行表示. 三、填空题 24．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 【答案】2 【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误. 【解析】①当动点P满足时， 则点P是的重心，所以①不正确； ②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线， 所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确； ③变形为， 而，表示点A到边的距离，设为， 所以，而表示边的中线向量， 所以表示边的中线向量， 因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确； ④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确； 故答案为：2. 25．如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 【答案】①②④ 【分析】对于①:利用重心的性质代入即可. 对于②:利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于③:利用将表示出来，代入.化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【解析】对于①：如图所示：因为分别为的中点， 所以,， 同理可得、， 所以，又因为 所以.①正确. 对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确. 对于③：因为，所以,,, 所以, 化简得：， 又因为不共线. 所以， .③错误. 对于④：因为是的外心，，所以,，, 因为，则， 化简得： ,由题意知不同时为正. 记, 则， 因为 所以.④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向量表示是解本类题型常用的方向. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 平面向量与三角形的心（六大题型） 题型1：向量的线性运算与三角形的心 题型2：向量的数量积与三角形的心 题型3：用平面向量表示三角形的心（含参型） 题型4：动点轨迹过三角形的心问题 题型5：由三角形的心得出向量关系 题型6：平面向量与三角形心的综合应用 题型1：向量的线性运算与三角形的心 1．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．在中，为的重心，.则（    ） A．1 B． C． D． 题型2：向量的数量积与三角形的心 4．已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 5．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 6．已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型3：用平面向量表示三角形的心（含参型） 7．已知点是的重心，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为的外心，若且，则（    ） A． B． C． D． 9．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 11．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ． 12．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 13．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 14．若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 题型4：动点轨迹过三角形的心问题 15．在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 16．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 17．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 18．（1）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． （2）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 ．（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” 题型5：由三角形的心得出向量关系 19（多选）．设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别是，，，则正确的是（    ） A．为的外心 B．为的重心 C．为的垂心 D．为的内心 20．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ． 题型6：平面向量与三角形心的综合应用 21（多选）．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 22（多选）．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 23（多选）．在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若为的外心，且，则 B．若为的内心，，，（m，），则 C．若为的重心，，则 D．若为的外心，且到a，b，c三边距离分别为k，m，n，则 24．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 25．如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 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