1.3.2 空间向量及其运算的坐标表示课件- 2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础. 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、轴方向相同的两个单位向量 i，j 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算，类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?下面我们就来研究这个问题. 1.3.1 空间直角坐标系 画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝135°(或 45°)，∠yOz＝90°. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 解：点 D′在x轴上，且OD′＝2， 所以OD′＝0i＋0j＋2k. 所以点D′的坐标是(0，0，2). 同理，点C的坐标是 (0，4，0). 点 A′ 在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′ 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A的坐标是(3，0，2). 点B′在 x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为 3，4，2，所以点B′的坐标是(3，4，2). 解：平面 Oyz 与 x 轴垂直，平面 Oxz与 y 轴垂直，平面 Oxy 与 z 轴垂直. 解：点 P(2，3，4) 在平面 Oyz 内的射影的坐标为 (0，3，4)，点 P(2，3，4) 在 Oxz 平面内的射影的坐标为 (2，0，4，点 P(2，3，4) 在平面 Oxy 内的射影的坐标为 (2，3，0). 解：点 P(1，3，5) 关干原点成中心对称的点的坐标为 (－1，－3， －5) 上. 解：由题图可得，点 C，B′，P 的坐标分别是 (0，4，0)，(，2，3). 解： 4. 已知点 B 是点 A(3，4，5) 在坐标平面 Oxy 内的射影，求||. 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 a・b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 例如，我们有： 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到: 这就是空间两点间的距离公式。 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 分析：要证明EF⊥DA1，只要证明⊥，即证 ·＝0.我们只要用坐标表示 ，，并进行数量积运算即可. 分析：(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长. (2)BE1与DF1所成的角就是， 所成的角或它的补角。因此，可以通过 ， 的坐标运算得到结果. 解：(1) 建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为 (1，0，0)，点 M 的坐标为 ( ，1， ). 于是 (1) 求 AM 的长. (2)求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值. 解：由已知，得B(1，1，0)，E(1，，1)，D(0，0，0)，F，(0，，1), 3. 在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A(1，0，2) 与点 B(1，－3，1) 的距离相等 4. 如图，正方体 OABC － D′A′B′C′的棱长为a，点N，M分别在 AC，BC上，AN＝2CN，BM＝2MC′，求 MN的长. 5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，求 DB1与 CM 所成角的余弦值. x y z x y z 复习巩固 1. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，三个非零向量 a，b，c 分别平行于 x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点? 解：在空间直角坐标系 Oxyz 中： (1)与点 M(x，y，z) 关于 x 轴对称的点的坐标是 (x，－y，－z). (2)与点 M(x，y，z) 关于y轴对称的点的坐标是(－x，y，－z). (3)与点 M(x，y，z) 关于z轴对称的点的坐标是(－x，－y，z). (4)与点 M(x，y，z) 关于原点对称的点的坐标是(－x，－y，－z). 综合运用 6. 求证：以A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形 7.已知 A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，求 ，，线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长. 拓广探索 解：以{ ，，) 为正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则 C(0，1，0)，M(1，0，)， 结束 $$