第10讲 正态分布（2大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第10讲 正态分布 目录 题型归纳 3 题型01 概率分布曲线的认识 3 题型02 正态曲线的性质 4 题型03 标准正态分布的应用 5 题型04 特殊区间的概率 6 题型05 指定区间的概率 7 题型06 正态分布的实际应用 8 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 10 题型08 3δ原则 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 16 知识点01正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： 知识点02正态分布 定义及 表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2) 三个常 用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4 [方法技巧] 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．　　 　[方法技巧] 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．　 题型01概率分布曲线的认识 【例1】（21-22高二下·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 【变式1】（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·云南·阶段练习）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 题型02 正态曲线的性质 【例2】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）若随机变量 服从正态分布 ，则 ． 【变式3】（23-24高三上·江西·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. (1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，，. 题型03 标准正态分布的应用 【例3】（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【变式1】（21-22高二下·辽宁·期末）已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（21-22高二下·广东茂名·期末）记（k，b为实常数），若，，则 . 【变式3】（20-21高二·江苏·课后作业）设，求，. 题型04 特殊区间的概率 【例4】（22-23高二下·江苏苏州·期中）在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（    ） 【附：随机变量服从正态分布，则，，】 A．75 B．79 C．83 D．91 【变式1】（21-22高二下·江苏南京·期中）已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ） A．477人 B．136人 C．341人 D．131人 【变式2】（21-22高二下·江苏苏州·期中）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布．假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为 ． 附：若随机变量X服从正态分布，则． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）设为任取的某袋有包装误差的产品的质量，分别求，及的概率.（结果精确到，，，）. 题型05 指定区间的概率 【例5】（24-25高二上·江西·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河南焦作·期末）西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（   ） 附：若，则，，． A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359 【变式2】（24-25高二上·江西·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【变式3】（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元. (1)任选1个香梨，求其重量大于的概率； (2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值. 附：若，则，，. 题型06 正态分布的实际应用 【例6】（23-24高二下·浙江台州·期中）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若，则，，. A．8186 B．8400 C．9545 D．9759 【变式1】（23-24高二下·浙江温州·期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水䅨种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布． 参考数据：．下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均亩产量是 B．该地水稻亩产量的标准差是 C．该地水䅨亩产量超过的约占 D．该地水稻亩产量低于的约占 【变式2】（23-24高二下·江苏南通·期中）某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为 . 【变式3】（23-24高二下·吉林·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 【例7】（22-23高二下·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【变式3】（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量X（单位：kg）服从正态分布．已知当时，有，，． (1)求该地水稻的平均亩产量和方差； (2)求该地水稻亩产量超过638kg且低于678kg的概率． 题型08 3δ原则 【例8】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【变式1】（23-24高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ） （参考数据： A．288 B．188 C．72 D．12 【变式2】（23-24高二下·安徽滁州·期末）若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为 . 参考数据：若随机变量，则，. 【变式3】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1 4．（21-22高二下·重庆长寿·期末）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班的平均分比乙班的平均分高 B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散 C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的 D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 二、多选题 5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知随机变量，则下列说法一定正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（附：，，）（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为 . 8．（23-24高二下·江苏连云港·期中）若随机变量，，则 ． 四、解答题 9．（21-22高二下·吉林长春·期中）某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布. (1)求； (2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数. 参考数据：，，. 10．（22-23高二下·山东青岛·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时32min，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)求X，Y的分布中的参数； (2)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？并说明理由； (3)春天到来，李明选择骑自行车上学，每天都上课前38分钟从家出发，则在100天的上学时间里不迟到的天数大约为多少天？（四舍五入，保留整数） 附：（参考数值：随机变量ξ服从正态分布，则，，． 11．（22-23高二下·宁夏固原·期中）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：g）． (1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（保留四位有效数字） (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由（概率小于0.0001为不可能事件）． 参考数据：若，则，，． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·浙江温州·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（    ） 参考数据：若，则． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高二下·山东泰安·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（    ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·福建泉州·期中）下列有关说法错误的是（    ） A．“事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的充分不必要条件 B．若随机变量服从正态分布，，则 C．若随机变量服从二项分布：，则 D．甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 4．（20-21高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 二、多选题 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D．，使得 6．（24-25高二上·江西九江·期末）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .参考数据：若，则 8．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 10．（22-23高二下·江苏南京·期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门. (1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 11．（22-23高二下·江苏徐州·期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布． (1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． (2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查． ①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？ ②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？ 参考数据： 若随机变量，则，， ，，． 12．（22-23高二下·江苏盐城·期中）企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 正态分布 目录 题型归纳 1 题型01 概率分布曲线的认识 3 题型02 正态曲线的性质 6 题型03 标准正态分布的应用 9 题型04 特殊区间的概率 11 题型05 指定区间的概率 13 题型06 正态分布的实际应用 16 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 20 题型08 3δ原则 22 分层练习 26 夯实基础 26 能力提升 35 知识点01正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： 知识点02正态分布 定义及 表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2) 三个常 用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4 [方法技巧] 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．　　 　[方法技巧] 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．　 题型01概率分布曲线的认识 【例1】（21-22高二下·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 【答案】A 【知识点】概率分布曲线的认识、正态密度函数 【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2， 故选：A 【变式1】（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 【变式2】（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 【变式3】（24-25高三上·云南·阶段练习）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【知识点】概率分布曲线的认识 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 题型02 正态曲线的性质 【例2】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【详解】观察曲线知，. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）若随机变量 服从正态分布 ，则 ． 【答案】12 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、正态曲线的性质 【分析】由已知求得，再由方差的性质可求得． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 又，所以． 故答案为：12. 【变式3】（23-24高三上·江西·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. (1)若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，，. 【答案】(1)16 (2) 【知识点】二项分布的均值、正态曲线的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由正态分布的性质可求得，由此可估计进入面试的人数． （2）由已知得的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案. 【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此，进入面试的人数大约为16. （2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10， 则； ； ； ； ； . 所以 题型03 标准正态分布的应用 【例3】（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 【变式1】（21-22高二下·辽宁·期末）已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】标准正态分布的应用、方差的性质 【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【详解】由题，，则，又，， 故选：D 【变式2】（21-22高二下·广东茂名·期末）记（k，b为实常数），若，，则 . 【答案】-3或3 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可. 【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3. 故答案为-3或3. 【变式3】（20-21高二·江苏·课后作业）设，求，. 【答案】；． 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】根据随机变量，，得，由标准正态分布表，即可求得结论． 【详解】根据随机变量，，得， 题型04 特殊区间的概率 【例4】（22-23高二下·江苏苏州·期中）在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（    ） 【附：随机变量服从正态分布，则，，】 A．75 B．79 C．83 D．91 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】设测验数据为，依题意，根据正态分布的性质可得，即可得解. 【详解】设测验数据为，依题意，则，， 设等级为的测验数据的最小值为，则， 因为，所以， 所以，所以的可能取值为. 故选：B 【变式1】（21-22高二下·江苏南京·期中）已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ） A．477人 B．136人 C．341人 D．131人 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】求得此次考试成绩在区间的概率，再求在此区间的人数即可. 【详解】根据题意，， 则， 故此次考试成绩在区间内的学生大约有人. 故选：B. 【变式2】（21-22高二下·江苏苏州·期中）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布．假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为 ． 附：若随机变量X服从正态分布，则． 【答案】 【知识点】特殊区间的概率、二项分布的均值 【分析】由特殊区间的概率得之外的概率，根据及二项分布的期望公式求k的最小值. 【详解】质量在之外的概率为， 所以，则， 则，又，故最小. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）设为任取的某袋有包装误差的产品的质量，分别求，及的概率.（结果精确到，，，）. 【答案】答案见解析 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】令，那么，根据标准正态分布的密度函数的性质计算可得，即可求出，其余同理可得. 【详解】令，那么， 而是标准正态分布的密度函数在区间上的面积，它等于函数在区间上的面积减去在区间上的面积. 这样，就有 ， 即. 同样，， 即； ， 即. 题型05 指定区间的概率 【例5】（24-25高二上·江西·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 【变式1】（24-25高二上·河南焦作·期末）西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（   ） 附：若，则，，． A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性以及已知概率计算求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·江西·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态曲线的对称性计算即可得. 【详解】由正态曲线的对称性可知， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元. (1)任选1个香梨，求其重量大于的概率； (2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值. 附：若，则，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析，元 【知识点】求离散型随机变量的均值、指定区间的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）依题意，根据正态分布的性质求出，即可得解； （2）依题意的所有可能取值为，，，，根据正态曲线的性质求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 即任选1个香梨，其重量大于的概率约为； （2）由题意可知，的所有可能取值为，，，， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 10 8 6 5 所以， 即估计该种香梨售价的平均值为元． 题型06 正态分布的实际应用 【例6】（23-24高二下·浙江台州·期中）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若，则，，. A．8186 B．8400 C．9545 D．9759 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】记单果质量为，则，求出，即可估计数量. 【详解】记单果质量为，则，所以，， 所以 ， 所以， 即现有该新品种大枣个，可估计单果质量在范围内的大枣个数约为个. 故选：A 【变式1】（23-24高二下·浙江温州·期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水䅨种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布． 参考数据：．下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均亩产量是 B．该地水稻亩产量的标准差是 C．该地水䅨亩产量超过的约占 D．该地水稻亩产量低于的约占 【答案】C 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据判断A、B，根据正态曲线的对称性求出相应的概率，即可判断C、D. 【详解】依题意，即该地水稻的平均亩产量是，标准差是，故A、B正确； 又，， 所以， 则该地水䅨亩产量超过的约占，故C错误； 又， 所以该地水稻亩产量低于的约占，故D正确. 故选：C 【变式2】（23-24高二下·江苏南通·期中）某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为 . 【答案】500 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】利用正态曲线的对称性可求答案. 【详解】因为成绩服从正态分布 ，即正态曲线关于对称， 因为成绩小于 130的有 300 人，所以， 所以，人数约为. 故答案为:500 【变式3】（23-24高二下·吉林·期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 【答案】(1) (2) 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据正态分布的性质求出，即可估计人数； （2）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】（1）因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为人. （2）由题意可知，的可能取值为，，，， 则； ； ； ； 所以. 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 【例7】（22-23高二下·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解即可. 【详解】，，. 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·吉林松原·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率 【分析】根据分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，则，可知， 又因为，所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【答案】4 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据对称性可得：，所以， 故答案为：4 【变式3】（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量X（单位：kg）服从正态分布．已知当时，有，，． (1)求该地水稻的平均亩产量和方差； (2)求该地水稻亩产量超过638kg且低于678kg的概率． 【答案】(1)；400； (2)0.1573。 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率 【分析】（1）根据给定的正态分布，直接求出平均亩产量和方差作答. （2）利用原则，结合正态分布的对称性求出概率作答. 【详解】（1）因为该地杂交水稻的亩产量X（单位：kg）服从正态分布， 所以该地水稻的平均亩产量，方差为400. （2）由（1）知， 则 . 所以该地水稻亩产量超过638kg且低于678kg的概率是0.1573. 题型08 3δ原则 【例8】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【答案】A 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A 【变式1】（23-24高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ） （参考数据： A．288 B．188 C．72 D．12 【答案】C 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】根据题意得，可得，然后根据正态分布的概率求法可求得结果. 【详解】因为，所以， 根据题意得，则， 即， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以至少要测量的次数为72次， 故选：C 【变式2】（23-24高二下·安徽滁州·期末）若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为 . 参考数据：若随机变量，则，. 【答案】/ 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，即，， 所以 ， 即这名学生数学成绩在分之间的概率约为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用、特殊区间的概率、二项分布的方差 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 【答案】B 【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 即， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： ， 故选：B 3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A 4．（21-22高二下·重庆长寿·期末）李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等．某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，．关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班的平均分比乙班的平均分高 B．相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散 C．甲班108分以上的人数约占该班总人数的 D．乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等 【答案】D 【分析】根据两个班数学成绩的正态曲线图，易于判断A,B两项；对于C和D，需要根据图中两个班数学成绩的期望和最大值分别求出和，再结合曲线图的对称性和三段区间的概率值计算对应的概率值，比较后研判即得. 【详解】对于A，由图知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A错误； 对于B，因甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误； 对于C，甲班的最大值为，则，则,故C错误； 对于D，乙班的最大值为，则，则， 又这两个班的人数相等，则乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D正确. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知随机变量，则下列说法一定正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据题意可知，结合正态分布的对称性逐项分析判断. 【详解】因为，可知， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：若，因为， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：若，因为 则，故D错误； 故选：ABC. 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（附：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性利用原则即可求解. 【详解】由题意得，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为 . 【答案】300 【分析】根据正态分布的对称性可得，即可求解个数. 【详解】由于，故， 所以1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为， 故答案为：300 8．（23-24高二下·江苏连云港·期中）若随机变量，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得. 【详解】∵随机变量服从正态分布， ，即正态分布曲线的对称轴为， 又，∴， 由对称性可知， ． 故答案为：． 四、解答题 9．（21-22高二下·吉林长春·期中）某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布. (1)求； (2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数. 参考数据：，，. 【答案】(1) (2)约为人 【分析】（1）利用原则可求得的值； （2）利用原则计算出，乘以可得结果. 【详解】（1）解：由已知，，则，， 所以， . （2）解：，， 所以， ， ， 所以，该地区名高三学生中，总分落在区间的人数约为. 10．（22-23高二下·山东青岛·期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时32min，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)求X，Y的分布中的参数； (2)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？并说明理由； (3)春天到来，李明选择骑自行车上学，每天都上课前38分钟从家出发，则在100天的上学时间里不迟到的天数大约为多少天？（四舍五入，保留整数） 附：（参考数值：随机变量ξ服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)自行车 (3)84 【分析】（1）根据题意结合正态分布直接可得； （2）根据题意结合正态分布分析运算； （3）根据题意结合二项分布分析运算. 【详解】（1）由题意可设， 所以. （2）由题意可得：坐公交车用时可得； 骑自行车用时可得； 因为，即坐公交车用时超过38min的可能性更大，故李明应选择自行车. （3）由（2）可得， 设在100天的上学时间里不迟到的天数为，则， 可得， 所以不迟到的天数大约为84天. 11．（22-23高二下·宁夏固原·期中）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：g）． (1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（保留四位有效数字） (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由（概率小于0.0001为不可能事件）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由详见解析 【分析】 （1）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布(单位: g)，要求得正常情况下任意抽取一包白糖质量小于485g的概率，化为的形式，然后求解即可； （2）由（1）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的. 【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为， 由题意可知. 由于， 所以根据正态分布的对称性与“原则”可知： ； （2）检测员的判断是合理的. 原因：如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查， 质量都小于485g的概率约为：， 概率小于0.0001，为不可能事件，但这样的事件竟然发生了， 所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·浙江温州·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（    ） 参考数据：若，则． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据体温X服从正态分布，结合X的值在内的概率约为0.9973，且，得到求解. 【详解】解：因为体温X服从正态分布， 所以， 因为X的值在内的概率约为0.9973，且， 则 ， 所以 ， 则，解得， 所以 ，解得， 故选：C 2．（22-23高二下·山东泰安·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（    ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质及原则，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】∵随机变量服从正态分布， ∴， ∴，故A正确； ，故B正确； 根据题意可得，，， ∴，故C正确； ，故D错误． 故选：D． 3．（22-23高二下·福建泉州·期中）下列有关说法错误的是（    ） A．“事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的充分不必要条件 B．若随机变量服从正态分布，，则 C．若随机变量服从二项分布：，则 D．甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 【答案】A 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念及充分、必要条件的定义可判断A；根据正态曲线的对称性可判定B；利用二项分布的期望值公式计算判定C；由条件概率，可以判定D． 【详解】A “事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误； B.若随机变量服从正态分布， 由题意可得，正态分布的对称轴为：， 结合题意和正态分布的对称性可得：故B正确． C.若随机变量服从二项分布：，则，故C正确． 对于，种，种， 所以，，而，故正确． 故选：A. 4．（20-21高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断 【详解】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门， 江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解. 二、多选题 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D．，使得 【答案】ABC 【分析】由正态分布可求得，可判断A；结合正态分布的性质计算可得，可判断B；易得在上是增函数，可判断C；当时，，，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：当增大时，也增大， 所以在上是增函数，故C正确； 对于D：因为，， 当时，，所以， 又，所以，所以； 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误； 故选：ABC. 6．（24-25高二上·江西九江·期末）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可. 【详解】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确； 对于选项B，因为 ，所以， 故B错误； 对于选项C，因为， 故C错误； 对于选项D，，故D正确． 故选：AD. 三、填空题 7．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .参考数据：若，则 【答案】0.84/ 【分析】根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案. 【详解】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 即抽到“可用产品”的概率为0.84. 故答案为：0.84. 8．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 10．（22-23高二下·江苏南京·期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门. (1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布. ①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人； ②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度. 附：，，. 【答案】(1) (2)①人；②不可信. 【分析】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，若另一门相同的选择物理、历史中的一门或若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，根据排列组合分别计算即可； （2）①由正态分布的对称性计算180分到360分的概率，即可求出4000名学生中成绩介于180分到360分之间的人数； ②利用正态分布可得，即可根据统计学中的原则进行判断. 【详解】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语， 若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有种，在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种； 若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种， 所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法. （2）①设此次网络测试的成绩记为X，则， 由题知，，，， 则， 所以， 所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有人； ②不可信. ， 则， 4000名学生中成绩大于420分的约有人， 这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本， 所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”， 说法错误，此宣传语不可信. 11．（22-23高二下·江苏徐州·期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布． (1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． (2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查． ①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？ ②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？ 参考数据： 若随机变量，则，， ，，． 【答案】(1)这台设备需要进一步调试，理由见解析 (2)①225件；②30 【分析】（1）根据正态分布计算恰有一个零件尺寸不在范围内的概率（可直接求，也可根据对立事件求）为小概率事件，而该生产线发生了，需调整； （2）①利用正态分布计算一个零件的概率，再由二项分布的期望得解； ② 由正态分布求出次品概率，由次品数服从二项分布，建立不等式求解即可. 【详解】（1）方法1：因为， 所以， 即， 所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为， 又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在内，所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试． 方法2：因为， 故至少有1个次品的概率为． 又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在内，所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试． （2）①因为，， 所以， 生产的10000件零件中内径超过200.12mm的件数Y服从二项分布B（10000，0.0225）， 则． 答：大约有225件零件的内径可以超过200.12mm． ②次品的概率为 ， 抽取10000个零件进行检测，设次品数为，则，其中， 故，设次品数最可能是k件， 则， 即， 即， 解得． 因为，所以，，故． 从而10000件零件中的次品数最可能是30． 答：这10000件零件中的次品数最可能是30． 12．（22-23高二下·江苏盐城·期中）企业的产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件.一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品.. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费20元/件，次品检测费30元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差. 【答案】(1)生产线没有正常工作；理由见解析 (2)期望是（元）；方差是. 【分析】（1）由产品尺寸服从正态分布，得到正常产品尺寸范围，从而计算出实际次品数和生产线正常工作的次品数的上限，继而可判断生产线是否正常工作. （2）随机从生产线上取3件产品复检为独立重复试验，这3件产品中次品件数服从二项分布，可算出其期望和方差，则可算出3件产品检测费的期望和方差. 【详解】（1）产品尺寸服从正态分布， ，且正常产品尺寸范围为. 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为20，故生产线没有正常工作； （2）尺寸在以外的就是次品，故次品率为. 记这3件产品中次品件数为，则服从二项分布， ， 则， 所以的数学期望是（元）， 方差是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$